1
500 bài toán trong câu 1b của đề thi ĐH môn Toán có hướng dẫn.doc

PHẦN 2: TIẾP TUYẾN

A. Kiến thức cơ bản
• Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số
y f x
( )
=
tại điểm
x
0
là hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm
(
)
M x f x
0 0 0
; ( )
. Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C)
tại điểm
(
)
M x f x
0 0 0
; ( )
là:
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –

f x g x
f x g x
( ) ( )
'( ) '( )
(*) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai
đường đó.
B. Một số dạng thường gặp và cách giải:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
tại điểm
M x y C
0 0
( ; ) ( )
∈
:

•
Nếu cho
x
0
thì tìm
y f x
0 0

Phương trình tiếp tuyến
∆
là:
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)
′
=
.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆
∆∆
∆
có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

•
Gọi
M x y
0 0
( ; )

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

•
Phương trình đường thẳng
∆
có dạng:
= +
y kx m
.

•

∆
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

= +

=

f x kx m
f x k
( )
'( )
(*)

•
Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của
∆
.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến

1

+.
∆
tạo với đường thẳng
= +
d y ax b
:
một góc
α
thì
−
=
+
k a
ka
tan
1
α

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆

– ( ).( –
)•

∆
đi qua
A A
A x y
( ; )
nên:
′
=
A A
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)
(2)

•
Giải phương trình (2), tìm được
x
0
. Từ đó viết phương trình của
∆
.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.



•
Giải hệ trên, tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến
∆
.
2

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆
∆∆
∆
tạo với trục Ox một góc
α
αα
α
.

•
Gọi
M x y
0 0
( ; )

′
=
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)

Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
y f x
( )
=
, biết
∆
∆∆
∆
tạo với đường thẳng d:
y ax b
= +

một góc
α
αα
α
.

•

0
.

•
Phương trình tiếp tuyến
∆
tại M:
′
=
y y f x x x
0 0 0
– ( ).( –
)

Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến
∆
∆∆
∆
của (C):
=
y f x
( )
, biết
∆
∆∆
∆
cắt hai trục toạ độ tại A và B sao
cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.

•

= ⇔ =
OAB
S S OA OB S
. 2
∆
. (b)

•
Giải (a) hoặc (b) tìm được
x
0
. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến
∆
.
Dạng 7: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị
= =
C y f x C y g x
1 2
( ) : ( ), ( ): ( )
.
a) Gọi
∆
:
= +
y ax b
là tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
).

f u a
g v av b
g v a
( ) (1)
'( ) (2)
( ) (3)
'( ) (4)

• Từ (2) và (4) ⇒
′ ′
= =
⇒
f u g v u h v
( ) ( ) ( )
(5)
• Thế a từ (2) vào (1)
⇒

=
b k u
( )
(6)
• Thế (2), (5), (6) vào (3)
⇒
v
⇒
a
⇒
u
⇒

f x
0
( )
.
• Vì ∆ // d nên
′
=
d
f x k
0
( ) (1) hoặc ∆ ⊥ d nên
′
= −
d
f x
k
0
1
( )
(2)

•
Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được
x
0
. Từ đó tìm được
M x y
0 0
( ; )
∈

tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

= − +

=

M M
f x k x x y
f x k
( ) ( ) (1)
'( ) (2)•
Thế k từ (2) vào (1) ta được:
′
= +
M M M
f x x f x y
x( ) )( – . ( )
(3)

•
Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Dạng 10: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C):
=
y f x
( )
và 2

f x k
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
Th k t (2) vo (1) ta c:

= +
M M M
f x x f x y
x( ) )( . ( )
(3)


Qua M v c 2 tip tuyn vi (C)

(3) cú 2 nghim phõn bit
x x
1 2
,
.


Hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau
=
f x f x

1.
(ĐH Thái Nguyên 2001) Cho đồ thị (C):
24
2xxy
+=
.Viết phơng trình tiếp tuyến tại
(
)
0;2A
.
2.
(ĐH Ngoại Ngữ 1999) Cho đồ thị (C):
4
9
2
4
1
24
= xxy
.Viết ph
ng trỡnh ti

p tuy

n
tại các giao
điểm của (C) với Ox.
3.
Vi


ng th

ng
d: y = 3x -1.Dng 2: Vit phng trỡnh tip tuyn



ca (C):
y f x
( )
=
, bit



cú h s gúc k cho trc, hoc tip
tuyn song song hoc tip tuyn vuụng gúc vi ng thng cho trc.
4.
Cho đồ thị (C):
2x 1
y
x 1

=
+
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C),
bi

a. Tiếp tuyến song song với đờng thẳng
1
2
1
+= xy

b. Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
4
y x
=
.

7.
Vi

t ph

ng tỡnh ti

p tuy

n v

i

th

(C) c

a hm s

,
L

p
tiếp tuyến c
a
(C) có hệ số góc l
n
nhất.
9.
Cho hm s


2x 1
y
x 1

=
+
(1). Tỡm

i

m M thu

c

th

(C)

s

gúc b

ng - 9.
HD
: +) Ta cú I(- 1; 2). G

i
M I
0 IM
2
0 M I 0
y y
3 3
M (C) M(x ;2 ) k
x 1 x x (x 1)






= =
+ +

+) H

s


= 0; x
0
= -2. Suy ra cú 2

i

m M th

a món: M(0; - 3), M(- 2; 5)

4
10.
Cho hàm s
ố

( )
x 1
y C
x 1
+
=
−
. Xác
đị
nh m
để

đườ
ng th
ẳ

i A và B song song v
ớ
i nhau.

