MỞ ĐẦU
Trong khi học Toán, học sinh có thể mắc nhiều kiểu sai lầm ở nhiều
mức độ khác nhau. Có khi là những sai lầm về mặt tính toán cơ học, nhưng
cũng có khi là những sai lầm về suy luận, sai lầm do hổng kiến thức, hay áp
dụng những mệnh đề hay định lý Toán học vô căn cứ…
Có những sai lầm rất tinh vi, khó phát hiện, ví dụ như đối với học sinh
thì ký hiệu x,y,z… thường là biểu thị một cái cần tìm, cũng vì thế mà khi giải
những phương trình có tham số, ta đem đổi vai trò của ẩn và tham số cho
nhau thì học sinh rất khó chấp nhận. Những phương trình và bất phương trình
có chứa giá trị tuyệt đối, nhiều khi ta phải phân khoảng để khử dấu giá trị
tuyệt đối, rốt cục là tìm cho ra được x. Nhưng bây giờ trong bài toán tích phân
chứa giá trị tuyệt đối, thì cũng là kí hiệu biến x nhưng ta không phải đi tìm x,
chính vì vậy mà giải bài toán ấy theo kiểu xét x <3, x >5…cho riêng lẻ từng
đáp số là sai. Có thể nói những sai lầm kiểu ấy là do các em học sinh không
hiểu bản chất của đối tượng có mặt trong bài toán.
Việc học Toán của học sinh không thể tránh khỏi những sai lầm, do đó
nghiên cứu để tìm ra những phương án giảm thiểu những sai lầm đó là rất cần
thiết. Có nhiều tác giả nổi tiếng có sự nhấn mạnh ý nghĩa của việc làm này,
chẳng hạn A.A.Stolia phát biểu “Không được tiếc thời gian để phân tích trên
giờ học các sai lầm của học sinh”. Còn G.Pôlia thì phát biểu “Con người phải
biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”. Viện sĩ Gơn-he-den-
cô trong lúc nêu ra năm phẩm chất của tư duy Toán học thì đã đề cập đến ba
phẩm chất liên quan đến việc tránh các sai lầm khi giải Toán.
- Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận, thấy sự
thiếu các mắt xích cần thiết của chứng minh.
1
1
- Có thói quen lý giải một cách đầy đủ.
- Sự chính xác của lý luận.
Theo các ý kiến trên đây của các nhà khoa học thì thừa nhận rằng trong
giải Toán, bất cứ người nào cũng từng có lần phạm phải những sai lầm, còn

nhiều để làm rối trí học sinh.
Đặc biệt người thầy giáo phải có một năng lực cảm thụ về mặt Toán
học, có khả năng phỏng đoán và hình dung những điều học sinh sẽ mắc, để có
2
2
sự chủ động xử lý các tình huống ấy. Ví dụ như dạng toán về dấu của tam
thức bậc 2 trên một miền; Tìm điều kiện tham số sao cho f(x) = x
2
+mx+1>0
∀
x>3
- Nếu
∆
<0 thì đúng
∀
m
- Nếu
∆
>0 f(x) có 2 nghiệm x
1
và x
2
f(x)>0
⇔
x thuộc (-∞;x
1
)
∪
(x
2

phục những sai lầm khi giải Toán.
Điều tra thực trạng cho thấy học sinh còn phạm nhiều sai lầm và mọi
đối tượng học sinh (cả một số ít giáo viên) đều có thể mắc sai lầm. Do đó để
nâng cao chất lượng dạy học giải Toán, cần phải dự đoán và có hướng khắc
phục các sai lầm của học sinh trong giải Toán.Trong khi giải toán phương
trình và bất phương trình, học sinh thường gặp phải các sai lầm sau.
1.1. Sai lầm liên quan đến tính toán và sử dụng sai đơn vị đo
Đây thuộc dạng sai lầm “thô thiển” nhất trong các sai lầm thường gặp ở
học sinh. Thông thường các sai lầm này xuất phát từ việc học sinh thông nắm
4
4
vững bược bản chất và ý nghĩa của các yếu tố có mặt trong biểu thức, hay nhớ
sai công thức hay định lý.
Ví dụ1. Khi giải các phương trình lượng giác, học sinh thường nhầm lẫn giữa
hai đơn vị đo là độ và Rađian.
Giải phương trình: sin(x+30
o
)=
2
2
, nhiều học sinh giải như sau:
sin(x+30
o
)=
2
2
=sin
4
π


