MỤC LỤC
i
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ
DH Dạy học
GV Giáo viên
HS Học sinh
KN Khái niệm
PPDH Phương pháp dạy học
SGK Sách giáo khoa
SGV Sách giáo viên
ii
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng Nội dung Trang
2.1
So sánh phương pháp bổ sung và phương pháp nhúng đẳng
cấu
56
3.1 Mục tiêu, yêu cầu của việc dạy học phân số 76
3.2 So sánh “phân số - thương” và “phân số - tỉ số” 89
3.3
Tổng kết các cách tiếp cận khái niệm phân số ở các cấp độ
khác nhau
90
3.4
Thống kế số lượng bài tập liên quan đến khái niệm phân số
92
3.5 Phân loại kiểu nhiệm vụ theo các cách tiếp cận phân số 93
3.6
Thống kê các bài tập phân loại theo các cách tiếp cận phân
số

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ
Sơ đồ Nội dung Trang
1
Cơ chế hoạt động của khái niệm gắn liền với hoạt động
giải toán
4
2 Tiến trình nghiên cứu của luận án 13
3.1 Quan hệ giữa các cách tiếp cận phân số 90
3.2 Tiến trình đưa vào các loại phân số trong các SGK 91
3.3 Tiến trình đưa vào phân số theo các cách tiếp cận 91
3.4 Hình thức thể hiện của khái niệm phân số 91
3.5 Tiến trình đưa vào phân số theo cơ chế hoạt động 91
4.1
Tiến trình dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải
toán
103
v
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán
ở tiểu học
Ở Việt Nam, khái niệm (KN) phân số được đề cập ở hầu hết tất cả khối lớp ở
tiểu học trừ khối 1. Thậm chí, nó còn được tiếp tục nghiên cứu trong chương trình
toán ở lớp 6. Điều đó cho thấy tầm quan trọng của mảng kiến thức số học này trong
chương trình toán phổ thông.
Ngoài ra, việc dạy học (DH) KN phân số có mối liên hệ chặt chẽ đến DH các
kiến thức số học: số tự nhiên, hỗn số, số thập phân,…Bên cạnh đó, phân số còn là
cơ sở ban đầu để hình thành hỗn số và số thập phân. Do vậy, DH KN phân số ít
nhiều cũng ảnh hưởng đến DH các loại số khác. Hơn nữa, KN phân số còn hiện
diện trong các mạch kiến thức khác ở tiểu học: hình học, số đo đại lượng, giải toán

Ví dụ: GV có thể trình bày KN phân số thông qua hoạt động giải toán “Có 3
quả cam chia đều cho 4 bạn. Hỏi mỗi bạn được bao nhiều phần của quả cam?” Bằng
cách cung cấp bối cảnh hoạt động giải toán như thế, GV có thể đạt nhiều mục tiêu:
tạo ra các cơ hội cho HS khám phá KN phân số (gợi động cơ), làm cho KN phân số
càng cụ thể hơn, cung cấp cho HS thấy được ý nghĩa của việc học phân số.
Trong quyển “Sáng tạo toán học” [49], George Polya giới thiệu rằng hoạt động
giải toán có thể được giảng dạy như là một nghệ thuật thực tế, giống như chơi piano
hay bơi lội. Polya nhận thấy hoạt động giải toán như là một nghệ thuật nhận thức và
khám phá. Ông khuyến khích nên trình bày toán học không phải là tập hợp các sự
kiện và qui tắc, mà như là một khoa học thực nghiệm và qui nạp.
Hoạt động giải toán như là một nghệ thuật có ý nghĩa phát triển khả năng của
HS để trở thành người giải quyết vấn đề khéo léo và nhiệt tình, suy nghĩ độc lập,
những người có khả năng ứng phó với các bài toán có kết thúc mở hay bài toán khó.