HD
: Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
d : y 2x m
= +
và
(
)
C
là:
x 1
2x m
x 1
+
= +

⇒
ph
ươ
ng trình (1) luôn luôn có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác 1. V
ậ
y
(
)
d
luôn luôn c
ắ
t
(
)
C

t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi

ng trình (1). Theo
đị
nh lí Vi-et, ta có:
( )
1 2
1
x x 3 m
2
+ = − . Ti
ế
p tuy
ế
n
(
)
(
)
1 2
,
∆ ∆
t
ạ
i A, B có h
ệ
s
ố
góc l
ầ
n l
ượ

= =
−

(
)
(
)
1 2 1 2
/ / k k
∆ ∆ ⇔ =
( ) ( )
2 2
1 2
2 2
x 1 x 1
− −
⇔ =
− −
( ) ( )
2 2
1 2
x 1 x 1
⇔ − = −1 2
1 2
x 1 x 1
x 1 x 1
− = −

ị
c
ầ
n tìm là:
m 1
= −
.

11.
Cho hàm s
ố

4 2
y f(x) x 2x
= = −

1. Kh
ả
o sát và v
ẽ

đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
.
2. Trên (C) l

n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau.

HD
: Ta có
3
'( ) 4 4
f x x x
= −
. G
ọ
i a, b l
ầ
n l
ượ
t là hoành
độ
c
ủ
a A và B.
H
ệ
s
ố
góc ti

)
(
)
(
)
(
)
y f ' a x a f a f ' a x f (a) af' a
= − + = + −(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
y f ' b x b f b f ' b x f(b) bf' b
= − + = + −

Hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ

i ph
ươ
ng trình:

2 2
a ab b 1 0 (2)
+ + − =

M
ặ
t khác hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B trùng nhau

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
4 2 4 2
a ab b 1 0
a ab b 1 0
a b
f a af ' a f b bf ' b
3a 2a 3b 2b

ng
v
ớ
i cùng m
ộ
t c
ặ
p
đ
i
ể
m trên
đồ
th
ị
là
(
)
1; 1
− −
và
(
)
1; 1
−
.V
ậ
y
đ
i


≠


12.
Cho hàm s
ố

4 2
y x mx m 1
= + − −
, (C
m
). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng khi m thay
đổ
i thì (C
m
) luôn luôn
đ
i qua
hai
đ
i
ể
m c
ố


p tuy

n t

i A v B vuụng gúc v

i nhau
y (1).y ( 1) 1

=

2
(4 2m) 1
+ =3 5

2 2
m m
= =
.
13.
Cho hm s


3 2
y x 3x 1
= +


n AB =
4 2
.
HD
:

Gi

s


3 2 3 2
A(a;a 3a 1), B(b;b 3b 1)
+ +
(a b)
Vỡ ti

p tuy

n c

a (C) t

i A v B song song suy ra
y (a) y (b)

=

(a b)(a b 2) 0


=

=


A(3; 1) v B(1; 3)
14.
Cho hàm số: y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1. Xác định m để đồ thị (C
m
) cắt đờng y = 1 tại 3 điểm phân biệt
C(0; 1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.
15.
Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số: y =
3 2
1 1
3 2 3
m
x x
+
(*) Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng -1.
Tìm m để tiếp tuyến của (C

vuông góc với nhau
18.
(ĐH Ngoại Ngữ HN 2001) Cho (C)
3
2
3
1
)(
3
+==
xxxfy
. Tìm các điểm trên (C) mà tiếp
tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng
3
2
3
1
+=
xy

19.
Cho (C)
73)(
3
+==
xxxfy
,
a. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y= 6x - 1
b. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
2

4
1
234
++=
xxxxy
song song với đờng
thẳng y= 2x - 1.
23.
Viết phơng trình tiếp tuyến của (C):
142
24
+=
xxxy
vuông góc với đờng thẳng
3
4
1
+=
xy

24.
Cho đồ thị (C
m
):
1
24
+=
mmxxy
. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với
đờng thẳng y=2.x với A là điểm cố định có hoành độ dơng của (C

3
3
56

+
=
x
x
y
. CMR trên đồ thị (C) tồn tại vô số các cặp điểm sao cho tiếp
tuyến tại các cặp điểm này song song với nhau đồng thời tập hợp các đờng thẳng nối các
cặp tiếp điểm đồng qui tại một điểm cố định.
28.
Cho hm s


y f x mx m x m x
3 2
1
( ) ( 1) (4 3 ) 1
3
= = + + +
cú

th

l (C
m
).
Tỡm cỏc giỏ tr

i

ú vuụng gúc v

i

ng th

ng (d):
x y
2 3 0
+ =
.
HD:
(d) cú h

s

gúc
1
2



ti

p tuy

n cú h



m õm.
+ N

u
m
0
=
thỡ (1)
x x
2 2 1
= =
(lo

i)
+ N

u
m
0

thỡ d

th

y ph

ng trỡnh (1) cú 2 nghi

m l

0
3
< >
.
29.
Cho hm s


y mx m x m x
3 2
1
( 1) (4 3) 1
3
= + + +
(C
m
). Tỡm cỏc giỏ tr


m
sao cho trờn (C
m
) t

n
t

i

ỳng hai

2( 1) 4 3

= + +
;
d y x
1 3
:
2 2
= +
.
YCBT

ph

ng trỡnh
y
2

=
cú

ỳng 2 nghi

m d

ng phõn bi

t



>

>





m
m
1
0
2
1 2
2 3

< <



< <


. V

y
m
1 1 2
0; ;
2 2 3

n c

a (C). Tỡm

i

m M thu

c (C) sao cho ti

p
tuy

n c

a (C) t

i M vuụng gúc v

i

ng th

ng MI.
HD:
Giao

i

m c

a
a
2
1 2 1
( )
1
( 1)

= +


PT

ng th

ng MI:
y x
a
2
1
( 1) 2
( 1)
= +


Ti

p tuy

n t

m c

n tỡm M
1
(0; 1), M
2
(2; 3)

Dng 3 : Vit phng trỡnh tip tuyn



ca (C):
y f x
( )
=
, bit



i qua im
A A
A x y
( ; )
.
31.
Cho hm s


( )

i

m
7
(
)
A 6;5 .
−
ĐS
: 2 ti
ế
p tuy
ế
n là :
( ) ( )
1 2
x 7
d : y x 1; d : y
4 2
= − − = − +32.
(§H NT TPHCM 1999). Cho hµm sè (C):
2
2
−
+
=
x

3 2
1
y x 2x 3x.
3
= − + bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n này
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
O.

