TÀI LIỆU ÔN TẬP
XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
Câu 1A:
Dạng 1:
Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau đây:
( ) 6 ( 1) 8 ( 2) ( ) ( 1) ( 2)y n y n y n x n x n x n− − + − = + − + −
.Biết
( ) 0 y n =
với
n<0
.tìm đáp ứng đầu ra
( )y n
Với kích thích đầu vào là :
a.
( ) 3 ( )
n
x n u n=
b.
( ) [2 1] ( )
n
x n u n= +
Dạng 2:
Cho hệ thống được mô tả bởi sơ đồ sau:
Biết
( ) 0 y n =
với
n<0
.tìm đáp ứng đầu ra
( )y n
Với kích thích đầu vào là :
a.

2
α
=
và
2
4
α
=
→

0 1 2
( ) ( 2 4 ) ( )
n n
y n A A u n= +
Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình thuần nhất
( )
p
y n
Giả sử
( ) .3 ( )
n
p
y n B u n=
thay vào phương trình sai phân ta có:
1
1
D
D
D
-8

 
= + = + −
 
Bước 4: Tìm
( )y n
• Với
0, (0) (0) 1n y x= = =
• Với
1, (1) 6 (0) (1) (0) 6 3 1 10n y y x x= = + + = + + =
1
1 2 1 2
1 2 1 2
2
7
13 1 14
2
2 4 39 10 2 4 49 21
2
7 21
( ) 2 4 13.3 ( )
2 2
n n n
A
A A A A
A A A A
A
y n u n

=


2 2
2 2
2
2
2
2
( ) 3 ( ) ( )
3
6 8 1
( ). .
3
( ) ( 1)
3 4 2
3 2 4
( 1)
13
3
2 4
( 1) 21
4
2 3 2
( 1) 7
2
3 4 2
21 7
( ) 13
3 2 4 2 2
7 21
( ) .2
2 2

=
−
+ +
= = + +
− − −
− − −
+ +
= = −
=
− −
+ +
= =
=
− −
+ +
= =
=
− −
=− + +
− − −
→ = +
.4 13.2 ( )
n n
u n
 
−
 ÷
 
2
b.


0 1 2
( ) ( 2 4 ) ( )
n n
y n A A u n= +
Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình thuần nhất
( )
p
y n
Giả sử
( ) [ 2 ] ( )
n
p
y n Bn C u n= +
thay vào phương trình sai phân ta có:
1 2
1 2
2 ( ) 6 ( 1)2 ( 1) 8 ( 2)2 ( 2)
( ) 6 ( 1) 8 ( 2) 2 ( ) 2 ( 1) 2 ( 2) ( ) ( 1) ( 2)
n n n
n n n
Bn u n B n u n B n u n
Cu n Cu n Cu n u n u n u n u n u n u n
− −
− −
− − − + − − +
+ − − + − = + − + − + + − + −
Phương trình trên phải thoải mãn với n
≥
2. Chọn n=2 ta có:


=


7
( ) [ 2 1] ( )
4
n
p
y n n u n= − +
Bước 3:
0 1 2
7
( ) ( ) ( ) .2 .4 2 1 ( )
4
n n n
p p
y n y n y n A A n u n
 
= + = + − +
 
 
Bước 4: Tìm
( )y n
• Với
0, (0) (0) 2n y x= = =
• Với
1, (1) 6 (0) (1) (0) 12 3 2 17n y y x x= = + + = + + =
1 2
1




 
→ = − + − +
 ÷
 
Cách2:
Biến đổi Z hai phía của phương trình sai phân ta có:
3
( ) ( )
1 2 1 2
( ) 1 6 8 ( ) 1Y Z Z Z X Z Z Z
− − − −
− + = + −
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 2

Z Z Z Z
x n u n X Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z
Y Z
Z Z Z Z
Z Z Z
C CY Z A B
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z
A
Z
Z Z
Z Z Z
B
Z
Z Z
Z Z Z
C
−
= + → =
− − − −
− + − + +
=
− −
− + +
= = + + +
− − −
− − − −

35 31 7
( )
1 4 4 4 2 2
2
31 35 7
( ) .2 .4 2 1 ( )
4 4 4
n n n
Z
Z Z
Z Z Z
Z Z Z
C
Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z Z
Y Z
Z Z Z
Z
y n n u n
+
= −
=
− −
 