1.2.2. Dạy học thông qua hoạt động giải toán phù hợp với quan điểm sư phạm
hiện nay
 Hoạt động giải toán thích ứng với xu hướng DH của thực tiễn nước ta:
2
- Trong những năm gần đây, chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo tập trung
vào quan điểm DH “lấy HS làm trung tâm”. Trong đó, vai trò tự khám phá tri thức
của HS được nhấn mạnh. Hoạt động giải toán thích hợp với yêu cầu này bởi vì các
em sẽ tự mình kiến tạo tri thức mới thông qua việc tìm kiếm lời giải cho bài toán.
- Trong DH toán, người ta quan tâm đến một số lí thuyết DH hiện đại: lí thuyết
hoạt động, lí thuyết kiến tạo, lí thuyết tình huống Điểm chung của các lí thuyết
này là tập trung vào vai trò hoạt động của HS. Do vậy, hoạt động giải toán vẫn đảm
bảo được yếu tố hoạt động của HS, trong đó bản thân trẻ khám phá ra các chiến
lược giải bài toán, cùng với bạn bè và GV để thể chế hóa được kiến thức mới.
- Ngoài ra, nhà trường chú trọng hơn những PPDH tích cực: DH khám phá, DH
phát hiện và giải quyết vấn đề, DH theo dự án, DH hợp tác,… Các PPDH này yêu
cầu GV giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, trong khi đó HS tích cực chủ động, sáng
tạo, tự giác để kiến tạo tri thức mới. Hơn thế nữa, chúng luôn tạo điều kiện cho

bài toán mà cho phép nó giải quyết. Hiện nay, GV cung cấp cho HS những vấn đề
rất “sạch sẽ”, các KN hoàn hảo, không cho phép các em thấy được nguồn gốc hay
điều kiện nảy sinh gắn liền với tri thức. Điều này đôi khi không đảm bảo được qui
trình nhận thức của HS.
Tóm lại, nghiên cứu hoạt động giải toán cho phép nối khớp giữa đặc trưng khoa
học luận của KN và qui trình nhận thức toán học của HS. Để minh chứng cho điều
này, chúng tôi sẽ tiếp cận những hoạt động giải toán liên quan đến chủ đề phân số.
1.3. Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu
khoa học
Tác giả Nguyễn Hoài Anh nghiên cứu về việc sử dụng máy tính điện tử trong
DH phân số ở tiểu học. Thêm vào đó, tác giả này cũng xuất bản một bài báo trên
Tạp chí Sách và thiết bị với tên là “So sánh nội dụng chủ đề phân số trong chương
trình môn toán ở tiểu học của hai nước Việt Nam và Brunei” (trích từ [105]).
Công cụ ngầm ẩn
→
Đối tượng
→
Công cụ tường minh
Giải bài toán
→
Nghiên cứu KN
→
Giải toán
4
Một nghiên cứu khác liên quan đến KN phân số thuộc về tác giả Phạm Ngọc
Bảo [1]. Tác giả nghiên cứu “Đào tạo GV tiểu học về bước chuyển từ phân số như
là những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị đến phân số như là thương ở lớp 3 và lớp
4”. Trong luận văn này, tác giả tiến hành một thực nghiệm để chỉ ra rằng HS gặp
nhiều khó khăn trong việc giải quyết những tình huống nhắm tới thiết lập mối quan
hệ giữa phép chia hai số tự nhiên và phân số, giữa phân số đơn vị và phân số

Figueras (1991) trình bày bản tóm tắt của việc sử dụng các phân số và số hữu tỉ
trong thực tế. Nghiên cứu của ông cung cấp một số quan điểm DH hữu ích cho các
ví dụ SGK dựa trên những tình huống thực tế mà trong đó có sử dụng phân số.
Nghiên cứu này phù hợp với xu hướng DH toán hiện nay – DH bằng mô hình hóa
(trích theo [85]).
