Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
97
Chuyên đề 3: ĐẠI SỐ
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.
2n
2n
B0
A B
AB
(với n
*
)
2.
2n 2n
B 0 (hayA 0)
A B
AB
2
A0
B0
A B C
A B C
5.
2
2
A0
B0
A B C
C0
A B CB. ĐỀ THI
9((2 + x) = 36(2 – x)
6
x
5
(Thỏa điều kiện–2 x 2) .
Với t = 9:
3 2 x 6 2 x 9
3 2 x 6 2 x 9
(*).
Do –2 x 2 nên
3 2 x 6
6 2 x 9 9
. Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
98
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm
6
= 10 – 3x và u
2
+ v
2
= 4
Do đó phương trình đã cho trở thành
22
22
3u 6v 4uv u 4v (1)
u v 4 (2)
(1) 3u – 6v = u
2
+ 4v
2
– 4uv 3(u – 2v) = (u – 2v)
2
u – 2v = 0 hoặc 3 = u – 2v
ª Với u = 2v thế vào (2) ta được
2
4
v
16
2x
5
4
2x
5
6
x
5
ª Với u = 3 + 2v thế vào (2) ta được (3 + 2v)
2
+ v
2
= 4 5v
2
+12v +5 = 0
Phương trình này vô nghiệm vì v 0 .
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
(x 5)(3x 1) 0
3x 1 4 1 6 x
x – 5 = 0 hay
31
(3x 1) 0
3x 1 4 1 6 x
Nhận xét:
1
x
3
nên 3x + 1
0
Do đó
31
(3x 1) 0
3x 1 4 1 6 x
vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm x = 5.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
99
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Phương trình đã cho trở thành hệ:
32
2u 3v 8
5u 3v 8
2
2
8 2u
v
3
u 2 15u 26u 20 0
u = 2 và v = 4 (nhận)
Thế u = 2 và v = 4 vào (*), ta được:
3
3x 2 2
6 5x 4
3x 2 8
6 5x 16
Vậy
2
x 5x 10
= 2
x
2
5x + 10 = 4
x3
x2
.
Bài 5: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007
Giải phương trình:
3x 7 x 1
= 2.
Giải
Điều kiện: x 1
Với điều kiện x 1, phương trình đã cho tương đương:
2
2
t1
2x 1 (t 0) t = 2x 1 x =
2
.
Phương trình đã cho trở thành:
42
t 4t 4t 1 0
22
(t 1) (t 2t 1) 0 t 1, t 2 1
(nhận)
Với t = 1 ta có x = 1. Với t =
21
, ta có x = 2
2
Vậy phương trình có nghiệm: x = 1; x = 2
2
Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Giải phương trình:
2
3x 2 x 1 3
(*)
Điều kiện:
3x 2 0
x1
x 1 0
(a)
Với điều kiện x 1, phương trình (*) tương đương:
3x – 2 + x – 1 +
2 3x 2 x 1 9
3x 2 x 1 6 2x
101
Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Giải phương trình: x + 2
7x
= 2
2
x 1 x 8x 7 1
(x )
Giải
Điều kiện
2
7 x 0
x 1 0
x 8x 7 0
1 x 7
Với điều kiện 1 x 7, phương trình đã cho tương đương:
x – 1 – 2
x 1 2 7 x x 1 7 x
= 0
Phương trình đã cho tương đương với
2
2 x 1 1 x 1 4 2 x 1 1 x 1 4
x 1 2 x 3 nhận
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 1 ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
Giải phương trình:
3x 3 5 x 2x 4
. (1)
Giải
Điều kiện:
3x 3 0
5 x 0 2 x 5
2x 4 0
(a)
Với điều kiện 2 x 5, phương trình (1) tương đương:
2
2x 1 = 0 (1)
(1) x
5
= (x + 1)
2
điều kiện x 0
Với 0 x < 1 thì VT < 1 và VP 1 (1) vô nghiệm
Do đó chỉ xét x 1
Xét f(x) = x
5
x
2
2x 1, x 1
f'(x) = 5x
4
2x 2 = 2x (x
3
1) + 2(x
4
1) + x
4
> 0, x 1
Do đó f(x) tăng trên [1; +), f liên tục
Và f(1); f(2) < 0 nên f(x) = 0 luôn có nghiệm duy nhất.
