De_bai_bai_01.pdf
Dap_an_bai_01.pdf
De_bai_bai_02.pdf
Dap_an_bai_02.pdf
De_bai_bai_03.pdf
Dap_an_bai_03.pdf
Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC CÔSI ðỂ CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM
MIN, MAX Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2 2 2 4
x x x
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +

Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x
+ + ≥
+ + +

= + + + + +
   
 
 
   

………………….Hết…………………

Nguồn: Hocmai.vn

Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI SỬ DỤNG BẤT ðẲNG THỨC CÔSI ðỂ CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM
MIN, MAX Bài 1: Cho 3 số dương tùy ý x,y,z.
CMR:
3
2 2 2 4
x x x
x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +

Giải:

 


   
+ + +

⇒ ≤ + ⇒ ≤ + + =

   
+ + + + + + +
   


 

=≤ +
 
+ + + +

 


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
Bài 2: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn: xyz=1
CMR:
2 2 2
3
1 1 1 2
x y z
y z x

+ ≥

+


−
+ + + + + + −

+ ≥ ⇒ ≥ + + − = ≥ =

+


+
+ ≥

+



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
Bài 3: Cho 3 số không âm tùy ý x,y,z thõa mãn: x+y+z=0.
Bài 1: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi c/m BðT và tìm Min, Max – LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
CMR:
2 4 2 4 2 4 3 3
x y z
+ + + + + ≥

Giải:



= ⇒ + + + + + ≥
 
=


=

 
+ = + + ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥ + +
 
 
≥ =

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0
Bài 4: Cho 3 số dương tùy ý a,b,c:
Tìm Min:
3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2 2
4( ) 4( ) 4( ) 2
a b c
A a b b c c a
b c a
 
= + + + + + + + +
 
 


 
 
+ ≥ ⇒ + ≥
⇒ + + + + + ≥ + + ≥
 
 
+ + ≥ ⇒ ≥ + ≥ ⇒ =
 
 
 
 

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi a=b=c=1.
Bài 5
: Cho 3 s
ố
d
ươ
ng tùy ý x,y,z.
Tìm Min c
ủ
a:
1 1 1
2 2 2

m b
ả
o – Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả
i
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 3 of 3

( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3
2
3
2
3
2
3
1 1
2 2 2

ả
y ra khi và ch
ỉ
khi x=y=z=1
………………….Hết………………… Nguồn:
Hocmai.vn

Bài 2: SD chiều biến thiên c/m BðT và tìm Min,Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BTVN BÀI SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM
MIN, MAX CỦA HÀM SỐBài 1: Tìm Min, Max của:
( )
( )
2
2 2 2 2
3 12
xy
A
x y x x y
=
+ + +

i m
ọ
i tam giác ABC ta luôn có:
Bài 5
: Cho 2 s
ố
không âm tùy ý x,y thõa mãn x+y=1: Tìm Min, Max c
ủ
a:
1 1
x y
S
y x
= +
+ +
………………….Hết…………………
Nguồn:
Hocmai.vn

Bài 2: SD chiều biến thiên c/m BðT và tìm Min,Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BTVN BÀI SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CHỨNG MINH BðT VÀ TÌM
MIN, MAX CỦA HÀM SỐ


2
2
2 2
1
ó : . :
3 1 1 12
1 1 12
1
1
1 3 12
1 3 1 1 12
3 1 1 12
1 1 12 1 1
. : 1 12 ( 1) 3 ( )
3 12 4 3
1
'( ) 0 3 ( ) (
3
y
Ta c A Coi t
x
x y
y x
t t
t
A
t t
t t
t
t

= = + ≥ ⇒ = =
+ +
= −

⇒ = ⇔ ⇒ = ≤

=

1 1
3) ax .
6 18
à : lim ( ) 0 0
u
M A
V f u MinA
→∞
= ⇒ =
= ⇒ =

Bài 2: Cho 3 số thực thõa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
=1.
Tìm Min, Max của:
( ) ( )
P x y z xy yz zx
= + + − + +



= − = − +

Bài 2: SD chi
ề
u bi
ế
n thiên c/m B
ð
T và tìm Min,Max – Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Kh
ả
i.
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ

5
4 4 (5 4 )
4 ( )
4
4 0 , 5
16 16 1 16 1
: à : ( )
5 4 5
5
0
16 1 16
'( ) 0 (1) 1 5
5
4
5
3
y y
y x y
A
xy y y
y y
a y a b
a b
Coi V A f a
b y a b
ab b a a a
a
f a MinA f
a
a

Bài 4
: CMR: V
ớ
i m
ọ
i tam giác ABC ta luôn có:

1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A A A
c c c
A A A
+ + +
+ + >Giải:

Xét hàm s
ố
:
2
cos 1
2
x
y x
= + −
cos 1 ;cos 1 ;cos 1
2 8 2 8 2 8
A A B B C C
> − > − > −

Bài 2: SD chi
ề
u bi
ế
n thiên c/m B
ð
T và tìm Min,Max – Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Kh
ả
i.
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ

x y
S
y x
= +
+ +Giải:
Ta có:

2 2
2
2
( ) ( ) 2 2
.
1 1 ( ) 1 2
( ) 1 1 2 2 6
à : 0 . : 0; à 2 ( )
4 4 4 2 2
1 2
inS ( )
6
' 0
4 3
( 2)
ax (0) 1
x y x y x y xy
S
y x xy x y xy
x y tBài 3: Sử dụng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN SỬ DỤNG CÁC PP KHÁC CM BðT VÀ TÌM MIN, MAX CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn ñiều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:

2 2 2
3 3 3
1
x y z
P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +

Bài 2: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2
(*)
1 . 1 1 . 1 1 . 1
a c a b b c
a c a b b c
− − −
≤ +
+ + + + + +

= + +
− − −

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Bài 3: Sử dụng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN SỬ DỤNG CÁC PP KHÁC CM BðT VÀ TÌM MIN, MAX CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Cho 3 số dương x,y,z thõa mãn ñiều kiện: xyz=1. Chứng minh rằng:

2 2 2
3 3 3
1
x y z
P
x y y z y z z x z x x y
= + + ≥
+ + + + + +

Giải:

2 3

⇔ = + +
+ + + + + +
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
3
2 2
1
ì : ( ) . à :
3
2
2 ( ) 2 2 1.
3 3
x y x xy y x xy y
x y m
x xy y x xy y x xy y
x y x y
P x y z xyz P
x xy y
+ − + − +
= + ≥
+ + + + + +
+ +
⇒ ≥ ⇒ = + + ≥ = ⇒ ≥
+ +Bài 2: Cho 3 số thực a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

− = − + − = − − + − −
≤ − − + − − ≤ − + −
α
β α β β γ α γ
γ
α γ α β β γ α β β γ α β β γ
α β β γ α β β γ α β β γ

 ðiều phải chứng minh.
Bài 3: Cho 4 số thực a,b,c,d thõa mãn: a
2
+b
2
=1; c – d =3. Chứng minh:
Bài 3: Sử dụng các PP khác c/m BðT và tìm Min, Max – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Page 2 of 3

9 6 2
4
F ac bd cd
+
= + − ≤

Giải:
Gọi:

(
)
(

ừ
O.

2
3 2 3 2 2 22 12 2
1
2 2 4
22 12 2 11 6 2 9 6 2
10 2 5
4 4 4
AB Min OB OA AB
F F F
− −
⇒ = − = − = ⇒ ≥
− − +
⇒ − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≤

Bài 4
: Cho:
0;
a c b c
≥ ≥ ≥
Ch
ứ
ng minh:

( ) ( )
c a c c b c ab
− + − ≤


ề
u ki
ệ
n: xy + yz + zx = 1. Tìm Min c
ủ
a:

2 2 2
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
− − −Giải:

ðặ
t
tan ; tan ; tan
2 2 2
A B C
x y z= = =

Bài 3: S
ử
d
ụ
ng các PP khác c/m B

2
1 tan 1 tan 1 tan
2 2 2
ì : ó : t anA tan tan t anA.tan .tan 3 t anA.tan .tan
3 3
t anA tan tan t anA.tan .tan 3 3
2
A B C
P B C
A B C
V Trong ABC ta c B C B C B C
B C B C P
⇒ = + + = + +
− − −
∆ + + = ≥
⇒ + + = ≥ ⇒ ≥

D
ấ
u “=” x
ả
y ra khi và ch
ỉ
khi A=B=C=60
0
hay
1
3
x y z= = =