ĐỀ TÀI

Phân tích và sửa chữa các sai lầm của học
sinh THPT khi giải toán

Giáo viên hướng dẫn : Phan Văn Danh
Sinh viên thực hành :
Lôøi caûm ôn





                
bi
 

m





nghi

g: www.tailieu.vn , www.baigiang.violet.vn ,

 7V.
 8VI.
 8VII.


A.
A. 1.  9
A. 2.  10
A. 3. 
A. 4. 
A. 5. i 13
A. 6.  14
A. 7.  14
A. 8.  15
A. 9. 
A. 10. 
A. 11. 
B.
B. 1. 
B. 2. Nguyên nhân 2 21
B. 3.  24
B. 4.  26



A.
A. 1. 
: 

2011


: 

20114
 
!
.
?
.





.
GD

GDPT
.
GV
.
HS
.
KT


I. LÝ DO CH TÀI.

Trong quá trình thực hiện bài tập giữa kỳ cho học phần u
khoa hc, chúng tôi đã suy nghĩ rất nhiều về việc lựa chọn một đề tài thực sự thiết thực,
phù hợp với khả năng của cả nhóm và đặc biệt là hữu ích cho các bạn sinh viên khoa
Toán trường Đại học Sư Phạm Huế. Sau một quá trình thảo luận đầy nghiêm túc, chúng
tôi đã thống nhất theo các quan điểm sau:

- Toán học là một bộ môn khoa học quan trọng, có nhiều ứng dụng thực tế trong
các nghành khoa học kỹ thuật. Cũng giống như các môn thể thao trí tuệ khác, Toán
học giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp
suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn
luyện trí thông minh sáng tạo. Nó còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu
khác như cần cù và nhẫn nại, tự lực gánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác,
ham chuộng định lí. Dù bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và
phương pháp toán học cũng rất cần cho các bạn. Đó chính là lý do chương trình
GDPT hiện nay luôn xem toán học là một trong các môn học chính, không thể thay
thế. Các trường THPT cũng rất xem trọng bộ môn này, đặc biệt là đối với khối 12 -
khối học chuẩn bị bước vào kỳ thi tốt nghiệp có môn toán là cố định. Tuy nhiên,
khảo sát thực tiễn dạy toán ở nước ta trong nhiều năm qua có thể thấy rằng chất
lượng dạy toán ở trường phổ thông còn chưa tốt, thể hiện ở năng lực giải toán của
học sinh còn hạn chế do học sinh còn vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức, phương
pháp toán học.

- Giáo viên dạy toán chính là các huấn luyện viên trong môn thể thao trí tuệ này.
Công việc dạy toán của chúng ta nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy toán học cùng
những phẩm chất của con người lao động mới để các em vững vàng trở thành những
chủ nhân tương lai của đất nước. Do vậy, sinh viên sư phạm chúng ta cần ý thức
được sứ mệnh cao cả này để không ngừng phấn đấu học tập, rèn luyện để đáp ứng

trong và ngoài nước. Nhưng các tài liệu đó vẫn chưa thực sự phổ biến và thiết thực
cho cả HS và SV khoa toán chúng ta.

- Chúng tôi chọn đối tượng là học sinh THPT vì bậc học này có nhiệm vụ hoàn
chỉnh GDPT, chuẩn bị cho HS ra cuộc sống và một bộ phận lên học bậc Trung cấp
chuyên nghiệp, Cao Đẳng, Đại Học. Do vậy, nếu HS bậc học này mắc sai lầm thì sẽ
đi đến những hậu quả khá nghiêm trọng.

Từ việc nhất quán các quan điểm trên, chúng tôi đã đi đến thống nhất lựa chọn đề
tài:

PHÂN TÍCH VÀ SA CHA CÁC SAI
LM CA HC SINH PH THÔNG KHI
GII TOÁN
: 

20117
 II. MU.

sẽ được nâng cao hơn, từ đó chất lượng giáo dục toán học sẽ tốt hơn.

: 

20118


VI. U.

1. Nghiên cu lý lun:
Cơ sở lý luận về tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học môn toán, điều khiển
học, thông tin học để phân tích các nguyên nhân và xây dựng các biện pháp dạy học
nhằm hạn chế, sửa chữa các sai lầm của học sinh THPT khi giải toán.