Bài 12:
Giải phương trình:
2
x 4 x 4 2x 12 2 x 16
t4
t 3 (loại)
Với t = 4:
x 4 x 4 4
2x +
2
2 x 16 16
và x 4
2
x 16 8 x
và x 4
2
B 0
B 0
A B hay
A 0
A B
3.
B 0
A B
A B
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
103
B. ĐỀ THI
(*)
Nhận xét:
Mẫu số:
2
2
1 3 3
1 2(x x 1) 1 2 x 1 0
2 4 2
Do đó bất phương trình (*) trở thành:
2
x x 1 2(x x 1)
≤ 0
2
2(x x 1) x x 1
2
x x 1 0
x x 1 2x x 2 x 0
2
x x 1 0
(x 1) 2 x(x 1) x 0
2
x x 1 0
(x 1 x) 0
2
0 x 1
x 3x 1 0
0 x 1
35
x
2
35
x
ta được
(1)
11
x 1 2 x 1
x
x
11
2 x 1 x 1
x
x
Đặt
2
11
t x x t 2
x
x
(1) trở thành:
2
t1
t 1 0
t = 1
Do đó:
1
x 1 x x 1 0
x15
x
6 2 5 3 5
2
x
42
15
x (loại)
2
2
x2
x2
x2
2 x 3
x 1 x 2 2
x x 6 0
2 x 3.
Bài 3: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007
Giải bất phương trình:
22
5x 10x 1 7 2x x
. (1)
Giải
22
5x 10x 1 7 2x x
Điều kiện để căn bậc hai có nghóa là:
5x
2
+ 10x + 1 0
Giải bất phương trình:
2
x 4x
> x – 3. (1)
Giải
Điều kiện: x
2
– 4x 0 x 0 x 4
Trường hợp 1: x – 3 < 0 x < 3: (1) đúng so sánh với điều kiện được x 0
Trường hợp 2: x 3
(1) x
2
– 4x > x
2
– 6x + 9 x >
9
2
So với điều kiện x 3 ta nhận x >
9
2
Kết luận: nghiệm x 0; x >
9
2
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Giải bất phương trình:
5x 1 x 1 2x 4
2 x < 10 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 2
Giải bất phương trình:
2
8x 6x 1 4x 1 0
Giải
2
8x 6x 1 4x 1 0
2
8x 6x 1 4x 1
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
106
2
22
2
11
xx
42
Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 1
Giải bất phương trình:
2x 7 5 x 3x 2
(1)
Giải
Điều kiện
2x 7 0
Giải bất phương trình:
2
2 x 16
7x
x3
x 3 x 3
Giải
Điều kiện
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
107
x5
4x5
10 34 x 10 34
2x 3x 2 0
x 3x 0
1
x < V x > 2
1
x x = 2
2
2
x 0 x 3
x
1
2
x 3 x = 2.
Bài 10: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP. HCM
Giải bất phương trình:
x 1 x 1
4
Giải
1 x 8
65
8 x 0
1x
65
16
x
16
x 1 x 16x 64 Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1:
1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2
A x B y C
, Với A A B B 0
A x B y C
Lập:
108
Nếu D 0: hệ có duy nhất nghiệm:
Dx
x
D
Dy
y
D
Nếu
D0
Dx 0 (hoặc Dy 0)
: hệ vô nghiệm.
Nếu: D = Dx = Dy = 0: hệ có vô số nghiệm
Dạng 2: Đối xứng loại 1:
f(x, y) 0 f(x, y) f(y, x)
Khi đó x,y là nghiệm của phương trình:
2
X SX P 0
Dạng 3: Đối xứng loại 2:
f(x, y) 0 (1)
f(y, x) 0 (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được : (y x). h(x, y) = 0
y x (a)
h(x, y) 0 (b)
Kết hợp:
(a) và (1)
(b) và (1)
22
x y xy 1 2 xy 1 0
22
xy 1 x y 2 0
22
xy 1 x y 2
.
Trường hợp 1:
2 2 3
5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)
xy 1 (3)
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
x
42
3x 6x 3 0
2
2
3 x 1 0
x 1 y 1
x 1 y 1
.
Trường hợp 2:
2 2 3
22
5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)
x y 2 (4)
y
. Phương trình (*) trở thành:
23
4t 5t 2 t 0
32
t 4t 5t 2 0
2
t 1 t 2 0
t = 1 hay t = 2.
