Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

1S DNG PHNG TRÌNH TNG QUÁT CA MT PHNG  VIT
PHNG TRÌNH MT PHNG

Gi tng: Mathvn.com

Trong chng trình THPT khi vit phng trình tng quát ca mt phng cha mt đng thng và
tha mãn mt điu kin cho trc, hc sinh và đôi khi là giáo viên s dng phng pháp chùm mt
phng, phng pháp đó cng khá là ngn gn và hay nhng hin nay ch dùng phng pháp đó vi hình
thc tham kho, điu đó làm khó khn cho hc sinh trong quá trình làm bài tp, cng nh giáo viên
trong quá trình ging dy. Bài vit này hi vng s giúp đ các em, cng nh các bn đng nghip không
cn s dng phng pháp đó vn có th làm bài tp, không nhng ch làm vi dng bài tp đó mà còn
m rng sang các dng khác

Mt s dng c th

Dng 1: Vit phng trình mt phng đi qua mt đim và tha mãn điu kin cho trc
iu kin cho trc là
- Vuông góc vi hai mt phng cho trc
- Song song vi hai đng thng cho trc
- Vuông góc vi mt mt phng và song song vi mt đng thng cho trc…

Dng 2: Vit phng trình mt phng đi qua hai đim và tha mãn điu kin cho trc
iu kin cho trc là
- Vuông góc vi mt mt phng cho trc
- Song song vi mt đng thng cho trc



Bc 2: T điu kin gi thit dn ti mt h ba phng trình 4 n là
, ,
A B C
và
D

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

2

Bc 3: T 2 trong 3 phng trình ta rút
C
và
D
theo
A
và
B
t đó s dn ti hai dng phng trình là
TH 1:
0
A B
 
 
, chn , ,A B C D

  
    

Chú ý:
- i vi TH1 khi ri vào trng hp đc bit là
0 0
A A

  
thì ta chn
1
B

(vì
0


) và ngc li
- Thông thng đ s dng phng pháp này thì bao gi cng phi có ba điu kin thì s tng đng vi mt
h bn n, ba phng trình và ta làm nh trên
-  gim đ phc tp ta s dùng phng pháp
“dn n” nh sau
Gi s
0
A

khi đó ta chia hai v cho A ta đc
0
B C D
x y z

ti kt qu ca bài toán
-  đây Tôi ch dng phng pháp tng quát, còn các phng pháp khác hiu qu hn (xem trong chuyên đ
mt phng – đng thng – mt cu ca Tôi), tuy nhiên trong mt s trng hp nu không dung phng pháp
tng quát (không tính phng pháp chùm) thì làm sao đây….

Bài tp minh ha cho các dng:

Dng 1: Vit phng trình mt phng đi qua mt đim và tha mãn điu kin cho trc

Bài 1: (SBT – Ban C Bn T99) Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình mt phng



đi
qua đim


2; 1; 2
M  , song song vi trc Oy và vuông góc vi mt phng


: 2 3 4 0
x y z

   

Gii:
Gi s mt phng



n j A B C

     



- Mt phng



vuông góc vi mt phng







. 0 .2 . 1 .3 0 3
n n A B C
 
      
 

Gii h (1), (2) và (3)


3, 0, 2, 2.
A B C D
     

: 5 – 4 3 1 0
x y z

  

Gii:
Gi s mt phng



có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

3

- Mt phng



đi qua đim




vuông góc vi mt phng







. 0 .5 . 4 .3 0 3
n n A B C
 
      
 

T (1) và (2) ta đc
3 21
, 6
2 2
C B A D B A
    th vào (3) ta đc
2
A B

chn
1, 2 2, 15
B A C D
      



 


Vit phng trình mt phng



đi qua A đng thi song song vi d và d’
Gii:
Gi s mt phng



có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      

- Mt phng



đi qua đim M



'
. 0 .1 . 2 .1 0 3
d
n u A B C

      