) =20
⇔
2
x
.5=20
⇔
2
x
=4
⇔
x=2
Tuy nhiên x=2 thử vào phương trình thấy thỏa mãn, nhưng lời giải vẩn sai vì
tưởng 2
2x
=2
2
.2
x
Nhớ rằng 2
2x
=(2
x
)
2
.
Lời giải đúng là: đặt t=2
x
>0 ta có: t+t
2
=20

3
.8
2/3
=125.
3
64
=500, suy ra x=3 là nghiệm của phương trình.
Khi x≠3 thì 5
3
.8
2/3
≠125.
3
64
Kết luận: x=3 là nghiệm duy nhất.
Nếu phân loại mức độ sai lầm qua việc giải bài toán này, ta có thể nhận
ra rằng, đối với học sinh dừng bước lập luận ngay sau khi thấy x=3 là nghiệm
- là học sinh yếu hơn, đối với học sinh có làm thêm một bước suy diễn: x≠3
thì 5
3
.8
2/3
≠125.
3
64
là học sinh khá hơn học sinh thứ nhất trong khi giải bài
toán này.
Kiểu sai thứ hai:
x 1
x

∀
x≠0.
Mặt khác ta thấy f(3)=0. Do đó x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Sai lầm mà học sinh mắc phải trong trường hợp trên là ở chổ: Hàm số
f(x) đồng biến trên (-
∞
;0) và (0;+
∞
) thì phương trình vẩn có thể có nhiều hơn
một nghiệm trên khoảng đó.
Phân tích: Ở lớp 10 học sinh đã được học khái niệm về hàm số đồng
biến trên một khoảng, tuy vậy vẩn có sách xét hàm số đồng biến trên một tập,
dù không nói rõ nhưng về nguyên tắc thì 1 tập số có thể là hợp của nhiều
khoảng. Trong chương trình lớp 12, trong phần mối liên hệ giữa đạo hàm và
chiều biến thiên của hàm số, thì có định lý: Nếu đạo hàm dương trên một
khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nhưng thực ra kiến thức của
6
6
học sinh đại trà không dễ gì có thể nắm vững và sâu sắc để phân biệt được
phạm vi áp dụng của định lý thật xác đáng. Cụ thể hơn là khi học định lý này
thì dường như học sinh chỉ dành sự quan tâm vào chổ: Nếu đạo hàm dương
thì hàm số đồng biến, và thực tình thì SGK cũng không có một chú ý nào về
phạm vi áp dụng của định lý. Vì vậy khi gặp bài toán mà hoàn cảnh cụ thể
không còn là một khoảng thì học sinh vẩn áp dụng định lý một cách bình
thường.
Lời giải trên đây đã phạm sai lầm ở chổ: Đáng lý phải nói hàm số f(x)
đồng biến trên các khoảng (-
∞
;0) và (0;+
∞

)
〈
f(x
4
)
∀
0
〈
x
3
〈
x
4
còn phải thêm yêu cầu nữa là f(
α
)
〈
f(
β
)
∀
α
〈
0
〈
β
Có một sai lầm liên đới ngoài sai lầm áp dụng định lý trên đây, đó là sai
lầm áp dụng mệnh đề: Nếu hàm số đơn điệu trên (a;b), x
1
,x




=
−=
3
5
2
x
Ln
Ln
x
Cần nói thêm rằng, đối với các phương trình siêu việt, đặc biệt là khi
thực hiện trên các logarit, học sinh thường có tâm lý nặng nề khi nhìn những
hằng số lại không phải là hằng số.
7
7
Khái quát sai lầm ở ví dụ này đi đến nhận xét rằng: Giả thiết của một
định lý có thể gồm nhiều ý, và phạm vi áp dụng của nó là chỉ khi nào hội đủ
tất cả các ý trên. Thế nhưng nhiều khi các em học sinh lĩnh hội nội dung còn
qua quýt, giành sự chú tâm vào một số ý nào đó dẫn tới sự mơ hồ các ý còn
lại. Bên cạng đó, về cách giảng dạy thì giáo viên ít khi làm sáng tỏ những chi
tiết này thông qua các phản ví dụ.
Ví dụ 2. Giải phương trình
3x
3
-6x
2
-9x=9(x
2