HD
: Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
t

0
0
x
=
thì
: 3
y x
∆ =
. Khi:
0
3
x
=
thì
: 0
y
∆ =
.

35.
(B2008) Cho hàm s
ố
y = 4x
3
– 6x
2
+ 1 (1).
Viêt pttt c
ủ
a

;0(
A tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè :
2
3
3
2
1
24
+−=
xxy
37.
Cho hµm sè: y = 2x
4
- 4x
2
+ 1 (C). ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua A(1 ;-1).

38.
(§H C«ng §oµn 2001 ) T×m ®iÓm M thuéc (C)
11232
23
−−+=
xxxy
sao cho tiÕp tuyÕn cña (C )
t¹i ®iÓm M ®i qua gèc to¹ ®é.
39.
(§H Y Th¸i B×nh 2001) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(3;0) ®Õn
xxy
9
3

2
3
3
2
1
)(
24
+−==
xxxfy ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm






2
3
;0A
®Õn
®å thÞ (C).
44.
Cho ®å thÞ (C):
5312)( −−−==
xxxfy
. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm






=
. Vݪt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua 0(0;0) ®Õn (C)
48.
(§H Ngo¹i Ng÷ 1998) Cã bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®i qua






3
4
;
9
4
A

®Õn ®å thÞ (C)
432
3
1
23
++−=
xxxy .
49.
Cho hµm sè: y = x
3
+ 3mx
2
+ (m + 1)x + 1.




to vi trc Ox mt gúc



.

52.
Cho (C)
42
3
1
23
+= xxxy
,
a. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 60
0

b. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 15
0

c. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 75
0Dng 5: Vit phng trỡnh tip tuyn



y
. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) khi biết :
a. Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= - 2x góc 45
0

b. Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= - x góc 60
054.
Cho (C)
3 2
y f (x) 2x 3x 12x 5
= =
. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với
5
2
1
+= xy
góc 45
0

55.
Cho (C):
3 2
1
y x 2x x 4
3
= +
. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng

m
)
tại điểm có hoành độ x = -1 tạo với đờng thẳng (d): y = x + 1 một góc 45
0
.

58.
Cho hm s


y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + + + +
(1) (
m
l tham s

).
Tỡm tham s


m




th

c

.
HD:
G

i k l h

s

gúc c

a ti

p tuy

n

ti

p tuy

n cú VTPT
n k
1
( ; 1)
=



ng th



YCBT tho

món

ớt nh

t m

t trong hai ph

ng trỡnh sau cú nghi

m:

y
y
3
2
2
3


=




=


0











m m
m m
2
2
8 2 1 0
4 3 0









m m
m m
1 1

i t

ng t

:
9
a) V
ớ
i
y x mx d x y
3
1
3 2; : 7 0; cos
26
α
= − + + + = =
.
Đ
S:
m
2
9
≥ −
.

Dạng 6: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, tiếp tuyến với
đồ thị (C):
=
y f x
( )

đ
úng
2 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi
ệ
t v
ớ
i
đồ
th
ị
(C).
HD:
G
ọ
i
M m m d
( ; )
− ∈
. PT
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
qua M có d
ạ



(*)
Thay (2) vào (1) ta
đượ
c:
x mx m
3 2
2 3 4 0
− + =

⇔

x
m
x
3
2
2
3 4
=
−
(**)
T
ừ
M k
ẻ

đượ
c

đị
nh
D R
2 3 2 3
\ ;
3 3
 
 
= −
 x x
f x
x
4 2
2 2
6 24
( )
(3 4)
−
′
=
−
;
x
f x
x
0
( ) 0

M
( 2;2)
−
ho
ặ
c
M
(2; 2)
−
.
60.
Cho hàm s
ố

= − +
y x x
3
3 2
. Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng
d y
: 4
=
các
đ
i
ể

∆
qua M có d
ạ
ng:
y k x m
( ) 4
= − +

∆
là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
⇔
h
ệ
PT sau có nghi
ệ
m:
x x k x m
x k
3
2
3 2 ( ) 4 (1)
3 3 (2)



YCBT
⇔
(3) có
đ
úng 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
+ TH1: (4) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, trong
đ
ó có 1 nghi
ệ
m b
ằ
ng –1
⇔

m
1
= −

+ TH2: (4) có nghi
ệ
m kép khác –1
⇔

61.
Cho hàm s
ố

y x x m x m
3 2
2 ( 1) 2
= − + − +
(C
m
).
Tìm
m

để
t
ừ

đ
i
ể
m
M
(1;2)
k
ẻ

đượ
c
đ

a (Cm)
⇔
h
ệ
PT sau có
nghi
ệ
m:
x x m x m k x
x x m k
3 2
2
2 ( 1) 2 ( 1) 2
3 4 1


− + − + = − +

− + − =



⇒

f x x x x m
3 2
( ) 2 5 4 3( 1) 0
= − + − − =
(*)
Để

Các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a (Cm) là:
A m B m
2 109
(1;4 3 ), ; 3
3 27
 
− −
 
 
.
10
Do
đ
ó (*) có
đ
úng 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t

3 2
3 2
= − + −
(C).
Tìm trên
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
):
y
= 2 các
đ
i
ể
m mà t
ừ

đ
ó k
ẻ

đượ
c 3 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi
ệ

( ) 2
= − +

∆
là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
⇔
h
ệ
PT sau có nghi
ệ
m
x x k x m
x x k
3 2
2
3 2 ( ) 2 (1)
3 6 (2)


− + − = − +

− + =



c 3 ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
(C)
⇔
h
ệ
(*) có 3 nghi
ệ
m x phân bi
ệ
t

