i
MỤC LỤC

MỤC LỤC i
DANH MỤC CÁC BẢNG vii
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ ix
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
1.1. Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán ở
tiểu học 1
1.2. Dạy học thông qua hoạt động giải toán giữ vai trò thiết yếu trong dạy học
toán 2
1.3. Khái niệm phân số là một chủ đề được quan tâm trong nhiều nghiên cứu
khoa học 4
2. Giới hạn của đề tài 11
3. Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu 11
4. Phƣơng pháp nghiên cứu 13
4.1. Nghiên cứu lí luận 13
4.2. Thực nghiệm sư phạm 14
5. Giả thuyết nghiên cứu 14
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 15
6.1. Về mặt lí luận 15
6.2. Về mặt thực tiễn 15
7. Những luận điểm đƣa ra bảo vệ 15
8. Cấu trúc của luận án 16
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN 17
1.1. Cơ sở lí luận về dạy học thông qua hoạt động giải toán 17
1.1.1. Khái niệm Bài toán 17
1.1.2. Về khái niệm “Đề bài toán” hay gọi tắt là “Đề toán” 20

2.3. Giai đoạn 3: Toán học hiện đại 53
2.3.1. Cách tiếp cận phân số theo quan điểm lí thuyết số 53
2.3.2. Cách tiếp cận số phân số của Laplace (1749-1827) 54
2.3.3. Cách tiếp cận phân số theo quan điểm lí thuyết tập hợp 54 iii
2.3.4. Cách tiếp cận số phân số của của George Cantor (1845 - 1918) 57
2.3.5. Kết luận giai đoạn 3 58
2.4. Kết luận chƣơng 2 59
2.4.1. Các giai đoạn nảy sinh và phát triển 59
2.4.2. Phạm vi tác động của khái niệm phân số và các bài toán có liên quan 59
2.4.3. Các đối tượng có liên quan 60
2.4.4. Các cách tiếp cận khái niệm phân số 60
2.4.5. Các tình huống cơ sở gắn liền với chủ đề phân số 65
CHƢƠNG 3. KHÁI NIỆM PHÂN SỐ TRONG THỂ CHẾ ĐÀO TẠO
GIÁO VIÊN TIỂU HỌC VÀ THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN Ở TIỂU HỌC 69
3.1. Phân số trong thể chế đào tạo giáo viên tiểu học 69
3.1.1. Phân số trong các giáo trình Số học (Lí thuyết số) 70
3.1.2. Phân số trong các giáo trình Phương pháp dạy học toán ở tiểu học 73
3.2. Phân số trong thể chế dạy học toán ở tiểu học 76
3.2.1. Mục tiêu, yêu cầu của việc dạy học chủ đề phân số 76
3.2.2. Cách hình thành khái niệm phân số trong các sách giáo khoa 77
3.2.3. Tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phân số 92
3.3. Kết luận chƣơng 3 94
3.3.1. Về các cách tiếp cận phân số 94
3.3.2. Về phạm vi tác động của khái niệm phân số 97
3.3.3. Về các đối tượng liên quan khái niệm phân số 97
3.3.4. Nhìn từ quan điểm dạy học thông qua hoạt động giải toán 97
CHƢƠNG 4. DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHÂN SỐ Ở TRƢỜNG TIỂU HỌC

