Trần Sĩ Tùng
TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP
HÀ NỘI
Đề số 19
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số yxmx
422
21=++ (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Chứng minh rằng đường thẳng yx1=+ luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: xxx
22
2sin2sintan
4
p
æö
-=-
ç÷
èø

2) Giải hệ phương trình:
( )
xxx
222
333
2log–43log(2) log(–2)4++-=


II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là
( )
3;0- và đi qua điểm
M
433
1;
5
æö
ç÷
èø
. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d:
xt
yt
z
1
22
3
ì
=-
ï
=+
í
ï
=
î

== và mặt phẳng (P):
xyz2220+-+=. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc
với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:
xyyx
yx
33
22
416
15(1)
ì
ï
+=+
í
+=+
ï
î
.
============================ Trn S Tựng
Hng dn:
I. PHN CHUNG
Cõu I: 2) Xột PT honh giao im:
xmxx
422

Cõu II: 1) iu kin:
xcos0ạ
xk.
2
p
p
ạ+ (*).
PT

x x x
2
2
2
1cos2sintan
p
ổử
-
ỗữ
ốứ
=

xxx1sin2tan(sin21)=

x
x
sin21
tan1
ộ
=
ờ

p
p
p
ộ
=+
ờ
ờ
ờ
=-+
ở

xk.
42
pp
=+ . (Tha món iu kin (*) ).
2) iu kin:
x
x
2
2
3
40
log(2)0
ỡ
->ù
ớ
+
ù
ợ


222
333
log43log(2) log(2)4++-= xx
22
33
log(2)3log(2)40+++-=

( )( )
xx
22
33
log(2)4log(2)10+++-= x
2
3
log(2)1+= x
2
(2)3+=
x 23=-

Kim tra iu kin (**) ch cú
x 23=--
tha món.
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht l:
x 23=--

Cõu III: t tx
2
3sin=+ = x
2
4cos- . Ta cú:

3
22
0
sin.cos
cos3sin
p
+
ũ
=
dt
t
15
2
2
3
4 -
ũ
= dt
tt
15
2
3
111
422
ổử
-
ỗữ
+-
ốứ
ũ

+-+.
Cõu IV: Ta cú SA ^ (ABC)
ị
SA ^ AB; SA ^ AC..
Tam giỏc ABC vuụng cõn cnh huyn AB
ị
BC ^ AC
ị
BC ^ SC. Hai im A,C cựng nhỡn on SB di gúc
vuụng nờn mt cu ng kớnh SB i qua A,C. Vy mt cu ngoi tip t din SABC cng chớnh l mt cu ng
kớnh SB. Ta cú CA = CB = AB sin 45
0
= a
2
;
ã
SCA
0
60=
l gúc gia mp(SBC) v mp(ABC).
SA = AC.tan60
0
=
a 6
. T ú
SBSAABa
2222
10=+=
.
Vy din tớch mt cu ngoi tip t din SABC l: S =

1. Theo chng trỡnh chun
Cõu VI.a: 1) Ta cú
( ) ( )
FF
12
3;0,3;0- l hai tiờu im ca (E).
Trn S Tựng
Theo nh ngha ca (E) suy ra : aMFMF
12
2 =+=
( )
2
2
433
13
5
ổử
++
ỗữ
ốứ
+
( )
2
2
433
13
5
ổử
-+
ỗữ

u (1;2;0)=-
r
. Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn d.
Gi s
( )
t tH 1;22;3+ ị
( )
AHtt1;12;0=-+
uuuur

M AH ^ d nờn
d
AHu^
uuur
r
ị
( ) ( )
tt112120-+-+=
t
1
5
=- ị
H
68
;;3
55
ổử
ỗữ
ốứ
ị AH =

-
=
Vy: B
63823
;;3
55
ổử
-+
ỗữ
ốứ
v C
63823
;;3
55
ổử
+-
ỗữ
ốứ

hoc B
63823
;;3
55
ổử
+-
ỗữ
ốứ
v C
63823
;;3

ởỷ
+=++++
Cho x = 1 ta c pcm.
2. Theo chng trỡnh nõng cao
Cõu VI.b: 1) Gi M l trung im ca BC. Ta cú AGAM
2
3
=
uuuruuur
ị M(2; 3). ng thng EC qua M v cú VTPT
AG
8
0;
3
ổử
=-
ỗữ
ốứ
uuur
nờn cú PT: y 3= ị E(0; 3) ị C(4; 3). M AEEB2=
uuuruuur
nờn B(1; 1).
ị Phng trỡnh BC: xy2570-+=.
2) Gi I l tõm ca (S). I ẻ d ị Ittt(13;1;)+-+ . Bỏn kớnh R = IA = tt
2
1121-+.
Mt phng (P) tip xỳc vi (S) nờn:
t
dIPR
53

15(1)(2)
ỡ
ù
+=+
ớ
+=+
ù
ợ

T (2) suy ra yx
22
54= (3). Th vo (1) c:
( )
yxxyyx
2233
5 .16+=+

xxy x
32
5160=

x 0=
hoc xxy
2
5160=
ã Vi
x 0= ị
y
2
4=

xxxx
4242
–32256–125100+=
Û
xx
42
124132–2560+=
Û
x
2
1=
Û
xy
xy
1(3)
1(3)
é
ê
ë
==-
=-=
.
Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3)
=====================