⇔
(3) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác 2
m m
f
m
5

ớ
i
m m
m
5
1
3
2


< − ∨ >


≠

có th
ể
k
ẻ

đượ
c 3 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C).
Câu h
ỏ

Cho hàm s
ố

( ) ( )
y x x
2 2
1 . 1
= + −
. Cho
đ
i
ể
m
A a
( ;0)
. Tìm
a

để
t
ừ
A k
ẻ

đượ
c 3 ti
ế
p tuy
ế
n phân bi

( )
= −

d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
⇔
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
x x k x a
I
x x k
4 2
3
2 1 ( )
( )
4 4

− + = −




− =

= − + =



+ T
ừ
h
ệ
(A), ch
ỉ
cho ta m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n duy nh
ấ
t là
d y
1
: 0
=
.
+ V
ậ
y

có
2
nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
x k
( ; )
v
ớ
i
x
1
≠ ±
, t
ứ
c
là
ph
ươ
ng trình (1) ph
ả
i có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t khác
1
±

y
x
1
1
+
=
−
(C). Tìm trên O
y
t
ấ
t c
ả
các
đ
i
ể
m t
ừ

đ
ó k
ẻ

đượ
c duy nh
ấ
t m
ộ
t ti

(d)
(d) là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C)
o
o o o
x
kx y
y x y x y
x
x k
k
x
x
2
2
2
1
( 1) 2( 1) 1 0 (1)
1
2
2
1;
( 1)
( 1)



o
o
o
o o o
o
y
y
x y k
x
y y y
x y k
2
1 1
1
; 1 8
1
2
' ( 1) ( 1)( 1) 0
0; 1 2
2
∆
 
=

≠
 
= = ⇒ = −

⇔ ∨ ⇔

+
=

(C). Tỡm trờn

ng th

ng
d y x
: 2 1
= +
cỏc

i

m t



ú k



c duy nh

t m

t
ti



m c

a

v (C):
x
k x m m
x
3
( ) 2 1
1
+
+ + =




[
]
[
]
kx m k m x mk m
2
( 1) 2 (2 4) 0
+ + + =
(*)
ti

p xuc v




= + =


Qua
M m m d
( ;2 1)
+
k



c

ỳng 1 ti

p tuy

n

n (C)


g k
( ) 0
=
cú







m M
m M
m M
m M
0 (0;1)
1 ( 1; 1)
2 (2;5)
1 (1;3)

=

=

=

=



66.
( ĐH Nông Lâm 2001) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị
(C):
23
3
xxy +=

i

m thu

c tr

c Oy m t



ú k



c

ỳng ba ti

p tuy

n

n (C)
70.
Cho hàm số: y = 3x - x
3
có đồ thị là (C). Tìm trên đờng thẳng y = 2 các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến
đến đồ th& (C) .
71.
(HC BCVT TPHCM 1999). Cho (C):

thị (C).
76.
Cho đồ thị (C) :
124
2
+++= xxxy
. Tìm trên trục tung các điểm có thể kẻ ít nhất 1 tiếp
tuyến đến (C) .
77.
Cho đồ thị (C):
742)(
2
++== xxxxfy
. Tìm trên đờng thẳng x = 1 các điểm có thể
kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) .
78.
Cho đồ thị (C):
10725)(
2
+== xxxfy
. Tìm trên đờng thẳng
24
=
y
các điểm
có thể kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) .

Dng 7: Tỡm iu kin ca tham s hai ng tip xỳc nhau

12

ẳ
ng
y x
=
.
HD:
TX
Đ
: D = R \ {1}.
Để

đồ
th
ị
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
y x
=
thì:

− −
=


2 2
( 1) ( 1)
− = −

⇔

x m
x m
2

=

= −


•
V
ớ
i x = m, thay vào (*) ta
đượ
c:
m
0 0
=
(tho
ả
v
ớ
i m
ọ

x = 1 (lo
ạ
i)
V
ậ
y v
ớ
i m
≠
1 thì
đồ
th
ị
hàm s
ố
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
y x
=
.
80.
Tìm m
để

m
C
:
61632
3
+−−=
mxmxy

và
Ox.
d. (C):
xxxy 44
23
+−=

và

)(
m
D
: y = mx - 3m +3.
e. (C):
mxxmxxy
−−−++=
234
)1(

và
Ox.
f. (C):

2

và
y= 1
k.
)(
m
C
:
m
x
mmxmxmx
y
−
+−−−−+
=
)3()13()12(
223
và
đườ
ng
th¼ng y= x + m + 1
l. TCX cña
1
2)12(
2
−
++−+
=
x

−
và

2
2
(C ): y x 1 m
= + +

o.
CMR (C)
x
x
xfy
ln
)( ==
lu«n tiÕp xóc víi y= e.

Các bài toán khác

81.
Cho hàm s
ố

= − +
y x x
3 2
2 3 1
. Tìm trên (C) nh
ữ
ng

s
ử

∈
M x y C
0 0
( ; ) ( )

⇒

= − +
y x x
3 2
0 0 0
2 3 1
. Ta có:
′
= −
y x x
2
3 6
.
PTTT
∆
t
ạ
i M: y x x x x x x
2 3 2
0 0 0 0 0
(6 6 )( ) 2 3 1

ố

y x x
3 2
3 1
= − +
có
đồ
th
ị
(C). Tìm hai
đ
i
ể
m A, B thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C) sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
(C) t
ạ
i A và B song song v

p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A và B song song v
ớ
i nhau nên:
13
y a y b
( ) ( )
′ ′
=

⇔

a a b b a b a b a b a b
2 2 2 2
3 6 3 6 2( ) 0 ( )( 2) 0
− = − ⇔ − − − = ⇔ − + − =

⇔

a b b a
2 0 2
+ − = ⇔ = −
. Vì
a b
≠

 
b a b a ab
2 2 2
( ) ( ) ( 2 )
= − + − − −2
AB b a ab a a a
2 2 2 2 2
( ) 1 ( 2 ) (2 2 ) 1 ( 2 2)
   