118
4.2.11. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP TRỪ PHÂN SỐ” (tiếp theo)
[27,tr.130] 119
4.2.12. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP NHÂN PHÂN SỐ”
[27,tr.132] 120
4.2.13. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “TÌM PHÂN SỐ CỦA MỘT SỐ”
[27,tr.135] 123
4.2.14. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “PHÉP CHIA PHÂN SỐ” [27,tr.137]
124
4.2.15. Sử dụng hoạt động giải toán vào bài “TỈ SỐ” [27,tr.146] 127
4.3. Kết luận chƣơng 4 127
CHƢƠNG 5. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 129
5.1. Thực nghiệm A – Bài toán 1 130 v
5.1.1. Phân tích tiên nghiệm bài toán 1 130
5.1.2. Tổ chức thực nghiệm 133
5.1.3. Phân tích hậu nghiệm 134
5.1.4. Kết luận thực nghiệm A – Bài toán 1 138
5.2. Thực nghiệm A – Bài toán 2 và Bài toán 3 138
5.2.1. Phân tích tiên nghiệm bài toán 2 và bài toán 3 138
5.2.2. Tổ chức thực nghiệm 142
5.2.3. Phân tích hậu nghiệm 143
5.2.4. Kết luận thực nghiệm A – Bài toán 2 và bài toán 3 147
5.3. Thực nghiệm A – Bài toán 4 147
5.3.1. Phân tích tiên nghiệm tình huống thực nghiệm 147
5.3.2. Tổ chức thực nghiệm 150
5.3.3. Phân tích hậu nghiệm 151
5.3.4. Kết luận thực nghiệm A – Bài toán 4 155 vii
DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng
Nội dung
Trang
2.1
So sánh phương pháp bổ sung và phương pháp nhúng đẳng
cấu

56
3.1
Mục tiêu, yêu cầu của việc dạy học phân số
76
3.2
So sánh “phân số - thương” và “phân số - tỉ số”
89
3.3
Tổng kết các cách tiếp cận khái niệm phân số ở các cấp độ
khác nhau

90
3.4
Thống kế số lượng bài tập liên quan đến khái niệm phân số

92


165 viii
5.8
Thống kê chiến lược giải của HS đối với câu b của bài toán
5

166
5.9
Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với câu a của
bài toán 5

167
5.10
Thống kê chiến lược giải của các nhóm đối với câu b của
bài toán 5
167

ix
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

Sơ đồ
Nội dung
Trang
1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Khái niệm phân số là nội dung dạy học quan trọng trong chương trình toán
ở tiểu học
Ở Việt Nam, khái niệm (KN) phân số được đề cập ở hầu hết tất cả khối lớp ở
tiểu học trừ khối 1. Thậm chí, nó còn được tiếp tục nghiên cứu trong chương trình
toán ở lớp 6. Điều đó cho thấy tầm quan trọng của mảng kiến thức số học này trong
chương trình toán phổ thông.
Ngoài ra, việc dạy học (DH) KN phân số có mối liên hệ chặt chẽ đến DH các
kiến thức số học: số tự nhiên, hỗn số, số thập phân,…Bên cạnh đó, phân số còn là
cơ sở ban đầu để hình thành hỗn số và số thập phân. Do vậy, DH KN phân số ít
nhiều cũng ảnh hưởng đến DH các loại số khác. Hơn nữa, KN phân số còn hiện
diện trong các mạch kiến thức khác ở tiểu học: hình học, số đo đại lượng, giải toán
có lời văn, yếu tố thống kê,…Tóm lại, phân số có mặt ở hầu hết trong chương trình
toán ở tiểu học.
Trong những năm gần đây, các nhà giáo dục Việt Nam đã biên soạn lại toàn bộ
sách giáo khoa (SGK) chương trình tiểu học và điều đó chính thức hoàn thành vào
năm 2006. Do vậy, các nội dung liên quan KN phân số cũng khác đi so với chương
trình trước đó. Chính sự thay đổi này kéo theo sự điều chỉnh trong đào tạo của các
trường đại học, cao đẳng sư phạm có tham gia đào tạo SV Giáo dục tiểu học.
Bên cạnh đó, sự điều chỉnh này cũng ảnh hưởng phần nào đến quá trình DH
của giáo viên (GV) và cách học tập của học sinh (HS). Việc đổi mới về chương
trình cũng dẫn đến sự đổi thay về nội dung và phương pháp dạy học (PPDH) là một
tất yếu. Điều này buộc GV phải chỉnh sửa lại bài giảng cũng như phương pháp
truyền thụ của mình đối với các nội dung của chủ đề phân số.
Sự thay đổi của bộ đôi này có thật sự tạo điều kiện thuận lợi để cho GV và HS
tiếp cận các nội dung của chủ đề phân số hay chưa?
Ngoài ra, các nhà giáo dục đang có định hướng viết lại SGK vào năm 2015. Vì
vậy, những nghiên cứu về nội dung DH phân số trước khi đổi mới là cần thiết.


