Ta có công thức nội suy:

3. i = 4,0%/kỳ
V
0
= 9.000.000
a = 2.000.000

=>
Cách 1: Chọn n = 5.

V
01
< V
0
= 10.000.000
Do đó, để đạt hiện giá V
0
, ta phải thêm vào kỳ khoản cuối
cùng (5) một khoản x sao cho:

x = (10.000.000 - 8.903.645)(1+4%)
5
= 1.333.884
Vậy, a
5
= a + x = 2.000.000 + 1.333.884 = 3.333.884
Cách 2: Chọn n = 6.


/12 =
10,8%/12 = 0,009
V
0
= a
2
x => a
2
=

4.2.2.2.Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai)a. Đồ thị biểu diễn V
n
: Giá trị tích luỹ (giá trị tương lai) của chuỗi tiền tệ
Chọn thời điểm t = n làm thời điểm so sánh, ta có:
V
n
= a + a(1+i) + a(1+i)
2
+ …+ a(1+i)
n-2
+ a(1+i)
n-1

Vế phải là dạng tổng của một cấp số nhân n số hạng với số hạng đầu tiên
là a, công bội là (1+i)

Ví dụ:

n1
< V
n
. Do đó, để đạt được giá trị V
n
sau n
1

kỳ khoản, chúng ta phải thêm vào kỳ khoản cuối cùng số còn thiếu
(V
n
– V
n1
):
a
n1
= a + (V
n
– V
n1
)
* Cách 2: Chọn n = n
2
nghĩa là quy tròn n sang số nguyên lớn
hơn gần nhất. Lúc đó V
n2
> V
n
. Do đó, để đạt được giá trị V
n

= V
n1
(1+i)
x
=>
Ví dụ :
Một người gửi tiết kiệm tại một ngân hàng vào cuối mỗi quý một khoản
tiền bằng nhau.
1. Nếu người đó gửi mỗi lần một khoản tiền là 2 triệu VND, lãi suất
danh nghĩa của ngân hàng là i
(4)
= 8,4% thì sau 2 năm, người đó thu được một
khoản tiền là bao nhiêu.
2. Nếu người đó thu được cả vốn lẫn lãi là 40.463.286 VND sau ba
năm, lãi suất tiết kiệm của ngân hàng là i
(4)
= 8,4% thì phải gửi vào ngân hàng
mỗi quý một khoản tiền là bao nhiêu.
3. Xác định lãi suất tiền gửi tiết kiệm danh nghĩa i
(4)
tại ngân hàng
biết: cuối mỗi quý người đó gửi vào ngân hàng một khoản tiền là 4 triệu VND và
sau 2 năm 6 tháng thu được một khoản tiền là 43.800.000 VND.
4. Nếu lãi suất gửi tiết kiệm danh nghĩa ở ngân hàng i
(4)
= 8%, cuối
mỗi quý, người đó gửi một khoản tiền là 2,5 triệu VND thì sau bao nhiêu kỳ gửi,
ông ta sẽ thu được 42.000.000 VND.
Giải :
1. a = 2.000.000

i
(4)
= 4.i = 4.2% = 8%
4. a = 2.500.000
i
(4)
= 8% => i = = 2%/quý
V
n
= 42.000.000
V
n
= a.

=> n = =
n = 14,63.
Cách 1: Chọn n = 14.
V
14
= a.

= 2.500.000 x = 39.934.845
Kỳ khoản 14, ông ta phải gửi vào tài khoản một số tiền là :
a
14
= a + (V
n
- V
14
)

x = = = 2,546 quý
= 7 tháng 19 ngày.
4.2.3. Chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ
Xét một chuỗi tiền tệ gồm các khoản tiền bằng nhau a phát sinh vào đầu
mỗi kỳ trong suốt n kỳ. Lãi suất áp dụng cho mỗi kỳ là i. Chuỗi tiền tệ này được
gọi là chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kỳ.
4.2.3.1.Giá trị hiện tại
Đồ thị biểu diễn

V
0
’: Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ
Chọn thời điểm t = 0 làm thời điểm so sánh, ta có:
V
0
’ = a + +

+…+

+ V
o
’ là tổng của một cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu tiên là và
công bội là (1+i).
V
0
’ = .


n

Vế phải là dạng tổng của một cấp số nhân n số hạng với số hạng đầu tiên
là a(1+i), công bội là (1+i)
V
n
’ = a(1+i). V
n
’ = a(1+i). Ví dụ:
Để thành lập một số vốn, một doanh nghiệp gửi vào một tài khoản đầu
mỗi năm một số tiền không đổi là 10 triệu VND. Cho biết số tiền trong tài khoản
này vào lúc doanh nghiệp ký gởi tiền lần thứ 6, nếu lãi suất là 8,5%/năm.
V
6
= 10.000.000 x = 74.290.295 VND
V
6
’ = 10.000.000 x (1+0,085).

= 80.604.970 VND
Tiết 4, 5, 6 :
4.3. Chuỗi tiền tệ tổng quát
Ở phần trên, ta chỉ tìm hiểu các chuỗi tiền tệ đơn giản. Đó là các chuỗi
tiền tệ đều với lãi suất áp dụng trong mỗi kỳ là như nhau và kỳ phát sinh trùng

Giá trị tương lai :
V
n
= a
1
(1+i
2
)(1+i
3
)(1+i
4
)…(1+i
n
) + a
2
(1+i
3
)(1+i
4
)…(1+i
n
) + a
3
(1+i
4
)…(1+i
n
) +
… + a
n

Ví dụ :
A muốn có một số tiền là 40.000.000 VND bằng cách gửi vào ngân hàng
cuối mỗi 6 tháng một khoản tiền bằng nhau là a trong 5 năm. Lãi suất danh
nghĩa của ngân hàng là i
(12)
= 8,4%, vốn hoá cuối mỗi tháng. Xác định số tiền a.
Để xác định lãi suất áp dụng với mỗi 6 tháng tương ứng với i
(12)
, trước
hết, ta xác định lãi suất danh nghĩa i
(2)
vốn hóa mỗi 6 tháng.
Ta có :

Lãi suất áp dụng đối với mỗi 6 tháng của chuỗi tiền
tệ:
Phương trình giá trị:

Ví dụ :
B vay một khoản tiền là 50.000.000 VND và phải trả vào cuối mỗi quý một
khoản tiền bằng nhau trong 2 năm. Nếu lãi suất của khoản vay là lãi suất danh
nghĩa i
(2)
= 8% vốn hoá mỗi 6 tháng thì số tiền mà B phải trả cuối mỗi quý là bao
nhiêu?
Tương tự như ví dụ trên, ta sẽ xác định lãi suất danh nghĩa i
(4)
vốn hoá
cuối mỗi quý.