= − + − − = − + − −
   a a a a a
2
2 2 2 4 2
4( 1) 1 ( 1) 3 4( 1) ( 1) 6( 1) 10
 
   
= − + − − = − − − − +
 
   
 a a a
6 4 2

3 2 2
6 10 8 0 ( 4)( 2 2) 0 4
− + − = ⇔ − − + = ⇔ =

⇒
a b
a
a b
2
3 1
( 1) 4
1 3

= ⇒ = −
− = ⇔

= − ⇒ =


V
ậ
y 2
đ
i
ể
m tho
ả
mãn YCBT là:
A B
(3;1), ( 1; 3)

= = + + +
(C). Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị

k
,
để
t
ồ
n t
ạ
i 2 ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C)
phân bi
ệ
t và có cùng h
ệ
s
ố
góc
k

x
, O
y
t
ươ
ng
ứ
ng t
ạ
i A và B sao cho
=
OA OB
2011.
.
HD:
PTTT c
ủ
a (C) có d
ạ
ng:
= +
y kx m
. Hoành
độ
ti
ế
p
đ
i
ể

ng trình (1) ph
ả
i có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
⇔

k k
9 3 0 3
∆
′
= + > ⇔ > −
(2)
To
ạ

độ
các ti
ế
p
đ
i
ể
m
x y
0 0
( ; )
c

Ph
ươ
ng
y x x x
x x k
3 2
0 0 0 0
2
0 0
6 9 3
3 12 9

= + + +


+ + =


trình
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua các t
ế
p
đ
i
ể

A O
≡
thì
B O
≡
. Khi
đ
ó d
đ
i qua O
⇒

k
9
2
=
.
+ N
ế
u
A O
≠
thì
∆
OAB vuông t
ạ
i O. Ta có:

OB
OAB

k k
9
; 6039
2
= =
.84.
Cho hàm s
ố

= − + −
y x mx m
3
1
(C
m
).
Tìm
m

để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a

t dây cung có
độ
dài nh
ỏ
nh
ấ
t.
HD:
Ta có:
y x m
2
3
′
= −

⇒

y m
( 1) 3
′
− = −
;
y m
( 1) 2 2
− = −
. (C) có tâm
I
(2;3)
, R = 2.
PTTT d t

D
ấ
u "=" x
ả
y ra
⇔

m
2
=
. Dó
đ
ó
d I d
( , )

đạ
t l
ớ
n nh
ấ
t
⇔

m
2
=

Ti
ế

=

Khi
đ
ó: PTTT d:
y x
3
= +
.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
: a)
M
y x mx m x C x y
3 2 2
1
1; 1;( ) : ( 2) ( 3)
5
= − + − = − + − =
.
Đ
S:
m m
5
1;
2

ố
(1) có hoành
độ
b
ằ
ng 1. Tìm
m

để
kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m
B
3
; 1
4
 
 
 

đế
n ti
ế
p tuy


Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (Cm) t
ạ
i A:
y m y x
(1 ) (1).( 1)
′
− − = −

⇔

m x y m
(4 4 ) 3(1 ) 0
− − − − =

Khi
đ
ó d B
m
2
1
( ; ) 1

Cho hàm s
ố

x
y
x
2 3
1
+
=
+
có
đồ
th
ị
là (C). L
ậ
p ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) t

Gi
ả
s
ử

M x y C
0 0
( ; ) ( )
∈

⇒

x
y
x
0
0
0
2 3
1
+
=
+
.
Ta có:
x y
d M d
0 0
2 2
3 4 2

 
+
+ − = ⇔ + − = ⇔
 
 
+
 
x M
x M
0 1
0 2
0 (0;3)
1 1 11
;
3 3 4

= ⇒

 

= ⇒
 

 


•
V
ớ
i

; 1
3 3

 
= − ⇒ −
 

 
⇔ 
 

= − ⇒ − −
 

 


⇒
PTTT t
ạ
i
M
1
(0;3)
là
y x
3
= − +
; PTTT t
ạ

16 16
= − +
; PTTT t
ạ
i
M
4
4
; 1
3
 
− −
 
 
là
y x
9 13
= − −
.

87.
Cho
hà
m s
ố
x
y
x
2 1
1

n b
ằ
ng
2
.
HD:
Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i
đ
i
ể
m
M x f x C
0 0
( ; ( )) ( )
∈
có ph
ươ
ng trình:

y f x x x f x
0 0 0
'( )( ) ( )

0
4
0
2 2
2
1 ( 1)
−
⇔ =
+ −
⇔

x
x
0
0
0
2

=

=


Các ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm :

đồ
th
ị
(C), bi
ế
t r
ằ
ng kho
ả
ng cách t
ừ

tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
(C)
đế
n ti
ế
p tuy
ế
n là l
ớ

ng trình:
15

a
y x a x a y a
a
a
2 2
2
4 2
( ) 4 ( 2) 2 0
2
( 2)
= − + ⇔ − + + =
+
+

Tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a (C) là
(
)
I
2;2
−
. Ta có:

=
+ = ⇔

= −

. T
ừ

đ
ó suy ra có hai ti
ế
p tuy
ế
n
y x
=
và
y x
8
= +
.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
: a) V
ớ
i

ủ
a 2
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n,
∆
là m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a
đồ

th
ị
(C).
d
là kho
ả

i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n là I(–1; 1). Gi
ả
s
ử

x
M x C
x
0
0
0
2
; ( )
1
 
+
∈
 
 
+

2
1
( )
1
1
+
−
= − +
+
+

( ) ( )( )
x x y x x x
2
0 0 0 0
1 1 2 0
⇔ + + − − + + =

Kho
ả
ng cách t
ừ
I
đế
n
∆
là d =
( )
x
x

ằ
ng
2
khi
x
0
0
=
ho
ặ
c
x
0
2
= −
.90.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 1
1
+
=
+

(2; 4),
B
(
−
4;
−
2).
HD:
G
ọ
i x
0
là hoành
độ
ti
ế
p
đ
i
ể
m (
x
0
1
≠ −
).
PTTT (d) là
x
y x x
x


x x x x x x
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 4( 1) 2 2 1 4 2( 1) 2 2 1
− + + + + = − + + + + +

