SÁCH HNG DN HC TP
X LÝ TÍN HIU S
(Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b HÀ NI - 2006 =====(=====
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

Chng III: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min tn s ω.
Chng IV: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min tn s ri rc ω
k
.
Chng V: Tng hp b lc s có đáp ng xung có chiu dài hu hn FIR.
Chng VI: Tng hp b lc s có đáp ng xung có chiu dài vô hn IIR.
Chng VII: Bin đi Fourier nhanh - FFT.
Chng VIII: Cu trúc b lc s.
Chng IX: Lc s nhiu nhp.
 ln biên son đu tiên, chc tài liu còn mt s các s sót, mong ngi đc thông cm và
đóng góp các ý kin cho tác gi trong quá trình hc tp, trao đi.
Hà Ni, tháng 5 nm 2006
NHÓM BIÊN SON
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

3
CHNG I: BIU DIN TÍN HIU VÀ H THNG RI RC
TRONG MIN THI GIAN RI RC n
GII THIU
Trong chng này, chúng ta s đ cp đn các vn đ biu din tín hiu và h thng trong
min thi gian ri rc n, đây là min biu din tín hiu sau khi đã ly mu tín hiu.  nm đc
kin thc ca chng này, chúng ta s nhc li mt s ni dung chính sau.
a. Khái nim v tín hiu
V mt vt lý: tín hiu là dng biu din vt lý ca thông tin.
Ví d:
- Các tín hiu ta nghe thy là do âm thanh phát ra gây nên s nén dãn áp sut không khí đa
đn tai chúng ta.
- Ánh sáng ta nhìn đc là do sóng ánh sáng chuyn ti các thông tin v màu sc, hình khi
đn mt chúng ta.
V mt toán hc: tín hiu đc biu din bi hàm ca mt hoc nhiu bin s đc lp.

+ nh ngha tín hiu tng t: Nu biên đ ca tín hiu liên tc là liên tc thì tín hiu đó
gi là tín hiu tng t.
Nhn xét:
Tín hiu tng t liên tc theo c bin và hàm.
+ nh ngha tín hiu lng t hoá: Nu biên đ ca tín hiu liên tc là ri rc thì tín
hiu đó gi là tín hiu lng t hoá.
Nhn xét:
Tín hiu lng t hoá liên tc theo bin và ri rc theo biên đ.
()
a
x
t
(
)
ds
x
nT
(
)
s
s
x
nT
()
q
x
t
s
nT
s

T
5
s
T
6
s
T 7
s
T 8
s
T
s
T

Hình 1.1 Minh ho s phân loi tín hiu

- nh ngha tín hiu ri rc: Nu bin đc lp ca biu din toán hc ca mt tín hiu là
ri rc thì tín hiu đó gi là tín hiu ri rc.
Nhn xét:
Tín hiu liên tc là tín hiu liên tc theo bin, xét theo hàm ta có tín hiu ly mu
và tín hiu s.
+ nh ngha tín hiu ly mu: Nu biên đ ca tín hiu ri rc là liên tc và không b
lng t hoá thì tín hiu đó gi là tín hiu ly mu.
Nhn xét:
Tín hiu ly mu ri rc theo hàm, liên tc theo bin.
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

5
+ nh ngha tín hiu s: Nu biên đ ca tín hiu ri rc là ri rc thì tín hiu đó gi là
tín hiu s.

max
= 2B ta gi F
s
lúc này là tn s ly mu Nyquist, Ký hiu là F
Nyquist
hay F
N
.Sau khi đã nhc li các kin thc c bn v tín hiu nh trên, chúng ta s nghiên cu các
kin thc ca môn hc “X lý tín hiu s” bt đu vic biu din tín hiu và h thng ri rc trong
min n  chng I này.
Nhng ni dung kin thc đc đ cp trong chng I bao gm:
- Biu din tín hiu
- Các tín hiu c bn
- H thng tuyn tính bt bin.
- Phép chp (Convolution).
- Phng trình sai phân tuyn tính h s hng biu din h thng tuyn tính bt bin.
- Phép tng quan (Correlation).
NI DUNG
1.1. BIU DIN TÍN HIU RI RC
1.1.1. Các cách biu din tín hiu ri rc
Trc khi biu din ta có th chun hoá x(nT
s
) nh sau
1
() (
s
T

