Giáo án BDHSG Toán 8
Tiết 1-2-3-4
Chuyên đề 1:
phép nhân và phép chia đa thức
Dạng tổng quát:
Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức:
A(B+C) = A.B +A.C
( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D
Các bài toán vận dụng:
Bài toán 1:
Cho biểu thức:
M =
433
432
229
1
)
433
1
2(
229
3
+
-
433229
4

a) Bằng cách đặt
a=
229
1

x
, ta có
A = 4
5
-5.4
4
+5.4
3
-5.4
2
+5.4-1
= 4
5
-(4+1).4
4
+(4+1).4
3
-(4+1)4
2
+ (4+1).4-1
= 4-1
= 3
Cách 2: Thay 5 bởi
1+x
, ta có:
A =
1)1()1()1()1(
2345
++++++ xxxxxxxxx
=

bởi
x2
đợc vế trái bằng
cabcabx +++
2
, bằng vế phải.
Giáo án BDHSG Toán 8
bài tập:
Bài tập 1: Rút gọn bểu thức
[ ]
}{
)5(322 xyxyyxxy +
Với
2222
2,2 babaybabax +=++=
.
Bài tập 2:
a)Chứng minh rằng
121110
222 ++
chia hết cho 7
b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ là ba
số tự nhiên liên tiếp
Bài tập 3:
Tính
39
8
118117
5
119

2222
+++++=++
Mở rộng:
nnnnn
aaaaaaaaaaa
121
22
1
2
2
2
1
2
21
2 2 ) (

+++++++=++
Tổng quát:
n
b
n
a
n
aBbBba +=+=+
)()(
)(
Giáo án BDHSG Toán 8
Các ví dụ :
Ví dụ 1:
Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau:

2
=x
2
+y
2
+2xy
suy ra x
2
+y
2
=(x+y)
2
-2xy = 9
2
-2.14 = 53
c) (x+y)
3
= x
3
+y
3
+3x
2
y+3xy
2
= x
3
+y
3
+3xy(x+y)

- 3AB(A-B )
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x + 3y 5)
2
- 6xy + 26
Giải :
A = x
2
+ 9y
2
+ 25 + 6xy 10x -30y 6xy + 26
= ( x
2
- 10x + 25) + ( 9y
2
- 30y + 25 ) + 1
= ( x -5)
2
+ ( 3y-5)
2
+ 1
Vì (x-5)
2

0 (dấu = xảy ra

x=5 ); (3y-5)
2



A = B).
Ví dụ 4:
Cho đa thức 2x
2
- 5x +3.Viết đa thức trên dới dạng một đa
thức của biến y trong đó y =x+ 1.
Giải: thay x bởi y-1, ta đợc :

1x
2
- 5x +3 = 2( y 1)
2
- 5( y-1 ) + 3
= 2 ( y
2
- 2y + 1) 5y + 3 + 5
= 2y
2
- 9y + 10
Ví dụ 5:
Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?
Giáo án BDHSG Toán 8
A = (2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)(2

-6a(b + c)
2
.
Giải :
A = [a + (b + c)]
3
+ [a (b + c)]
3
- 6a(b + c )
2
= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ (b + c) + a
3
-3a
2
(b + c) +
+ a
3
- 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
- (b + c)
3
- 6a(b + c)

2
d) (20
2
+18
2
+ +4
2
+2
2
) (19
2
+17
2
+ +3
2
+1
2
) ;
e)
22
22
75125.150125
220780
++

Bài 7 :
Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí :
a) A =
22
22

2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca . Chng minh rằng a = b = c .
Bài 9 :
Tìm x và tìm n

N biết
x
2
+ 2x + 4
n
- 2
1+n
+2 = 0.
B Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :
D
C
B
A
Giáo án BDHSG Toán 8
Bài 10 :
Rút gọn các biểu thức :
a) x(x-1)(x+1) (x+1)(x
2
-x+1) ;
b) 3x
2