⇔

x x x
0 0 0
1 0 2
= ∨ = ∨ = −

V
ậ
y có ba ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n:
= + = + = +
y x y x y x
1 5
; 1; 5
4 4

91.

p tuy
ế
n t
ớ
i
đồ
th
ị
(C) sao
cho 2 ti
ế
p
đ
i
ể
m t
ươ
ng
ứ
ng n
ằ
m v
ề
2 phía c
ủ
a tr
ụ
c hoành.
Hd:
Ph

kx a
x
k
x
2
2
1
3
( 1)

+
= +


−

−
=

−

có nghi
ệ
m
PT:
a x a x a
2
(1 ) 2( 2) ( 2) 0
− + + − + =
(1) có nghi

2
3 6 0
∆

≠

≠
⇔
 
′
> −
= + >


(*)
Khi
đ
ó ta có:
a a
x x x x
a a
1 2 1 2
2( 2) 2
;
1 1
+ +
+ = =
− −
và
y y

. 0
<

⇔

x x
1 2
3 3
1 . 1 0
1 1
   
+ + <
   
− −
   

⇔

x x x x
x x x x
1 2 1 2
1 2 1 2
. 2( ) 4
0
. ( ) 1
+ + +
<
− + +

⇔

3
1


> −


≠


92.
Cho hàm s
ố

x
y
x
1
2 1
− +
=
−
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ

t là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a các ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C) t
ạ
i A và B. Tìm
m

để

t
ổ
ng
+
k k
1 2

đạ
t giá tr
ị
l

( ) 2 2 1 0 (*)

≠



= + − − =


Vì
g
m m m
g
2
2 2 0,
1
0
2
∆

′
= + + > ∀


 
≠
 

 


ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A và B có h
ệ
s
ố
góc là:
k k
x x
1 2
2 2
1 2
1 1
;
(2 1) (2 1)
= − = −
− −

⇒

k k m
2
1 2
4( 1) 2 2
+ = − + − ≤ −
. D
ấ

ố

x
y
x
2
2 3
+
=
+
(1). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
(1), bi
ế
t ti
ế

độ
O.
HD:
G
ọ
i
x y
0 0
( ; )
là to
ạ

độ
c
ủ
a ti
ế
p
đ
i
ể
m
⇒

y x
x
0
2
0
1

ệ
s
ố
góc âm).
Ngh
ĩ
a là:
y x
x
0
2
0
1
( ) 1
(2 3)
−
′
= = −
+

⇒

x y
x y
0 0
0 0
1 1
2 0

= − ⇒ =


⇒

∆
:
y x y x
0 ( 2) 2
− = − + ⇔ = − −
(nh
ậ
n)
V
ậ
y ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm là:
y x
2
= − −
.
94.
Cho hàm s
ố
y =

x
, O
y
l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i các
đ
i
ể
m A và B tho
ả
mãn OA = 4OB.
HD:
Gi
ả
s
ử
ti
ế
p tuy
ế
n d c
ủ
a (C) t
ạ
i

ệ
s
ố
góc c
ủ
a d b
ằ
ng
1
4
ho
ặ
c
1
4
−
.
H
ệ
s
ố
góc c
ủ
a d là
y x
x x
0
2 2
0 0
1 1 1

đ
ó có 2 ti
ế
p tuy
ế
n tho
ả
mãn là:
 
= − + + = − +
 
⇔
 
 
= − − + = − +
 
y x y x
y x y x
1 3 1 5
( 1)
4 2 4 4
1 5 1 13
( 3)
4 2 4 4
.
95.
Cho hàm s
ố

x


l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i A và B sao cho
AB OA
2
=
.
HD:
G
ọ
i
M x y C x
0 0 0
( ; ) ( ), 2
∈ ≠
. PTTT t
ạ
i M:
x
y x x
x
x
0
0
2

: ; :
= = −
và không
đ
i qua O.
+ N
ế
u
d d
1
⊥
thì
x
x
0
2
0
4
1 4
( 2)
−
= − ⇔ =
−

⇒

d y x
: 8
= − +
.

Cho hàm s
ố

x
y
x
1
2 1
+
=
−
. Tìm giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a
m
sao cho t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t

m trên
đườ
ng th
ẳ
ng
= −
d y m
: 2 1
.
HD:
G
ọ
i
M x y C
0 0
( ; ) ( )
∈
. PTTT t
ạ
i M:
y x x y
x
0 0
2
0
3
( )
(2 1)
−
= − +

0
2 4 1
(2 1)
+ −
=
−
.
T
ừ

đ
ó tr
ọ
ng tâm G c
ủ
a
∆
OAB có:
G
x x
y
x
2
0 0
2
0
2 4 1
3(2 1)
+ −
=

+ − − −
= = − ≥ −
− − −

Do
đ
ó
để
t
ồ
n t
ạ
i ít nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m M tho
ả
YCBT thì
m m
1 1
2 1
3 3
− ≥ − ⇔ ≥
. V
ậ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó c
ắ
t
ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng và ti
ệ
m c
ậ
n ngang l
ầ
n l
ượ

∈
 
 
−
 
,
x
0
2
≠

Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
∆
t
ạ
i M:
x
y x x
x
x
0
0
2
0

0
2 2
2;
2
 
−
 
 
−
 
,
B x
0
(2 2;2)
−
.
Do

ABI
4
cos
17
=
nên

IA
ABI
IB
1
tan

K
ế
t lu
ậ
n: T
ạ
i
M
3
0;
2
 
 
 
ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n:
y x
1 3
4 2
= − +

18
T
ạ
i

x
y BAI
x
3 2 5
; cos
1
26
.
Đ
S:
∆
:
y x
5 2
= −
ho
ặ
c
∆
:
y x
5 2
= +
.