3
1
x
x

Ví dụ 3. Giải phương trình
123
3
++−+
−
xx
x
=
2
+Lời giải sai: Điều kiện:



≥+
≥−+−
01
023
3
x
xx
⇔



−≥

8
8



≥+
≥−+−
01
023
3
x
xx
⇔



−≥
≤+−
1
0)2()1(
2
x
xx
⇔





≥

là các hàm số đồng biến trên R, suy
ra f(x)=x.e
x
là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biển trên R.
Ta có f(-1)=
e
1−
. Do đó bất phương trình tương đương f(x) > f(-1)
⇔
x>-1.
Sai lầm khi nghĩ rằng tích của hai hàm số đồng biến là hàm số đồng
biến, nếu các hàm số đồng biến chỉ nhận các giá trị dương thì mới kết luận
được.
+Lời giải đúng: Xét hàm f(x) = x.e
x
với x
∈
R. Ta có f
’
(x)=e
x
(x+1) nên ta có:
x -
∞
-1 +
∞
f
’
(x) - 0 +
f(x)


≤∆
>
0
0
'
a
⇔



≥+−
−>
0)2)(1(2
1
mm
m

⇔
m
≥
1
Ta có kết quả m
≥
1.
* Cần thường xuyên nhắc các em học sinh khi giải dạng toán này rằng
f(x)=ax
2
+bx+c
≥

x.
• Trường hợp 1:



≥
==
0
0
c
ba

⇔





≥
−=
=
1
1
1
m
m
m
không có giá trị m thoã mãn.
• Trường hợp 2:


t = 2cosx là tìm tất cả các số thực t làm cho đề cost = a là đúng, ẩn t
không phải là góc, là cung lượng giác, do đó không có số đo và đơn vị đo
bằng độ.
10
10
Hướng giải đúng: Giải phương trình
3
cost
2
=
=⇔ t
π
π
2
6
k+±
(1)
Xét phương trình: 2cosx = t (2) với tham số t lấy giá trị trong tập hợp
xác định bởi (1), có (2) ⇔
t
cosx
2
=
.
Phương trình này có nghiệm ⇔
t
1 k 1
2
π
≤ ⇔ π + ≤

2
(cos2x cos4x)
4 cos 3x 4

−


+ =


(cos2x cos4x) 2 (1)
cos3x 0 (2)
− =


=

Giải (1)
11
11
(1) ⇔
cos2x 1 cos2x 1 (b)
hay
cos4x 1 cos4x 1
= = −
 
 
= − =
 
Giải (a)



⇔
 
= π π


=

 2
⇔
x k
π
= + π
2
(k ∈Z)
Xét (2):
3
3x 3k
π
= + π
2
⇒ cos3x = 0 (thoả mãn)
Vậy
x k
π
= + π
2
(k ∈ Z) là nghiệm phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình tan7x=tan5x

α
+k
π
thoã mãn điều
kiện cosx
≠
0.
Ví dụ 4: Giải phương trình:
sinx +
3
cosx =
x2sin3x2cos2 ++
(1)
Ta gặp nhiều học sinh lập luận như sau:
12
12
Tập xác định của (1) là: 2 + cosx +
3
sin2x
≥
0

⇔
2+2(
0)x2sin
2
3
x2cos
2
1

π
−+=






π
− )
3
x2cos(12)
6
x(cos(2
2
<=> 2
=






π
−+ )
3
x2cos(1
2



3
2
2k
3
Rx
0)
6
xcos(2
x2sin3x2cos2)xcos3x(sin
0xcos3xsin
2
∈π+
π
≤≤π+
π
−⇔





∈∀
π+
π
≤π+
π
−
⇔



sin
1
(tan3
2
2
=−+++⇔
xxm
x
x02)cot(tan)cot(tan3
01)cot(tan)cot1(tan3
22
22
=++++⇔
=−++++⇔
xxmxx
xxmxx
Đặt tanx + cotx = t