T (1) và (2) ta đc
2 , 4 3
C A B D A B
    
th vào (3) ta đc
3
A B

chn
1, 3 5, 13
A B C D
     

Vy phng trình mt phng



là
3 5 13 0
x y z
   


là vtpt ca mt phng


P
. Các vtcp ca trc Ox và Oy là


1;0;0
i

và


0;1;0
j

.
Theo gi thit ta có h
0
2 2 2
2 2 2
0
2 2 2
1
sin 45
2
2
2
1

 


Chn
1
B

ta đc
2, 1
A C
   

Vy phng trình mt phng


P
đi qua đim


1;2;3
M là










đi qua M vuông góc vi mt phng và to vi mt phng mt góc
0
45

Gii:
Gi s mt phng



có dng
2 2 2
0 ( 0)
Ax By Cz D A B C
      

Gi


; ;
n A B C

là vtpt ca mt phng


Q
. Theo gi thit ta có h phng trình
2 2 2
2 0
1
2

x y
  
hoc






5 2 3 3 4 1 0
x y z
     

Bài 6: Trong không gian vi h trc ta đ Oxyz, cho đng thng
1 3
:
1 1 4
x y z
 
  
và đim


0; 2;0 .
M  Vit phng trình mt phng (P) đi qua đim M song song vi đng thng  đng thi khong
cách gia đng thng  và mt phng (P) bng 4.
Gii:
Gi s mt phng




T gi thit ta có
2 2 2
. 4 0
/ /( ) (1)
| 5 |
4
( ;( )) 4 (2)

n u a b c
P
a b
d A P
a b c

   





 



 

 

Th

a c b
    
. Phng trình mt phng


1
: 4 8 16 0.
P x y z
   

Vi
2
a
c
 
chn
2, 1 2
a c b
    
. Phng trình mt phng


2
: 2 2 4 0.
P x y z
   

Bài 7: Vit phng trình mt phng (P) qua O, vuông góc vi mt phng



 
2 2 2 2
2 2 2
2
; 2 2 ( 2 ) 2( )
A B C
d M P A B C A B C
A B C
 
        
 
(2)
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

5

Thay (1) vào (2) , ta đc :
2
0
8 5 0
8

5
B
AB B
A
B

 . Chn
(1)
5, 1 3
A B C
    
thì


2
: 5 8 3 0
P x y z
  

Bài 8: Trong không gian vi h ta đ Oxyz, cho đng thng

:
1
1 1 4
x y z

  và đim


0;3; 2
M

. Vit
phng trình mt phng (P) qua M, song song

và khong cách gia đng thng



 


2
8
B C
B C
 



 


TH 1:
2
B C
 
chn
1, 2 2, 8
C B A D
      

TH 2:
8
B C
 
chn

Gi s mt phng


P
có dng :


2 2 2
0 0
ax by cz d a b c
      

Mt phng (P) qua A(1;1;2)






1 1 2 0
a x b y c z
      

Mt cu (S) có tâm


1; 2;2
I  bán kính R = 2
Mt phng (Q) có VTPT
(2;1; 6)

5
9 4 4 4 3 10 0
5
11
2
a c
a c b
b c
a c b a c b
b c
b c
b a b c b bc c
b c
a c
 



 




   
 


   



TH 1: Chn
1 1, 1
c a b
   


1
: 2 2 6 0
P x y z
    

TH 2: Chn
11
1 , 5
2
c a b
    
       
2
11
: 1 5 1 2 0 11 10 2 5 0
2
P x y z x y z
           

Chú ý:
Nu thay đi gi thit là (P) đi qua mt đim M, song song vi đng thng d và tip xúc vi mt mt cu thì
cng làm tng t
Bài 10: (H – D 2010) Trong không gian to đ Oxyz, cho hai mt phng