Behr, Lesh, Post, Silver (1992, 1993) tổ chức buổi thảo luận về hoạt động
giảng dạy, trong đó phân biệt các giai đoạn học tập KN phân số và số hữu tỉ, đồng
thời phân tích ngôn ngữ của việc dạy phân số trong lớp học (trích theo [89]).
Streefland (1990, 1991, 1993) cung cấp các ví dụ học tập và giảng dạy phân số
trong thực tiễn nhằm giải thích nhu cầu học tập phân số xuất phát từ cuộc sống hàng
ngày. Nghiên cứu này tương đồng với nghiên cứu của Figueras (trích theo [89]).
Graeber, Tanenhaus (1993) đề xuất cách tiếp cận phân số thông qua các tình
huống đo lường và do đó chúng mang lại nghĩa cho HS xây dựng kiến thức theo
chủ đề này. Thế nhưng, nghiên cứu này chưa mang lại đầy đủ các nghĩa khác nhau
của phân số như trong lịch sử (trích theo [86]).
Gray (1993) được nhắc đến như tác giả nghiên cứu những vấn đề thường gặp
trong việc chuyển từ số tự nhiên sang phân số cũng như các khó khăn có liên quan.
Đây là một nghiên cứu khá thú vị, thế nhưng các nguyên nhân của khó khăn, sai
lầm không được giải thích dưới ngôn ngữ của didactic toán (trích theo [93]).
Davis, Hunting, Pearn (1993a, b) đề xuất sử dụng các sơ đồ để biểu diễn mối
quan hệ giữa các số tự nhiên và các phân số. Nghiên cứu của họ gắn liền một thực
nghiệm giảng dạy hơn 2 năm với các em HS từ 8 đến 10 tuổi (trích theo [90]).
6
Giménez (1994) cho rằng cần phân biệt giữa "chia" theo ngôn ngữ đời thường
và "phân số" trong toán học, bằng cách sử dụng những kinh nghiệm, những câu
chuyện để kích thích nhận thức của HS. Tất cả được thiết kế nhằm tạo ra mối liên
kết giữa các tình huống trong đó có sử dụng phân số (trích theo [92]).
Kamii, Clark (1995) xem xét các câu hỏi về những khó khăn cho việc hiểu biết
mối quan hệ tương đương giữa các phân số (phân số bằng nhau). Nghiên cứu này
cho biết thêm về cách tiếp cận phân số dựa trên lí thuyết tập hợp (trích theo [91]).

Bernardo Gómez Alfonso (2005) nghiên cứu những khó khăn liên quan đến
nhân và chia các phân số. Ông cố gắng giải thích các khó khăn theo hướng tiếp cận
lịch sử. Cụ thể, các nguyên nhân sai lầm như thế có nguồn gốc từ việc áp dụng các
phép tính đối với số tự nhiên. Tuy vậy, tác giả chưa chỉ ra cách để tạo điều kiện
thuận lợi cho việc thay đổi quan niệm ở trẻ (trích theo [89]).
Trong một nghiên cứu của Brizuela (2006), đối với trẻ “phân số là một phần
thiết yếu của cuộc sống hàng ngày của họ” mặc dù họ không nhất thiết phải hiểu
được ý nghĩa của một phân số (trích ra từ [89]).
Trong bài viết “Mở rộng nghĩa của kí hiệu phân số: một thực nghiệm sư
phạm”, K. Subramanariam (2006) mở rộng nghĩa phân số với quan hệ số phần /
toàn thể sang quan hệ nhân với vai trò là một toán tử. Thực nghiệm giúp HS hiểu
sâu hơn về suy luận của phép nhân. Từ đó, nó tạo điều kiện cho HS trong việc giải
quyết vấn đề và học tập các phép tính đại số ([82]).
Neumer (2007) được nhắc đên vì ông đã chỉ ra KN hỗn số và phân số thực sự
gây nhầm lẫn cho HS, bởi vì họ không hiểu tử số lớn hơn mẫu số, cũng như thực tế
là một số nguyên có thể được viết bên cạnh một phân số (trích theo [89]).