− + +
 
− − −
= = = −
 ÷

b.
( )
( ) 2 1 ( )
n
x n u n= +
Dạng 2:
Cho hệ thống được mô tả bởi sơ đồ sau:
Biết
( ) 0 y n =
với
n<0
. Tìm đáp ứng đầu ra
( )y n
, với các kích thích đầu vào là:
a.
( ) 4 ( )
n
x n u n=
b.
( )
( ) 2 1 ( )
n
x n u n= +
Giải:
a.
( ) 4 ( )
n
x n u n=
Cách1:
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất

Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình thuần nhất
( )
p
y n
Giả sử
( ) .4 ( )
n
p
y n B u n=
thay vào phương trình sai phân ta có:
5
1
D
D
D
-6
5
x(n)
y(n)
D
-1
2
1 2 1 2
.4 ( ) 5 4 ( 1) 6 4 ( 2) 2.4 ( ) 4 ( 1) 4 ( 2)
n n n n n n
B u n B u n B u n u n u n u n
− − − −
− − + − = + − − −
Phương trình trên phải thoải mãn với n
≥

• Với
1, (1) 5 (0) 2 (1) (0) 10 8 1 19n y y x x= = + + = + + =
1 2
1 2 1
1 2
1 2 2
35 9
2 2 31
2
2 2
2 3 51
2 3 70 19 20
9 35
( ) 2 20.3 .4 ( )
2 2
n n n
A A
A A A
A A
A A A
y n u n
 
+ = −
+ + = =

 
→ ⇔ ⇔
  
+ = −


4
2 1 1
( )
2 3 4 2 3 4
2 1 1
9
2
3 4 2
2 1 1
20
3
2 4
2 1 1
35
4
3 2 2
9 35
( ) 20
2 2 3 2 4
n
Z
x n u n X Z Z
Z
Z Z Z Z Z
Y Z
Z Z Z
Z Z
Y Z A B C
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z

− +
= =
=
− −
= − +
− − −
4
9 35
( ) 2 20.3 .4 ( )
2 2
n n n
Z
y n u n
>
 
→ = − +
 ÷
 
b.
( ) [2 1] ( )
n
x n u n= +
Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
0
( )y n
Giả sử dạng
0
( )y n
là
n

p
y n Bn C u n= +
thay vào phương trình sai phân ta có:
1 2
1 2
2 ( ) 5 ( 1)2 ( 1) 6 ( 2)2 ( 2)
( ) 5 ( 1) 6 ( 2) 2.2 ( ) 2 ( 1) 2 ( 2) 2 ( ) ( 1) ( 2)
n n n
n n n
Bn u n B n u n B n u n
Cu n Cu n Cu n u n u n u n u n u n u n
− −
− −
− − − + − − +
+ − − + − = + − − − + + − − −
Phư
ơng trình trên phải thoải mãn với n
≥
2. Chọn n=2 ta có:
1 2 1 2
2 ( ) 5 ( 1)2 ( 1) 6 ( 2)2 ( 2) 2.2 ( ) 2 ( 1) 2 ( 2)
( ) 5 ( 1) 6 ( 2) 2 ( ) ( 1) ( 2)
n n n n n n
Bn u n B n u n B n u n u n u n u n
Cu n Cu n Cu n u n u n u n
− − − −

− − − + − − = + − − −

− − + − = + − − −

Bước 3:
0 1 2
9
( ) ( ) ( ) .2 .3 2 1 ( )
2
n n n
p p
y n y n y n A A n u n
 
= + = + − +
 
 
Bước 4: Tìm
( )y n
• Với
0, (0) 2 (0) 4n y x= = =
• Với
1, (1) 5 (0) 2 (1) (0) 20 6 2 28n y y x x= = + + = + + =
1 2 1
1 2 2
1 4 27
2 3 8 28 30
9
( ) 27.2 30.3 2 1 ( )
2
n n n
A A A
A A A
y n n u n
+ + = = −

