BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

DƯƠNG HỮU TÒNG
DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG
TIỂU HỌC THÔNG QUA HOẠT ĐỘNG
GIẢI CÁC BÀI TOÁN
Chuyên ngành: Lí luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 62 14 01 11
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
Công trình được hoàn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN
Phản biện 1: PGS.TS. Vương Dương Minh

Phản biện 2: PGS.TS. Trần Vui
Phản biện 3: TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại
trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh
Vào hồi: . . . . giờ, ngày . . . . tháng . . . . năm 2014

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh
- Thư viện Khoa học tổng hợp Tp. Hồ Chí Minh
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán ở tiểu học
Ở Việt Nam, khái niệm (KN) phân số được đề cập ở hầu hết tất cả khối lớp ở tiểu học trừ khối 1. Thậm
chí, nó còn được tiếp tục nghiên cứu trong chương trình toán ở lớp 6. Điều đó cho thấy tầm quan trọng của
mảng kiến thức số học này trong chương trình toán phổ thông.

tiến trình:
Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn  Xây dựng mô hình toán học  Câu trả lời cho bài toán thực tế 
Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa, định lí hay công thức  Vận dụng vào giải các
bài toán thực tiễn khác.
1
Theo tiến trình trên, hoạt động giải toán đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng nên tri thức. Tri
thức nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện của hoạt động giải toán. Vì vậy, hoạt động giải toán phù
hợp với xu hướng DH bằng mô hình hóa như hiện nay.
 Bên cạnh thích nghi với xu hướng DH trong nước, hoạt động giải toán cũng phù hợp với quan điểm sư
phạm của một số nước khác, trong đó có Pháp. Theo [94,tr.171], sau cải cách toán học, DH toán ở nước này
có đặc trưng: nhấn mạnh trên các hoạt động giải toán, những tri thức sẽ lấy “nghĩa” qua việc giải bài toán, và
nghiên cứu các điều kiện nảy sinh tri thức.
1.2.3. Hoạt động giải toán tạo điều kiện dạy học theo quan điểm khoa học luận
Ngày nay, DH toán quan tâm nhiều hơn đến những đặc trưng khoa học luận của đối tượng tri thức cần
giảng dạy và khả năng nhận thức của HS về đối tượng này. Thực hiện nghiên cứu khoa học luận cho một KN
toán học chỉ ra rằng nó thường xuất hiện theo tiến trình sau:
Do vậy, đa số những KN toán học đều xuất hiện thông qua hoạt động giải toán. Trong trường hợp này,
chúng đều là công cụ hay phương tiện của hoạt động giải toán trong nội bộ toán học, đời sống thực tế hay
các khoa học khác (vật lí, hóa học, địa lí,…).
1.3. Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu khoa học
Tác giả Nguyễn Hoài Anh nghiên cứu về việc sử dụng máy tính điện tử trong DH phân số ở tiểu học.
Thêm vào đó, tác giả này cũng xuất bản một bài báo trên Tạp chí Sách và thiết bị với tên là “So sánh nội
dụng chủ đề phân số trong chương trình môn toán ở tiểu học của hai nước Việt Nam và Brunei”
Một nghiên cứu khác liên quan đến KN phân số thuộc về tác giả Phạm Ngọc Bảo. Tác giả nghiên cứu
“Đào tạo GV tiểu học về bước chuyển từ phân số như là những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị đến phân số
như là thương ở lớp 3 và lớp 4”. Trong luận văn này, tác giả tiến hành một thực nghiệm để chỉ ra rằng HS
gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết những tình huống nhắm tới thiết lập mối quan hệ giữa phép chia hai
số tự nhiên và phân số, giữa phân số đơn vị và phân số thương, được đưa vào bởi SGK toán 4 hiện hành. Tác
giả chưa có những nghiên cứu khoa học luận về phân số.
Luận án cũng trình bày nhiều kết quả nghiên cứu của những tác giả trên thế giới. Họ tập trung nghiên