98.
Cho hàm s
ố

x

m c
ậ
n c
ủ
a (C) t
ạ
i A, B sao cho AB ng
ắ
n nh
ấ
t.
HD:
L
ấ
y
đ
i
ể
m
M m
m
1
; 2
2
 
+
 
−
 
(

( 2)
= − − + +
−
−

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (d) v
ớ
i ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng là:
A
m
2
2;2
2
 
+
 
−
 

 
 
. D
ấ
u “=” x
ả
y ra
⇔

m
m
3
1

=

=

V
ậ
y:
M
(3;3)
ho
ặ
c
M
(1;1)
ủ
a các
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n. Ti
ế
p
tuy
ế
n
d
c
ủ
a (
C)
t
ạ
i
M
c
ắ
t các
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ

2
π
.
Hd:
Ta có: I(2; 2). G
ọ
i
x
M x C x
x
0
0 0
0
2 3
; ( ), 2
2
 
−
∈ ≠
 
 
−
 
. PTTT d:
x
y x x
x
x
0
0

2; , (2 2;2)
2
 
−
−
 
 
−
 
.

IAB
∆
vuông t
ạ
i
I
và
IAB
x M
S x
x M
x
2
0
( ) 0
2
0
0
1 (1;1)

đ
i
ể
m b
ấ
t kì trên (
C
). Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (
C)
t
ạ
i
M
c
ắ
t các
đườ
ng ti
ệ
m
c
ậ
n c
ủ

i
ể
m
M
sao cho
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
IAB
có di
ệ
n tích nh
ỏ
nh
ấ
t.
Hd:
Gi
ả
s
ử

x
M x C x
x
0
0 0

ế
n (
∆
) v
ớ
i ( C) t
ạ
i M:
( )
x
y x x
x
x
0
0
2
0
0
2 3
1
( )
2
2
−
−
= − +
−
−

To

−
 
 
−
 

Ta th
ấ
y
A B
M
x
x x
x x
0
0
2 2 2
2 2
+ −
+
= = =
,
A B
M
x
y y
y
x
0
0

S =
x
IM x x
x
x
2
2 2 2
0
0 0
2
0
0
2 3
1
( 2) 2 ( 2) 2
2
( 2)
π π π π
 
 
 
−
 
 
= − + − = − + ≥
 
 
 
−
 

=
−


Do
đ
ó
đ
i
ể
m M c
ầ
n tìm là M(1; 1) ho
ặ
c M(3; 3).
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
: V
ớ
i
x
y
x
3 2
2
+

a hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C). Tìm
m

để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i m
ộ
t
di
ể
m b
ấ
t kì c
ủ
a (C) c
ắ
t hai ti
ệ
m c

. Giao
đ
i
ể
m 2 ti
ệ
m c
ậ
n là
I m m
( ;2 )
.
G
ọ
i
mx
M x C
x m
0
0
0
2 3
; ( )
 
+
∈
 
 
−
 

t TC
Đ
t
ạ
i
mx m
A m
x m
2
0
0
2 2 6
;
 
+ +
 
 
−
 
, c
ắ
t TCN t
ạ
i
B x m m
0
(2 ;2 )
−
.
Ta có:

.

102.
Cho ®å thÞ (Cm):
m
x
mx
y
−
+
=
32
. T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn bÊt kú cña (Cm) c¾t 2 ®−êng th¼ng tiÖm
cËn t¹o nªn 1 tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8.

103.
Cho hàm s
ố

=
−
x
y
x
1
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti

P
2 2 2
.
HD:
(C) có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng
x
1
=
, ti
ệ
m c
ậ
n ngang
y
1
=
. Giao
đ
i
ể
m 2 ti
ệ
m c
ậ

x
x
0
0
2
0
0
1
( )
1
( 1)
= − − +
−
−
.
c
ắ
t TC
Đ
t
ạ
i
x
A
x
0
0
1
1;
1

= + + = + − + − +
−
−
≥

4 2 2
+

D
ấ
u "=" x
ả
y ra
⇔

x
x
x
0
0
0
0
1 1
1

=
− = ⇔

=


.

104.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 1
1
+
=
−
có
đồ
th
ị
(C). G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ

ỏ

nh
ấ
t.
HD:
Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a 2 ti
ệ
m c
ậ
n là
I
(1;2)
. G
ọ
i M
x
x
0
0
3
;2
1
 


độ
các giao
đ
i
ể
m c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i 2 ti
ệ
m c
ậ
n: A
x
0
6
1;2
1
 
+
 
 
−
 

⇒
chu vi
∆
IAB
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t khi IA= IB

⇔

x
x
x
x
0
0
0
0
1 3
6
2 1
1
1 3

= +

)
M
2
1 3;2 3
− −

Khi
đ
ó chu vi
∆
AIB =
4 3 2 6
+
.
Chú ý:
V
ớ
i 2 s
ố
d
ươ
ng a, b tho
ả
ab = S (không
đổ
i) thì bi
ể
u th
ứ
c P =

⇔
a = b.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:
x
y
x
2 1
1
−
=
−
.
Đ
S:
M M
1 2
(0; 1), (2;3)
−
.

105.
Cho hàm s
ố


n t
ạ
i A và B
sao cho bán kính
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác IAB là l
ớ
n nh
ấ
t, v
ớ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a 2 ti
ệ
m c
ậ
n.
HD:

(C) có TC
Đ

2
; ( )
1
 
−
∈
 
 
+
 
. PTTT
∆
c
ủ
a (C) t
ạ
i M:
x
y x x
x
x
0
0
2
0
0
2
3
( )
1

 
. Ta có:
IA IB x
x
0
0
6
; 2 1
1
= = +
+
.
⇒

IAB
S IA IB
1
. 6
2
= =
. G
ọ
i p, r là n
ử
a chu vi và bán kính
đườ
ng tr
ọ
n n
ộ

∆
IAB vuông t
ạ
i I nên:
p IA IB AB IA IB IA IB IA IB IA IB
2 2
2 2 . 2 . 4 3 2 6
= + + = + + + ≥ + = +
.
D
ấ
u "=" x
ả
y ra
⇔

IA IB
=

⇔

x x
2
0 0
( 1) 3 1 3
+ = ⇔ = − ±
.
+ V
ớ
i
106.
Cho hàm s
ố

x
y
x
2 1
1
+
=
−
. Tìm trên hai nhánh c
ủ
a
đồ
th
ị
(C), các
đ
i
ể
m M, N sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ

