1
CHNG V
CHNG V
CHU
CHU


I TI
I TI


N T
N T


(ANNUITIES)
(ANNUITIES)
I.TNG QUAN
• Chui tin t là mt lot các khon tin phát sinh
đnh k theo nhng khong cách thi gian bng
nhau.
• Mt chui tin t hình thành khi đã xác đnh đc:
• S k phát sinh (s lng k khon) : n
• S tin phát sinh mi k (thu hoc chi): a
• Lãi sut tính cho mi k : i
•  dài ca k: khong cách thi gian c đnh gia 2 k tr
(có th là nm, quý, tháng…)
I.TNG QUAN
• Phân loi chui tin t:
• Theo s tin phát sinh mi k:
• Chui tin t c đnh (constant annuities): s tin

a
n
I.TNG QUAN
• Phân loi chui tin t:
• Theo s k khon phát sinh:
• Chui tin t có thi hn: s k phát sinh là hu hn.
• Chui tin t không k hn: s k phát sinh là vô hn.
• Theo phng thc phát sinh:
• Chui phát sinh đu k: s tin phát sinh  đu mi k.
• Chui phát sinh cui k: s tin phát sinh  cui mi
k.
I.TNG QUAN
• Chui tin t phát sinh cui k
Nm 0
1234 n-1n
a
1
a
2
a
3
a
4
a
n-1
a
n
3
I.TNG QUAN
• Chui tin t phát sinh đu k

n-1
n
a
1
a
2
a
3
a
n-1
a
n
a
n-1
(1 + i)
a
2
(1 + i)
n-2
a
1
(1 + i)
n-1
…
4
II. GIÁ TR TNG LAI VÀ HIN GIÁ
CA MT CHUI TIN T
• Vy giá tr tng lai (giá tr cui) ca chui tin
t đc biu din nh sau:
V

1
)1(
II. GIÁ TR TNG LAI VÀ HIN GIÁ
CA MT CHUI TIN T
• 2.1 Hin giá ca mt chui tin t phát sinh cui
k.
a
n
(1 + i)
-n
Nm 0
12
n-1
n
a
1
a
2
a
n-1
a
n
a
n-1
(1 + i)
-(n-1)
a
2
(1 + i)
-2

k
k
k
iaV
1
0
)1(
5
II. GIÁ TR TNG LAI VÀ HIN GIÁ
CA MT CHUI TIN T
2.2 Giá tr tng lai ca mt chui tin t phát sinh
đu k (V
n
’)
Nm 0
12
n-1
n
a
1
a
2
a
n
a
n
(1 + i)
a
2
(1 + i)

+=+=
′
∑
=
+−
II. GIÁ TR TNG LAI VÀ HIN GIÁ
CA MT CHUI TIN T
• Hin giá ca mt chui tin t phát sinh đu
k (V
0
’)
Nm 0
123
n-1
n
a
1
a
2
a
3
a
n
a
n
(1 + i)
-(n-1)
a
3
(1 + i)

iViaV
n
k
k
k
+=+=
′
∑
=
+−
III. GIÁ TR TNG LAI VÀ HIN GIÁ CA
MT CHUI TIN T U
3.1 Giá tr tng lai và hin giá ca mt
chui tin t đu phát sinh cui k
3.2 Giá tr tng lai và hin giá ca chui
tin t c đnh phát sinh đu k
III. GIÁ TR TNG LAI VÀ HIN GIÁ
CA MT CHUI TIN T U
• Giá tr tng lai ca mt chui tin t đu
phát sinh cui k
Chui tin t đu, giá tr ca tt c các k
khon đu bng nhau:
a
1
= a
2
= ……= a
n-1
= a
n

i
aV
n
o
−
+−
=
)1(1
III. GIÁ TR TNG LAI VÀ HIN GIÁ
CA MT CHUI TIN T U
• Hin giá ca mt chui tin t c đnh phát
sinh vnh vin (n ∞)
i
a
V
n
o
=
+∞→
8
H qu t công thc tính V
n
ca chui tin
t đu
• Tính k khon a
• Tính lãi sut i (tra bng tài chính 3 hay áp
dng công thc ni suy)
1)1( −+
=⇒
n

n
ca chui tin
t đu
Gi
• n
1
là s nguyên nh hn gn nht vi n
• n
2
là s nguyên ln hn gn nht vi n
9
H qu t công thc tính V
n
ca chui tin
t đu
• CÁCH 1: chn n = n
1
ngha là quy tròn n
sang s nguyên nh hn gn nht. Lúc đó
V
n1
<V
n
.
 đt đc giá tr V
n
sau n
1
k khon, chúng
ta phi thêm vào k khon cui cùng s còn

tha (V
n2
-V
n
) nên
a
n2
= a - (V
n2
-V
n
)
H qu t công thc tính V
n
ca chui tin
t đu
• CÁCH 3: chn n = n
1
và thay vì tng thêm 1
khon  k khon cui cùng, ta có th đ V
n1
trên tài khon thêm mt thi gian x đ V
n1
tip tc phát sinh li tc (kép) cho đn khi đt
đc giá tr V
n
10
H qu t công thc tính V
0
ca chui tin

: là s nguyên nh hn gn nht vi n
• n
2
: là s nguyên ln hn gn nht vi n
• Có 2 cách đ quy tròn s n
)1log(
1
1
log
0
i
a
iV
n
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=⇒
H qu t công thc tính V

H qu t công thc tính V
0
ca chui tin
t đu
• CÁCH 2: chn n = n
2
, ngha là quy tròn n
sang s nguyên ln hn gn nht, lúc đóV
02
>V
0
.  đt đc hin giá V
0
, phi gim bt 
k khon cui cùng n
2
mt khon x
Vì V
0
= V
01
-x(1+i)
-n2
2
1
)1)((
n
oo
iVVx +−=⇒
3.2 Giá tr tng lai và hin giá ca chui tin t

’= V
0
(1+i)
)1(
)1(1
'
0
i
i
i
aV
n
+
+−
=⇒
−
12
IV. CHUI TIN T BIN I CÓ QUY
LUT:
4.1 Chui tin t bin đi theo cp s cng
4.2 Chui tin t bin đi theo cp s nhân
4.1 Chui tin t bin đi theo cp s cng
(phát sinh cui k):
• Giá tr tng lai ca 1 chui tin t bin đi
theo cp s cng.
Xét 1 chui tin t bin đi theo cp s cng
có giá tr ca k khon đu tiên là a
1
=a, công
sai là r và lãi sut i.

⎝
⎛
+=
i
nr
i
i
i
r
aV
n
n
1)1(
i
nr
i
i
nr
i
r
aV
n
o
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

2
a
4
= a
3
q = a q
3
…
a
n
= a
n-1
q = a q
n-1
4.2 Chui tin t bin đi theo cp s nhân
(phát sinh cui k)
)1(
)1(
iq
iq
aV
nn
n
+−
+−
=
n
nn
o
)i1(