thông qua hoạt động giải toán, Bên cạnh đó, một số công cụ lí thuyết của didactic toán được vận dụng để
nghiên cứu tri thức cần giảng dạy: Nghiên cứu khoa học luận ; Lí thuyết nhân chủng học: chuyển đổi
didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học ; Lí thuyết tình
huống. Luận án được thực hiện với mục tiêu nghiên cứu DH chủ đề phân số thông qua hoạt động giải toán
mà bây giờ được cụ thể hóa và mở rộng trong phạm vi lí thuyết tham chiếu thông qua các câu hỏi:
1. Trong quá trình hình thành và phát triển, phân số có những đặc trưng khoa học luận cơ bản nào?
2. Mối quan hệ thể chế với KN phân số ở nhà trường đào tạo GV tiểu học có những đặc trưng cơ bản
nào? Sự tương đồng và khác biệt của nó so với quá trình phát triển của nó trong lịch sử?
3. Mối quan hệ thể chế với KN phân số trong thể chế DH toán ở tiểu học có đặc trưng cơ bản nào? Sự
tương đồng và khác biệt so với quá trình phát triển của nó trong lịch sử và so với mối quan hệ thể chế đào tạo
GV tiểu học?
4. Những ràng buộc của thể chế DH toán ở tiểu học ảnh hưởng ra sao đến mối quan hệ cá nhân của GV
và HS? Đặc trưng của các hoạt động giải toán được triển khai ra sao?
5. Xây dựng hệ thống các hoạt động giải toán như thế nào để tạo điều kiện cho HS kiến tạo kiến thức
mới liên quan chủ đề phân số? Hiệu quả của chúng ra sao?
6. Làm thế nào để thiết kế các tình huống DH mà trong đó HS khám phá ra kiến thức mới (phân số)
thông qua hoạt động giải toán? HS sẽ ứng xử ra sao trước những tình huống như thế?
4. Phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lí luận
- Trước tiên, chúng tôi phân tích, tổng hợp cơ sở lí luận của DH thông qua hoạt động giải toán cũng như
một số cơ sở lí thuyết của didactic toán, một số chủ trương, chính sách của Chính phủ, Bộ Giáo dục và Đào
tạo về định hướng đổi mới PPDH.
- Nghiên cứu trước đó là cơ sở để chúng tôi phân tích, tổng hợp các công trình có liên quan đến đến đặc
trưng khoa học luận của KN phân số. Công việc này được tiến hành thông qua nghiên cứu các tài liệu lịch sử
toán, các nghiên cứu trước đó về KN phân số.
- Tiếp theo nghiên cứu khoa học luận, chúng tôi phân tích chương trình và các giáo trình toán (được sử
dụng để dạy cho GV tiểu học) nhằm tìm hiểu KN phân số được nghiên cứu như thế nào ở cấp độ nhà trường
sư phạm và mối quan hệ thể chế đào tạo GV với đối tượng phân số.
- Hai nghiên cứu trên là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế DH phân số ở tiểu học. Phân tích
chương trình và SGK, sách GV toán, tài liệu hướng dẫn giảng dạy sẽ làm rõ mối quan hệ thể chế với đối

- Luận án cũng xây dựng các tình huống DH theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của HS trong
việc lĩnh hội KN phân số, từ đó góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả DH chủ đề phân số.
7. Những luận điểm đưa ra bảo vệ
- Những luận điểm quan trọng của cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động giải toán, trong đó kể cả tiến
trình DH thông qua hoạt động giải toán.
- Một số kết quả chính có được khi phân tích khoa học luận KN phân số.
- Những ghi nhận đáng chú ý từ việc phân tích mối quan hệ thể chế ở nhà trường đào tạo GV tiểu học và
thể chế DH toán ở tiểu học.
- Hệ thống hoạt động giải toán được thiết kế để vận dụng vào DH chủ đề phân số trong SGK toán 4.
- Một số kết quả chú ý của các thực nghiệm sư phạm trong chương 5.
8. Cấu trúc của luận án
Luận án gồm: Mở đầu, 5 chương, kết luận, tài liệu tham khảo. Trong đó:
Chương 1. Cơ sở lí luận
Chương 2. Nghiên cứu khoa học luận của khái niệm phân số
4
Chương 3. Khái niệm phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học và thể chế dạy học toán ở
tiểu học
Chương 4. Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài toán
Chương 5. Thực nghiệm sư phạm
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Chương 1 có mục tiêu xác định cơ sở lí luận cho toàn bộ nghiên cứu trong luận án. Về nguyên tắc, chúng
tôi cần làm rõ các KN cơ bản: hoạt động, bài toán, hoạt động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán.
Trong đó, KN “Hoạt động” là đối tượng nghiên cứu quan trọng của Triết học và nhiều Lí thuyết về học tập,
đặc biệt là Lí thuyết hoạt động, đặt cơ sở trên Tâm lí học hoạt động. Tuy nhiên, trong phạm vi luận án này,
chúng tôi không đi sâu vào khía cạnh triết học, tâm lí hay giáo dục của KN “hoạt động”, mà chỉ dùng nó như
một thuật ngữ thông thường, chỉ việc tiến hành một nhiệm vụ nào đó. Cụ thể, hoạt động giải các bài toán
được hiểu là việc thực hiện giải các bài toán. Từ đó, chúng tôi hạn chế phạm vi cơ sở lí luận mà chúng tôi
cần làm rõ trong chương này là các nhóm công cụ lí thuyết sau đây:
- Nhóm công cụ lí thuyết gắn liền với chủ đề “DH thông qua hoạt động giải toán”, như các KN: bài toán,

