Mu
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c lu
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i n´oi d¯ˆa
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u 7
1 D
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thi
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9
1.1 D
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i
.
nh ngh˜ıa v`a c´ac kh´ai niˆe

vˆo hu
.
´o
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 C´ac d¯i
.
nh ngh˜ıa ch´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Ma trˆa
.
n biˆe
˙’
u diˆe
˜
n d¯ˆo
`
thi
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.

1.3.1 Dˆay chuyˆe
`
n v`a chu tr`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 D
-
u
.
`o
.
ng d¯i v`a ma
.
ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3 T´ınh liˆen thˆong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1

1.3.4 Cˆa
`
u, k−liˆen thˆong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.5 D
-
ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong ma
.
nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4 Pha
.
m vi v`a liˆen thˆong ma

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.1 1−d¯ˇa
˙’
ng cˆa
´
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.2 2−d¯ˇa
˙’
ng cˆa
´
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6 C´ac d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˇa
.
c biˆe
.
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.1 D
-
ˆo
`
thi
.
khˆong c´o ma
.
ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.2 D

´
c sˆo
´
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Sˆo
´
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Sˆo
´
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5 Phu
˙’
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6 Nhˆan cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6.1 C´ac d¯i
.

˙’
nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 D
-
u
.
`o
.
ng d¯i gi˜u
.
a hai d¯ı
˙’
nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.2 D
-
ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong ma
.
nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 D
-
u
.
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.
ng d¯i ngˇa
´

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p ma trˆa
.
n tro
.
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.
ng tu`y ´y . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 D
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u
.
`o
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ng d¯i ngˇa
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n nhˆa
´
t gi˜u
.
a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac cˇa
.
p d¯ı

p ma trˆa
.
n tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng tu`y ´y) . . . . . . 93
3.4 Ph´at hiˆe
.
n ma
.
ch c´o d¯ˆo
.
d`ai ˆam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.1 Ma
.
ch tˆo
´
i u
.
u trong d¯ˆo
`
thi
.
c´o hai tro
.
ng lu

ng x´ac d¯i
.
nh cˆay bao tr`um . . . . . 107
4.3.2 Thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m theo chiˆe
`
u sˆau x´ac d¯i
.
nh cˆay bao tr`um . . . . . 107
4.3.3 T`ım cˆay bao tr`um du
.
.
a trˆen hai ma
˙’
ng tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . . 108
4.3.4 Thuˆa
.
t to´an t`ım tˆa
´
t ca
˙’
c´ac cˆay bao tr`um . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.5 Hˆe
.
co

5.1.1 Thuˆa
.
t to´an t`ım dˆay chuyˆe
`
n Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 B`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3 B`ai to´an Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.1 C´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n d¯ˆe
˙’
tˆo
`
n ta
.
i chu tr`ınh Hamilton . . . . . . . . . . . . 138
5.3.2 C´ac d¯iˆe
`

.
ch Hamilton . . . . . . . . . . . . . 142
6 D
-
ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng 149
6.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa v`a c´ac v´ı du
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2 C´ac biˆe
˙’
u diˆe
˜
n kh´ac nhau cu
˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.

u h`ınh ho
.
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.6 D
-
ˆo
´
i ngˆa
˜
u tˆo
˙’
ho
.
.
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7 Ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i 173
4

7.1 Mo
.
˙’
d¯ˆa
`
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2.3 Phˆan t´ıch luˆo
`
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.3 C´ac ca
˙’
i biˆen d¯o
.
n gia
˙’
n cu
˙’
a b`ai to´an luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3.1 C´ac d¯ˆo
`
thi
.
c´o nhiˆe
`
u nguˆo
`
n v`a nhiˆe
`
u d¯´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.4 Luˆo
`
ng v´o
.
i chi ph´ı nho
˙’
nhˆa
´
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.4.1 Thuˆa
.
t to´an Klein, Busacker, Gowen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.5 Cˇa
.
p gh´ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5.1 C´ac b`ai to´an vˆe
`
cˇa
.
p gh´ep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5.2 Cˇa
.
p gh´ep l´o
.
n nhˆa
´
t trong d¯ˆo
`
thi
.

i n´oi d¯ˆa
`
u
Trong thu
.
.
c tˆe
´
d¯ˆe
˙’
miˆeu ta
˙’
mˆo
.
t sˆo
´
t`ınh huˆo
´
ng ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.
ng biˆe
˙’
u thi
.

p c´ac d¯ı
˙’
nh biˆe
˙’
u
diˆe
˜
n mˆo
´
i quan hˆe
.
gi˜u
.
a ch´ung. Nh˜u
.
ng h`ınh nhu
.
thˆe
´
thu
.
`o
.
ng go
.
i l`a c´ac d¯ˆo
`
thi
.
. Mu

t
hiˆe
.
n trong nhiˆe
`
u l˜ınh vu
.
.
c v´o
.
i c´ac tˆen go
.
i kh´ac nhau: “cˆa
´
u tr´uc” trong cˆong tr`ınh xˆay du
.
.
ng,
“ma
.
ch” trong d¯iˆe
.
n tu
.
˙’
, “lu
.
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.
.

