Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
288
Chuyên đề 10: MŨ, LOGARIT
Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Dạng cơ bản: với 0 < a 1
f(x)
a
b0
ab
f(x) log b
Dạng 2: Đưa về cùng cơ số:
f(x) g(x)
a a (1)
Nếu 0 < a 1: (1) f(x) = g(x)
Nếu a thay đổi: (1)
0 a 1
f(x) 0
Dạng 1:
a
b
0 a 1
log f(x) b
f(x) a
Dạng 2: Đưa về cùng cơ số:
aa
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
289
2
22
log 8 x log 1 x 1 x 2
2
8 x 4 1 x 1 x
(*).
Với –1 x 1 thì hai vế của (*) không âm nên bình phương hai vế của (*) ta
được: (*)
2
22
8 x 16 2 2 1 x
2
22
8 x 32 1 1 x
(1).
(t
2
+ 2t + 17) = 0 t = 1.
Do đó (1)
2
1x
= 1 x = 0 (Thỏa điều kiện –1 x 1).
Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm x = 0.
Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Giải bất phương trình
22
x x x 2x 3 1 x 2x 3
4 3.2 4 0
Giải
22
x x x 2x 3 1 x 2x 3
4 3.2 4 0
22
2x x x 2x 3 2 x 2x 3
2 3.2 .2 4.2 0
4
= 2
-2
2
2 3 2x x x
2
x 2x 3 x 2
1 1 i
z 2 2
7
3x
2
.
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Giải phương trình
33
2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4
4 2 4 2 (x )
Giải
3
4 2 x 2 x
22
3
x 2 x 2 4
3
x 8 2( x 2 2)
2
2(x 2)
(x 2)(x 2x 4)
x 2 2
2
x 2 nhận
2
x 2x 4 (1)
Giải
2
22
log (x 1) 6log x 1 2 0
(1)
Điều kiện x > 1
(1)
2
22
log (x 1) 3log (x 1) 2 0
2
2
log (x 1) 1
x 1 2 x 1
2
2
0 2x 1 1
1
2x x 1 0
x
1
x1
2
0 x 1 1
2
x1
(2x 1) 0
22
2x 1 x 1
log (2x x 1) log (2x 1) 4
log
2x – 1
(2x – 1)(x + 1) + log
x + 1
(2x – 1)
2
= 4
1 + log
2x – 1
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
291
Với t = 1 log
2x – 1
(x + 1) = 1 x + 1 = 2x – 1 x = 2 (nhận)
Với t = 2 log
2x – 1
(x + 1) = 2 (2x – 1)
2
= x + 1
x 0 (loại)
5
x
4
Nghiệm của phương trình là: x = 2 và
5
x
4
.
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007
2
13.2
x
6 = 0
x
x
2
2 loại
5
23
Do 2
x
> 0 nên 2
x
= 3 x = log
2
3 (thỏa mãn điều kiện)
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007
Giải phương trình:
2 2 2
2x x x x x 2x x x
2 (2 1) 4(2 1) 0 (2 4)(2 1) 0
2x 2x 2
2 4 0 2 2 x 1.
22
x x x x 2
2 1 0 2 1 x x 0 x 0, x 1
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0, x = 1.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
292
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Giải phương trình:
x x x x
3.8 4.12 18 2.27 0
Giải
x
2 2 2
thì hay x = 1
3 3 3
.
Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ 2
Giải phương trình:
x
5
log 5 4 1 x
Giải
Điều kiện: 5
x
– 4 > 0 (a)
Dễ thấy x = 1 là nghiệm của (1)
VT: f(x) =
x
5
log 5 4
là hàm số đồng biến
VP: g(x) = 1 – x là hàm số nghòch biến
Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
t 1 (loại)
t = 4 (nhận)
Vậy
2
xx
2
= 2
2
x
2
x 2 = 0 x = 1 x = 2.
Bài 12:
Cho phương trình
22
33
log x log x 1 2m 1 0
(2): (m là tham số).
1/ Giải phương trình (2) khi m = 2.
2/ Tìm m để phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn
3
1 ; 3
2/ 1 x
32
3
3 1 log x 1 4 1 t 2
.
Phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc
3
1; 3
2m = t
2
+ t 2 = f(t) có nghiệm t [1, 2]
Vì f tăng trên [1, 2] nên ycbt f(1) 2m f(2) 0 m 2.