Chứng minh các hằng đẳng thức :
(a+b+c)
3
= a
3
+b
3
+c
3
+3(a+b)(b+c)(c+a).
Bài 13 :
Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng :
a
3
+b
3
+c
3
+d
3
= 3(ab cd)(c +d) .
Bài 14 :
Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a
3
+b
3
) 3(a
2
+b
2


ABCD có hai đờng chéo cắt nhau.
Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây:
(I) Tia Oz nằm trong gọc xOy

tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M

Oz, N

Oy
(II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt phẳng
bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy.
(III)
Cho tam giác ABC
a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ giác
ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?
M
C
A
B
j
M'
M
B
C
A
M
N
C
A

giác MAC và nằm trong góc MAC).
H .2a
các ví dụ :
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi)
lớn hơn tổng độ dài các đờng chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đờng chéo.
*) Nhận xét :
o
C
D
A
B
O
C
D
A
B
Giáo án BDHSG Toán 8
Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm
các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề : Trong một tam giác,
toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.
Giải
Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh :
AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)
1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA
Ta có :
AC < AB +BC (bất đẳng thức trong

ABC)
AC < AD + DC (bất đẳng thức trong

Ví dụ 2:
Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC + CD.
Chứng minh rằng : AB < AC.
Giải
Gọi giao điểm của AC và BD là O
Trong tam giác AOB, ta có :
AB < AO + OB (1)
Trong tam giác COD, ta có :
CD < CO + OD (2)
Từ (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < AC + BD (3)
Theo giả thiết :
AB + BD

AC + CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra AB < AC.
(đpcm)
Ví dụ 3 :
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD và BC.
Chứng minh rằng :
Q
F
P
D
C
B
A
Giáo án BDHSG Toán 8
PQ

Nếu P, Q, và F thẳng hàng thì F là điểm nằm giữa của hai đoạn thẳng PQ và ta có
:
PQ = PF + QF =
2
ABDC +
Nh vậy trong mọi trờng hợp, ta có :
PQ

2
ABDC +
.
( đpcm)
Nhận xét :
Có thể thấy ngay rằng :
P, Q, F thẳng hàng

AB//CD.
Do đó ta chứng minh đợc rằng :
PQ

2
ABDC +
.
Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD.
Nh vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định
lí:
(1) Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ =
2
ABCD +
(2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ

Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau
thì có ít nhất một góc tù.
Bài tập 4:
Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E,
hai cạnh AB và CD kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của hai góc CED
và BMC cắt nhau tại K. tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD.
*) hình thang hình thang cân:
Hình thang:
-) Định nghĩa:
Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.
AB//CD
ABCD là hình thang

hoặc (AB//CD,AD//BC)
AD//BC
Trong hình thang, hai
cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai cạnh bên, đoạn thẳng
nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng trung bình
2. Định lí (về đờng trung bình)
AB//CD

PQ//AB và PQ =
2
CDAB +
hình thang cân
1. Định nghĩa:
Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau.
2. Tính chất:
Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Hình thang ABCD (AB//CD) :

Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB
và AC sao cho :
AE + AK = AB + AC
Chứng minh rằng : BC < EK.
Giải :
Lấy trên AB một điểm L sao cho
AL = AK
Lấy trên AC một điểm D sao cho
AD = AE
Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những
tam giác cân có chung góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy
ra LK// ED, do đó DELK là hình thang cân, có các đờng chéo bằng nhau.
DL = EK (1)
Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo DL và EK, ta xét tổng :
EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL)
= (EO + OD) + (OK + OL)
Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có :
2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2)
Nhng trong tam giác OKL, ta có :
OK + OL > LK (3)
Trong

DEO : EO + OD > ED (4)
Từ (2), (3) và (4) : 2EK > LK + ED (5)
Từ giả thiết AE + AK = AB + AC
Suy ra BE = CK
Mặt khác dễ thấy BCDE là hình thang cân nên
BE = CK
Vậy DC = CK.
Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc B là trung điểm của EL.