.
ng du
.
ng rˆo
.
ng r˜ai cu
˙’
a n´o trong nhiˆe
`
u l˜ınh vu
.
.
c, c´o rˆa
´
t nhiˆe
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u nghiˆen c´u
.
u
xung quanh l´y thuyˆe
´
t d¯ˆo
`
thi
.
trong nh˜u
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ng nˇam gˆa
`
n d¯ˆay; mˆo

n nhiˆe
`
u ph´ep to´an v´o
.
i
tˆo
´
c d¯ˆo
.
rˆa
´
t nhanh. Viˆe
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n tru
.
.
c tiˆe
´
p v`a chi tiˆe
´
t c´ac hˆe
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thˆo
´
ng thu
.

c phˆan t´ıch th`anh
cˆong hˆe
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thˆo
´
ng phu
.
thuˆo
.
c rˆa
´
t nhiˆe
`
u v`ao c´ac thuˆa
.
t to´an “tˆo
´
t” c˜ung nhu
.
kha
˙’
nˇang cu
˙’
a m´ay
t´ınh. Theo d¯´o, gi´ao tr`ınh n`ay s˜e tˆa
.
p trung v`ao viˆe
.
c ph´at triˆe
˙’

.
ng tr`ınh minh ho
.
a. Gi´ao tr`ınh d¯u
.
o
.
.
c biˆen soa
.
n cho c´ac d¯ˆo
´
i
tu
.
o
.
.
ng l`a sinh viˆen To´an-Tin v`a Tin ho
.
c.
Gi´ao tr`ınh su
.
˙’
du
.
ng ngˆon ng˜u
.
C d¯ˆe
˙’

u hˆe
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t c´ac chu
.
o
.
ng tr`ınh thao t´ac trˆen cˆa
´
u tr´uc d˜u
.
liˆe
.
u nhu
.
danh s´ach liˆen kˆe
´
t, nˆen d¯`oi
ho
˙’
i sinh viˆen pha
˙’
i c´o nh˜u
.
ng k˜y nˇang lˆa
.
p tr`ınh tˆo
´
t.
Gi´ao tr`ınh bao gˆo
`

´
t tr`ınh b`ay nh˜u
.
ng kh´ai niˆe
.
m cˇan ba
˙’
n vˆe
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d¯ˆo
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thi
.
.
• Chu
.
o
.
ng 2 tr`ınh b`ay nh˜u
.
ng sˆo
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co
.
ba
˙’
n cu
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a d¯ˆo
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t.
• Chu
.
o
.
ng 4 d¯ˆe
`
cˆa
.
p d¯ˆe
´
n kh´ai niˆe
.
m vˆe
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cˆay.
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U
.
ng du
.
ng cu
˙’
a cˆay Huffman trong n´en d˜u
.
liˆe
.
u. Ngo`ai ra xˆay du
.
.

.
o
.
ng 6 nghiˆen c´u
.
u c´ac t´ınh chˆa
´
t phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
; v`a cuˆo
´
i c`ung
• Chu
.
o
.
ng 7 t`ım hiˆe
˙’
u c´ac b`ai to´an trˆen ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’

.
n chu
.
o
.
ng tr`ınh minh ho
.
a c´ac thuˆa
.
t to´an d¯u
.
o
.
.
c tr`ınh b`ay.
Gi´ao tr`ınh d¯u
.
o
.
.
c biˆen soa
.
n lˆa
`
n d¯ˆa
`
u tiˆen nˆen khˆong tr´anh kho
˙’
i kh´a nhiˆe
`

.
nhiˆe
`
u ngu
.
`o
.
i m`a khˆong thˆe
˙’
liˆe
.
t kˆe
hˆe
´
t, d¯ˇa
.
c biˆe
.
t l`a c´ac ba
.
n sinh viˆen, trong qu´a tr`ınh biˆen soa
.
n gi´ao tr`ınh n`ay.
D
-
`a La
.
t, ng`ay 5 th´ang 3 nˇam 2002
PHA
.

nh ngh˜ıa v`a c´ac kh´ai niˆe
.
m
1.1.1 D
-
ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng
D
-
ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng G = (V, E) gˆo
`
m mˆo
.
t tˆa
.

nh d¯u
.
o
.
.
c sˇa
´
p th´u
.
tu
.
.
. Nˆe
´
u
c´o d¯´ung mˆo
.
t cung e tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.

hay gia
˙’
n tiˆe
.
n, 1, 2, . . . , n,
trong d¯´o n = #V l`a sˆo
´
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
.
Nˆe
´
u e l`a mˆo
.
t cung tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cˇa
.
p c´ac d¯ı
˙’

.
i l`a ngo
.
n; cung e go
.
i l`a liˆen thuˆo
.
c hai d¯ı
˙’
nh v
i
v`a v
j
. Ch´ung ta s˜e thu
.
`o
.
ng
k´y hiˆe
.
u m = #E−sˆo
´
ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.