2cottan
222
−=+⇒
txx
Khi đó ta có: 3 (t
2
-2) + mt + 2 = 0

⇔

nên phương trình (5’) không thể đồng thời có
hai nghiệm t
1
, t
2
thoả mãn
2t
1
≥
và
2t
2
≥
.
Do đó (5) có nghiệm <=> (5’) có một nghiệm trong đoạn
[ ]
2;2−
và một
nghiệm ngoài khoảng (-2; 2).
<=>
0)2(f)2(f ≤−
<=>
0)m28)(m28( ≤+−
<=>
.4m ≥
Học sinh có thể tìm điều kiện để phương trình (5
,
) có nghiệm thoả mãn
2t ≥
theo cách khác.

2
+x
x
-4m =0
Những bài toán dạng này thường thấy học sinh gặp phải những sai lầm và khó
khăn như sau:
-Vì thấy một quy luật nào đó giữa các hạng tử, cho nên học sinh nhanh
chóng đặt một ẩn phụ, và cũng vì sự nhanh chóng ấy cho nên nhiều khi không
có ý thức đặt một điều kiện tương xứng cho ẩn phụ. Ta luôn phải làm cho học
sinh nhớ rằng nếu ta đặt ẩn phụ và chuyển đổi yêu cầu của bài toán thì cẩn
thận với việc phát biểu không đủ ý với ẩn vừa đặt.
- Dù rằng các em đã có ý thức đặt điều kiện cho ẩn phụ nhưng xác định
không rõ về mức độ của điều kiện ấy, tức là nhiều khi mới rút ra được một
điều kiện nào đó của ẩn phụ thì đã vội vàng khép lại việc làm này. Cần cho
học sinh thấy rằngvới những bài toán biện luận về sự có nghiệm của phương
trình chứa tham số thì hầu như ta không có điều kiện để tìm ra nghiệm cụ thể,
mà thay vào đó là tìm một điều kiện sát thực cho ẩn t, nghĩa là t phải như thế
nào thì ắt sẽ có x tương ứng. Bản chất của vấn đề đó là: Hàm f: X
→
R
x

t=f(x)
thì t phải thuộc miền giá trị của hàm f.
- Đặt t=
1
2
2
+x
x

phương pháp miền giá trị.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình (x-3)(x+1)+4(x-3)
3
1
−
+
x
x
=m (1) có
nghiệm.
Giải: điều kiện x
≤
-1, x>3
Đặt t=(x-3)
3
1
−
+
x
x
, phương trình trở thành t
2
+4t-m=0 (2)
Đặt ẩn phụ kiểu này sẽ thuận tiện hơn trong khâu biến đổivế trái so với
cách đặt ẩn phụ khác bởi vì không cần xét riêng rẽ các trường hợp x
≤
-1, x>3.
Tuy nhiên vì nhanh chóng rút ra được phương trình bậc 2 đối với ẩn t nên học
sinh có thể quên mất điều kiên cần phải có của t. Sau khi tìm điều kiện một
cách cẩn thận thì thấy rằng bất kỳ t nào trên R cũng có những x tương ứng, dĩ






+−=
≤−≤



+−=
>>
)3)(1(
0,2
)1)(3(
0,3
2
2
xxt
tx
xxt
tx
Dể thấy rằng phương trình x
2
-2x-3-t=0 trong trường hợp t >0 luôn có ít nhất 1
nghiệm lớn hơn 3.
Nhiều tình huống chuyển đổi bài toán thông qua một số phép biến đổi,
vì vậy có thể mắc sai lầm trong chuyển đổi, đặc biệt là các phép biến đổi hệ
quả và tương đương.
Ví dụ 3: Phương trình có dạng