⎧
−≤≤
⎪
=
⎨
⎪
≠
⎩

 đây ta thy:
x(0)=1; x(1)=3/4; x(2)=1/2; x(3)=1/4; x(4)=0.
b. Biu din bng đ th
Cách biu din này cho ta cách nhìn trc quan v mt tín hiu ri rc.
Ví d 1.2
Vi tín hiu nh  ví d 1.1, ta có th biu din bng đ th nh sau:

1
3/4
1/2
1/4
Hình 1.2 Biu din tín hiu bng đ th
c. Biu din bng dãy s
() ( ) () ( )
{
}
0
, 1 , , 1 , =− +

xn xn xn xn
Lu ý  đây, ta phi có mc đánh du

⎧
=
⎨
≠
⎩
(1.1)
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

7
1
-1 10
(
)
n
δ
n

Hình 1.3 Dãy xung đn v
(
)
n
δ

Ví d 1.4: Hãy biu din dãy
(
)
1n
δ
−


=
⎨
≠
⎩
(1.2)

Hình 1.5 Dãy nhy đn v u(n)
Ví d 1.5
Hãy biu din dãy
()
13
3
03
n
un
n
≥−
⎧
+=
⎨
<
−
⎩

Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

8

Hình 1.6 Dãy u(n+3)
c. Dãy ch nht:

10 22
2
0còn
n
rect n
n
lai
≤
−≤
⎧
−=
⎨
⎩

(
)
3
2rect n
−

Hình 1.8 Dãy ch nht rect
3
(n-2)
d. Dãy dc đn v:
Trong min n, dãy dc đn v đc đnh ngha nh sau:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

9
ai
()

⎩Hình 1.10 Dãy dc đn v r(n-1)
e. Dãy hàm m:
Trong min n, dãy hàm m đc đnh ngha nh sau:
()
0
0còn la
n
an
en
n
⎧
≥
=
⎨
⎩
i
(1.5)
Ví d 1.8: Hãy biu din e(n) vi 0 ≤ a ≤ 1.

Hình 1.11 Dãy hàm m e(n)
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

10
1.1.3. Mt s đnh ngha
a. Dãy tun hoàn:
Ta nói rng mt dãy x(n) là tun hoàn vi chu k N nu tha mãn điu kin sau đây:
x(n) = x (n + N)= x (n + lN) l: s nguyên; N: chu k

Hình 1.13 Dãy có chiu dài hu hn
c. Nng lng ca dãy:
Nng lng ca mt dãy x(n) đc đnh ngha nh sau:
()
2
x
n
Ex
∞
=−∞
=
∑
n
(1.6)
Ví d 1.10
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

11
Tìm nng lng ca 3 dãy
() ()
() ()
() ()
1
2
3
N
xn n
x
nrectn
xn un

=
Dãy có nng lng hu hn
()
3
2
x
n
Eun
∞
=−∞
=
∑
=∞
Dãy có nng lng vô hn (không tn ti thc t)
d. Công sut trung bình ca mt tín hiu
Công sut trung bình ca mt tín hiu
(
)
nx
đc đnh ngha nh sau:
()
∑
−=
∞→
+
=
N
Nn
N
nx

N
EE
∞→
≡ lim
(1.9)
và công sut trung bình ca tín hiu
(
)
nx
là
N
N
E
N
P
12
1
lim
+
≡
∞→
(1.10)
Nh vy, nu
E
là hu hn thì 0
=
P . Mt khác, nu
E
là vô hn thì công sut trung bình
P

(
)
3
x
n

Hình 1.14 Tng ca hai dãy
f. Tích ca 2 dãy:
Tích ca 2 dãy nhn đc bng cách nhân tng đôi mt các giá tr mu đi vi cùng mt tr
s ca bin đc lp.
Ví d 1.12
Hãy thc hin
() ()
(
)
312
.
x
nxnxn=

Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

13
(
)
1
x
n
(
)

1
x
n
(
)
2
x
n

Hình 1.16 Tích ca dãy vi hng s 2
h. Tr:
Ta nói rng dãy
()
2
x
n
là dãy lp li tr ca dãy
(
)
1
x
n
nu có quan h sau đây:
() ( )
210
x
nxnn=−
: nguyên
0
n