Gi s mt phng


R
có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      

- Mt phng


R
vuông góc vi mt phng


P


. 0 .1 .1 .1 0 1
R P
n n A B C     
 

- Mt phng



kt hp vi (3) ta đc hai phng trình mt
phng cn tìm là


1
: 2 2 0
R x z
  
và


2
: 2 2 0
R x z
  
Dng 2: Vit phng trình mt phng đi qua hai đim và tha mãn điu kin cho trc

Bài 11: (SGK – Ban C Bn T80) Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình mt phng



đi
qua hai đim





M


.1 .0 .1 0 1
A B C D    
- Mt phng



đi qua


5;2;3
N


.5 .2 .3 0 2
A B C D    
- Mt phng



vuông góc vi mt phng









đi qua hai đim




2;1;3 , 1; 2;1
M N  và song song vi đng thng d có phng trình là:
1
: 2
3 2
x t
d y t
z t
  





  


Gii:
Gi s mt phng



có dng :


đi qua


1; 2;1
N 




.1 . 2 .1 0 2
A B C D     
- Mt phng



song song vi đng thng d




. 0 .1 .2 . 2 0 3
d
n u A B C

      



T (1) và (2) ta đc
1 3 1 7



0;0; 2
N

và


1;1;1
I . Vit
phng trình mt phng


P
qua hai đim A và B, đng thi khong cách t I ti mt phng


P
bng 3 .
Gii:
Gi s mt phng


P
có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C


.0 .0 . 2 0 2
A B C D     
T (1) và (2) ta đc
 
1
,
2
C A B D A B
   

Nên mt phng


P
có phng trình là
   
1
0
2
Ax By A B z A B
     

Theo gi thit
 
 
   
 
2 2
2

          

TH 2:
7
5
A
B

chn


7, 5 1, 2 : 7 5 2 0
A B C D P x y z
         

Bài 14: (H – B 2009 ) Trong không gian vi h to đ Oxyz, cho t din ABCD có các đnh






1;2;1 , 2;1;3 , 2; 1;1
A B C  và


0;3;1
D . Vit phng trình mt phng




1;2;1
A


.1 .2 .1 0 1
a b c d    
- Mt phng


P
đi qua


2;1;3
B 




. 2 .1 .3 0 2
a b c d     
T (1) và (2) ta đc
 
3 1 5
,
2 2 2
c a b d a b
    


   
   

 
2 2
2 2 2 2
3 1 5 5 3 1 5 5
.2 . 1 .1 .0 .3 .1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 3 1
2 2 2 2
2 4
3
2 0
a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b
a b a b
b
   
          
   
   

   
     
   
   



Bài 15: Trong không gian ta đ Oxyz, lp phng trình mt phng


P
đi qua hai đim


0; 1; 2 ,
A 


1;0;3
B và tip xúc vi mt cu


S
có phng trình:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 2
x y z
     

Gii:
Gi s mt phng


P
có dng :




.1 .0 .3 0 2
a b c d    
Mt cu


S
có tâm


1; 2; 1
I

và có bán kính
2
R 

- Mt phng (P) tip xúc vi mt cu
 
 


 
2 2 2
.1 .2 . 1
, 2 3
a b c d
d I P R
a b c
   

a
b
 
. Chn
1, 1 0, 1
a b c d
      
, suy ra phng trình


1
: 1 0
P x y
  

TH 2:
8
3
a
b
 
. Chn
8, 3 5, 7
a b c d
      
, suy ra phng trình


2
: 8 3 5 7 0

Phng trình mt phng (P) đi qua M và N nên ta có
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

9





   
.0 . 1 .2 0 1
. 1 .1 .3 0 2
A B C D
A B C D
    


    



T (1) và (2) ta đc


2 , 2
A B C D B C
   

d K P

(loi)
TH 2: Nu
0
B

thì
 
 
2 2 2
1 1
,
2
4 2 4
2 1 2
B
d K P
B C BC
C
B
  
 
 
 
 
 