)(xg
)=h(x)
⇔
f(x)+g(x)+3
3
)().( xgxf
.
3
)(xh
= h(x)
⇔
27f(x).g(x).h(x)=(h(x)-f(x)-g(x))
3
Và đã đưa phương trình về không chứa dấu căn.
Thông thường, giáo viên căn dặn học sinh cẩn thận khi luỷ thừa lên bậc
chẳn, và nói chung khi luỹ thừa bậc lẻ thì không gặp vấn đề gì, bởi vậy đã có
thể nhập tâm với sự căn dặn ấy cho nên trong tình huống này việc dùng các
phép tương đương là không có khúc mắc gì. Tuy nhiên cần làm cho học sinh
thấy đối với phương trình dạng
A+B=C
⇔
A
3
+B
3
+3AB(A+B)=C
3

⇔
A

+B
3
+(-C)
3
-3AB(-C)=0

⇔
[A+B+(-C)](A
2
+B
2
+(-C)
2
-AB-AC-BC)=0
18
18
Nếu ta muốn khẳng định A+B=C thì ta phải khẳng định
A
2
+B
2
+(-C)
2
-AB-A(-C)-B(-C)
≠
0
Nói cách khác, ta phải chắc chắn được không xẩy ra đồng thời A=-C và
B=-C, thì khi ấy mới chắc chắn có sự tương đương như đã biến đổi.
Cách giải thích này sẽ giải quyết tận gốc bản chất của vấn đề, còn nếu
không sử dụng cách này thì ta có thể chỉ ra các phản ví dụ cụ thể theo tinh

∆
≤
0 thì đạo hàm không đổi dấu cho nên hàm số giữ nguyên
một chiều biến thiên, vì vậy nó không thể có cực trị; nếu
∆
>0 thì đạo hàm sẽ
có 2 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó, nghĩa là hàm số
đạt cực đại tại các điểm đó.
19
19
b, Ta có y
,
=
2
322
)(
12
mx
mxmmx
−
++−
=1+
2
)(
1
mx −
Ta chuyển đổi về bài toán: CMR nếu m<0 thì tồn tại x
1
,x
2

1
mx −
không bị hạn chế bởi điều kiên nào khác ngoài điều
kiện phải dương. Do đó ta có bài toán tương đương: CMR
∀
m<0 thì tồn tại
X
1
và X
2
dương sao cho:
(m+X
1
)(m+X
2
)=-1
⇔
(m+X
1
)=
2
1
XM +
−

⇔
X
1
=
2

2

⇔





−−
>
−>
m
m
X
mX
2
2
2
1
Ví dụ 5: Cho phương trình (x—3)(x+1)+4(x-3)
3
1
−
−
x
x
=m (1)
a, Giải phương trình khi m=-3
b, Tìm m để phương trình có nghiệm.
Giải:

20
Khi đó phương trình có dạng t
2
+4t-m=0 (2)
Với m=-3, phương trình (2) trở thành t
2
+4t+3=0
⇔
t=-3, t=-1
*Với t=-3, ta được (x-3)
3
1
−
−
x
x
=-3
⇔
x=1-
13
*Với t=-1, ta được (x-3)
3
1
−
−
x
x
=-1
⇔
x=1-

=+−
>−
o
txx
x
2
)1)(3(
03
⇔





+=
>
+
−
2
0
41
3
tx
x
⇔
x=1+
2
0
4 t+
• Với t

x
⇔
x=1-
2
0
4 t+
Vậy với m
≥
-4 thì phương trình (1) có nghiệm.
Trong bài toán trên, học sinh dể mắc sai lầm từ phép biến đổi
(x-3)
3
1
−
−
x
x
=
)1)(3( +− xx
, đó dĩ nhiên không phải là phép biến
đổi tương đương, bởi vì (x-3)
3
1
−
−
x
x
=