2 2 2
2 2
1 2
2 2
2
2
2
3
( ) 2 1 ( ) ( ) + =
2 1 1 2
5 6 2 3 2 1
( ). .
1 2
2 3 1 2 1
( )
1 3 2
1 2 3 2
2 3 1 2 1
1
1
2 3
2 3 1 2 1
30
3
2 1
2 3 1 2 1
n
Z Z Z Z
x n u n X Z
Z Z Z Z

=
− −
− + −
= =
=
− −
− + −
=
−
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
'
'
3 2
1
2
2
9
2
1 3
2 3 1 2 1
4 4 5 3
27
2 2
1 3 4 3
( ) 30 27 9
1 3 2

 
 
= + − −
− − −
−
 
→ = − + − +
 ÷
 
9
Câu 2:
Cho hệ xử lý số đặc trưng bởi đáp ứng xung

[ ]
1 0 n 6
6
( )
0 n 0,6
n
h n

− ≤ ≤

=


∉

Tìm đáp ứng y(n) biết kích thích đầu vào là
2 2

6
2
3
1
2
1
3
1
6
0 0 0 0
0; ( )n x k= −
2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(0) 1y =
1; (1 )n x k= −
0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
11
(1)
6
y =
2; (2 )n x k= −
0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0
7
(2)
2
y =
3; (3 )n x k= −
0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0
29
(3)
6

0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1 1
(9) 0y =
Vậy:
11 7 29 23
( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)
6 2 6 6
17 11 1
( 5) ( 6) ( 7) ( 8)
6 6 3
y n n n n n n
n n n n
δ δ δ δ δ
δ δ δ δ
= + − + − + − + − +
+ − + − + − + −
Cách 2:
5 2 1 1 1
( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
6 3 2 3 6
( ) ( ) ( 1) 2 ( 2) 2 ( 3)
h n n n n n n n
x n n n n n
δ δ δ δ δ δ
δ δ δ δ
= + − + − + − + − + −
= + − + − + −
Biến đổi Z hai dãy
1 2
( ), ( )x n x n
ta có:

Vậy
11 7 29 23
( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)
6 2 6 6
17 11 1
( 5) ( 6) ( 7) ( 8)
6 6 3
y n n n n n n
n n n n
δ δ δ δ δ
δ δ δ δ
= + − + − + − + − +
+ − + − + − + −
11
Câu 3A:
Dạng 1:
Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng :
0,4 ( ) 0,5 ( 1) 0,3 ( 2) 0,1 ( 3) 0,1 ( 4) 0,1 ( 5)
0,4 ( 1) 0,6 ( 2) 0,7 ( 3) 0,3 ( 4)
y n y n y n y n y n y n
x n x n x n x n
+ − + − + − + − + − =
= − + − + − + −
a. Vẽ sơ đồ hệ thống
b. Xét sự ổn định của hệ thống
Dạng 1:
Xét sự ổn định của hệ thống hệ thống được mô tả bởi sơ đồ sau:

Giải:
a. Vẽ sơ đồ hệ thống:

1 2 3 4
1 2 3 4 5
4 3 2 1
5 4
( ) 0,4 0,5 0,3 0,1 0,1 0,1 ( ) 0,4 0,6 0,7 0,3
( ) ( ) 0,4 0,6 0,7 0,3
( )
( ) ( ) 0,4 0,5 0,3 0,1 0,1 0,1
0,4 0,6 0,7 0,3
0,4 0,5 0
Y Z Z Z Z Z Z X Z Z Z Z Z
Y Z N Z Z Z Z Z
H Z
X Z D Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z
− − − − − − − − −
− − − −
− − − − −
+ + + + + = + + +
+ + +
= = = =
+ + + + +
+ + +
=
+ +
3 2
,3 0,1 0,1 0,1Z Z Z
+ + +
Xét

4
0,1a =
5
0,1a =
2
5
0,1a =
4
0,1a =
3
0,1a =
2
0,3a =
1
0,5a =
0
0,4a =
3
0
b
1
b
2
b
3
b
4
b
4
4

-0,25
D
1,5
D
1,75
D
0,75
D
-0,25
6
3
c
2
c
1
c
0
c
7
0
r
1
r
2
r
0 5
0
5 0
0,4 0,1
0,15