Trong bài báo “The development, and the developing of the conception of a
fraction”, László Filep trình bày sơ lược về lịch sử KN phân số. Thế nhưng trong
nghiên cứu này ông chỉ làm rõ cách tiếp cận phân số dựa trên phép chia và những
điều cần lưu ý về mặt sư phạm. Rõ ràng, đây cũng không phải là công trình nghiên
8
cứu khoa học luận. Hơn thế nữa, KN phân số không chỉ hình thành dựa trên phép
chia mà còn nhiều cách tiếp cận khác ([83]).
Mathar Isabel Fandino Pinila (2007) đưa ra một nghiên cứu về phân số trong
“Fractions: Conceptual and Didactic Aspects”. Trong đó, ông nhấn mạnh rằng việc
DH phân số thường không thành công do bởi một số nguyên nhân. Tác giả tập hợp
các nguyên nhân dẫn đến việc học phân số không thành công dựa trên những nghiên
cứu giáo dục toán. Các nguyên nhân đó có thể là: hợp đồng didactic, chướng ngại
khoa học luận, khó khăn,…Do vậy, nghiên cứu này được thực hiện dưới một số
công cụ lí thuyết của didactic toán. Tuy nhiên, tác giả cũng chưa tiến hành công

Tóm lại, KN phân số được rất nhiều nhà giáo dục quan tâm. Tất cả thể hiện
được ý nghĩa và vai trò của nó trong giảng dạy và khoa học toán. Có rất nhiều công
trình liên quan KN phân số. Thế nhưng, ở Việt Nam chưa có công trình nào nghiên
cứu KN phân số theo tiến trình: nghiên cứu khoa học luận  nghiên cứu thể chế
đào tạo GV  nghiên cứu thể chế DH toán ở tiểu học  nghiên cứu thực nghiệm.
Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi mà việc giải đáp chúng
sẽ gợi ra những cái mới và đóng góp của luận án:
- Trong thể chế DH toán tiểu học ở Việt Nam, KN phân số được đưa vào như
thế nào? Xoay quanh những dạng toán nào?
- GV DH toán ở trường tiểu học Việt Nam có quan niệm như thế nào về KN
phân số và DH phân số?
- GV sử dụng những hoạt động giải toán gì để hình thành kiến thức gắn liền với
KN phân số? Đặc trưng của những hoạt động đó ra sao?
- Hoạt động giải toán nào được GV lựa chọn để giúp HS phát hiện và sửa chữa
các sai lầm khi học chủ đề phân số?
Từ những lí do trên đây, chúng tôi đặt vấn nghiên cứu của luận án:
“Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài
toán”
10
2. Giới hạn của đề tài
Ở đây, chúng tôi chọn ra một KN toán học có nhiều công trình nghiên cứu:
phân số. Bên cạnh đó, KN này chỉ được tiến hành nghiên cứu ở các cấp độ: lịch sử
toán, nhà trường đào tạo GV tiểu học và dạy toán ở tiểu học.
Hơn thế nữa, chúng tôi tập trung vào hai giáo trình chính để thực hiện phân tích
ở cấp độ nhà trường đào tạo GV tiểu học: Số học (Lí thuyết số) và Phương pháp
giảng dạy toán ở tiểu học. Để nghiên cứu phân số ở cấp độ DH toán tiểu học, chúng
tôi chỉ đề cập đến SGK, sách giáo viên (SGV) hiện hành.
3. Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của lí thuyết về bài toán,
hoạt động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán.

Sơ đồ 2: Tiến trình nghiên cứu của luận án
4.1. Nghiên cứu lí luận
- Trước tiên, chúng tôi phân tích, tổng hợp cơ sở lí luận của hoạt động giải toán
cũng như một số cơ sở lí thuyết của didactic toán, một số chủ trương, chính sách
của Chính phủ, Bộ Giáo dục và Đào tạo về định hướng đổi mới PPDH.