2. u tra tìm hiu:
Tiến hành tìm hiểu về các sai lầm thông qua các GV toán ở trên địa bàn thành
phố Huế, thông qua bài kiểm tra trực tiếp HS ở các trường THPT.

3. Thc nghim:
Tiến hành điều tra và đánh giá mức độ mắc sai lầm của HS lớp 11A2 trường
THPT Quốc học. Qua đó nhận thức được vai trò của đề tài và đề xuất một số ý kiến
đối với SV khoa toán chúng ta.

VII. CU TRÚC 

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài chúng tôi thực hiện gồm 3
chương:

sự vật.

Với cách hiểu trên, chúng tôi đã nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT
khi giải toán.
Học sinh THPT hiện nay vẫn mắc nhiếu sai lầm khi giải toán và mọi đối tượng
học sinh đều có thể mắc sai lầm khi giải toán. Một số nguyên nhân nổi trội:
- Không hiểu khái niệm, nội dung, tính toán nhầm lẫn.
- Xét thiếu trường hợp, không logic trong suy diễn .
- Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, quên xét điều kiện
- Nhớ sai công thức, tính chất, diễn đạt kém

Từ việc điều tra, nghiên cứu…một số lớp học trên địa bàn thành phố Huế cũng
như thông qua các kỳ thi, chúng tôi đi đến kết quả sau: “ Học sinh còn mắc nhiều
sai lầm khi giải toán, kể cả học sinh khá giỏi ở các lớp chuyên”.

Dưới đây là những sai lầm phổ biến mà học sinh khá giỏi thường mắc phải.Đây
là những sai lầm có tần xuất cao trong các lời giải toán của học sinh.Như đã nói, các
sai lầm này nằm chủ yếu ở bộ môn Đại số - Giải tích của phổ thông trung học.

A. Mt s sai lng gp.

A. 1. Sai lầm khi biến đổi công thức.

- Những sai lầm khi biến đổi công thức thường mắc khi sử dụng các đẳng thức mà
không phải là hằng đẳng thức, đó là các “á đẳng thức”- chưa đúng với điều kiện
: 

2011











2.2
x
= 4
x

2.2
x
= 2
1+xA. 2. Sai lầm khi giải phương trình, bất phương trình.

- Những sai lầm khi giải phương trình thường mắc khi HS vi phạm quy tắc biến
đổi phương trình, bất phương trình tương đương. Đặt thừa hay thiếu các điều kiện đều
dẩn đến những sai lầm, thậm chí sai đến mức không giải được nữa! Một sai lầm còn do
hậu quả của việc biến đổi công thức không đúng ( Xem mục VII. A. 1).
- Các ví dụ:


1
x x x x x
x x x x x
x x x
x
xx
x
x
x
x
x
    
     
    




  












  
   
   
    

m duy nht khi:
2
2
(2 1) 4 0
4 4 3 0
3
2
1
2
m
mm
m
m
    
   













m duy nht khi:
2
2
(2 1) 4 0
4 4 3 0
3
2
1
2
m
mm
m
m
    
   













VD: So sánh




Giải: Áp dụng BDT Cauchy cho 2 số x và


ta có:








Đẳng thức xảy ra khi : x =


hay x
2
=1 hay x=
Sai lm: Học sinh mắc sai lầm vì không để ý điều kiện của các số a, b trong bất đẳng
thức Cauchy:
 



- Đối với biểu thức nhiều ẩn cũng có quy tắc tương tự.

- Các ví dụ:

VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
F(x,y) = (x+y)
2
+ (x+1)
2
+ (y+1)
2

Giải: Với mọi x, yR thì
(x+y)
2

(x+1)
2

(y+1)
2

Vậy F(x,y) hay 


: 

2011

      






1




1




Đẳng thức xảy ra khi:








=>

 


(*) 

     

  


  


 
: 

201114



Sai lm: khi nhân hai vế của (*) với 

   khi chưa biết dấu của biểu
thức này.