là thông báo về bài toán mà HS cần giải, được thực hiện qua một trình bày bằng lời hay dạng viết. Chính qua
trung gian đề toán mà diễn ra quan hệ đầu tiên giữa bài toán và chủ thể phải giải nó”. Đề toán thường được
trình bày dưới dạng nghi vấn hay yêu cầu (mệnh lệnh). Đề toán chỉ tập trung vào bài toán cần giải. Nói cách
khác, nó không chứa những cái gì không gắn với nội dung của bài toán. Theo cách hiểu của chúng tôi, đề
toán chính là “cái biểu đạt” cho “cái được biểu đạt” (bài toán). Nói cách khác, đề toán là hình thức tồn tại
bên ngoài của bài toán.
1.1.3. Khái niệm dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán
1.1.3.1. Khái niệm chung về dạy học thông qua hoạt động giải toán
Để tránh cách truyền thụ “một chiều” như trên, có thể tổ chức DH thông qua hoạt động giải các bài toán,
theo nghĩa: GV không truyền thụ trực tiếp kiến thức mới ngay từ đầu, mà đề nghị HS giải một hay một số bài
toán. Sau khi kết thúc hoạt động này, kiến thức mới sẽ được thiết lập như là kết quả của hoạt động giải các
bài toán vừa đề nghị.
1.1.3.2. Vai trò của bài toán (vấn đề) trong lịch sử phát triển của toán học và trong dạy học toán
1.1.3.3. Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán ở Pháp
Các tác giả ở Pháp rất quan tâm đến hoạt động giải toán. Các quan niệm về hoạt động giải toán có điểm
chung: HS là chủ thể của hoạt động; sự hướng dẫn, can thiệp của GV bị hạn chế ở mức thấp nhất, điều này
khác với Việt Nam. Đặc trưng của các bài toán trong thể chế DH toán ở Pháp: HS không biết trước qui trình
giải, gợi lên sự thách thức đối với HS, đề bài ngắn gọn, dễ hiểu, Ngoài ra, họ còn chú ý đến hoạt động giải
toán để hình thành kiến thức mới cho HS hay kiến thức cũ được cấu trúc lại.
1.1.3.4. So sánh với dạy học thông qua hoạt động giải toán ở Singapore
+ Điểm chung: HS là người thực hiện hoạt động, sự can thiệp của GV được hạn chế ở mức độ ít nhất.
Qua hoạt động, HS sẽ khám phá kiến thức mới cần dạy hoặc huy động kiến thức cũ với mục đích tổ chức lại
chúng.
+ Điểm khác biệt: trong các bài toán cần giải, vẫn có “những tìm hiểu có hướng dẫn” nhằm giúp HS dễ
dàng hơn trong việc tìm hiểu một qui tắc, một vấn đề,…
1.1.4. Khái niệm “Nghĩa” của tri thức
Hầu hết các nhà giáo dục đều thống nhất rằng: dạy học một tri thức là dạy học nghĩa của tri thức đó.
Như Sierpinska (1990) [87] đã làm rõ: “Hiểu KN sẽ (…) được xem như hành động nắm được nghĩa của nó”
1.1.4.1. Quan điểm của Thuyết duy thực (thuyết hiện thực - théorie réaliste)
Từ quan điểm trên của chủ nghĩa duy thực, có thể suy luận ra rằng, nghĩa của một tri thức toán học chỉ là

Trong luận án này, chúng tôi dùng khái niệm “Dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán” (hay gọi
tắt là DH thông qua hoạt động giải toán), theo nghĩa: DH bằng cách tổ chức cho HS tiến hành hoạt động giải
các toán nhằm kiến tạo kiến thức mới cần dạy. Trong đó, khái niệm “bài toán” và “hoạt động giải toán” được
mô tả như trong các mục trên, cùng với một số điều kiện và ràng buộc khác mà chúng tôi sẽ làm rõ trong
phần sau về kịch bản của hoạt động giải toán, về vai trò, vị trí của GV và HS,…
1.2. Một số yếu tố lí thuyết didactic toán
Trong nghiên cứu DH thông qua hoạt động giải toán, người ta còn quan tâm đến: kiến thức nảy sinh như
thế nào? Trong những tình huống nào? Đặc trưng của bài toán ra sao? Cách phân tích SGK hay phân tích lời
giải của HS ra sao?…
Do vậy, để trả lời được các câu hỏi trên cần có những công cụ phân tích hữu ích. Chính vì lí do này,
chúng tôi lựa chọn thêm một số yếu tố lí thuyết của didactic toán: nghiên cứu khoa học luận, lí thuyết tình
huống, lí thuyết nhân chủng học,…(tham khảo chi tiết trong [2]).
1.2.1. Nghiên cứu khoa học luận
1.2.2. Nghiên cứu sự chuyển đổi didactic
Sự chuyển đổi didactic đi theo tiến trình: tri thức bác học  tri thức cần giảng dạy  tri thức được dạy.
Chúng tôi sẽ thực hiện nghiên cứu sự chuyển đổi này trong chương 2, 3 và 4 của luận án. Chương 2 cho phép
nghiên cứu phân số với tư cách là một tri thức bác học, sau đó chúng tôi tiến hành nghiên cứu sự chuyển đổi
sang tri thức cần giảng dạy (ở thể chế đào tạo GV và thể chế DH toán ở tiểu học), tiếp đến là nghiên cứu tri
thức được dạy trong chương 5 của luận án.
1.2.3. Lí thuyết nhân chủng học
7
1.2.4. Các khái niệm trong lí thuyết tình huống
Chương 5 của luận án sử dụng một số KN của lí thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu
nghiệm, tình huống cơ sở, biến didactic, chiến lược, môi trường,…Nó tạo điều kiện để giải thích cho sự lựa
chọn của chúng tôi đối với từng tình huống thực nghiệm. Tuy nhiên, trong phần này chúng tôi chỉ trích dẫn
một số KN cần thiết, các KN khác có thể tham khảo trong [2].
1.3. Một số chủ trương, định hướng về giáo dục nói chung và đào tạo nói riêng của Chính phủ, của Bộ
Giáo dục và Đào tạo Việt Nam
Luật giáo dục sửa đổi năm 2010 tại mục 2 điều 5 chương I: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả

8
- Các bài toán có liên quan: bài toán về diện tích, thể tích, phân chia thức ăn, phân chia quỹ chung,…
Phân số thể hiện chức năng “công cụ ngầm ẩn” của mình. Cơ chế đối tượng của phân số chỉ được nhắc đến
một cách mờ nhạt. Trong giai đoạn này, phân số lấy cơ chế của một KN tiền toán học.
- Phân số được ghi nhận qua một số cách tiếp cận: tiếp cận dựa trên phép chia, tiếp cận độ đo, tiếp cận số
phần / toàn thể, tiếp cận tỉ số. Từ đó, phân số lần lượt lấy các nghĩa: “biểu diễn kết quả của phép chia a cho
b”, “biểu diễn kết quả của độ đo”, “biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng nhau của một đơn vị”, “biểu
diễn quan hệ so sánh giữa hai đại lượng”.
2.2. Giai đoạn 2: Toán học thời Trung cổ
- Lĩnh vực chiếm ưu thế của phân số trong giai đoạn này là số học. Có rất nhiều nhà số học nhưng họ
không quan tâm nhiều đến yếu tố “đối tượng” của phân số mà chỉ tập trung vào yếu tố công cụ. Phạm vi xuất
hiện của phân số: thần học, Kinh Cựu ước, Kinh Tân ước, thơ, Số học, Đại số, đại lượng, hình học,…
- Trong giai đoạn này, có nhiều tập hợp số mới được hình thành: số hữu tỉ, số âm, số vô tỉ,…Tuy nhiên,
phân số vẫn chưa được định nghĩa. Nói chung, phân số lấy cơ chế của KN cận toán học.
- Điểm nhấn trong giai đoạn này là các nhà toán học cung cấp các kí hiệu phân số thông dụng như ngày
nay: tử số và mẫu số ngăn cách bởi dấu gạch ngang hay gạch chéo (/). Thêm vào đó, họ còn cho thấy mối
quan hệ của phân số với phép chia hay phân số với tỉ số. Người ta chỉ ra được phân số a/b có thể hiểu là
:a b
. Phân số có nghĩa “biểu diễn kết quả của phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b khác 0”.
- Ngoài ra, với sản phẩm “đường thẳng thực” của Descartes đánh dấu bước tiếp cận phân số a/b dựa trên
tia số. Lúc này, “biểu thị một điểm cụ thể trên trục số” là một nghĩa khác của phân số.
2.3. Giai đoạn 3: Toán học hiện đại
- Tình huống để đưa đến một định nghĩa chính xác cho phân số là sự ảnh hưởng mạnh mẽ của sự phát
triển lí thuyết tập hợp. Chính vì thế, các nhà toán học cần phải xem xét cơ sở của các tập hợp số. Đóng góp
chính thuộc về nhà toán học Cantor: xây dựng thành tập hợp số Q và mang lại nghĩa mới cho phân số: “biểu
diễn một lớp tương đương”.
- Sự xuất hiện của định nghĩa phân số làm cho nó mang cơ chế của KN toán học. Đặc trưng thứ tự và các
phép tính của nó được đề cập một cách tường minh. Phạm vi hoạt động chủ yếu của phân số trong giai đoạn
này: số học, lí thuyết tập hợp, hình học, xác suất – thống kê,
2.4. Kết luận chương 2

KN đầu tiên có liên quan mật thiết đến KN phân số là chia đều. Phân số ban đầu được hình thành thông
qua việc chia đều các vật thể. Những KN khác có vai trò quan trọng lịch sử hình thành KN phân số: phân số
Ai Cập, phần bằng nhau, tỉ số, tỉ lệ, số đo đại lượng (độ dài, diện tích, thể tích, vận tốc,…), liên phân số,
phương trình, tia số, đường thẳng thực. Một số KN khác có vị trí quan trọng trong cách tiếp cận của lí thuyết
tập hợp: số hữu tỉ, lớp thương, phần tử,…
2.4.4. Các cách tiếp cận khái niệm phân số
Từ việc nghiên cứu các tài liệu lịch sử, chúng tôi nhận thấy việc mở rộng hệ thống số từ số tự nhiên sang
số biểu diễn bởi phân số được tiến hành theo hai cách: xuất phát từ nhu cầu của cuộc sống và xuất phát từ nội
bộ toán học. Thứ nhất, phân số ra đời để giải quyết các vấn đề thực tế: nhu cầu đo đạc (nhiều khi ta gặp cả
những đại lượng không chứa đựng một số tự nhiên lần đơn vị đo) và nhu cầu chia những vật ra nhiều phần
bằng nhau. Thứ hai, tập hợp số biểu diễn bởi phân số ra đời xuất phát từ nội bộ toán học: để cho phép chia
các số nguyên cho một số khác 0 luôn luôn thực hiện được, hoặc các phương trình dạng
b x a× =
(b khác
0) luôn luôn có nghiệm. Trong quá trình mở rộng như trên, phân số được tiếp cận chủ yếu theo 6 cách:
2.4.4.1. Cách tiếp cận dựa trên số phần của cái toàn thể
Cách tiếp cận này liên quan đến bài toán: “Lấy ra một số phần của một đối tượng được chia thành các
phần bằng nhau”. Theo bài toán này, phân số a/b lấy nghĩa “biểu thị a phần được lấy ra từ b phần bằng
nhau của một đơn vị”. Trong lịch sử, KN về đại lượng phân số phát triển từ thời cổ đại khi “phân số” đã
được quan niệm như “không chia được và không chia hết”.
2.4.4.2. Cách tiếp cận độ đo
Người ta tìm thấy phân số từ các số tự nhiên qua các số đo và tỉ lệ, giải quyết nhu cầu tìm một đơn vị đo
lường chung đối với hai đại lượng. Trong lịch sử, thuật ngữ bao gồm số đo đại lượng và tỉ lệ là “tính có thể
so sánh được” được định nghĩa bởi nhà toán học Hy Lạp, Euclide (thế kỷ 3, trước công nguyên) như sau:
“Những độ lớn được cho là có thể so sánh được với nhau nếu được đo lường bởi cùng đơn vị đo, và chúng
không thể so sánh được nếu chúng không có đơn vị đo lường chung”.
Theo ý nghĩa hiện đại, nếu A và B (khác 0) là hai số có thể so sánh được với nhau nếu tồn tại đại lượng
C sao cho A = mC và B = nC với m, n là các số nguyên và
0n ≠
. Euclide không xem đại lượng C như là