Vấn đề 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
f(x) g(x)
a a (1)
Nếu a > 1: (1) f(x) > g(x)
Nếu 0 < a < 1: (1) f(x) < g(x)
f(x) > log
a
g(x) (1)
Nếu a > 1 : (1)
g(x) 0
f(x) g(x)
Nếu 0 < a < 1 : (1)
f(x) 0
g(x) f(x)B.ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Giải bất phương trình:
x4
xx
log 0
x4
Bất phương trình tương đương với
2
0,7 6 0,7
xx
log log log 1
x4
(1)
(1)
2 2 2
6
x x x x x 5x 24
log 1 6 0
x 4 x 4 x 4
4 < x < 3 hay x > 8
(1)
22
22
x 3x 2 x 3x 2
00
xx
x 3x 2 x 4x 2
10
xx
x.
4
Bất phương trình đã cho
2
3
(4x 3)
log 2
2x 3
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
295
22
3
(4x 3) 9(2x 3) 16x 42x 18 0 x 3
8
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là:
3
x3
4
log (4 144) log [80(2 1)]
x x 2 x x
4 144 80(2 1) 4 20.2 64 0
x
4 2 16 2 x 4
Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ 2
Giải phương trình:
x
5
log 5 4 1 x
Giải
Điều kiện : 5
x
– 4 > 0 (a)
Để thấy x = 1 là nghiệm của (1)
VT : f(x) =
x
Bất phương trình
x
39
log 9 72 x (Vì x > log 73 1)
x x x
9 3 72 0 8 3 9 x 2
Kết hợp với điều kiện ta được
9
log 73
< x 2.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
296
Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Thường sử dụng phương pháp biến đổi từng phương trình trong hệ, sau đó
4 2 3y
x
x x 2
3y 1 2
4 2 3y
x
x x 2
21
y
3
4 2 3y
xx
21
y
3
2.4 2 1 0
x
xx
21
y
3
1
(2 1)(2 ) 0
2
2
2
2
x 4x y 2 0
2log (x 2) log y 0
Giải
2
2
2
x 4x y 2 0 (1)
2log (x 2) log y 0 (2)
; Điều kiện: x > 2 , y > 0
(2)
y 2 x: (1) x 5x 4 0
x 4 y 2 (loại)
Vậy hệ có một nghiệm
x3
y1
.
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Giải hệ phương trình:
2
xy
xy
y2
y4
Kết hợp (*), hệ có nghiệm: (x; y) = (2; 2) và (x; y) = (2; 2)
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
xy
e e ln(1 x) ln(1 y)
y x a
Giải
Điều kiện: x, y > 1. Hệ đã cho tương đương với:
nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (1; + ).
Mặt khác:
x a x
11
f'(x) e e
1 x 1 a x
=
xa
a
e (e 1) 0, x > 1
(1 x)(1 a x)
f(x) đồng biến trong khoảng (1; + ).
Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất trong khoảng (1; + ).
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
298
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
Giải hệ phương trình:
0y2
(2) 3(1 + log
3
x) 3log
3
y = 3 log
3
x = log
3
y x = y.
Thay y = x vào (1) ta có
x 1 2 x 1 x 1 2 x 2 (x 1)(2 x) 1 (x 1)(2 x) 0 x 1, x = 2.
Kết hợp với điều kiện (*) hệ có hai nghiệm là (x; y) = (1; 1) và (x; y) = (2; 2).
Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ 1 - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
x 1 2x 2 7 7 0 2005(1 x)
nên (1) hiển nhiên sai. Do đó (1) 1 x 1
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: (2) có nghiệm [1; 1]
x
2
– 2x + 3 m(x - 2) có nghiệm x [1; 1]
2
x 2x 3
m (vì x 2 0)
x2
có nghiệm x [1; 1]
Xét hàm f(x) =
2
x 2x 3
x2
, x [1; 1]
2
299
Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm 2 ≤ m
Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ 1
Giải hệ phương trình:
14
4
22
1
log y x log 1
y
x y 25
.
Giải
Điều kiện
y0
y x 0
2
4
4
y= x
y = x
3
3
16
x x 25
x9
9
x 3 x = 3
(nhận) (loại)
y 4 y 4
3x 2
3x 2 2 3
x x 1
xx
x
2 5y 4y
2 5y 4y 5y 4y y
42
y
2 y y 2
22
Giải
Điều kiện:
x1
y1
.
(2) log
4
x = log
4
y
2
x = y
2
. Thay x = y
2
vào (1) ta được : y
2
– 4y + 3 = 0
Copyright: Tài liệu đại học ©