 Hoạt động giải toán thích ứng với xu hướng DH của thực tiễn nước ta: 3
- Trong những năm gần đây, chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo tập trung
vào quan điểm DH “lấy HS làm trung tâm”. Trong đó, vai trò tự khám phá tri thức
của HS được nhấn mạnh. Hoạt động giải toán thích hợp với yêu cầu này bởi vì các
em sẽ tự mình kiến tạo tri thức mới thông qua việc tìm kiếm lời giải cho bài toán.
- Trong DH toán, người ta quan tâm đến một số lí thuyết DH hiện đại: lí thuyết
hoạt động, lí thuyết kiến tạo, lí thuyết tình huống Điểm chung của các lí thuyết
này là tập trung vào vai trò hoạt động của HS. Do vậy, hoạt động giải toán vẫn đảm
bảo được yếu tố hoạt động của HS, trong đó bản thân trẻ khám phá ra các chiến
lược giải bài toán, cùng với bạn bè và GV để thể chế hóa được kiến thức mới.
- Ngoài ra, nhà trường chú trọng hơn những PPDH tích cực: DH khám phá, DH
phát hiện và giải quyết vấn đề, DH theo dự án, DH hợp tác,… Các PPDH này yêu
cầu GV giữ vai trò chủ đạo, điều khiển, trong khi đó HS tích cực chủ động, sáng
tạo, tự giác để kiến tạo tri thức mới. Hơn thế nữa, chúng luôn tạo điều kiện cho
người học được làm việc với các hoạt động tích hợp. Nếu xét về khía cạnh này, hoạt
động giải toán sẽ hỗ trợ cho việc sử dụng các PPDH tích cực trong DH toán.
- Thêm vào đó, theo PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu [6,tr.67-68] để nâng cao năng
lực hiểu biết toán học cho HS, chúng ta không thể coi nhẹ DH toán thông qua DH
mô hình hoá. Mô hình DH này có thể thực hiện theo tiến trình:
Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn  Xây dựng mô hình toán học  Câu trả lời
cho bài toán thực tế  Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định
nghĩa, định lí hay công thức  Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.
Theo tiến trình trên, hoạt động giải toán đóng vai trò quan trọng trong việc xây
dựng nên tri thức. Tri thức nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện của hoạt
động giải toán. Vì vậy, hoạt động giải toán phù hợp với xu hướng DH bằng mô hình
hóa như hiện nay.
 Bên cạnh thích nghi với xu hướng DH trong nước, hoạt động giải toán cũng