A. 6. Sai lầm khi giải hệ phương trình, bất phương trình.

- Sai lầm khi xét các loại hệ phương trình thường xuất phát từ nguyên nhân không
nắm vững các phép biến đổi tương đương hoặc không để ý biện luận đủ các



  

Lời giải trên đã vi phạm tính tương đương vì hiểu rằng:




 A-B =0 Trong khi ta chỉ có:



 A-B =0.
Lời giải đúng là: Hệ tương đương với:



 

  


  

Từ (**) ta có



. Vì cả hai giá trị này đều không thỏa mãn  nên hệ đã cho




 






Gii: Ta có: L= 






+






+… +















mà 








Theo Định lý kẹp thì L=1.

A. 8. Sai lầm khi giải toán liên quan tới đạo hàm:

- Các sai lầm liên quan tới khái niệm đạo hàm thường gặp khi tính đạo hàm và khi
vận dụng đạo hàm để giải toán.
- Các ví dụ:
VD: Cho f(x) = 






 = 1.

: 

201116


A. 9. Sai lầm khi xét bài toán về tiếp xúc và tiếp tuyến
- Các sai lầm khi xét bài toán loại này xuất phát từ việc không nắm vững thuật ngữ hoặc
không hiểu đúng sự tiếp xúc của hai đồ thị là gì?
- Các ví dụ:
VD: Cho hàm số
y = 

- 3x + 1
Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(3;19) tới đồ thị.
Gii:Ta thấy f(3) = 19  A thuộc đồ thị.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần xác định là:
y = f(3) = f’(3)(x - 3)
 y = 24x – 53.
Sai lm:Phương trình tiếp tuyến y = 24x – 53 là tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
tất nhiên là kể từ A. Nhưng vẫn có thể tiếp tuyến đi qua A mà A không phải là tiếp
điểm.

Kết quả đúng là: Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán :
y = 24(x - 3) + 19.




.Do đó không viết 

.
: 

201117


Cần lưu ý thêm đồ thị cũng không có tiệm cận xiên vì tập xác định của hàm số là
(-1; 1).

A. 11. Sai lầm khi giải toán nguyên hàm, tích phân
- Những sai lầm loại này liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái niệm và
vận dụng sai các định lý, quy tắc.

- Các ví dụ:
VD: Tính

  

dx.
Gii:Ta có



Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy toán học.
Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho
bản chất của các đối tượng được phản ánh trong các khái niệm chính là nội hàm của
các khái niệm. Tập hợp các đối tượng có chứa các dấu hiệu trên là chính là ngoại
diện của khái niệm sẽ dẫn học sinh tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản
chất của khái niệm. Từ đó, các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện. Mặt khác nhiều
khái niệm trong toán học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm trước đó. Việc
học sinh không nắm vững khái niệm này sẽ dẫn tới việc không hiểu và không thể có
biểu tượng về khái niệm khác. Mối quan hệ giữa các khái niệm trong toán học có
tính liên kết lôgic. Nhiều khái niệm khó trong toán học mới được đưa vào chương
trình PTTH như: vectơ, biến hình, nguyên hàm, tích phân… Nếu chúng ta không
: 

201118


kịp thời có những cố gắng hoàn thiện mới về phương pháp giảng dạy các khái niệm
thì học sinh thì học sinh sẽ rất khó khăn trong việc lĩnh hội các khái niệm đó.

Nhiều người hay nói tới sự mất gốc của học sinh về kiến thức thì trước hết cần
hiểu rằng đó là sự mất gốc về các khái niệm. Không hiểu sự mở rộng khái niệm góc
hình học sang khái niệm góc lượng giác thì học sinh gặp ngay khó khăn trong việc
nắm vững khái niệm về các hàm lượng giác và từ đó việc biểu diễn góc lượng giác,
việc giải các phương trình, đặc biệt việc giải các bất phương trình lượng giác sẽ
không tránh khỏi các sai lầm. Nhiều học sinh đã viết: sinx < 1 x < π/2 +k2π, hay
khi giải phương trình lượng giác thì các số nguyên khác nhau đều được ký hiệu là k
và dẫn tới sự thu hẹp tập nghiệm. Ngay hai đơn vị đo góc lượng giác là độ và radian

và y
min
.