của các phân số. Hay nói cách khác, tập hợp biểu diễn bởi phân số có tính chất trù mật khác với tính chất rời
rạc của tập hợp số tự nhiên.
2.4.4.6. Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết tập hợp
Theo cách tiếp cận này, người ta định nghĩa các phân số như là tập hợp các cặp số nguyên có thứ tự. Cụ
thể, các nhà toán học tiếp cận như sau: Lấy tập hợp S gồm các cặp số nguyên có thứ tự (a, b), với b khác 0 .
Phân chia tập S thành các tập hợp con với qui tắc: hai cặp (a, b) và (c, d) nằm trong cùng một tập hợp con
nếu tỉ số a/b bằng với tỉ số c/d, tức là, nếu và chỉ nếu
ad bc=
.
2.4.5. Các tình huống cơ sở gắn liền với chủ đề phân số
CHƯƠNG 3
KHÁI NIỆM PHÂN SỐ TRONG THỂ CHẾ ĐÀO TẠO
GIÁO VIÊN TIỂU HỌC VÀ THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN
Ở TIỂU HỌC
Trong chương 3, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế đối tượng phân số nhưng được đối chiếu dưới
ánh sáng của phân tích khoa học luận trong chương 2.
3.1. Phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học
Trong chương trình đào tạo GV tiểu học, đối tượng phân số được nghiên cứu một cách tường minh chủ
yếu trong 2 học phần: Số học (Lí thuyết số) và PPDH toán ở tiểu học.
11
- Tác giả của các giáo trình Lí thuyết số đề cập đến phân số theo tư tưởng “toán cao cấp” nên không trình
bày chi tiết nội dung DH thuộc chủ đề phân số. Ngoài ra, không có một tác giả nào đề xuất hoạt động giải
toán cho việc DH phân số.
- Hai giáo trình hướng đến việc xây dựng tập Q là sự mở rộng của tập hợp Z, tạo điều kiện phép chia cho
số khác 0 trong Q luôn luôn thực hiện được. Đây cũng chính là một trong những ý nghĩa quan trọng cho sự
ra đời của phân số.
Phân số được tiếp cận trong các giáo trình Lí thuyết số theo hướng riêng của mỗi tác giả. Vậy các nhà lí
luận DH toán sẽ đề cập chúng như thế nào trong các giáo trình PPDH toán?
Các tác giả này có những cách tiếp cận khác nhau đối với KN phân số. Đôi khi, có sự không tương đồng
giữa các tác giả với nhau. Một số cách tiếp cận chưa cho thấy được tình huống dẫn đến sự xuất hiện phân số.

10b ≤
, vì thế phân số tạo nên luôn luôn nhỏ hơn 1. Tóm lại, SGK toán 2 và 3 hoàn toàn giới thiệu các phân
số đơn vị. Tuy nhiên, các tác giả không nêu tên phân số mà chỉ đề cập một cách ẩn tàng thông qua KN “phần
bằng nhau”. Phân số được xem như là “công cụ ngầm ẩn” để giải quyết các dạng toán “Tìm một trong các
phần bằng nhau của một số” và “So sánh số bé bằng một phần mấy số lớn”.
3.2.2.2. Giai đoạn tường minh
12
Tổng kết các cách tiếp cận khái niệm phân số ở các cấp độ khác nhau
Các cách tiếp cận KN phân số
Phạm vi
Lịch sử Thể chế đào
tạo GV
Thể chế ở tiểu
học
Cách tiếp cận dựa trên số phần của cái toàn thể X X X
Cách tiếp cận độ đo
X
X
Ngầm ẩn
X
Ngầm ẩn
Tiếp cận dựa trên tia số X Không Không
Cách tiếp cận dựa trên phép chia
X X X
Cách tiếp cận dựa trên tỉ số
X X X
Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết tập hợp
X X
X
Ngầm ẩn

(Lớp 4)
Tiền toán học
(trước lớp 2)
Cận toán học
(Lớp 2, 3)
Toán học
(Lớp 4)
Công cụ ngầm
ẩn (Lớp 2, 3)
Đối tượng
(Lớp 4)
Công cụ tường
minh (Lớp 4)
SGK đề cập 16 kiểu nhiệm vụ liên quan đến KN phân số. Những thông tin cụ thể về chúng được trình
bày tường minh trong phần phụ lục 3.1. Phần này bao gồm bảng thống kê số lượng và sự phân chia các kiểu
nhiệm vụ theo cách tiếp cận.
Bảng: Thống kế số lượng bài tập liên quan đến khái niệm phân số
Kiểu
nhiệm vụ
Tên kiểu nhiệm vụ
Số lượng bài tập
Phần trăm
T
1
Nhận dạng phân số 3 2,22%
T
2
Tìm phân số bằng phân số đã
cho
6 4,44%

cho một số tự nhiên
3 2,22%
T
11
Nhân hai phân số 6 4,44%
T
12
Nhân một số tự nhiên với một
phân số hoặc Nhân một phân
số với một số tự nhiên
3 2,22%
T
13
Tìm phân số của một số 6 4,44%
T
14
Chia hai phân số 10 7,41%
T
15
Chia một số tự nhiên cho một
phân số hoặc Chia một phân số
cho một số tự nhiên
2 1,48%
T
16
Tìm hai số khi biết tổng (hiệu)
và tỉ số của hai số đó
29 21,48%
Tổng cộng 135 100%
 Phân loại kiểu nhiệm vụ theo các cách tiếp cận phân số