Vậy (*)
x
y
= 1 hay
x
y
= 2
Với
x
y
= 1 đã xét ở trường hợp 1.
Với
x
y
= 2 x = 2y thế vào
x1
y1
x1
y1
2 10
x
5
10
y
5
2
22
(4x 1)x (y 3) 5 2y 0 (1)
4x y 2 3 4x 7 (2)
(x, y ).
Giải
Điều kiện:
3
x
4
. Đặt u = 2x;
v 5 2y
Phương trình (1) trở thành
u(u
2
+ 1) = v(v
2
+1) (u v)(u
2
+ uv + v
2
+ 1) = 0 u = v
Nghóa là:
25
f(x) 4x 6x 2 3 4x
4
trên
3
0;
4
2
4
f'(x) 4x(4x 3)
3x 4
< 0
Mặt khác:
1
f7
2
nên (*) có nghiệm duy nhất x =
1
2
. Điều kiện : 2x + y 0 (*)
(1)
(2x y) 2 2x y 3 0
2x y 1
hay
2x y 3
(loại)
2x + y = 1 y = 1 – 2x (3)
Thay (3) vào (2) ta có: x
2
– 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)
2
= 2
x
2
+ 2x – 3 = 0 x = 1 hay x = –3
Khi x = 1 thì y = –1 thỏa mãn (*); khi x = –3 thì y = 7 (thỏa mãn (*))
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
111
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
x1
y1
hay
22
2
x1
x 7 (chia 2 vế cho y)
yy
x1
x 13 (chia 2 vế cho y )
y
y
Đặt a =
1
x
y
; b =
x
y
Ta có a =
1
x
y
2
a b 7
a b 13
2
a b 7
a a 20 0
a4
b3
hay
1
x5
y
x
12
y
2
x 4x 3 0
x 3y
hay
2
Giải hệ phương trình
2
2
x x y 1 3 0
x, y
5
x y 1 0
x
.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
112
Giải
Điều kiện x 0
Hệ đã cho tương đương:
2 2 2
t x 3 t x 3
t x 3 x 2 x 1
tx 2 t 1 t 2
t x 5 (t x) 2tx 5
Vậy
x2
x 2 x 1 x 1
3
x(x y) 1 x(x y) 2 y 1
y
2
22
22
5
x y xy(x y) xy
4
5
(x y) xy
4
Đặt u = x
2
+ y, v = xy ta có hệ:
2
5
u u.v v (1)
4
5
u v (2)
4
22
3
3
3
5
x
x y 0 y x
4
55
xy x
25
y
44
16
Trường hợp 2: v = u – 1 thay vào (2) ta được:
2
5 1 3
u u 1 u v
4 2 2
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
113
Vậy:
;
4 16
và
3
1;
2
.
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Giải hệ phương trình:
4 3 2 2
2
x 2x y x y 2x 9
(x, y )
22
2
2
2
2
(x xy) 2x 9
x
x 3x 3 2x 9
x
3
xy 3x 3
2
x
4
+ 12x
2
+48x
2
+ 64x = 0 x(x + 4)
3
= 0
x0
x4
x 2y y x 1 2x 2y
Giải
Hệ phương trình:
22
xy x y x 2y (1)
(x,y )
x 2y y x 1 2x 2y (2)
Điều kiện:
x1
y0
(1) xy + y
2
+ x + y – (x
2
y1
(y 1) 2y 2 0 y 2
y2
y0
Vậy hệ có nghiệm x = 5; y = 2.
Bài 9: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI A NĂM 2007
Giải hệ phương trình:
3
3
x 2y x 2
y 2x y 2
Giải
3
3
22
x 2y x 2
I
xy
x 2y x 2
x y xy 3
(x, y )
x 1 y 1 4
Giải
Điều kiện:
x 1, y 1, xy 0. Đặt t = xy (t 0).
Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra: x + y = 3 + t.
Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được:
x y 2 2 xy x y 1 16
(1)
Thay xy = t
2
, x + y = 3 + t vào (1) ta được:
22
3 t 2 2 t 3 t 1 16 2 t t 4 11 t
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
(x 1)(y x 2) y
(x, y ).
Giải
Xét y = 0 hệ phương trình trở thành
2
2
x 1 0
(x 1)(x 2) 0
vô nghiệm
Xét y 0. Chia 2 vế của hai phương trình trong hệ cho y ta được:
2
2
22
x1
1
x 1 y x 1 3 x
y
y 3 x y 3 x
y x 2 1
x 1 x 2
hay
y 2 y 5
.
