BÀI TOÁN 7
ĐỊNH LÍ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
BẬC BỐN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
I. HỆ THỨC VIÉT
1. HỆ THỨC VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Giả sử phương trình


3 2
0 0
ax bx cx d a
    
có ba nghiệm
1 2 3
, ,
x x x
. Khi
đó: 1 2 3 2 2
1 2 2 3 3 1
1 2 3
3
3
b b b
x x x x x
a a a
c
x x x x x x
a



  



 



2. HỆ THỨC VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Giả sử phương trình


4 3 2
0 0
ax bx cx dx e a
     
có bốn nghiệm
1 2 3 4
, , ,
x x x x

Khi đó:

1 2 3 4
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4
1 2 3 4
b

Ta thực hiện các bước:
Bước 1: Dựa vào định lí Viét ta xác định được một nghiệm
0
x
của phương
trình.
Bước 2: Lựa chon một trong hai hướng:
Hướng 1: Nếu phương trình không chứa tham số, biến đổi phương
trình về dạng




0
0
x x g x
  
các nghiệm
Hướng 2: nếu phương trình chứa tham số, thay
0
x x

vào phương
trình

tham số
Bước 3. Thử lại và kết luận.
VD1: Giải phương trình
3 2
12 4 17 6 0

2 1 0
2
2 1 6 5 6 0
3
6 5 6 0
3
2
x
x
x x x x
x x
x




 


      


  








x x x m x m
      
thay vào (1), ta được:
     
3
2
1 1 1 2 0 1
m m x m m m
        
thay vào (1), ta được:
 
 
1
3 2 2
2
3
1
2 2 0 1 2 0 2
1
x
x x x x x x x
x



          


 


1 2 3 1 2 3
1 1 1
x x x
b
x x x x x x d
 
   

VD: Giả sử phương trình:
3 2
2 0
x x m
  
có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,
x x x

Tính tổng
2 2 2
1 2 3
x x x
 

Giải:
Theo giả thiết, ta có: 1 2 3
1 2 2 3 3 1
3. Tìm tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K
Bài toán thường được giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ. Ta thực
hiện theo các bước sau:
Bước 1: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm, khi đó ta có
được hệ thức Viét giữa các nghiệm (I)

Bước 2: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)

điều kiện cho tham số.
Bước 3: Điều kiện đủ:
VD: Xác định m để phương trình :
3 2
3 3 3 2 0
x mx x m
    

Có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,
x x x
, thỏa mãn
2 2 2
1 2 3
15
x x x
  

Giải:

1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1
15 2 9 6
x x x x x x x x x x x x m
          2
1 1
m m
   

Điều kiện đủ:
Viết lại phương trình về dạng

   
   
2
2
1
1 3 1 3 2 0
3 1 3 2
x
x x m x m
g x x m x m


 
      

 


luôn đúng với
1
m


Vậy,
1
m

thỏa mãn điều kiện đầu bài

4. Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số cộng
Để tìm điều kiện của tham số sao cho phương trình



3 2
0 0
ax bx cx d a
    
(1)
có ba nghiệm
1 2 3
, ,
x x x
lập thành cấp số cộng, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng, khi đó:


(2)
Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng
Bước 2: Điều kiện đủ:
Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm
2
3
b
x
a
 
.Khi đó:

1 2 3 1 3 1 3 2
2
2
3 3
b b b b
x x x x x x x x
a a a a
             


1 2 3
, ,
x x x
lập thành cấp số cộng
Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng là
3 2
2 9 27 0
b abc a d

   

Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng
Điều kiện đủ:
Với m = 11, ta được:

 
 
1
3 2 2
2
3
1 12
3 9 11 0 1 2 11 0 1
1 12
x
x x x x x x x
x

 

          


 

thỏa mãn (
*)
Vậy với m = 11 thỏa điều kiện đầu bài.


c c
x x x x x x x x x x x
a a
      

 
2 1 2 3 2
c c
x x x x x
a b
      
thay vào (1), ta được:
3 2
3 3
0
c c c
a b c d ac b d
b b b
     
        
     
     
(2)
Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
Bước 2: Điều kiện đủ:
Từ (2) suy ra phương trình có nghiệm
2
c
x
b

3 2
2 1 2 1 0
x x m x m
     
(1)
có ba nghiệm lập thành cấp số nhân
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân, khi đó:

2
1 3 2
2
x x x


1 2 3
2
x x x
   2
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 2
1 1
x x x x x x m x x x x x m
        

m
  
     
        
     
     
 


      


 


Đó chính là điều kiện cần để (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.
Điều kiện đủ:
 Với m = -1 ta được:
 
3 2
0
1 2 0
2
x
x x
x


   


xy yz zx B
xyz C
  


  




(I)
Khi đó x, y, z là nghiệm của phương trình:

3 2
0
u Au Bu C
   
(1)
Áp dụng các phương pháp đã biết đối với phương trình bậc ba để giải (1)
Dạng 2:
x y z t A
xy xz xt yz yt zt B
xyz xyt xzt yzt C
xyzt D
   


     



(I)
Giải:
Ta có x, y, z là nghiệm của phương trình:










3 2 2
2 2 0 1 3 2 0 1 1 2 0
u u u u u u u u u
             

1& 1& 2
1& 2 & 1
1
1& 1& 2
1
1& 2 & 1
2
2 & 1& 1
2 & 1& 1
x y z
x y z
u

Vậy hệ có 6 bộ nghiệm

VD2: Giải hệ phương trình:

1
7
1
6
x y z t
xy xz xt yz zt
xyz xyt xzt yzt
xyzt
    


     


   




(I)
Giải:
Ta có x, y, z là nghiệm của phương trình: 


Vậy hệ có 24 bộ nghiệm.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1. CMR nếu
1 2 3 4
, , ,
x x x x
là các nghiệm của phương trình :

4 2
0
ax bx c
  

thì
1 2 3 4
1 2 3 4
0
x x x x
c
x x x x
a
   








Bài 4. Giải phương trình:

4 3 2
8 19 3 2 0
x x x mx
    

Biết rằng phương trình có 4 nghiệm
1 2 3 4
, , ,
x x x x
thỏa mãn
1 2 3 4
x x x x
  

Bài 5. Giải phương trình:

4 3 2
4 3 8 10 0
x x x x
    

Biết rằng phương trình có hai nghiệm trái dấu nhưng bằng nhau về giá trị
tuyệt đối.
Bài 6. Giải các hệ phương trình:
a)
2 2 2
2
6



  


  