phụ ta có thể :
- Từ một đỉng vẽ đờng thẳng song song với một đờng chéo (nh ví dụ
trên).
2
1
2
1
A
D
H
C
B
K
Giáo án BDHSG Toán 8
- Từ một đỉnh vẽ một đờng thẳng song song với một cạnh bên.
- Từ một đỉnh vẽ thêm một đờng cao.
Ví dụ 6 :
Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và
à
à
0
A C 180+ =
. Chứng minh rằng
a) Tia DB là tia phân giác của góc D.
b) Tứ giác ABCD là hình thang cân.
Giải :
a) Vẽ BH

CD, BK


Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có
ã
à
1
ADC C=
(vì cùng bằng
ả
1
A
) nên là hình thang cân.
Nhận xét :
Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trớc tiên phải chứng minh tứ giác đó là
hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau(theo định nghĩa)
hoặc hai đờng chéo bằng nhau.
Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho rằng vì
AD = BC (gt) nên ABCD là hình thang cân, sai lầm ở chỗ hình thang có hai cạnh
bằng nhau cha chắc đã là hình thang cân.
Các bài tập vận dụnG
Bài tập 5:
Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đờng chéo AC là phân
giác của góc DAB. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Bài tập 6 :
Chứng minh rằng trong một hình thang đờng thẳng đi qua trung
điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên
kia.
Bài tập 7:
Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lợt là trung điểm
của BD và AC . Chứng minh rằng
nếu E F =
2

Chuyên đề 5 (6tiết):
Đờng trung bình của tam giác, của hình thang
*) Kiến thức cơ bản :
1. a) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song
song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
b) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và
song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
2. a) Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác. (h.8)
b) Đờng trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai cạnh
bên của hình thang.(h.9)

h.8 h.9
3.a) Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa
cạnh đấy.
b) Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và
bằng nửa tổng hai đáy.
Bổ sung :
Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối
trung điểm hai đờng chéo thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy.
Trong h.10 :
MN // AB // CD
CD AB
MN
2

=
.
Các ví dụ minh họa
*) Ví dụ 1:

BCD

nên
AB
OM
2
=
và OM // AB ; (1)
ON =
CD
2
và ON // CD ; (2)
Suy ra O nằm giữa M và N. Vậy ba điểm M,
O, N thẳng hàng (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác
ABCD là hình thang.
+) Nhận xét :
Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nối hai
điểm này ta cha đợc đờng trung bình của tam giác nào cả. Vì thế ta đã vẽ thêm
trung điểm của đờng chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng đợc định lí đờng trung
bình của tam giác để chứng minh.
Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng để vận dụng đờng trung bình
của tam giác là việc vẽ đờng phụ thờng gặp khi giải bài toán hình học.
*) Ví dụ 2 :
Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ). Tìm điều kiện của
hình thang này để hai đờng chéo của nó chia đờng trung bình thành ba phần
bằng nhau.
Giải :
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD và BC ; MN
cắt BD tại P, cắt AC tại Q ; MN là đờng trung bình của


=

AB CD AB
CD 2.AB
=
=
+) Nhận xét :
Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB = 2.CD ,
chứng minh tơng tự nh trên ta vẫn có hai đờng chéo chia đờng trung bình thành
ba phần bằng nhau.
Tóm lại, nếu hình thang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đờng chéo của nó
chia đờng trung bình làm ba phần bằng nhau.
*) Ví dụ 3 :
Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đờng vuông góc xuống một đờng
thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đ-
ờng vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam
giác xuống đờng thẳng d.
Giải :
F
O
D
M
B
H
N
I
G
P
K