Du “=” xy ra khi B = – C. Chn C = 1 và B = – 1
Vy phng trình mt phng

x y z

 
và


: 3 5 – 1 0
x y z

  
đng thi song song vi mt phng


: 2 – 3 0
x y z

  

Gii:
Gi

là giao tuyn ca



và





1
7;0; 4
M

và


2
1; 2;0M
  

- Mt phng


P
đi qua


1
7;0; 4
M





.7 .0 . 4 0 1
A B C D     
- Mt phng


3
; ;
2
P
B A
n A B

 

 
 


www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

10

Mt phng



có vtpt


1;1;2
n


 chn
1, 1 2, 1
A B C D
    

Vy mt phng


P
có phng trình là
2 1 0
x y z
   

Bài 18: (SBT – Ban Nâng Cao T125) Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình mt phng


P

a. i qua đim


2;1; 1
o
M

và qua giao tuyn ca hai mt phng


Q


: 2 – 7 0
x z

 

Gii:
a. Gi

là giao tuyn ca


Q
và


R


có phng trình

– – 4 0
:
3 – – 1 0
x y z
x y z
 




2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      

- Mt phng


P
đi qua
3 11
; ;0
2 2
M
 
 
 
 
 
3 11
. . .0 0 1
2 2
A B C D
   
      
   
   

- Mt phng


M





.2 .1 . 1 0 3
A B C D     
Gii h (1), (2) và (3) ta đc


15, 7, 7, 16 : 15 – 7 7 – 16 0
A B C D P x y z
        

b. Gi

là giao tuyn ca



và





có phng trình



0 0
Ax By Cz D A B C
      

- Mt phng


P
đi qua


5;0; 13
M 




.5 .0 . 13 0 1
A B C D     
- Mt phng


P
đi qua


1;1;0
N



www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

11

Mt phng



có vtpt


2;0; 1
n

 

, mt phng


P
vuông góc vi





 

2 4 0
:
2 2 4 0
x y z
x y z
   



   


2
1
: 2
1 2
x t
y t
z t
 


  


 


Vit phng trình mt phng


có dng :


2 2 2
0 0
Ax By Cz D A B C
      

- Mt phng


P
đi qua
4 8
;0;
3 3
M
 
 
 
 
4 8
. .0 . 0 1
3 3
A B C D    
- Mt phng


P
đi qua

  
 
 


ng thng
2

có vtcp


2
1;1;2
u 

, mt phng


P
song song vi đng thng
2



2
1 3
. .1 .1 .2 0 5 0
2 4
P
n u A B A B B

d
 
 

và
2
2 1
:
1 1 1
x y z
d
 
 

. Vit phng trình mt phng cha
1
d
và hp vi
2
d
mt góc 30
0
.
Gii:
Gi s mt phng


P
có dng :


Do


P
qua
,
M N
nên:
0 2
0
A C D C A B
A B D D A B
    
 

 
     
 

Nên
( ) : (2 ) 0
P Ax By A B z A B
     
.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

12

21
A


Vy có 2 mt phng tha mãn:
18 114 15 2 114 3 114
0
21 21 21
x y z
 
   

.
Bài 21: Trong không gian vi h to đ Oxyz cho đim






1;2;0 , 0;4;0 , 0;0;3
A B C . Vit phng trình mt
phng


P
cha OA, sao cho khong cách t B đn


P


0;0;0 1;2;0 .
O và A
0 0
2 0 2
D D
A B A B
 
 
 
 
   
 

Suy ra mp(P) có phng trình là:
2 0
Bx By Cz
   

- Theo gi thit thì:
 
 
 
 
2 2 2 2
4 3
3
, , 4 3 4 3
4
5 5

  

sao cho giao tuyn ca mt phng (P) và mt
cu


2 2 2
: 2 2 2 1 0
S x y z x y z
      
là đng tròn có bán kính r = 1.
Gii:
Gi s mt phng


P
có dng
2 2 2
0 ( 0)
Ax By Cz D A B C
      

- Chn hai đim




2;0; 2 , 3;1;0
M N d
 

  