khoa học
Tác giả Nguyễn Hoài Anh nghiên cứu về việc sử dụng máy tính điện tử trong
DH phân số ở tiểu học. Thêm vào đó, tác giả này cũng xuất bản một bài báo trên
Tạp chí Sách và thiết bị với tên là “So sánh nội dụng chủ đề phân số trong chương
trình môn toán ở tiểu học của hai nước Việt Nam và Brunei” (trích từ [105]).
Công cụ ngầm ẩn Đối tượng Công cụ tường minh Giải bài toán Nghiên cứu KN Giải toán 5
Một nghiên cứu khác liên quan đến KN phân số thuộc về tác giả Phạm Ngọc
Bảo [1]. Tác giả nghiên cứu “Đào tạo GV tiểu học về bước chuyển từ phân số như
là những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị đến phân số như là thương ở lớp 3 và lớp
4”. Trong luận văn này, tác giả tiến hành một thực nghiệm để chỉ ra rằng HS gặp
nhiều khó khăn trong việc giải quyết những tình huống nhắm tới thiết lập mối quan
hệ giữa phép chia hai số tự nhiên và phân số, giữa phân số đơn vị và phân số
thương, được đưa vào bởi SGK toán 4 hiện hành. Tác giả chưa có những nghiên
cứu khoa học luận của KN phân số.
Tác giả Trương Thị Vinh Hạnh (2007) [19] nghiên cứu đề tài luận án: “Dạy
học môn Toán ở trường trung học phổ thông thông qua hoạt động giáo khoa”. Mặc
dù, tác giả này không nghiên cứu về chủ đề phân số nhưng có nội dung “gần” với
chủ đề của chúng tôi. Trong luận án đó, tác giả đưa ra quan điểm về hoạt động, DH
thông qua hoạt động giáo khoa. Tuy nhiên, tác giả không đi nghiên cứu sâu KN bài
toán, DH thông qua hoạt động giải toán. Hơn nữa, các bài toán do tác giả này đề
xuất không được xem xét trên phương diện của một nghiên cứu khoa học luận.
Saenz-Ludlow (1990, 1992, 1994, 1995) xây dựng và phát triển việc DH phân
số trên “case studies” (nhưng Hunting 1986 đã công bố tác phẩm tương tự), tức là
phân tích quá trình DH liên quan đến chủ đề mà tập trung vào các chiến lược cá

ngày. Nghiên cứu này tương đồng với nghiên cứu của Figueras (trích theo [89]).
Graeber, Tanenhaus (1993) đề xuất cách tiếp cận phân số thông qua các tình
huống đo lường và do đó chúng mang lại nghĩa cho HS xây dựng kiến thức theo chủ
đề này. Thế nhưng, nghiên cứu này chưa mang lại đầy đủ các nghĩa khác nhau của
phân số như trong lịch sử (trích theo [86]).
Gray (1993) được nhắc đến như tác giả nghiên cứu những vấn đề thường gặp
trong việc chuyển từ số tự nhiên sang phân số cũng như các khó khăn có liên quan.
Đây là một nghiên cứu khá thú vị, thế nhưng các nguyên nhân của khó khăn, sai
lầm không được giải thích dưới ngôn ngữ của didactic toán (trích theo [93]).
Davis, Hunting, Pearn (1993a, b) đề xuất sử dụng các sơ đồ để biểu diễn mối
quan hệ giữa các số tự nhiên và các phân số. Nghiên cứu của họ gắn liền một thực
nghiệm giảng dạy hơn 2 năm với các em HS từ 8 đến 10 tuổi (trích theo [90]). 7
Giménez (1994) cho rằng cần phân biệt giữa "chia" theo ngôn ngữ đời thường
và "phân số" trong toán học, bằng cách sử dụng những kinh nghiệm, những câu
chuyện để kích thích nhận thức của HS. Tất cả được thiết kế nhằm tạo ra mối liên
kết giữa các tình huống trong đó có sử dụng phân số (trích theo [92]).
Kamii, Clark (1995) xem xét các câu hỏi về những khó khăn cho việc hiểu biết
mối quan hệ tương đương giữa các phân số (phân số bằng nhau). Nghiên cứu này
cho biết thêm về cách tiếp cận phân số dựa trên lí thuyết tập hợp (trích theo [91]).
Barbero, Carignano, Magnani, Tremoloso (1996) đưa ra các dữ liệu có liên
quan đến sai lầm mà HS gặp phải khi làm việc với phân số, trong đó họ còn phân
tích các tình huống và những nguyên nhân có thể. Nghiên cứu này cũng tương tự
như Gray đã tiến hành trước đó (trích theo [93]).
Singh (2000) trình bày một nghiên cứu về tỉ số và tỉ lệ. Nó được đánh giá là
khá quan trọng trong việc giải thích KN phân số. Ngoài ra, kết luận của ông khẳng
định các hoạt động liên quan đến tỉ lệ đòi hỏi khả năng nắm vững hai tỉ số. Nghiên
cứu của ông đánh dấu cách tiếp cận phân số theo tỉ số. Mặc dù vậy, nó cũng không