ể
m thu
ộ
c 2 nhánh c
ủ
a (C). Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M c
ắ
t hai ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B. Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i N c
ắ
t hai ti
ệ

.
T
ươ
ng t
ự
:
n
C D n
n
2 4
1; , (2 1;2)
1
 
+
−
 
−
 
.
Hai
đườ
ng th
ẳ
ng AD và BC
đề
u có h
ệ
s
ố
góc:

x
y
x
3
1
+
=
−
. Cho
đ
i
ể
m
o o o
M x y
( ; )
thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C). Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ

o
ạ
n th
ẳ
ng AB.
HD:

o o o
M x y
( ; )

∈
(C)
⇒

y
x
0
0
4
1
1
= +
−
. PTTT (d) t
ạ
i M
0
:
y y x x

A B A B
x x y y
x y
0 0
;
2 2
+ +
= =

⇒
M
0
là trung
đ
i
ể
m AB.

108.
Cho hàm s
ố
:
x
y
x
2
1
+
=
−

ộ
t tam giác có di
ệ
n tích không
đổ
i.
HD:
Gi
ả
s
ử
M
a
a
a
2
;
1
 
+
 
−
 

∈
(C).
PTTT (d) c
ủ
a (C) t
ạ

ủ
a (d) v
ớ
i các ti
ệ
m c
ậ
n là:
a
A
a
5
1;
1
 
+
 
−
 
,
B a
(2 1;1)
−
.
IA
a
6
0;
1
→

IAB
∆
=
IA IB
1
.
2
= 6 (
đ
vdt)
⇒
Đ
PCM.
Câu h
ỏ
i t
ươ
ng t
ự
:
x
y
x
2 4
1
−
=
+

Đ

ể
m trên (C) có hoành
độ
là
a
. Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A c
ủ
a (C) c
ắ
t hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i P và Q. Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng A là trung

a
y x a
a
a
2
1 2 1
( )
1
(1 )
−
= − +
−
−

Giao
đ
i
ể
m c
ủ
a ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng và ti
ế
p tuy
ế


Ta có:
P Q A
x x a x
2 2
+ = =
. V
ậ
y A là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a PQ.
IP =
a
a
a
2 2
2
1
1
+ =
−
−
; IQ =
a
2( 1)
−

đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C). Tìm trên
đồ
th
ị
(C),
đ
i
ể
m M có hoành
độ
d
ươ
ng sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M v
ớ
i
đồ
th

=

⇒
I(–1; 2). Gi
ả
s
ử

x
M x
x
0
0
0
2 1
;
1
 
−
 
 
+
 

∈
(C), (x
0
> 0).
PTTT v
ớ

1;
1
 
−
−
 
 
+
 
,
(
)
B x
0
(2 1;2
+
.

IA IB
2 2
40
+ =

⇔

x
x
x
2
0

Cho hm s


2x 3
y
x 2

=

cú

th

(C). Tỡm trờn (C) nh

ng

i

m M sao cho ti

p tuy

n t

i M c

a (C)
c


)
C

. Ta cú:
( )
( )
2
1
y' m
m 2
=

.
Ti

p tuy

n (d) t

i M cú ph

ng trỡnh :
( )
( )
2
1 1
y x m 2
m 2
m 2
= + +


m c

a (d) v

i ti

m c

n ngang l : B(2m 2 ; 2)
Ta cú :
( )
( )
2
2
2
1
AB 4 m 2 8
m 2

= +

. D

u = x

y ra khi m = 2

0
0
3
M x ; 2 (C)
x 1
+

thì tiếp tuyến tại M có phơng trình :
0
2
0 0
3 3
y 2 (x x )
x 1 (x 1)
+ =
+ +
hay
2
0 0 0
3(x x ) (x 1) (y 2) 3(x 1) 0
+ + =

Khoảng cách từ
I( 1;2)

tới tiếp tuyến là
( )

=++
+
x
x
, vây
d 6

. Khoảng cách d lớn nhất bằng
6
khi
( )
2
2
0 0 0
2
0
9
(x 1) x 1 3 x 1 3
(x 1)
= + + = =
+
.
Vậy có hai điểm M :
(
)
M 1 3;2 3
+
hoặc
(
)


.
2.
G

i M l m

t

i

m b

t kỡ trờn

th

(C), ti

p tuy

n t

i M c

t cỏc ti

m c

n c





+Ti

p tuy

n t

i M cú ph

ng trỡnh:
( )
( )
2
6 2a 4
y x a
a 1
a 1

= +
+
+

Giao



n ngang
2
y
=
l
(
)
B 2a 1;2
+
Giao hai ti

m c

n I(-1; 2)
( ) ( )
IAB
12 1 1
IA ; IB 2 a 1 S IA.AB .24 12 dvdt
a 1 2 2
= = + = = =
+
Suy ra

pcm
23
114.
Cho hm s




t cỏc tr

c Ox , Oy l

n l

t t

i cỏc

i

m A v B th

a món OA = 4OB.

HD
: Gi

s

ti

p tuy

n d c

a (C) t



c
1
4

.
H

s

gúc c

a d t

i M l:
0
2
0
1
y (x ) 0
(x 1)

= <


0
1
y (x )
4




. V

y cú hai ti

p tuy

n l:
1 3
y (x 1)
4 2
= + +
;
1 5
y (x 3)
4 2
= +

115.
Cho hm s

: y = 2 +
1
x 2

, cú

th


o thnh tam giỏc cõn .

116.
Cho hàm số: y =
2x
x 1
+
đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai
trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4

117.
Cho hàm số
+
=
+
3x 1
y
x 1
(1) . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ
thị hàm số (1) tại điểm M(-2;5).
118.
Cho hàm số (C)
3 2
y f(x) x 3x 1
= = +
. CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp
tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp
điểm này đồng qui tại một điểm cố định


CC PHN CềN LI XIN LIấN H TC GI THEO S T : 0942 667 889 . Thy Hong