Suy ra mt phng có phng trình là
3 0
2
A B
Ax By z A B

    

- Mt cu
       
2 2 2
: 1 1 1 4
S x y z
     
có tâm


1;1; 1
I
 
và bán kính
2
R


Mt phng ct mt cu theo mt đng tròn có bán kính
1

 

2 2
2 2
1
7 5
3 17 10 7 0
7
5 5 2
17
A
A B
B
A AB B
A
A B AB
B




      

 

 



TH 1:

1
: 1 3
2
x
d y z

   
. Vit phng trình mt phng (Q) cha đng
thng d và to vi mt phng (P) mt góc nh nht
Gii:
Gi s mt phng


Q
có dng
2 2 2
0 ( 0)
Ax By Cz D A B C
      

- Chn hai đim




1; 1;3 , 1;0;4
M N d
  

- Mt phng



Suy ra mt phng có phng trình là


2 7 4 0
Ax By A B z A B
      
và có vtpt


; ; 2
Q
n A B A B
  


- Mt phng (P) có vtpt


1; 2; 1
P
n
 

. Gi

là góc gia hai mt phng (P) và (Q) ta có
2 2
3


khi đó
2
1
3
cos
6
5 2 4
B
A
B B
A A



 
 
 
 
. t
B
x
A

và


2
cos
f x



1 1, 4 : 4 0
B C D P y z
       

Chú ý:
Ta có th xét trng hp
0
B

,
0
B

hoc
0
A B
 
,
0
A B
 

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

14

Ax By Cz D A B C
      

- Chn hai đim




1; 2;0 , 0; 1;2
M N d
  

- Mt phng


P
cha d nên
 
 
 
.1 . 2 .0 0
,
2
.0 . 1 .2 0
2
A B
A B C D
C
M N P
A B C D

 
 


Gi

là góc gia hai mt phng


P
và Oy ta có
2 2 2
2 2
2
sin
5 5 2
2
B B
A B AB
A B
A B

 
 

 
 
 
 


sin
f x


 
2
4
5 2 5
f x
x x

 
, kho sát hàm s này ta đc
 
5 1
6 5
Maxf x x
  

Hin nhiên trong trng hp này
0
0



Vy TH 2 tha mãn tc là
1
5
A
B

1 2
:
2 1 2
x y z
d
 
  . Vit phng trình mt phng () cha d sao cho khong cách t A đn () ln nht.
Gii:
Gi s mt phng


P
có dng
2 2 2
0 ( 0)
Ax By Cz D A B C
      


mt phng


P
có vtpt


; ;
P
n A B C


2 0 1
M P A C D     
và


. 0 2 2 0 2
P d
n u A B C    
 

T (1) và (2) ta đc
2
2
A B
C
D A B


 



 
suy ra mt phng





(loi)
TH 2:
0
B

. Chn
1
B

thì




: 2 2 2 1 2 2 0
P Ax y A z A
     

Khi đó
 
 
2 2 2
4 10 6 3 2 2
9 9 9 2
,
3
8 4 5 8 4 5
1 3
2 2


Bài 26: Trong không gian vi h ta đ Oxyz cho đim


10;2; 1
A

và đng thng d có
phng trình
1 2
1 3
x t
y t
z t
 





 

. Lp phng trình mt phng (P) đi qua A, song song vi d và khong cách t d ti (P)
là ln nht.
Gii:
- Gi s mt phng


P
có dng


- Mt phng đi qua đim




10;2; 1 10 2 0 1
A A B C D     
- Mt phng (P) song song vi đng thng d nên


. 0 2 3 0 2
P d
n u A B C    
 

T (1) và (2) ta đc
2 32 7
,
3 3
A B A B
C D
 
  
Vy mt phng (P) có phng trình


3 3 2 32 7 0
Ax By A B z A B
     


16

Xét hai trng hp
0
B

hoc
0
B

ta đc phng trình


: 7 5 77 0
P x y z
   

…Bn đc t gii

Dng 4: Vit phng trình mt phng đi qua 3 đim cho trc

Bài 27: (SGK – Ban C Bn T80) Trong không gian vi h to đ Oxyz .Vit phng trình mt phng