thiết yếu của cuộc sống hàng ngày của họ” mặc dù họ không nhất thiết phải hiểu
được ý nghĩa của một phân số (trích ra từ [89]).
Trong bài viết “Mở rộng nghĩa của kí hiệu phân số: một thực nghiệm sư
phạm”, K. Subramanariam (2006) mở rộng nghĩa phân số với quan hệ số phần /
toàn thể sang quan hệ nhân với vai trò là một toán tử. Thực nghiệm giúp HS hiểu
sâu hơn về suy luận của phép nhân. Từ đó, nó tạo điều kiện cho HS trong việc giải
quyết vấn đề và học tập các phép tính đại số ([82]).
Neumer (2007) được nhắc đên vì ông đã chỉ ra KN hỗn số và phân số thực sự
gây nhầm lẫn cho HS, bởi vì họ không hiểu tử số lớn hơn mẫu số, cũng như thực tế
là một số nguyên có thể được viết bên cạnh một phân số (trích theo [89]).
Trong bài báo “The development, and the developing of the conception of a
fraction”, László Filep trình bày sơ lược về lịch sử KN phân số. Thế nhưng trong
nghiên cứu này ông chỉ làm rõ cách tiếp cận phân số dựa trên phép chia và những
điều cần lưu ý về mặt sư phạm. Rõ ràng, đây cũng không phải là công trình nghiên 9
cứu khoa học luận. Hơn thế nữa, KN phân số không chỉ hình thành dựa trên phép
chia mà còn nhiều cách tiếp cận khác ([83]).
Mathar Isabel Fandino Pinila (2007) đưa ra một nghiên cứu về phân số trong
“Fractions: Conceptual and Didactic Aspects”. Trong đó, ông nhấn mạnh rằng việc
DH phân số thường không thành công do bởi một số nguyên nhân. Tác giả tập hợp
các nguyên nhân dẫn đến việc học phân số không thành công dựa trên những nghiên
cứu giáo dục toán. Các nguyên nhân đó có thể là: hợp đồng didactic, chướng ngại
khoa học luận, khó khăn,…Do vậy, nghiên cứu này được thực hiện dưới một số
công cụ lí thuyết của didactic toán. Tuy nhiên, tác giả cũng chưa tiến hành công
việc dưới một nghiên cứu đặc trưng khoa học luận (trích theo [85]).
Susanne Prediger (2008) viết bài “The relevance of didactic categories for
analyzing obstacles in conceptual change: Revisiting the case of multiplication of
fractions”. Tác giả chỉ ra cơ sở lí luận của chướng ngại khoa học luận và nghiên cứu