.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n bo
.
˙’
i c´ac d¯iˆe
˙’
m, v`a e = (v
i
, v
j
) d¯u
.
o
.
.
c biˆe
˙’
u
diˆe
˜
n bo
.
˙’
i mˆo
.
t cung nˆo

´
c ta
.
i v
i
v`a ngo
.
n ta
.
i v
j
th`ı G go
.
i l`a d¯a d¯ˆo
`
thi
.
v`a c´ac
cung tu
.
o
.
ng ´u
.
ng go
.
i l`a song song. D
-
o
.

j
). Chˇa
˙’
ng ha
.
n, d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 1.1 c´o
cung e
8
l`a khuyˆen; c´ac cung e
4
v`a e
9
l`a song song do c`ung tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cˇa
.
p d¯ı
˙’
nh v
3
v`a v
4

.
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v
3
v
4
v
5
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
e
7
e
8
e
9
•
• •
•
•
H`ınh 1.1: V´ı du
.

.
d¯a tri
.
Γ: V → 2
V
, x → Γ(x). K´y hiˆe
.
u Γ
−1
l`a ´anh xa
.
(d¯a tri
.
) ngu
.
o
.
.
c cu
˙’
a Γ.
Nˆe
´
u G l`a d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
, th`ı d¯ˆo

n`ay c`on c´o thˆe
˙’
k´y hiˆe
.
u l`a G = (V, Γ).
Nˆe
´
u xo´a cung e
9
trong H`ınh 1.1 ta nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
v`a do d¯´o c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n
bo

}, Γ(v
4
) = {v
5
}, Γ(v
5
) = {v
1
, v
5
}.
1.1.3 D
-
ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng
Khi nghiˆen c´u
.
u mˆo
.
t sˆo
´
t´ınh chˆa
´

kh´ac nhau gi˜u
.
a c´ac d¯iˆe
˙’
m bˇa
´
t d¯ˆa
`
u v`a
kˆe
´
t th´uc. D
-
iˆe
`
u n`ay d¯o
.
n gia
˙’
n l`a mˆo
˜
i khi c´o ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t cung gi˜u
.
a hai d¯ı
˙’
nh ta khˆong quan

.
o
.
ng ´u
.
ng cˇa
.
p khˆong c´o th´u
.
tu
.
.
(v
i
, v
j
) go
.
i l`a c´ac ca
.
nh. Tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng, ta n´oi rˇa
`

˜
n bo
.
˙’
i c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng (hoˇa
.
c cong) v`a khˆong
c´o m˜ui tˆen liˆen thuˆo
.
c hai d¯iˆe
˙’
m tu
.
o
.
ng ´u
.
ng hai d¯ı
˙’
nh v
i
v`a v
j
.
10


.
t tˆa
.
p h˜u
.
u ha
.
n c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
m`a mˆo
˜
i phˆa
`
n tu
.
˙’
l`a mˆo
.
t cˇa
.
p hai d¯ı
˙’
nh
phˆan biˆe
.
t hay d¯ˆo
`

.
c hai d¯ı
˙’
nh.
D
-
ˆo
`
thi
.
go
.
i l`a d¯o
.
n nˆe
´
u n´o khˆong c´o khuyˆen v`a hai d¯ı
˙’
nh bˆa
´
t k`y c´o nhiˆe
`
u nhˆa
´
t mˆo
.
t ca
.
nh
liˆen thuˆo

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v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
e
1
e
2
e
3

ng ´u
.
ng d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 1.1.
1.1.4 C´ac d¯i
.
nh ngh˜ıa ch´ınh
Hai cung, hoˇa
.
c hai ca
.
nh go
.
i l`a kˆe
`
nhau nˆe
´
u ch´ung c´o ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh chung. Chˇa
˙’
ng ha
.

c cung e
k
liˆen thuˆo
.
c ch´ung. V´ı du
.
trong H`ınh 1.2 hai d¯ı
˙’
nh v
2
v`a v
3
l`a kˆe
`
nhau (liˆen
thuˆo
.
c bo
.
˙’
i ca
.
nh e
3
), nhu
.
ng d¯ı
˙’
nh v
2

.
nhˆa
`
m lˆa
˜
n) l`a sˆo
´
c´ac cung
c´o d¯ı
˙’
nh v l`a gˆo
´
c. Bˆa
.
c trong cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh v ∈ V, k´y hiˆe
.
u d
−
G
(v) (hay d
−
(v) nˆe
´
u khˆong so
.
.