2
n
δ
−
()
1
3
4
n
δ
−
()
104
4
0
n
n
xn
n
⎧
−≤≤
⎪
=
⎨
⎪
≠
⎩

Hình 1.17 Minh ho x(n) trong ví d 1.14
T ví d 1.14, ta thy rng: Mt dãy x(n) bt k đu có th biu din di dng sau đây:

(
)
Txn
y
n
⎡⎤
=
⎣⎦
(1.12)

(
)
(
)
T
x
ny⎯⎯→ n

b. H thng tuyn tính:
i vi các h thng tuyn tính toán t T phi tuân theo nguyên lý xp chng, tc là phi
tuân theo quan h sau đây:

()
(
)
(
)
(
)
12 1 2

Thc hin bin đi theo toán t T ta xác đnh y(n)
() () () ( ) () ( )

kk
yn T xn T xk n k xk T n k
δδ
∞∞
=−∞ =−∞
⎡⎤
⎡⎤ ⎡
== −= −
⎢⎥
⎣⎦ ⎣
⎣⎦
∑∑
⎤
⎦

() () ()
.
k
k
yn xk h n
∞
=−∞
=
∑
(1.14)
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n


−
(
)
(
)(
yn T n hn
δ
⎡⎤
==
⎣⎦
)
(
)
(
)
Tnhhnk
δ
⎡⎤
−
=−
⎣⎦

() () ( )
.
k
yn xk hn k
∞
=−∞
=
−

n = 0 ⇒
() () ( )
0.0
k
yxkh
∞
=−∞
k
=
−
∑

n = 1 ⇒
() ( ) ( )
1.
k
yxkh
∞
=−∞
1k
=
−
∑

n=2 C thay vào nh vy v nguyên tc ta phi tính đn giá tr n = ∞.
i vi các giá tr n < 0 ta cng phi tính ln lt
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

17
1k

(
)
()
5
10
4
0 còn lai
xn rect n
n
n
hn
n
=
⎧
−≤
⎪
=
⎨
⎪
⎩
4≤

Hãy tìm đáp ng ra ca h thng y(n)?
Gii:
Ta thc hin theo phng pháp tính phép chp bng đ th:
+ i bin n thành bin k
+ Gi nguyên x(k), ly đi xng h(k) thành h(-k)
+ Dch h(-k) sang trái (n<0) hoc sang phi (n>0) theo tng mu, sau đó tính tng giá tr
ca y(n) ng vi tng n c th nh đ th sau.
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

=−∞
===
∑
−
(1.18)
Ý ngha:

Trong mt h thng, ta có th hoán v đu vào x(n) và đáp ng xung h(n) cho nhau thì đáp
ng ra y(n) không thay đi.
- Tính kt hp:
(
)()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
12 1 2
** **
y
nxnhnhn xnhnhn
⎡⎤⎡⎤
==
⎣⎦⎣⎦
(1.19)

() () ()
(
)
(
)
(
)
(
)()
12 1 2
***
y
n xn hn hn xnhn xnhn
⎡⎤⎡⎤⎡
=+= +
⎣⎦⎣⎦⎣
⎤
⎦
(1.20)
Ý ngha:
(
)
(
)
12
hn hn+
(
)
1
hn

nh lý: áp ng xung ca h thng tuyn tính bt bin và nhân qu phi bng 0 vi n < 0
(h(n) = 0 vi mi n <0).
- Mt dãy x(n) đc gi là nhân qu nu x(n) = 0 vi n < 0.
Xét phép chp đ xác đnh đáp ng ra y(n) vi tín hiu và h thng TTBB nhân qu.