Ví dụ 4 :
Cho một điểm C ở ngoài một đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác vuông
cân ACA, BCB ra ngoài tam giác ABC (
ã
ã
A'AC = CBB' = 1v
). Chứng minh rằng
vị trí của điểm M ( trung điểm của AB) không phụ thuộc vào vị trí chọn điểm
C.
Giải :
Hạ AH, C E và BF cùng vuông góc với đờng thẳng AB. Ta dễ dàng chứng
minh đợc các cặp tam giác vuông sau đây bằng nhau :
A'HA = AEC (1)
B'FB = BEC (2)Suy ra AH = BF = CE. Gọi N là
trung điểm của HF thì N cũng là
trung điểm của AB. MN cũng là
đờng trung bình của hình thang
vuông
AHFB nên
A'H + B'F
MN AB và MN =
2

.
Nhng từ (1) và (2) ta có AH = AE ; BF = BE
nên
AE + BE AB

Bài 4:
Cho hai điểm A và B ở ngoài đờng thẳng xy. tìm hệ thức giữa khoảng cách từ
trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy.
Bài5 :
Cho tam giác ABC. Đờng thẳng xy đi qua đỉnh A. Gọi B và C là chân đ-
ờng vuông góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đờng thẳng xy để
tổng BB + CC đặt giá trị lớn nhất.
Tiết 19 => 24
Chuyên đề 4: ( 6tiết)
phân tích đa thức thành nhân tử
Giáo án BDHSG Toán 8
*) Kiến thức cơ bản:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích
của những đa thức .
2. Các phơng pháp thông thờng :
+) Phơng pháp đặt nhân tử chung
AB + AC AD = A(B+C-D).
+) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức :
A
2

2AB + B
2
= (A

B)
2
A
3


3
= (A+ B)( A
2
AB + B
2
)
+) Phơng pháp nhóm các hạng tử :
AC AD + BC BD = (C D )(A + B)
*) Nâng cao :
1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng, hiệu hai
lập phơng là :
A
n
B
n
= (A B)(A
n-1
+ A
n-2
B + + AB
n-2
+ B
n-1
).
2. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phơng là :
A
n
+ B
n
= (A + B)(A

A + B với n lẻ và A

-B :
A
2k
B
2k


A
2
B
2
với k

N và A

B .
các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x
2
6x + 8 ;
b) 9x
2
+ 6x -8 ;
Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập thành
bình phơng của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai
hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử.
a) Cách 1. x

+6x 8 = 9x
2
-6x + 12x 8 = 3x(3x 2) + 4(3x 2) = (3x -2)(3x
+ 4)
Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu
của hai bình phơng.
9x
2
+ 6x 8 = 9x
2
+6x+1-9 = (3x + 1)
2
- 3
2
= (3x +4)(3x -2).
*) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng
đẳng thức :
mpx
2
+ (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q).
Giáo án BDHSG Toán 8
Nh vậy trong tam thức bậc hai : ã
2
=bx + c, hệ số b đợc tách thành b
1
+ b
2

sao cho b
1

2
+x =y thì đa thức có dạng y
2
+ 4y -12 là
tam thức bậc hai đối với y. Ta có :
y
2
+4y -12 = y
2
+6y -2y -12 = y(y +6) 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x
2
+x
+6)(x
2
+x 2)= (x
2
+ x +6)(x+2)(x 1)
Cách làm nh trên gọi là đổi biến.
Chú ý : Tam thức bậc hai
a
x
2
+bx +c sẽ không phân tích tiếp đợc nhân tử trong
phạm vi số hữu tỉ nếu :
Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc
Theo cách 2, sau khi đa tam thức về dạng
a
x
2

Ta thấy
4
23
không là bình phơng của một số hữu tỉ.
Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử : x
3
+ 3x
2
4.
Giải : Ta tách các hạng tử của đa thức trên bằng phơng pháp tìm nghiệm của đa
thức. Ta nhắc lại
a
là nghiệm của đa thức f
(x)
nếu f
(a)
= 0. Nh vậy nếu đa thức f
(x)

chứa nhân tử x-a thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta lại chú ý rằng, nếu đa thức
trên có một nhân tử là x-a thì nhân tử còn lại là x
2
+ bx + c, suy ra ac = -4, tức
là a phải là ớc của -4. Tổng quát, trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên
nếu có phải là ớc của hạng tử không đổi. Ước của -4 là