(v
2
) = 1.
11

Hiˆe
˙’
n nhiˆen rˇa
`
ng, tˆo
˙’
ng c´ac bˆa
.
c ngo`ai cu
˙’
a c´ac d¯ı
˙’
nh bˇa
`
ng tˆo
˙’
ng c´ac bˆa
.
c trong cu
˙’
a c´ac
d¯ı
˙’
nh v`a bˇa
`

´
u G l`a d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng, bˆa
.
c cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh v ∈ V, k´y hiˆe
.
u d
G
(v) (hay d(v) nˆe
´
u khˆong so
.
.
nhˆa
`
m lˆa
˜
n) l`a sˆo
´

) = 3, d(v
5
) = 5.
C´ac cung (ca
.
nh) liˆen thuˆo
.
c tˆa
.
p A ⊂ V. C´ac d¯ˆo
´
i chu tr`ınh
Gia
˙’
su
.
˙’
A ⊂ V. K´y hiˆe
.
u ω
+
(A) l`a tˆa
.
p tˆa
´
t ca
˙’
c´ac cung c´o d¯ı
˙’
nh gˆo

c thuˆo
.
c
A
c
. D
-
ˇa
.
t
ω(A) = ω
+
(A) ∪ ω
−
(A).
Tˆa
.
p c´ac cung hoˇa
.
c ca
.
nh c´o da
.
ng ω(A) go
.
i l`a d¯ˆo
´
i chu tr`ınh cu
˙’
a d¯ˆo

c ca
.
nh) e ∈ E c´o tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t sˆo
´
thu
.
.
c w(e) go
.
i
l`a tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a cung e.
D
-

i
, v
j
) th`ı c˜ung c´o bˆa
´
y nhiˆeu
cung da
.
ng (v
j
, v
i
).
D
-
ˆo
`
thi
.
pha
˙’
n d¯ˆo
´
i x´u
.
ng
D
-
ˆo
`

12

D
-
ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
D
-
ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng go
.
i l`a d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
nˆe
´

.
vˆo hu
.
´o
.
ng d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
n d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c k´y hiˆe
.
u l`a K
n
.
D
-
ˆo
`
thi
.
con
Gia
˙’

c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
cu
˙’
a tˆa
.
p A v`a c´ac cung trong E
A
l`a c´ac cung cu
˙’
a G m`a hai d¯ı
˙’
nh n´o liˆen thuˆo
.
c
thuˆo
.
c tˆa
.
p A.
Nˆe
´
u G l`a d¯ˆo
`
thi
.
biˆe

a th`anh phˆo
´
D
-
`a La
.
t l`a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
con.
D
-
ˆo
`
thi
.
bˆo
.
phˆa
.
n
X´et d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, E) v`a U ⊂ E. D
-

xo´a kho
˙’
i G).
D
-
ˆo
`
thi
.
con bˆo
.
phˆa
.
n
X´et d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, E) v`a A ⊂ V, U ⊂ E. D
-
ˆo
`
thi
.
con bˆo
.
phˆa
.
n sinh bo
.

.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-cung
Ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-cung cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, E) l`a ma trˆa
.
n A = (a
ij
), i = 1, 2, . . . , n, j =
1, 2, . . . , m, v´o
.
i c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’

i
, v
j
) ∈ E th`ı tˆa
´
t ca
˙’
c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
cu
˙’
a cˆo
.
t k bˇa
`
ng
khˆong ngoa
.
i tr`u
.
a
ik
= 1, a
jk
= −1.
13


a +1 +1 0 0 0
b −1 0 +1 +1 0
c 0 −1 −1 0 +1
d 0 0 0 −1 −1





.
..................................................................................................................................................................
.
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1
e
2
e
3
e
4
e
5
H`ınh 1.3:
Nhˇa
´
c la
.
i rˇa
`
ng, ma trˆa
.
n vuˆong go
.
i l`a unimodular nˆe
´
u d¯i
.
nh th´u
.
c cu
˙’
a n´o bˇa
`

.
c d¯ı
˙’
nh-cung cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, E) l`a total unimodular.
Ch´u
.
ng minh. Ch´u ´y rˇa
`
ng ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-cung cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, E) ch´u
.
a d¯´ung
hai phˆa

˙’
c´ac ma trˆa
.
n vuˆong con khˆong suy biˆe
´
n cˆa
´
p 1
cu
˙’
a A l`a modular; gia
˙’
su
.
˙’
khˇa
˙’
ng d¯i
.
nh d¯´ung cho mo
.
i ma trˆa
.
n con khˆong suy biˆe
´
n cˆa
´
p (k − 1).
X´et ma trˆa
.

˙’
ng tˆa
´
t ca
˙’
c´ac h`ang cu
˙’
a A

l`a vector khˆong, do d¯´o c´ac
h`ang l`a d¯ˆo
.
c lˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh). Nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t cˆo
.
t cu
˙’
a A


a
ij
(bˇa
`
ng 1, hay −1) th`ı det(A

) = ± det(A

), trong d¯´o A

l`a ma trˆa
.
n vuˆong cˆa
´
p (k − 1)
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
A

bˇa
`
ng c´ach xo´a h`ang i v`a cˆo
.