0,15 0,01
0,0286
0,01 0,19
b b
c
b b
= = =
−
0 3
2
5 2
0,4 0,1
0,11
0,1 0,3
a a
b
a a
= = =
0 2
2
4 2
0,15 0,11
0,0176
0,01 0,11
b b
c
b b
= = =
−
0 2

0 3
4
0
3 0
0,0224 0,0034
4,9.10
0,0034 0,024
c c
r
c c
−
= = =
0 2
4
1
3 1
0,0224 0,0176
5,8.10
0,0034 0,0286
c c
r
c c
−
= = =
0 1
4
2
3 2
0,0224 0,0286
2,97.10

Giải:
a. Vẽ sơ đồ hệ thống:
14
19 11 1 1
( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)
15 15 15 15
4 6 7 3
( 1) ( 2) ( 3) ( 4)
15 15 15 15
y n y n y n y n y n
x n x n x n x n
= − − − − − − + − +
+ − + − + − + −
b. Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân ta có:
( ) ( )
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
4 3 2 1
4 3
( ) 0,15 0,19 0,11 0,01 0,01 ( ) 0,4 0,6 0,7 0,3
( ) ( ) 0,4 0,6 0,7 0,3
( )
( ) ( ) 0,15 0,19 0,11 0,01 0,01
0,4 0,6 0,7 0,3
0,15 0,19 0,1
Y Z Z Z Z Z X Z Z Z Z Z
Y Z N Z Z Z Z Z
H Z
X Z D Z Z Z Z Z

D Z
Z
=
= −
Thỏa mãn điều kiện ổn định vì N=4 chẵn
• Lập bảng gồm 2N-3=5 hàng như sau:
15
D
D
D
-11/15
-19/15
x(n)
y(n)
D
-1/15
D
4/15
1/15
6/15
D
7/15
D
3/15
D
Hàng Hệ số
1
0
0,15b =
1

2
c
1
c
0
c
5
0
r
1
r
2
r
0 4
0
4 0
0,15 0,01
0,0224
0,01 0,15
b b
c
b b
−
= = =
−
0 3
1
4 1
0,15 0,01
0,0286

0
3 0
0,0224 0,0034
4,9.10
0,0034 0,024
c c
r
c c
−
= = =
0 2
4
1
3 1
0,0224 0,0176
5,8.10
0,0034 0,0286
c c
r
c c
−
= = =
0 1
4
2
3 2
0,0224 0,0286
2,97.10
0,0034 0,0176
c c

là cửa sổ nhân quả tâm đối xứng tại
1
2
N −
với N=11
- Bộ lọc số lý tưởng thông thấp có dạng:
sin
( )
c c
c
n
h n
n
ω ω
π ω
=
nên để thực hiện bộ lọc thông thấp thực tế ta
phải biến đổi thành bộ lọc FIR pha tuyến tính có tâm đối xứng tại
1
2
N −
và tần số cắt là
6
c
π
ω
=
Vậy:
1
sin ( )

sin[ ( 5)]
1
6
( )
6
( 5)
6
n
h n
n
π
π
−
=
−
- Nhân cửa sổ
11
( )
R
W n
với h(n) lý tưởng ta được:
11
( ) ( ) . ( )
d R
h n W n h n=
Kết quả phép nhân thể hiện trên bảng sau:
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
( )h n
1
10

( )
R
W n
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( )
d
h n
1
10
π
3
8
π
1
3
π
3
4
π
1
2
π
1
6
1
2
π
3
4

H e A e e A e e
ω ω θ ω ω ω
−
= =
Với
5
0
( ) ( )cos
j
n
A e a n n
ω
ω
=
=
∑
1
(0) (5)
6
a h= =
1
(1) 2 (4)a h
π
= =
3
(2) 2 (3)
2
a h
π
= =

( ) 5
θ ω ω
= −
Sơ đồ bộ lọc:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
1 3 1 3 1 1
( )
10 8 3 4 2 6
1 3 1 3 1
2 4 3 8 10
D
H Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z
π π π π π
π π π π π
− − − − −
− − − − −
= + + + + + +
+ + + + +
18
19
y(n)
1
Z
−
1
Z
−
1