1,

2,


-1 + 3x
2
-3
= (x-1)(x
2
+x+1) + 3(x-1)(x+4)
= (x-1)(x
2
+x+1+3x+3)
= (x-1)(x+2)
2
.
Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa
nhân tử x-1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các
hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x+1
Ví dụ 4 : Phân tích thành nhân tử : 2x
3
-5x
2
+ 8x -3.
Giải : Các số

1,

3 không là nghiệm của đa thức, vậy đa thức không có
nghiệm nguyên. Nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số
nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng
q
p
trong đó p là ớc của hệ số tự do,q

2
-4x
2
+2x +6x -3
= x
2
(2x-1)-2x(2x-1) + 3(2x-1)
= (2x-1)(x
2
2x +3).
Có thể giải bài tập trên bằng phơng pháp hệ số bất định : nếu đa thức trên phân
tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng :
(
a
x +b)(cx
2
+dx +m).
Phép nhân này cho kết quả :
a
cx
3
+(ad +bc)x
2
+(am +bd)x +bm.
Đồng nhất đa thức này với 2x
3
-5x
2
+8x -3, ta đợc
ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3

Theo đề bài ta có (x-y)(-x +10y) = 0.
Vì x

y nên x +10y = 0 hay x = 10y.
C- các bài tập vận dụng
Bài tập 1:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 5x(x -2y) + 2(2y x)
2
; b) 7x(y -4)
2
(4 y)
3
;
c) (x
2
+4y
2
-5)
2
16(x
2
y
2
+2xy +1).
d) x
4
-25x
2
+20x -4; e) (a+b+c)

2006
d) 49
5
49

100.
Bài tập 3: Cho x
2
y-y
2
x + x
2
z z
2
x+ y
2
z+z
2
y = 2xyz
Chứng minh rằng trong ba số x,y,z ít nhất cũng có hai số bằng nhau hoặc
đối nhau.
Bài tập 4 :
Phân tích thành nhân tử :
a) x
5
+x + 1
b) x
7
+ x
2

B = x
4

6x
3
+ 11x
2
6x + 1.
Tiết 25-26-27-28
Chuyên đề 6 :
phơng pháp giải toán về chia hết trong tạp hợp z các số nguyên.
I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản ở lớp 6 và 7 về lí thuyết trong Z.
1. Tính chia hết :
a) Định nghĩa :
Cho a, b

Z ( b

0)
Giáo án BDHSG Toán 8
Nếu có q Z sao cho a = bq
Thì ta nói:
a là bội của b hoặc b là ớc của a
a chia hết cho b hoặc b chia hết a
Kí hiệu: a b
a b a = bq


M
M

0

, có thể lấy số d là số âm r = r- b.
b) Chia a cho b>0 thì số d r là một trong b số :
+) b chắn
b
r= 0, 1, 2, 3, +
2

(hoặc
b
r= 0, 1, 2, 3,
2

)
+) b lẻ
b-1
r= 0, 1, 2, 3,
2

.
3. Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số :
Ước chung lớn nhất của hai số dơng a và b đợc kí hiệu là ƯCLN(a,
b) hoặc (a, b).
Thuật toán Euclide giúp ta tìm ƯCLN một cách khác. Thuật toán dựa trên điịnh
lí sau đây :
+) Nếu a là bội của b thì ƯCLN(a, b) = b
a = bq
(a, b) = b
+) Nếu a chia cho b, d r

d/a và d / b

d / (a, b)
*) Định lí 2 :
Một số m là bội chung của a và b khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a, b)
m a và m b m [ a, b] M M M
*) Định lí 3 :
(a,b). [a, b] = ab
*) Định lí 4 :
Nếu a, b nguyên tố cùng nhau và tích a.c chia hết cho b thì c chia hết cho
b.
ac b và (a, b) = 1 c bM M
*) Định lí 5 :
Nếu c chia hết a và cho b mà a, b nguyên tố cùng nhau thì c cia hết cho
tích a.b.
c a, c b và (a, b) = 1 c a.bM M M
II Phơng pháp giải một số bài toán về chia hết :
*) ph ơng pháp 1 :
Để chng minh A(n) chia hết cho b, có thể xét mọi trờng hợp về số d khi
chia n cho p.
Bài toán 1:
Chứng minh rằng với mọi
n Z
:
A(n) = n(n
2
+ 1)(n
2
+ 4)
5M