˙’
nh-ca
.
nh
X´et d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng G = (V, E). Ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G l`a ma trˆa
.
n
A = (a

.
t d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G; ngo`ai ra, nˆe
´
u ca
.
nh e
k
liˆen thuˆo
.
c
hai d¯ı
˙’
nh v
i
v`a v
j
th`ı tˆa
´
t ca
˙’
c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
cu

trong H`ınh 1.4 l`a





e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
a 1 1 0 0 0
b 1 0 1 1 0
c 0 1 1 0 1
d 0 0 0 1 1





..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
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4
e
5
H`ınh 1.4:
Tr´ai v´o
.
i ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-cung, n´oi chung ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-ca
.
nh khˆong
total unimodular. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, trong v´ı du
.
trˆen, ma trˆa
.
n con

n nˆe
´
u c´o thˆe
˙’
phˆan hoa
.
ch tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh
V th`anh hai tˆa
.
p con r`o
.
i nhau V
1
v`a V
2
sao cho d¯ˆo
´
i v´o
.
i mˆo
˜
i ca
.
nh (v
i
, v

.
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a
b
c
d
e
• •
• • •
H`ınh 1.5: D
-
ˆo
`
thi
.
hai phˆa
`
n K
2,3
.
V´ı du
.
1.2.4 Dˆe
˜
kiˆe
˙’
m tra d¯ˆo
`
thi

´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u G l`a d¯ˆo
`
thi
.
hai phˆa
`
n.
Ch´u
.
ng minh. (1) Nˆe
´
u d¯ˆo
`
thi
.
l`a hai phˆa
`
n, th`ı ch´ung ta c´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng minh theo quy na
.
p rˇa
`

n vuˆong con cˆa
´
p 1; gia
˙’
su
.
˙’
khˇa
˙’
ng d¯i
.
nh d¯´ung v´o
.
i c´ac ma
trˆa
.
n vuˆong con cˆa
´
p (k − 1). X´et ma trˆa
.
n vuˆong con B cˆa
´
p k.
Nˆe
´
u mˆo
˜
i cˆo
.
t B

.
p chı
˙’
sˆo
´
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng hai phˆan hoa
.
ch cu
˙’
a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh V v`a B
i
l`a
vector h`ang cu
˙’
a B. C´ac vector h`ang phu
.
thuˆo
.
c tuyˆe
´

ij
= 1, k´y hiˆe
.
u C
l`a ma trˆa
.
n nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
B bˇa
`
ng c´ach xo´a h`ang i v`a cˆo
.
t j. Th`ı
det(B) = ± det(C) (= 0, 1 hoˇa
.
c − 1 theo quy na
.
p).
(2) Mˇa
.
t kh´ac, dˆe
˜
d`ang ch´u

nh trˆen chu tr`ınh l`a le
˙’
-xem Phˆa
`
n 1.3) c´o d¯i
.
nh th´u
.
c bˇa
`
ng ±2. Do
d¯´o G khˆong ch´u
.
a chu tr`ınh d¯ˆo
.
d`ai le
˙’
v`a v`ı vˆa
.
y n´o l`a hai phˆa
`
n theo bˆo
˙’
d¯ˆe
`
sau. 
Bˆo
˙’
d¯ˆe
`

`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n. Do V d¯u
.
o
.
.
c phˆan hoa
.
ch th`anh V
1
v`a V
2
:
V = V
2
∪ V
2
, V
1
∩ V
2
= ∅.
16

Gia
˙’

´
y v
i
1
∈ V
1
. Do G l`a hai phˆa
`
n, nˆen hai d¯ı
˙’
nh liˆen tiˆe
´
p trˆen
chu tr`ınh µ pha
˙’
i c´o mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh thuˆo
.
c V
1
v`a d¯ı
˙’
nh kia thuˆo
.
c V
2
. Do d¯´o v

n. M`a chu tr`ınh µ c´o d¯ˆo
.
d`ai le
˙’
nˆen
v
i
q
∈ V
1
v`a bo
.
˙’
i vˆa
.
y v
i
1
∈ V
2
. D
-
iˆe
`
u n`ay mˆau thuˆa
˜
n v´o
.
i V
1

n
ta
.
i chu tr`ınh c´o d¯ˆo
.
d`ai le
˙’
.
Cho
.
n d¯ı
˙’
nh bˆa
´
t k`y, chˇa
˙’
ng ha
.
n v
i
v`a g´an nh˜an cho n´o l`a “ + ”. Sau d¯´o lˇa
.
p la
.
i c´ac ph´ep
to´an sau:
Cho
.
n d¯ı
˙’

˙’
nh v
j
.
Tiˆe
´
p tu
.
c qu´a tr`ınh n`ay cho d¯ˆe
´
n khi xa
˙’
y ra mˆo
.
t trong hai tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p:
(a) Tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh d¯˜a d¯u
.