NGHIÊN CỨU
KHOA HỌC LUẬN
NGHIÊN CỨU TRI THỨC
CẦN GIẢNG DẠY
(Thể chế đào tạo GV tiểu học)
NGHIÊN CỨU
CƠ SỞ LÍ LUẬN
NGHIÊN CỨU TRI THỨC
CẦN GIẢNG DẠY
(Thể chế DH toán ở tiểu học)
ĐỀ XUẤT CÁC HOẠT ĐỘNG
GIẢI TOÁN
NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
(Quan hệ cá nhân của HS)
13
- Nghiên cứu trước đó là cơ sở để chúng tôi phân tích, tổng hợp các công trình
có liên quan đến đến đặc trưng khoa học luận của KN phân số. Công việc này được
tiến hành thông qua nghiên cứu các tài liệu lịch sử toán, các nghiên cứu trước đó về
KN phân số.
- Tiếp theo nghiên cứu khoa học luận, chúng tôi phân tích chương trình và các
giáo trình toán (được sử dụng để dạy cho GV tiểu học) nhằm tìm hiểu KN phân số
được nghiên cứu như thế nào ở cấp độ nhà trường sư phạm và mối quan hệ thể chế
đào tạo GV với đối tượng phân số.
- Hai nghiên cứu trên là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế DH phân
số ở tiểu học. Phân tích chương trình và SGK, sách GV toán, tài liệu hướng dẫn

- Xây dựng các tiêu chí để tổ chức DH thông qua hoạt động giải toán, đề xuất
tiến trình DH thông qua hoạt động giải toán.
- Đề xuất một hệ thống hoạt động giải toán cho chủ đề phân số.
- Luận án cũng xây dựng các tình huống DH theo hướng tích cực hóa hoạt động
nhận thức của HS trong việc lĩnh hội KN phân số, từ đó góp phần nâng cao chất
lượng và hiệu quả DH chủ đề phân số.
7. Những luận điểm đưa ra bảo vệ
- Những luận điểm quan trọng của cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động giải
toán, trong đó kể cả tiến trình DH thông qua hoạt động giải toán.
- Một số kết quả chính có được khi phân tích khoa học luận KN phân số.
- Những ghi nhận đáng chú ý từ việc phân tích mối quan hệ thể chế ở nhà trường
đào tạo GV tiểu học và thể chế DH toán ở tiểu học.
- Hệ thống hoạt động giải toán được thiết kế để vận dụng vào DH chủ đề phân
số trong SGK toán 4.
- Một số kết quả chủ yếu của các thực nghiệm sư phạm trong chương 5.
15
8. Cấu trúc của luận án
Tương ứng với mục tiêu và nhiệm vụ đặt ra, ngoài phần mở đầu và kết luận, nội
dung chính của luận án được trình bày trong 5 chương, sau cùng là phần danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chương 1. Cơ sở lí luận
Chương 2. Nghiên cứu khoa học luận của khái niệm phân số
Chương 3. Khái niệm phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học và
thể chế dạy học toán ở tiểu học
Chương 4. Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt
động giải các bài toán
Chương 5. Thực nghiệm sư phạm
16
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN

nhau đó, mà chỉ trình bày một số yếu tố lí luận mà chúng tôi chọn làm cơ sở cho
luận án này.
1.1.1.1. Từ góc độ từ nguyên
1
và lịch sử ngôn ngữ
Thông qua từ điển lịch sử ngôn ngữ Pháp, M.Priolet (2008) đã làm rõ những
đặc trưng chủ yếu sau đây của KN bài toán:
- Danh từ “Bài toán” có nguồn gốc từ thuật ngữ latin “Problema” được người
Hy Lạp sử dụng vào khoảng năm 1380 với nghĩa chỉ cái mà người ta đối mặt, một
chướng ngại, một chủ đề gây tranh cãi, một vấn đề cần giải quyết.