14
, T
15
Loại 4 Cách tiếp cận dựa trên tỉ số T
16
Loại 5 Cách tiếp cận dựa trên lí thuyết tập hợp T
2
, T
3
, T
4
3.3. Kết luận chương 3
3.3.1. Về các cách tiếp cận phân số
- Các giáo trình Số học (Lí thuyết số) đều chọn cho mình một cách tiếp cận phân số, không đi sâu nghiên
cứu PPDH KN này. Thêm vào đó, các giáo trình không làm rõ các tình huống nảy sinh phân số cũng như
nghĩa của nó. Tóm lại, SV được cung cấp những tri thức khoa học về phân số (nhưng được phi hoàn cảnh
hóa, phi cá nhân hóa, phi thời gian hóa).
- Một điểm chung của các giáo trình PPDH toán là cố gắng đưa ra “cách” để hướng dẫn các SV DH các
nội dung của chủ đề phân số. Nhưng không một ràng buộc nào của thể chế được lựa chọn để cho phép SV
thấy được các tình huống nảy sinh phân số, hay nghĩa của nó ra sao? Nói một cách khác, các giáo trình chưa
cho thấy mối quan hệ của GV và HS với phân số, ứng xử của HS trước các tình huống đưa vào phân số, hiểu
nghĩa của phân số trong các tình huống đó, Điều này dẫn đến sự thiếu hụt các công cụ giúp ích cho SV:
phân tích tri thức cần giảng dạy, lựa chọn các hoạt động (tình huống nảy sinh tri thức), quan sát hoạt động
lớp học (khó khăn, sai lầm, quan niệm của HS, ).
- Các tác giả SGK lựa chọn một số cách tiếp cận KN phân số. Có một số cũng tương đồng như trong lịch
sử và thể chế đào tạo GV tiểu học. Một số tình huống đưa vào phân số và nghĩa của nó như sau:
 Tình huống đưa vào phân số đơn vị ở lớp 2, 3 chủ yếu: chia một đơn vị (hình vuông, hình tròn, )
thành b phần bằng nhau, lấy đi một phần. Phân số xuất hiện với nghĩa “biểu thị một phần lấy ra từ đơn vị
được chia thành b phần bằng nhau”.
 Tình huống đưa vào phân số

Hiệu quả như thế nào?
- Trong những tình huống nhắm đến tính chất trù mật của tập hợp các phân số, trẻ sẽ ứng xử ra sao? Gặp
phải những khó khăn gì?
3.3.2. Về phạm vi tác động của khái niệm phân số
- Các tác giả trong thể chế đào tạo GV tiểu học tiếp cận phân số trong phạm vi của lí thuyết tập hợp và
đại số. Phân số ra đời gắn liền với việc xây dựng tập hợp số hữu tỉ và giải quyết bài toán tìm nghiệm của
phương trình
b x a
× =
(
0b
≠
).
- SGK đề cập phân số gắn liền với những tình huống thực tế (nhu cầu chia đều đối tượng a cho b người).
Ngoài ra, khi xây dựng những bài tập liên quan các phép tính đại số, một số bài toán trong phạm vi hình học
đã hiện hữu.
3.3.3. Về các đối tượng liên quan khái niệm phân số
- Một số KN trong lí thuyết tập hợp: số hữu tỉ, lớp thương, phần tử có vai trò xây dựng tập hợp số Q.
Đó là các KN trong thể chế đào tạo GV, tuy nhiên chúng không tồn tại trong SGK vì những lí do sư phạm.
- KN tỉ số gắn liền với cách tiếp cận phân số - tỉ số. Nó có vai trò lịch sử và tiếp tục có ý nghĩa trong thể
chế đào tạo GV tiểu học, trong SGK toán 4. Nó được trình bày trong chương 5 của SGK toán 4, tách rời chủ
đề phân số.
- KN chia đều, phép chia có mặt trong SGK thể hiện sự liên hệ mật thiết giữa phân số và phép chia số tự
nhiên.
- Một số KN: phần bằng nhau, toàn thể,…có trong lịch sử thì nó vẫn hiện hữu trong thể chế đào tạo GV,
thể chế DH toán trong SGK tiểu học như là các công cụ để hình thành KN phân số theo cách tiếp cận số phần
/ toàn thể.
- KN tia số có trong lịch sử nhưng không có trong chủ đề DH phân số ở lớp 2, 3 và 4. Mặc dù, KN này
tồn tại rất nhiều trong các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến số tự nhiên.
16