.
n v
j
k
, d¯u
.
o
.
.
c g´an hai nh˜an kh´ac nhau.
Trong Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p (a), d¯ˇa
.
t V
1
l`a tˆa
.
p tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh d¯u

a c´ac cˇa
.
p d¯ı
˙’
nh c´o nh˜an
kh´ac nhau nˆen d¯ˆo
`
thi
.
G l`a hai phˆa
`
n.
Trong Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p (b), d¯ı
˙’
nh v
j
k
d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an “+” do

k
. Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, d¯ı
˙’
nh v
j
k
d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an “−” do
.
c theo mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n µ
2
n`ao d¯´o, v´o
.
i c´ac
d¯ı

t`u
.
d¯ı
˙’
nh v
i
d¯ˆe
´
n d¯ı
˙’
nh v
j
k
sau d¯´o d¯i ngu
.
o
.
.
c la
.
i do
.
c theo µ
2
vˆe
`
la
.
i v
i

i
.
nh l´y d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh. 
1.2.3 Ma trˆa
.
n kˆe
`
hay ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-d¯ı
˙’
nh
Gia
˙’
su
.
˙’
G = (V, E) l`a d¯ˆo
`

nh l`a ma trˆa
.
n vuˆong A = (a
ij
) cˆa
´
p n × n
17

v´o
.
i c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
0 hoˇa
.
c 1:
a
ij
:=

1 nˆe
´
u (v
i
, v
j
) ∈ E,

˙’
a d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
c˜ung c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh
ngh˜ıa bˇa
`
ng c´ach xem mˆo
˜
i ca
.
nh (v
i
, v
j
) tu
.
o

u diˆe
˜
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
D
-
ˆe
˙’
mˆo ta
˙’
mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
, ta c´o thˆe
˙’
su
.
˙’
du
.
ng mˆo
.
t sˆo

cu
˙’
a
thuˆa
.
t to´an.
C´o hai c´ach biˆe
˙’
u diˆe
˜
n ch´ınh: Th´u
.
nhˆa
´
t, su
.
˙’
du
.
ng ma trˆa
.
n kˆe
`
hoˇa
.
c c´ac dˆa
˜
n xuˆa
´
t cu

`
Ch´ung ta biˆe
´
t rˇa
`
ng c´ac ma trˆa
.
n kˆe
`
cho ph´ep miˆeu ta
˙’
hoˇa
.
c c´ac 1-d¯ˆo
`
thi
.
d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng, hoˇa
.
c
c´ac d¯o
.
n d¯ˆo
`

tin, gˆo
`
m c´ac bit 0 v`a 1, cˆa
`
n lu
.
u tr˜u
.
l`a n
2
. C´ac bit c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c kˆe
´
t ho
.
.
p trong c´ac t`u
.
. K´y
hiˆe
.
u w l`a d¯ˆo
.
d`ai cu

.
mˆo
.
t d˜ay n bit trong n/w t`u
.
1
. Do d¯´o sˆo
´
c´ac t`u
.
d¯ˆe
˙’
lu
.
u tr˜u
.
ma trˆa
.
n kˆe
`
l`a nn/w.
Ma trˆa
.
n kˆe
`
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi

.
u tr˜u
.
n`ay, s˜e tˇang d¯ˆo
.
ph´u
.
c
ta
.
p v`a th`o
.
i gian t´ınh to´an trong mˆo
.
t sˆo
´
b`ai to´an.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´ac ma trˆa
.
n thu
.
a (m  n
2

n n`ay l`a l˜ang ph´ı. Do d¯´o ta s˜e t`ım c´ach biˆe
˙’
u diˆe
˜
n chı
˙’
c´ac
phˆa
`
n tu
.
˙’
kh´ac khˆong.
V`ı mu
.
c d¯´ıch n`ay ta s˜e su
.
˙’
du
.
ng mˆo
.
t ma
˙’
ng danh s´ach kˆe
`
cho d¯ˆo
`
thi
.

˙’
ng c´ac con tro
˙’
V out[1], V out[2], . . . , V out[n], trong d¯´o
mˆo
˜
i con tro
˙’
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh trong d¯ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng. Mˆo
˜

a n´ut tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d¯ı
˙’
nh v
i
v`a ch´u
.
a mˆo
.
t con tro
˙’
1
K´y hiˆe
.
u x l`a sˆo
´
nguyˆen nho
˙’
nhˆa
´
t khˆong b´e ho
.
n x.
18


.
ng t`u
.
v
i
ra).
Mˆo
˜
i n´ut kˆe
`
c´o hai tru
.
`o
.
ng:
1. Tru
.
`o
.
ng sˆo
´
nguyˆen: lu
.
u tr˜u
.
sˆo
´
hiˆe
.
u cu