- Từ thế kỉ 17, thuật ngữ “Bài toán” bắt đầu được dùng trong toán học và vật lí
để chỉ một vấn đề cần giải quyết bằng những phương pháp suy luận hợp lí hoặc
bằng quan sát.
- Cuối thế kỉ 17 cho đến đầu thế kỉ 19, trong toán học, bài toán luôn được dùng
với nghĩa là một “mệnh lệnh” cần thực hiện các thao tác toán học: “bài toán trong
toán học là một đề nghị trong đó người ta yêu cầu làm một số các thao tác theo các
qui tắc toán học và người ta chỉ rõ là chúng đã được thực hiện. Ví dụ: đề nghị đo
độ cao của một cái tháp khi chỉ biết khoảng cách từ điểm quan sát tới tháp là một
bài toán (Académie française, 1762, 1798)”.
Tóm lại, hai trong các đặc trưng cơ bản gắn với KN bài toán thể hiện qua từ điển
lịch sử ngôn ngữ Pháp, mà chúng tôi giữ lại là:
- Luôn gắn với khó khăn, chướng ngại cần vượt qua,
- Gắn với đề nghị chứa một yêu cầu cần giải quyết hoặc một chứng minh cần
thực hiện.
1.1.1.2. Từ quan điểm của tâm lí học
Nhìn từ góc độ tâm lí, thuật ngữ “problème” được dùng dưới đây trong ngôn
ngữ tiếng Việt là “Vấn đề”.
1
Từ nguyên (étymologie): nghiên cứu khoa học về nguồn gốc của từ.
18

để giải quyết vấn đề. Mỗi khi vấn đề đã được giải quyết, thì câu trả lời chính xác có được
2
“Pour un esprit scientifique, toute connaissance est une réponse à une question. S’il n’y a pas eu de
question, il ne peut y avoir de connaissance scientifique. Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est
construit (Bachelard, 1938)”.
19
mang tên “lời giải” sẽ lấy thể chế của kiến thức. Nói cách khác, kiến thức là sản phẩm
của hoạt động giải quyết vấn đề.
1.1.1.3. Từ góc độ của Lí luận và Phương pháp dạy học toán ở Việt Nam
GS. Nguyễn Bá Kim (2011) [38] đề xuất các KN cơ bản sau làm nền tảng cho
nghiên cứu xu hướng “DH phát hiện và giải quyết vấn đề”:
- Hệ thống là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ giữa những
phần từ của tập hợp đó.
- Một tình huống là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể (có thể là người) và
khách thể (một hệ thống nào đó).
- Tình huống bài toán (đối với chủ thể) là tình huống, trong đó chủ thể chưa
biết ít nhất một phần tử của khách thể.
Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục đích tìm phần tử
chưa biết nào đó dựa vào một số phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một
bài toán.
Vấn đề là bài toán, trong đó chủ thể chưa có trong tay một thuật giải nào để tìm
ra phần tử chưa biết của bài toán.
1.1.2. Về khái niệm “Đề bài toán” hay gọi tắt là “Đề toán”
Việc làm rõ đặc trưng của KN đề toán (énoncé d’un problème) cũng quan trọng
với luận án này vì nó sẽ hình thành nên một trong những tiêu chí làm cơ sở cho việc
phân tích SGK toán mà chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 3.
Cũng như ở Việt Nam, ở Pháp, người ta thường dùng lẫn lộn hai KN “Bài toán”
và “Đề toán”, chẳng hạn, khi GV nói: “các em hãy đọc thật kĩ bài toán sau đây và
giải bài toán đó trong 15 phút”.
Qua phân tích từ góc độ từ nguyên, lịch sử ngôn ngữ, tâm lí, M.Priolet (2008)