2 2
2
n 5
b) r = 1 n = 5k 1
n 25 k 10k +1
(n 4) 5


=
+
M
M
2 2
2
n = 5k 2
n = 25k 20k 4
( n 1) 5

+
+
M
Giáo án BDHSG Toán 8
*) Ph ơng pháp 2 :
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, nói chung nên phân tích m ra
thừa số : m = p.q
1) Nếu p, q nguyên tố cùng nhau : ta tìm cách chứng minh :
A(n)
p và A(n) qM M
(Suy ra A(n)
p.q, M

Tơng tự nh vậy, nếu xét n + 1 và n + 3 có một số chia hết cho 4, số kia
chia hết cho 2.
Do đó A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n +3)
4.2 = 8M
Theo a) thì n(n + 1)(n + 2)(n +3)
M
3
mà (3, 8) = 1 nên A(n)
M
3.8 = 24.
2) Nếu p, q không nguyên tố cùng nhau : Phân tích A(n) ra thừa số :
A(n) = B(n). C(n)
và tìm cách chứng minh
B(n) p và C(n) qM M
suy ra B(n).C(n)
M
p. q
Bài tập :
Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Trong trờng hợp 3 số chẵn liên tiếp thì tích chia hết cho bao nhiêu.
*) Ph ơng pháp 3 :
Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng của
nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạnh tử đó chia hết cho m.
Ví dụ 5 :
Chứng minh rằng lập phơng của một số nguyên bất kì (n > 1) trừ đi 13 lần
số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6.
Giải :
Ta phải chứng mhinh :
A(n) = n
3

+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
chia hết cho 9.
Ta có :
A = n
3
+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
= 3n
3
+ 9n
2
+ 15n + 9
= 3n
3
-3n + 18n + 9n
2
+ 9
= 3n(n 1)(n + 1) + 18n + 9 + 9n
2
n, n 1, n + 1 là ba số nguyên liên tiếp, trong đó một số chia hết cho 3,
vậy :
B = 3n(n 1)(n + 1)
M
9
C = 18n + 9n

+ 4k) + (8k + 8) + 2
= 4k(k + 1) + 8(k + 1) +2
Đây là tổng của ba hạng tử, hạng tử đầu 4k(k + 1) chia hết cho 8, hạng tử
thứ hai 8 (k + 1) cũng chia hết cho 8, riêng hạnh tử hứ ba là 2 không chia hết cho
8. Vậy tổng đã cho không chia hết cho 8.
Bài tập :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n :
a) n
3
n + 4 không chia hết cho 3 ;
b) n
2
+ 11n + 39 không chia hết cho 49 ;
c) n
2
+ 3n + 5 không chia hết cho 121.
*) Ph ơng pháp 4 :
Để chứng minh rằng A(n) chia hết cho m, ta có thể phân tích A(n) thành
nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m :
A(n) = m . B(n)
Thờng phải sử dụng các hằng đẳng thức. Nói riên, từ các hằng đẳng thức
(9), (10) và (11) ta có :
a
n
b
n
chia hết cho a b (a

b) với n bất kì
a

M
(2 + 3) .
Ví dụ 9 :
Chứng minh rằng : 2
4n
1 chia hết cho 15.
Giải :
Giáo án BDHSG Toán 8
2
4n
1 = (2
4
)
n
1
n
= (2
4
1)[(2
4
)
n 1
+ + 1] = 15 . M
Vậy : (2
4n
1)
M
15
Bài tập :
a)Chứng minh rằng :