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H`ınh 1.6:
C´ach biˆe
˙’
u diˆe
˜
n ma
˙’
ng danh s´ach kˆe
`
V out[] cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng trong H`ınh 1.6 d¯u
.
o
.
.
c
cho tu
.
o
.
ng ´u

V out[1]
..........................................................
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v
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v

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1
v
3
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V out[3]
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nh d¯i d¯ˆe
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˙’
lu
.
u tr˜u
.
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`
thi
.
thˆong qua ma
˙’
ng c´ac danh s´ach
19

kˆe
`
V in[i]. H`ınh 1.8 minh ho
.
a ma
˙’
ng c´ac danh s´ach kˆe

.
ng, V in[]) l`a nh˜u
.
ng chı
˙’
sˆo
´
cˆo
.
t
(tu
.
o
.
ng ´u
.
ng, h`ang) trong ma trˆa
.
n kˆe
`
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
m`a o
.
˙’
d¯´o sˆo

ng sˆo
´
, t´u
.
c l`a nˆe
´
u mˆo
˜
i cung hoˇa
.
c ca
.
nh e ∈ E c´o mˆo
.
t tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng w(e),
ta chı
˙’
cˆa
`
n mo
.
˙’
rˆo

˙’
a cung.
C´ach biˆe
˙’
u diˆe
˜
n bˇa
`
ng danh s´ach kˆe
`
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c c`ai d¯ˇa
.
t trong ngˆon

thi
.
, ta c´o thˆe
˙’
su
.
˙’
du
.
ng c´ac thu
˙’
tu
.
c
MakeV out() v`a MakeV in() tu
.
o
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ng ´u
.
ng.
N´ut d¯ˆa
`
u
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ng d¯ˆo
`
thi
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Su
.
˙’
du
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ng c´ac ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-cung hoˇa
.
c d¯ı
˙’
nh-ca
.
nh
Ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
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c d¯ı

˙’
kh´ac khˆong trong mˆo
˜
i
cˆo
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t, nˆen c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n thˆong tin o
.
˙’
da
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ng th´ıch ho
.
.
p ho
.
n.
Ch´ung ta d¯i
.
nh ngh˜ıa hai ma
˙’
ng tuyˆe
´
n t´ınh α[] v`a β[] chiˆe

.
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c. Trong tru
.
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ng ho
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p c´o hu
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ng, ch´ung ta quyˆe
´
t d¯i
.
nh α[k] l`a d¯ı
˙’
nh gˆo
´
c v`a β[k] l`a d¯ı
˙’
nh
ngo
.
n cu
˙’
a cung e
k
.

thi
.
cu
˙’
a H`ınh 1.9 trong d¯´o c´ac cung d¯u
.
o
.
.
c d¯´anh sˆo
´
, ta nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c
k 1 2 3 4 5 6 7 8
α 1 3 1 2 2 3 2 2
β 3 1 3 1 1 2 3 2
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˆo

.
ng cu
˙’
a mˆo
˜
i ca
.
nh hoˇa
.
c cung v´o
.
i tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t c´ac ma
˙’
ng α[] v`a β[].
Vˆe
`
c´ach kh´ac biˆe
˙’
u diˆe
˜

.
a c´ac biˆe
˙’
u diˆe
˜
n
Dˆe
˜
d`ang thˆa
´
y rˇa
`
ng tˆo
`
n ta
.
i c´ac thuˆa
.
t to´an d¯a th´u
.
c d¯ˆe
˙’
chuyˆe
˙’
n d¯ˆo
˙’
i gi˜u
.
a c´ac kiˆe
˙’

liˆe
.
u, cˆa
`
n c´ac chu
.
o
.
ng tr`ınh thu
.
.
c hiˆe
.
n d¯iˆe
`
u n`ay (b`ai
tˆa
.
p). C´ac biˆe
˙’
u diˆe
˜
n n`ay c´o thˆe
˙’
ca
˙’
i biˆen cho ph`u ho
.
.
p v´o

da
.
ng tu
.
`o
.
ng minh
Ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-cung
hoˇa
.
c ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-ca
.
nh
da
.
ng tu
.
`o

˙’
nh-ca
.
nh
da
.
ng kˆe
´
t theo h`ang
Ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-cung
hoˇa
.
c ma trˆa
.
n liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh-ca
.
nh
da
.
ng kˆe

↓
↑
|
O(m)
|
↓
H`ınh 1.10: Mˆo
´
i liˆen hˆe
.
v`a d¯ˆo
.
ph´u
.
c ta
.
p t´ınh to´an khi chuyˆe
˙’
n d¯ˆo
˙’
i gi˜u
.
a c´ac biˆe
˙’
u diˆe
˜
n kh´ac
nhau trong d¯ˆo
`
thi