đi
qua ba đim M



3;0;0





. 1 .0 .0 0 1
A B C D     
- Mt phng



đi qua


0; 2;0
N 




.0 . 2 .0 0 2
A B C D     
- Mt phng



đi qua



ct nhau hoc song song vi
nhau
Nhn xét:
Thc cht đây là bài toán vit phng trình mt phng đi qua ba đim phân bit trong đó ly hai đim thuc
đng thng này mà mt đim thuc đng thng kia (dng 4)

Bài 28: (H – D 2005) Trong không gian vi h to đ Oxyz cho hai đng thng
1
1 2 1
:
3 1 2
x y z
d
  
 

và
2
2 0
:
3 12 0
x y z
d
x y
   


  

. Chng minh d


= (3;-1;2)
d
2
có vtcp
2
u

= (3;-1;2) =
1
u

và M
1


d
2
vy d
1
// d
2

- Vit phng trình mt phng



cha c d
1
và d


có dng
2 2 2
0 ( 0)
Ax By Cz D A B C
      

- Mt phng



đi qua


1; 2; 1
M
 






.1 . 2 . 1 0 1
A B C D      
- Mt phng



đi qua

Giáo viên: Nguyn Thành Long Email:
D: 01694 013 498

17

Vy mt phng



có phng trình là
15 11 17 10 0
x y z
   Bài tp áp dng:

Bài 1:
a. Trong không gian vi h to đ Oxyz cho 3 đim






3;4;1 , 2;3;4 , 1; 0;2 .
M N E Vit
phng trình mt phng





: 3 5 0
x y z

   
b.


: 2 3 8 0
x y z

   

Bài 2: Trong không gian vi h to đ Oxyz cho đim


1; 1;0
M   và mt phng (


P
có phng trình:
2 4 0.
x y z
   
Vit phng trình mt phng





(Sách bài tp nâng cao hình hc 12)
s:


: 3 4 19 0
x y z

   

Bài 4: Lp phng trình mt phng


P
đi qua




1; 1;3 , 1;0;4
M N  và to vi mt phng


: 2 5 0
Q x y z
   
mt góc nh nht .
s:



. Vit phng trình mt
phng (

) đi qua




1;1;0 , 1;2;7
A B  và vuông góc vi


P

(Tài liu ôn thi tt nghip nm 2009)
s:


:11 8 2 19 0
x y z

   

Bài 7: Trong không gian vi h to đ Oxyz cho đng thng d có phng trình
3
1
2
1
1
2

s:


: 3 5 0
x z

  

Bài 8: Vit phng trình mt phng



cha
1 1 2
:
2 1 5
x y z
d
  
  sao cho khong cách t


5;1;6
A đn



ln nht.
s:




: 2 1 0
x y z

   

Bài 10: Trong các mt phng đi qua


1;1; 1
A

và vuông góc vi mt phng


: 2 2 0
x y z

   
. Vit
phng trình mt phng to vi Oy mt góc ln nht.
s:
   
5 1
: 0; : 3 0
2 2
y z x y z
 
     

d x z

 

và
2 5
’ : 3
2 1
x z
d y
 
  

. Vit phng trình mt phng )(

đi qua d và to vi d’ mt góc
0
30
s:
2 4 0 ; 2 2 0
x y z x y z
       LI KT:

Chuyên đ gm 28 bài tp gii mu và 12 bài tp t gii có đáp s tuy cha minh ha ht các dng
bài tp nhng cng minh ha đc mt cách ti u phng pháp dùng PTTQ ca mt phng

Tôi không có t tng ca mt nhà vit sách hay gì c, tôi ch vit lên nhng dòng suy ngh và