- Nu x(n) nhân qu:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

21
−
() () ( )
0
.
k
yn xk hn k
∞
=
=
∑
x(k) ≠ 0 khi k ≥ 0
- Nu h(n) nhân qu: h(n) ≠ 0 khi n ≥ 0:
Vì h(n – k) ≠ 0 ; (n – k) ≥ 0 ⇒
() () ( )
0
.
k
yn xk hn k
∞
=
=

(Tng giá tr tuyt đi ca mi giá tr đáp ng xung)
Ví d 1.17
Xét s n đnh ca các h thng có đáp ng xung sau:
() ()
1
hn un=

()
2
0
00
n
an
hn
n
⎧
≥
=
⎨
<
⎩

Gii:

()
12
0
1
nn
Shn

+
−
−
= ∞ nu a ≥ 1 → H thng không n đnh
1.3. PHNG TRÌNH SAI PHÂN TUYN TÍNH H S HNG
1.3.1. Phng trình sai phân tuyn tính h s bin đi
V mt tín hiu, mt h thng tuyn tính (HTTT) s đc mô t bi mt phng trình sai
phân tuyn tính có dng:
Chng 1: Biu din tín hiu và h thng ri rc trong min thi gian ri rc n

22
() ( ) ()( )
00
NM
kr
kr
anynk bnxnr
==
−
=
∑∑
−
(1.23)

() () () ( ) ()( )
00
10
NM
kr
kr


() () ()
k
k
yn xkh n
∞
=−∞
=
∑
()
k
an
, h s phng trình đc trng hoàn toàn cho h thng tuyn tính, thay cho
đáp ng xung.
()
r
bn
1.3.2. Phng trình sai phân tuyn tính h s hng
Mt HTTT bt bin v mt toán hc đc mô t bi mt phng trình sai phân tuyn tính
h s hng dng tng quát sau đây:
() (
00
NM
kr
kr
aynk bxnr
==
−
=
∑∑

rk
rk
yn bxn r ayn k
==
=−−
∑∑
−
−
(1.26)
r
b
, đc trng cho h thng, thay cho đáp ng xung.
k
a
áp ng ra y(n) đc xác đnh bi phng trình sai phân (PTSP) nh trên tng đng vi
đáp ng ra đc xác đnh theo phép chp:
() () () ()( )
*
k
yn xn hn xkhn k
∞
=−∞
==
∑
(1.27)
đáp ng xung h(n) đc trng cho h thng.
Lu ý:
Nu đu vào là xung đn v
(
)

Cho phng trình sai phân tuyn tính h s hng sau:
y(n) = Ay(n-1) + x(n)
Hãy tìm đáp ng xung h(n) ca phng trình sai phân đã mô t vi điu kin: y(-1) = 0.
Gii:
N = 1, a
0
= 1: Phng trình bc 1.
a
1
= -A, M = 0, b
0
= 1, cho
(
)
(
)
(
)
(
)
x
nnynh
δ
=⇒≡n

() ( ) ()
1hn Ahn n
δ
=−+


(
)
(
)
(
)
2
323.hAh AA
δ
=+=0+
h(2) = A
3

C th tip tc ta có:
()
0
0
n
An
hn
n
⎧
≥
=
⎨
≠
⎩

Phng pháp tìm nghim tng quát ca phng trình sai phân
Nghim tng quát ca phng trình sai phân s bng tng nghim tng quát ca phng

∑
Ta thng tìm nghim di dng hàm m y
0
(n) = α
n
, thay vào ta có:
12 1
01 2 1
12
01 2 1
0
( ) 0
nn n N N
NN
nN N N N
NN
aa a a a
aa a a a
αα α α α
ααα α α
−− −
−
−−−
−
++ ++ +=
⇒+++++
(1.30)
Nghim = 0 tc α =0 là nghim tm thng ta không xét đn, t (1.30) ta có phng
trình đc trng
nN

Các h s A
1
và A
2
đc xác đnh nh các điu kin đu.
Tìm y
p
(n):
ây chính là nghim phng trình sai phân khi đu vào x(n) ≠ 0, Nó s có dng ca phng
trình sai phân nh mô t (1.25) :
() (
00
NM
kr
kr
aynk bxnr
==
−= −
∑∑
)

 đây ta thng chn y
p
(n) ging dng đu vào x(n):
- Nu dng đu vào
() ( )
n
k
xn
β

Xác đnh nghim tng quát y(n):
n đây ta s có:
y(n) = y
0
(n) + y
p
(n) =
1
1
.(
( )
N
nn
kk k
k
N
nn
kk k
k
AB
ABn
)
α
ββα
α
ββ
=
=
⎧
+≠