.
ng (c`on go
.
i l`a ma trˆa
.
n chi ph´ı
hay khoa
˙’
ng c´ach) cˆa
´
p n × n trong d¯´o phˆa
`
n tu
.
˙’
(i, j) bˇa
`
ng tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a ca
.
nh hay cung
(v

a d¯ˆo
`
thi
.
. Do d¯´o, viˆe
.
c cho
.
n lu
.
.
a c´ac cˆa
´
u tr´uc d˜u
.
liˆe
.
u mˆo
.
t c´ach th´ıch ho
.
.
p l`a quan tro
.
ng.
22

1.3 T´ınh liˆen thˆong
1.3.1 Dˆay chuyˆe
`

n v
k
d¯ˆo
.
d`ai k l`a mˆo
.
t d˜ay xen k˜e (k + 1) d¯ı
˙’
nh v`a k ca
.
nh bˇa
´
t d¯ˆa
`
u t`u
.
v
0
v`a kˆe
´
t th´uc ta
.
i v
k
,
µ := {v
0
, e
1
, v

n tiˆe
.
n, ta thu
.
`o
.
ng viˆe
´
t
µ := {e
1
, e
2
, . . . , e
k
}.
Dˆay chuyˆe
`
n d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a d¯o
.
n gia
˙’
n (tu

`
n trong d¯´o d¯ı
˙’
nh d¯ˆa
`
u tr`ung v´o
.
i d¯ı
˙’
nh cuˆo
´
i. Chu tr`ınh qua
mˆo
˜
i ca
.
nh d¯´ung mˆo
.
t lˆa
`
n go
.
i l`a d¯o
.
n gia
˙’
n. Chu tr`ınh l`a so
.
cˆa
´

vˆe
`
).
D
-
ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 1.11 c´o
(a, e
1
, b, e
2
, c, e
3
, d, e
4
, b)
l`a dˆay chuyˆe
`
n t`u
.
d¯ı
˙’
nh a d¯ˆe
´
n d¯ı
˙’
nh b c´o d¯ˆo

.
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a
b
c
d
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•

.
nh song song (t´u
.
c l`a hai d¯ı
˙’
nh c´o nhiˆe
`
u nhˆa
´
t mˆo
.
t
ca
.
nh liˆen thuˆo
.
c ch´ung), d¯ˆe
˙’
d¯o
.
n gia
˙’
n dˆay chuyˆe
`
n µ d¯u
.
o
.
.
c viˆe

0
, v
k
l`a c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng G := (V, E). D
-
u
.
`o
.
ng d¯i µ t`u
.
v
0
d¯ˆe
´
n v
k
d¯ˆo

2
, . . . , v
k−1
, e
k
, v
k
},
trong d¯´o cung e
i
liˆen thuˆo
.
c c´ac d¯ı
˙’
nh v
i−1
v`a v
i
, i = 1, 2, . . . , k. D
-
ˆe
˙’
gia
˙’
n tiˆe
.
n, ta c´o thˆe
˙’
k´y
hiˆe

, e
6
, e
5
, e
9
}
µ
3
:= {e
1
, e
6
, e
5
, e
9
, e
10
, e
6
, e
4
}
l`a c´ac d¯u
.
`o
.
ng d¯i.
D

n, nhu
.
ng d¯u
.
`o
.
ng d¯i µ
3
khˆong d¯o
.
n gia
˙’
n do n´o su
.
˙’
du
.
ng cung e
6
hai lˆa
`
n.
D
-
u
.
`o
.
ng d¯i l`a so
.

3
l`a khˆong so
.
cˆa
´
p. Hiˆe
˙’
n nhiˆen, d¯u
.
`o
.
ng d¯i so
.
cˆa
´
p l`a d¯o
.
n
gia
˙’
n nhu
.
ng ngu
.
o
.
.
c la
.
i khˆong nhˆa

ng d¯i µ
2
v`u
.
a d¯o
.
n gia
˙’
n v`a v`u
.
a so
.
cˆa
´
p, d¯u
.
`o
.
ng d¯i µ
3
khˆong
d¯o
.
n gia
˙’
n c˜ung khˆong so
.
cˆa
´
p.

.
´o
.
ng cu
˙’
a c´ac cung.
D
-
u
.
`o
.
ng d¯i c˜ung c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n bo
.
˙’
i d˜ay c´ac d¯ı
˙’
nh m`a ch´ung d¯i qua trong tru
.

nh {v
2
, v
5
, v
4
, v
3
, v
5
, v
6
}.
Ma
.
ch l`a mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng d¯i {e
1
, e
2
, . . . , e
k
} trong d¯´o d¯ı
˙’
nh gˆo

ch.
1.3.3 T´ınh liˆen thˆong
D
-
ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng go
.
i l`a liˆen thˆong nˆe
´
u tˆa
´
t ca
˙’
c´ac cˇa
.
p d¯ı
˙’
nh v
i
v`a v
j
tˆo
`

c tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n nˆo
´
i hai d¯ı
˙’
nh v
i
v`a v
j
l`a quan hˆe
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng (pha
˙’
n xa
.

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