Học sinh không hiểu các khái niệm về nguyên hàm, dẫn tới việc chứng minh hệ
thức bằng cách chứng minh “ đạo hàm hai vế bằng nhau”. Lẽ ra phải hiểu rằng
nguyên hàm của một hàm số f(x) là một tập hợp các hàm F(x) sao cho F’(x) = f(x)
: 

201119


nên chứng minh hai nguyên hàm bằng nhau theo nguyên tắc chứng minh hai tập
hợp bằng nhau.

HS không nắm vững khái niệm về hệ tọa độ Decart vuông góc, nên chọn đơn vị
trên hai trục ox, oy khác nhau để dễ vẽ đồ thị của một hàm nào đó.

HS không nắm vững khái niệm về parabol nên đã nhầm lẫn khi gọi tên một số
đường có dạng hơi giống parabol, chẳng hạn đường y =x
4
. HS không nắm vững
khái niệm quỹ tích nên nhiều khi mới làm xong phần thuận đã vội vàng kết luận “
quỹ tích các điểm thỏa mãn tính chất của bài toán là đường…

Học sinh có khi còn nhm ln khái nim vnh lý, chẳng hạn vì không nắm
được khái niệm số mũ 0 của lũy thừa nên đã chứng minh 2

: 

201120


Không nắm vững
nội hàm
Không nắm vững
các thuộc tính khái
niệm
Không nắm vững
ngoại diện
Học sinh
Nhận dạng sai
Biến đổi sai
Kí hiệu sai
Chứng minh sai
Vẽ hình sai


B. Trong cấu trúc của định lý A

B thì A là giả thuyết của
định lý và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng được của định lý. Người ta còn nói A
là diều kiện đủ để có B. Nhưng khá nhiều học sinh không nắm vững hoặc coi
thường giả thuyết A nên dẫn tới sai lầm.

Nhiều học sinh nhầm giả thuyết A của định lý cũng là điều kiện cần để có kết
luận B nên mắc sai lầm.

Nhiều học sinh nhầm giả thiết A của định lí là điều kiện cần để có kết luận B nên
mắc sai lầm. Khi học định lí về chiều biến thiên của hàm số “Nếu f’(x) > 0 với mọi
x thuộc (a;b) thì hàm số y= f(x) đòng biến trên (a;b)”, khá nhiều HS nghĩ đây là
điều kiện cần và đủ để hàm số y= f(x) đồng biến trên (a;b). Thực ra đây chỉ là điều
kiện đủ ( hàm số y = x
3
là hàm số đồng biến trên R. Từ đó, HS sử dụng định lý này
để xác định tham số sao cho hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đọc định lí:
“Nếu f’(x
0
) = 0 và f”(x
0
) > 0 ( f”(x
0
) < 0) thì hàm số đạt cực tiểu (cực đại) tại x =
x
0
”, HS cũng mắc sai lầm khi gặp tình huống f’(x
0

chỉ nói được nếu x + 1 và x
2
+ x + 1 nhận giá trị thuộc tập số nguyên Z. Khi học
về bất đẳng thức Cauchy , HS không để ý tới giả thiết chỉ áp dụng bất đẳng thức
: 

201122


cho các số không âm nên khi gặp bài toán so sánh x + 1/x với số 2 đã áp dụng ngay
để có sai lầm x +
1
x
> 2 với x ≠ 1 và x +
1
x
= 2 với x = 1.
Nhiều HS lớp 12 vẫn dùng định lí Newton-Leibnitz để tính tích phân
1
2
2
1
x


mặc
dù hàm số không xác định và liên tục tại x = 0 thuộc [-2;1] để có đáp số sai là -1,5,
: 

201123


A

Có B
suy
ra A
Có A
nhưng
suy ra
không
phải
B
Lời giải sai
Học sinh
Giáo viên
Hình 2: Sai lầm do không nắm vững cấu trúc lôgic của định lí
: 

201124


B. 3. Nguyên nhân 3 : Thiu các kin thc cn thit v lôgic.

Suy luận là một hoạt động trí tuệ đặc biệt của phán đoán – một trong các hình
thức của tư duy. Hoạt dộng suy luận giải toán dựa trên cơ sở của lôgic học. HS
thiếu các kiến thức cần thiết về lôgic sẽ mắc sai lầm trong suy luận và từ đó dẫn đến
các sai lầm khi giải toán.