trình liên quan KN phân số. Thế nhưng, ở Việt Nam chưa có công trình nào nghiên
cứu KN phân số theo tiến trình: nghiên cứu khoa học luận  nghiên cứu thể chế
đào tạo GV  nghiên cứu thể chế DH toán ở tiểu học  nghiên cứu thực nghiệm.
Những phân tích trên đặt ra cho chúng tôi nhiều câu hỏi mà việc giải đáp chúng
sẽ gợi ra những cái mới và đóng góp của luận án:
- Trong thể chế DH toán tiểu học ở Việt Nam, KN phân số được đưa vào như
thế nào? Xoay quanh những dạng toán nào?
- GV DH toán ở trường tiểu học Việt Nam có quan niệm như thế nào về KN
phân số và DH phân số?
- GV sử dụng những hoạt động giải toán gì để hình thành kiến thức gắn liền với
KN phân số? Đặc trưng của những hoạt động đó ra sao?
- Hoạt động giải toán nào được GV lựa chọn để giúp HS phát hiện và sửa chữa
các sai lầm khi học chủ đề phân số?
Từ những lí do trên đây, chúng tôi đặt vấn nghiên cứu của luận án:
“Dạy học chủ đề phân số ở trường tiểu học thông qua hoạt động giải các bài
toán” 11
2. Giới hạn của đề tài
Ở đây, chúng tôi chọn ra một KN toán học có nhiều công trình nghiên cứu:
phân số. Bên cạnh đó, KN này chỉ được tiến hành nghiên cứu ở các cấp độ: lịch sử
toán, nhà trường đào tạo GV tiểu học và dạy toán ở tiểu học.
Hơn thế nữa, chúng tôi tập trung vào hai giáo trình chính để thực hiện phân tích
ở cấp độ nhà trường đào tạo GV tiểu học: Số học (Lí thuyết số) và Phương pháp
giảng dạy toán ở tiểu học. Để nghiên cứu phân số ở cấp độ DH toán tiểu học, chúng
tôi chỉ đề cập đến SGK, sách giáo viên (SGV) hiện hành.
3. Phạm vi lí thuyết tham chiếu và mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của lí thuyết về bài toán,
hoạt động giải toán, DH thông qua hoạt động giải toán.

13
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sau đây là sơ đồ thể hiện phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi sử dụng nhằm
tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi:
Sơ đồ 2: Tiến trình nghiên cứu của luận án
4.1. Nghiên cứu lí luận
- Trước tiên, chúng tôi phân tích, tổng hợp cơ sở lí luận của hoạt động giải toán
cũng như một số cơ sở lí thuyết của didactic toán, một số chủ trương, chính sách
của Chính phủ, Bộ Giáo dục và Đào tạo về định hướng đổi mới PPDH.

cơ sở lí thuyết để thiết kế hoạt động giải toán cho chủ đề phân số.
4.2. Thực nghiệm sư phạm
Sau những nghiên cứu trước đó, cho phép chúng tôi đề xuất các giả thuyết
nghiên cứu. Tính thỏa đáng của chúng được kiểm chứng bằng một số thực nghiệm
trên đối tượng HS.
5. Giả thuyết nghiên cứu
Hai giả thuyết dưới đây có được từ việc phân tích mối quan hệ thể chế DH toán
ở tiểu học, thiết kế các hoạt động giải toán (trong chương 3, 4). Việc kiểm chứng
tính đúng đắn của chúng được thực hiện trong chương 5 của luận án.
H1: Tổ chức dạy học thông qua hoạt động giải toán, được thiết kế theo những
tiêu chí ở mục 4.1.1, cho phép học sinh tự kiến tạo kiến thức gắn liền với khái
niệm phân số và mang lại cho các em nghĩa đúng của kiến thức này.
H2: Tình huống dạy học phân số dựa trên tia số còn cho phép học sinh tiếp
cận với nghĩa của khái niệm phân số như là phương tiện “biểu thị một điểm cụ
thể trên tia số” và hình thành cho các em biểu tượng ban đầu về tính trù mật của
tập hợp các phân số. 15
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
6.1. Về mặt lí luận
- Phân tích và tổng hợp một số yếu tố cơ sở lí luận về DH thông qua hoạt động
giải toán, các lí thuyết của didactic toán, một số chủ trương, chính sách của Chính
phủ, Bộ Giáo dục và Đào tạo về định hướng đổi mới PPDH.
- Làm rõ các đặc trưng của KN phân số trong tiến trình hình thành và phát triển
của nó.
- Dựa trên cơ sở lí luận trên, cho phép phân tích các nội dung có liên quan đến
chủ đề phân số trong nhà trường đào tạo GV tiểu học và thể chế DH toán ở tiểu học.
6.2. Về mặt thực tiễn
- Xây dựng các tiêu chí để tổ chức DH thông qua hoạt động giải toán, đề xuất