- Thiết kế các hoạt động giải toán vào từng bài dạy cụ thể cho chủ đề phân số trong SGK toán 4.
4.1. Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán
4.1.1. Đặc trưng của bài toán
- Các bài toán, đề toán cần thỏa các điều kiện được nêu ra trong mục 1.1.5.1:
+ Bài toán là một hệ thống, trong đó chủ thể có mục đích tìm các phần tử chưa biết nào đó dựa vào một
số phần tử cho trước ở trong khách thể. Trong đó có ít nhất một phần tử cần tìm, nhưng chủ thể không thể áp
dụng y nguyên các thuật giải đã có để đạt được mục đích đó.
+ Trong bài toán, luôn có khó khăn cần vượt qua.
17
+ Khi bài toán đã được giải quyết thì có kiến thức mới được thiết lập. Kiến thức mới này nảy sinh như
công cụ hay phương tiện của việc giải bài toán. Nói cách khác, bài toán phải mang lại nghĩa cho kiến thức
mà HS kiến tạo.
+ Đề toán là thông báo dưới hình thức viết về bài toán mà HS cần giải, chứa những câu hỏi cần trả lời
hay yêu cầu cần thực hiện.
+ Đề toán chỉ tập trung vào bài toán cần giải và không chứa những yếu tố không gắn với nội dung của
bài toán. Nói cách khác, đề toán chỉ thể hiện mối quan hệ giữa bài toán và chủ thể giải bài toán (ở đây là
HS).
- Ngoài ra, những bài toán được lựa chọn có liên hệ với các cách tiếp cận khái niệm phân số trong
chương 2. Nói khác đi, chúng tôi đánh giá cao những bài toán trong nghiên cứu khoa học luận, cố gắng mang
lại “nghĩa đúng” cho phân số.
- Hơn nữa, các bài toán này cần gắn liền với cách sử dụng của phân số, làm cho nó không còn mang
“nghĩa hình thức” như SGK hiện hành.
4.1.2. Đặc trưng của tình huống dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán
Tình huống DH thông qua hoạt động giải toán phải chứa đựng một đề toán thực sự. Đó không phải là
quá trình mô tả mô hình trực quan, các nhận xét, rồi sau đó phát biểu kiến thức mới. Giải quyết được bài toán
chứa đựng trong tình huống, kiến thức mới nảy sinh như là công cụ hay phương tiện của hoạt động giải toán.
4.1.3. Kịch bản dạy học thông qua hoạt động giải các bài toán
Việc thiết kế kịch bản dạy học thông qua giải các bài toán chỉ mang tính tương đối, nó có thể thay đổi
cho phù hợp với từng điều kiện. Mỗi GV có thể tự thiết kế kịch bản riêng cho lớp học của mình. Tuy nhiên,
theo chúng tôi cần có những pha cơ bản dưới đây:

Trong hoạt động giải toán, HS không thể trả lời ngay tức khắc mà cần biết hệ thống lại kiến thức cũ mới
có cơ hội giải quyết được vấn đề. Nói một cách khác, các em cần tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi
đối tượng hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có. Tóm lại, HS đóng vai trò kiến tạo tri thức mới trong hoạt động
DH này. Ngoài ra, HS còn cùng với GV và bạn học để hợp thức hóa kiến thức.
4.1.6. Một số cách để thiết kế một bài toán
Một số cách để GV thiết kế bài toán nhằm phục vụ cho việc DH thông qua hoạt động giải toán:
- Thứ nhất, nghiên cứu lịch sử phát triển của KN để phát hiện các bài toán có liên quan mà các nhà toán
học gặp phải trong quá trình phát triển KN đó. Các bài toán này có thể được GV lựa chọn để hình thành kiến
thức mới cho HS.
Ví dụ: Để tạo ra được các bài toán DH đối tượng phân số, GV cần thực hiện một nghiên cứu khoa học
luận của KN phân số. Thêm vào đó, các cách tiếp cận của phân số cũng nên được quan tâm.
- Thứ hai, nghiên cứu toán cao cấp gợi ra một số vấn đề giúp GV có thể nghĩ đến việc thiết kế các bài
toán thích hợp.
Ví dụ: để DH phân số, GV có thể tìm đọc chủ đề này thông qua tập hợp số hữu tỉ trong các giáo trình
“Số học” hay “Lí thuyết số”.
- Thứ ba, nghiên cứu chương trình toán ở tiểu học có thể giúp GV nắm được logic của các nội dung, tạo
điều kiện cho GV thiết kế các bài toán trong đó yêu cầu HS sử dụng được kiến thức cũ để giải quyết vấn đề.
Ví dụ: phân số chính thức được dạy từ lớp 4, nhưng ở lớp 2 và lớp 3 phân số cũng đã xuất hiện một cách
ngầm ẩn. Do vậy, nghiên cứu nội dung DH phân số ở hai lớp dưới này cũng cần thiết trước khi DH chủ đề
phân số ở lớp 4.
- Thứ tư, nghiên cứu các tổ chức toán học giúp GV hiểu rõ các kiểu nhiệm vụ. Từ đó, GV có thể thiết kế
các dạng bài toán khác nhau trong đó yêu cầu HS phải khám phá ra được yếu tố kĩ thuật. Đây cũng chính là
kĩ năng mới mà GV cần truyền thụ cho các em.
4.1.7. Tiến trình tổ chức dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán
Việc tổ chức DH kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán có thể được sơ đồ hóa như sau:
19
Tiến trình dạy học kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán
Để cho HS thấy được sự cần thiết của việc học kiến thức mới, GV cần tạo động cơ mở đầu cho HS.
Hay nói khác đi, GV tổ chức cho HS thấy được vai trò, lợi ích của kiến thức mới. Cụ thể ở đây, kiến thức
mới nảy sinh như là một công cụ hay phương tiện của hoạt động giải quyết bài toán, từ đó có thể mang lại