Bài 12: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Giải hệ phương trình:
3
2
(x y) 1 x y 1
x y 5
(x y) 25
(3; 2) hoặc (2; 3)
Bài 13: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Giải hệ phương trình:
22
2 2 2
x xy y 3(x y)
x xy y 7(x y)
(x, y ).
u 0 x 0
v 0 y 0
u 1 x 2 x 1
hoặc
v 1 y 1 y 2
Bài 14: DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Giải hệ phương trình:
22
x y x y 4
x x y 1 y y 1 2
2
S 2P S 4 0
P2
x 2 x 2
y 2 y 2
Với S = 1, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình: X
2
– SX + P = 0
X
2
+ X – 2 = 0
1
2
X1
X2
Vậy nghiệm của hệ
2x y 1 x y 1
(2x y 1) (x y) 5
. Điều kiện: x + y 0; 2x + y + 1 0 (*)
Đặt u =
2x y 1 0
;
v x y 0
Hệ trở thành:
11
xy
xy
2y x 1
Giải
Điều kiện: xy 0. Hệ phương trình tương đương với:
34
3
yx
xy
y x 0 xy 1
xy
hoặc
2y x 1 x x 2 0
2
y x 0
x 1 x x 1 0
x = y = 1 x = y =
51
.
Bài 17:
Giải hệ phương trình
2
(1) (2) ta được 3xy (x y) = (y x) (y + x)
(x y) (3xy + x + y) = 0
1
2
x1
x 2 loại
y = x, thế vào (1) ta được 3x
3
x
2
2 = 0
(x 1) (3x
2
+ 2x + 2) = 0 x = 1 y = 1 (thỏa mãn)
Vậy hệ phương trình có một nghiệm
Khi đó hệ phương trình
23
2
x y x y
x y x y 2
2
x y 0 x y = 1
x y 0 x y 1
x y 2 x + y = 1 (loại)
x+y x y 2 0
Giải hệ phương trình:
22
x y y x 6
x y y x 20
Giải
Điều kiện: x 0; y 0 (*)
Đặt u =
x 0,v y 0
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
119
Đưa về hệ:
22
4 2 2 4
(x, y R).
Giải
Ta có:
32
2
2x y 2 x xy m
x x y 1 2m
3 2 2
2
2x x y 2x xy m
x x 2x y 1 2m
(*).
Đặt: u = x
2
– x =
2
11
x
24
1
u
4
.
v = 2x – y v R .
Hệ (*) trở thành:
uv m
u v 1 2m
.
Đặt:
2
uu
f(u)
2u 1
, với
1
u
4
.
Ta có:
2
2
2u 2u 1
f'(u)
2u 1
4
13
2
+
f'(u)
+ 0
f(u)
23
2
5
8
–
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Hệ đã cho có nghiệm (1) có nghiệâm u thuộc
1
;
4
xx
xx
t' = 0
2 4 2 2 xx
16 – 4x = 2x – 2 6x = 18 x = 3 t = 3
Điều kiện:
3
t 3
x
1 3 4
Ta có: t
2
= 2 + x +
2 (4 )(2 2)xx
t'
+ 0
x +
2 (4 )(2 2)xx
= t
2
2
t
3
(1) thành: 4 + t
Tìm giá trò của tham số m để hệ phương trình
x my 1
mx y 3
có nghiệm (x; y)
thỏa mãn xy < 0.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
121
Giải
Ta có:
x my 1
mx y 32
xy
1 m 1 m 1 1
D 1 m , D 1 3m, D 3 m
m 1 3 1 m 3
D 1 m
Dy 3 m
yy
D
1m
Hệ có nghiệm (x; y) thỏa xy < 0
22
1 3m 3 m
.0
m 1 m 1
(1 + 3m)(3 – m) < 0
1
m
3
hay m > 3
Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI
Đònh m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
2
1 4(m 1) 0
(m 1) 4 0
5
4
< m < 3.
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
2
x mx 2 2x 1
Giải
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
2
x mx 2 2x 1
(1)
22
2
1
x
2x 1 0
2
x mx 2 (2x 1)
f x 3x (m 4)x 1 0 (2)
Copyright: Tài liệu đại học ©