thì sự vất vả của thầy và trò càng tăng thêm bấy nhiêu.
- Phương châm thứ hai: Tính chính xác
Đòi hỏi giáo viên phải đảm bảo độ chính xác từ ngôn ngữ thông thường
đến ngôn ngữ Toán học, đòi hỏi phải chỉ ra chính xác nguyên nhân dẩn tới sai
lầm của học sinh trong lời giải. Giáo viên không được phủ nhận lời giải sai
một cách chung chung, đòi hỏi sự đánh giá mức độ sai lầm của học sinh. Tính
22
22
chính xác đòi hỏi giáo viên đánh giá lời giải của họ sinh qua sổ điểm một
cách công bằng, phải biết hướng dẫn điều chỉnh sửa chữa sai lầm bằng các
biện pháp tối ưu.
- Phương châm thứ ba: Tính giáo dục
Tính giáo dục giúp học sinh thấy được tầm quan trọng trong sự chính
xác của lời giải, giúp học sinh tránh được các sai lầm khi sai lầm chưa xuất
hiện. Tính giáo dục còn giúp cho có ý chí trong học Toán và giải Toán. Các
em có sự kiên trì và cẩn thận để đi tới lời giải đúng, tạo ra thói quen kiểm tra
lời giải và biết cách phủ định các sai lầm trong lập luận. Tính giáo dục còn
giúp học sinh không dấu dốt, dám hỏi khi chưa hiểu và không bao giờ tự thoả
mãn với kết quả đã đạt được.
2.2. Các biện pháp sư phạm chủ yếu:
2.2.1. Nắm vững các kiến thức về môn Toán
R.AAxnop nói: "Việc tiếp thu tri thức cách có ý thức được kích thích
bởi việc học sinh tự phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai
lầm mà mình phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và lý luận
về bản chất của các sai lầm". Một trong những nguyên nhân chủ yếu của các
sai lầm là do trình độ còn yếu. Trong đó có thể là học sinh không nắm vững
kiến thức cơ bản về môn Toán. Khi truyền thụ giáo viên cần lưu ý:
Nắm vững nội dung môn Toán phổ thông trung học: Đặc biệt là các tình
huống điển hình trong môn Toán ( Dạy học khái niệm môn Toán, định lý Toán
học, quy tắc, phương pháp và đặc biệt là dạy học giải bài tập Toán học ). Khi

24
24
đó trở thành mệnh đề đúng" sẽ giúp cho học sinh dễ tránh được những sai
lầm.
Chẳng hạn: Phương trình sin x = a có tập xác định R được hiểu là hàm
mệnh đề "Số trị của hàm f(x) = sin x bằng a". Giải phương trình sin x = a là
tìm tất cả các số thực x làm cho mệnh đề sin x = a là đúng.
Ví dụ: Phương trình sin x( 3x + 1 )= sin ( x - 2 ) nhất thiết phải hiểu
theo nghĩa hàm mệnh đề. Có như vậy mới tránh được các sai lầm đáng tiếc
trong ví dụ trên.
- Dựa vào tiền đề sai, hoặc tiền đề chưa được chứng minh.
- Không nắm vững cấu trúc của định lý, không xét toàn diện giả thiết
của định lý, suy luận sai dẫn đến nhầm lẫn giữa giả thiết và kết luận.
2.2.3. Nắm vững những nội dung về năng lực giải Toán
Khi giải các bài toán về phừơng trình và bất phương trình, giáo viên
cần cho học sinh nắm vững bản chất, các thành phần và đặc trưng, cơ chế
lôgic và các điều kiện hình thành năng lực giải toán; Khai thác được tiềm
năng sáng tạo qua con đường phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh
trong dạy học giải Toán, cung cấp thêm tri thức cho học sinh, giúp phòng
tránh và xử lý các sai lầm trong giải Toán, giúp học sinh nắm vững các kiến
thức cơ bản và toàn diện về giải Toán
2.2.4. Nắm vững một số phương pháp giải Toán cơ bản
Việc xác định hướng giải một bài tập có liên quan mật thiết với việc lựa
chọn phương pháp và công cụ thích hợp để giải một bài tập. Theo Nguyễn Thái
Hoè trong [4] " Một bài tập chỉ có thể có lời giải tốt khi chọn được phương
pháp và công cụ thích hợp với hướng giải đã có ". Không tìm được phương
pháp giải phù hợp với bài tập có thể đưa đến các sai lầm: Đặt điều kiện sai,
biện luận không hết các trường hợp, không theo trình tự lôgic, không có cách
25
25