Z
−
3
4
π
1
Z
−
1
3
π
1
Z
−
3
8
π
1
10
π
Câu 4B: Hãy tổng hợp bộ lọc số thông thấp FIR pha tuyến tính với N = 11, tần số cắt
6
c
π
ω
=
bằng phương pháp cửa sổ
tam giác. Vẽ sơ đồ bộ lọc.
Biết hàm cửa sổ có dạng
2 1

( )
T N
W n
là cửa sổ nhân quả tâm đối xứng tại
1
2
N −
với N=11
0 n 5
5
( ) 2 5 n 10
5
0 n [0,10]
T N
n
n
W n

≤ ≤



= − ≤ ≤


∉



Bộ lọc số lý tưởng thông thấp có dạng:

c
c
N
n
h n
N
n
ω
ω
π
ω
−
−
=
−
−
với
6
c
π
ω
=
và N=11
→
sin[ ( 5)]
1
6
( )
6
( 5)

3
π
3
4
π
1
2
π
1
6
1
2
π
3
4
π
1
3
π
3
8
π
1
10
π
( )
R
W n
0
1

2
5
π
1
6
2
5
π
3 3
20
π
2
15
π
3
40
π
0
Vậy:
3 2 3 3 2 1
( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
40 15 20 5 6
2 3 3 2 3
( 6) ( 7) ( 8) ( 9)
5 20 15 40
d
h n n n n n n
n n n n
δ δ δ δ δ
π π π π

5
a h
π
= =
3 3
(2) 2 (3)
10
a h
π
= =
4
(3) 2 (2)
15
a h
π
= =
3
(4) 2 (1)
20
a h
π
= =

(5) 2 (0) 0a h= =
Vậy:
1 4 3 3 4 3
( ) cos cos 2 cos3 cos4
6 5 10 15 20
j
A e

Z
−
1
Z
−
1
Z
−
1
Z
−
x(n)
3
40
π
2
15
π
3 3
20
π
2
5
π
1
6
1
Z
−
2

( ) 2 n 1
1 2
0 n [0,N-1]
T N
n N
N
n N
W n N
N
−

≤ ≤

−

−

= − ≤ ≤ −

−

∉



Giải:
22
- Theo đầu bài ta chọn cửa sổ tam giác
( )
T N

c c
c
n
h n n
n
ω ω
δ
π ω
= −
nên để thực hiện bộ lọc thông cao thực tế ta
phải biến đổi thành bộ lọc FIR pha tuyến tính có tâm đối xứng tại
1
2
N −
và tần số cắt là
6
c
π
ω
=
Vậy:
1
sin ( )
1
2
( ) ( )
1
2
( )
2

6
( ) ( 5)
6
( 5)
6
n
h n n
n
π
δ
π
−
= − −
−
- Nhân cửa sổ
11
( )
T
W n
với h(n) lý tưởng ta được:
11
( ) ( ) . ( )
d T
h n W n h n=
Kết quả phép nhân thể hiện trên bảng sau:
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
( )h n
1
10
π

−
3
8
π
−
1
10
π
−
( )
R
W n
0
1
5
2
5
3
5
4
5
1
4
5
3
5
2
5
1
5

−
2
15
π
−
3
40
π
−
0
Vậy:
23
3 2 3 3 2 5
( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
40 15 20 5 6
2 3 3 2 3
( 6) ( 7) ( 8) ( 9)
5 20 15 40
d
h n n n n n n
n n n n
δ δ δ δ δ
π π π π
δ δ δ δ
π π π π
= − − − − − − − − + − +
− − − − − − − −
Ta có:
( ) 5
( ) ( ) ( )

a h
π
= = −
4
(3) 2 (2)
15
a h
π
= = −
3
(4) 2 (1)
20
a h
π
= = −

(5) 2 (0) 0a h= =
Vậy:
5 4 3 3 4 3
( ) cos cos2 cos3 cos4
6 5 10 15 20
j
A e
ω
ω ω ω ω
π π π π
= − − − −
( ) 5
θ ω ω
= −

−
1
Z
−
x(n)
3
40
π
−
2
15
π
−
3 3
20
π
−
2
5
π
−
1
Z
−
2
5
π
−
1
Z

c
π
ω
=
bằng phương
pháp cửa sổ tam giác. Vẽ sơ đồ bộ lọc. Biết hàm cửa sổ có dạng:
25