Bước 3: Trình bày kiến thức mới
Bước 4: Củng cố, vận dụng
hợp giảng giải với minh họa, với đàm thoại gợi mở, với việc sử dụng đồ dùng trực quan,…Nói chung, các
PPDH khác vẫn cần thiết sử dụng.
Thêm một lí do khác cho việc lựa chọn DH chủ đề phân số thông qua hoạt động giải bài toán là điều kiện
DH cụ thể. Chúng tôi quan tâm đến một số điều kiện như sau: trình độ nhận thức của HS, thời gian tiết dạy,
đặc điểm của kiến thức mới, kiến thức, năng lực của GV (sự hiểu biết và khả năng của GV về việc tổ chức
DH thông qua hoạt động giải toán), đặc điểm tâm sinh lí của HS, sĩ số lớp, việc HS có được học bài mới
trước đó hay chưa,…Tùy vào những điều kiện này mà GV có thể áp dụng một cách uyển chuyển việc DH
thông qua hoạt động giải toán.
Tóm lại, trong phạm vi của luận án, chúng tôi sẽ đề xuất các hoạt động giải toán cho toàn bộ chủ đề phân
số. Nhưng việc sử dụng chúng đòi hỏi GV phải linh hoạt, tùy thuộc vào các điều kiện DH nêu trên.
Chúng tôi đã xây dựng hoạt động giải bài toán cho các bài trong SGK Toán 4: PHÂN SỐ, PHÂN SỐ
VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ BẰNG NHAU, RÚT GỌN PHÂN SỐ, QUI ĐỒNG MẪU SỐ
CÁC PHÂN SỐ, SO SÁNH HAI PHÂN SỐ CÓ CÙNG MẪU SỐ, SO SÁNH HAI PHÂN SỐ KHÁC MẪU
SỐ, PHÉP CỘNG PHÂN SỐ, PHÉP TRỪ PHÂN SỐ, PHÉP NHÂN PHÂN SỐ, TÌM PHÂN SỐ CỦA
MỘT SỐ, PHÉP CHIA PHÂN SỐ, TỈ SỐ. Sau đây là một số ví dụ minh họa:
4.2.1. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÂN SỐ” [27,tr.106]
4.2.1.1. Mục tiêu: Bài toán sau giúp HS khám phá tri thức mới: nghĩa của phân số theo cách tiếp cận số
phần / toàn thể.
4.2.1.2. Lí do: được trình bày trong 3.2.2.2.
4.2.1.3. Bài toán: Năm nay, trường học của An tổ chức thi đấu thể thao trong sân trường. Đây là kế
hoạch sử dụng phần đất cho mỗi môn chơi trong sân trường.
Nhảy dây Đá cầu
Kéo co
Bóng đá
a) Phần đất của môn đá cầu chiếm bao nhiêu phần đất của sân trường?
b) Tổng phần đất của môn bóng đá và môn kéo co chiếm bao nhiêu phần đất của sân trường?
c) Phần đất của môn nhảy dây bằng bao nhiêu lần phần đất của môn bóng đá?
4.2.2. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÂN SỐ VÀ PHÉP CHIA SỐ TỰ NHIÊN” [24,tr.108]

đúng của kiến thức này.
H2: Tình huống dạy học phân số dựa trên tia số còn cho phép học sinh tiếp cận với nghĩa của khái
niệm phân số như là phương tiện “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số” và hình thành cho các em biểu
tượng ban đầu về tính trù mật của tập hợp các phân số.
CHƯƠNG 5
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Chương 5 được định hướng với các mục tiêu:
- Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân HS về đối tượng phân số ở tiểu học, cũng như hệ quả của mối quan hệ
thể chế lên các mối quan hệ cá nhân này. Trong đó, chúng tôi có vận dụng hoạt động giải toán trong chương
4 để làm rõ hơn những mối quan hệ này.
- Thử nghiệm trong việc xây dựng các tình huống DH mà trong đó HS khám phá ra kiến thức mới (KN
phân số a/b với
1a
≠
) thông qua hoạt động giải toán. Ngoài ra, các bài toán được thiết kế có mối quan hệ
chặt chẽ trong đó bài toán này có thể là sự đầu tư lại của bài toán kia với mục tiêu khác.
- Trọng tâm của các nghiên cứu là đưa vào kiểm chứng hai giả thuyết được nêu trong kết luận của
chương 4:
H1: Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải toán, được thiết kế theo những tiêu chí ở mục 4.1.1,
cho phép học sinh tự kiến tạo kiến thức gắn liền với khái niệm phân số và mang lại cho các em nghĩa
đúng của kiến thức này.
22
H2: Tình huống dạy học trong đó bao gồm hoạt động giải toán còn cho phép học sinh tiếp cận với
nghĩa của khái niệm phân số như là phương tiện “biểu thị một điểm cụ thể trên tia số” và hình thành
cho các em biểu tượng ban đầu về tính trù mật của tập hợp các phân số.
Để hoàn thành việc kiểm chứng các giả thuyết, có hai thực nghiệm:
- Thực nghiệm A đối với HS: một số bài toán được thiết kế theo các cách tiếp cận phân số để HS giải
quyết mà kiến thức các em có được như là kết quả hay phương tiện của hoạt động giải toán. Trong đó, trẻ có
thể sử dụng một số kiến thức cũ (phân số đơn vị, phép chia hết, phép chia có dư, so sánh số lớn bằng mấy lần
số bé, so sánh số bé bằng một phần mấy số lớn,…) để giải quyết bài toán.

23