Xây dựng đờng cong ứng suất biến dạng trơng nở
và vùng hoạt động trơng nở sau lng tờng chắn
Making up the curved, the relationship between stress and
strain in expansive soil on the back of retaining wall
GS.TSKH. Nguyễn Văn Thơ
Viện Khoa học Thủy lợi Miền Nam
NCS.ThS. Nguyễn Ngọc Phúc
Trờng Cao Đẳng Xây Dựng Số 2
Tóm tắt
Trong các bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói chung, trong cơ học đất nói
riêng, ngời ta thờng quan tâm đến các ứng xử của vật liệu thông qua các thông số
đặc trng trên đờng cong quan hệ ứng suất biến dạng. Đối với đất trơng nở, việc xác
lập đờng cong quan hệ ứng suất biến dạng và các thông số vật liệu cũng mang ý
nghĩa hết sức quan trọng. Bằng thí nghiệm trơng nở, ta quan sát sự biến đổi của hệ
số rỗng; biến dạng trơng nở theo các cấp áp lực khác nhau. Từ đó cho phép xác lập
đại lợng module trơng nở cát tuyến và xu hớng ứng xử trơng nở của vật liệu.
Abstract
In almost technical problems concern with continuum materials or
machanics of soil, There are many characteristics lay out on the relationship
between stress and strains should be determinate. There for, making up the curved,
the relationship between stress and strains in expansive soil, is so important. By
swelling test, we can consider changing of pore and swelling factor according
pressure. So, we can create the swelling modulus and precaution behaviors in
expansive soil
Mở đầu:
Trong các bài viết trớc [6, 7, 8], chúng tôi đã đề cập đến mô hình vật liệu
đất trơng nở và các kết quả thí nghiệm thu thập đợc từ thiết bị thí nghiệm trơng nở
ngang. Chúng là tiền đề cho việc xây dựng các lí thuyết tính toán cơ học trên đất
trơng nở, nh là bài toán áp lực đất lên tờng chắn có xét đến sự tham gia của áp lực
trơng nở
Các kết quả nghiên cứu đặc tính trơng nở của đất cho thấy chúng phụ thuộc

ij
d.
W
dW


=
(3)
So sánh hai biểu thức (1), (2), ta rút ra quan hệ:
ij
ij
W


=
(4)
Đẳng thức (4) đợc gọi là công thức Green và phát biểu là: ứng suất bằng
đạo hàm riêng bậc nhất của hàm thế đàn hồi W theo các biến dạng tơng ứng cùng
chỉ số. Công thức trên cho phép xác định các thành phần của tenxơ ứng suất qua
2
các thành phần của tenxơ biến dạng và là biểu thức tổng quát của vật thể đàn hồi,
không phân biệt đàn hồi tuyến tính hay phi tuyến.
Với mô hình vật liệu đàn hồi dẻo lí tởng, quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng trong giai đoạn đàn hồi là tuyến tính, nên đạo hàm riêng của hàm thế đàn hồi
cũng là hàm tuyến tính thuần nhất của các biến dạng. Từ đó, ta thấy rằng hàm thế
đàn hồi phải là hàm đẳng cấp thuần nhất bậc hai của các biến dạng.
Định lí Euler khẳng định dạng của hàm F đẳng cấp thuần nhất bậc n đối với
các biến số x
i
là:

n
1
x
x
F
x
x
F
x
x
F
n
1
F
(5)
áp dụng định lí này đối với hàm thế đàn hồi, là một hàm đẳng cấp bậc n đối
với các biến số
ij
ta nhận đợc dạng của hàm W nh sau:
ijijij
ij
.
n
1W
n
1
W =


=

Hình 1: Quan hệ ứng suất-biến dạng hình thành miền công nội năng
ijijij
ij
.
2
1W
2
1
W =


=
(7)
Từ đó rút ra công thức Castigliano cho vật thể đàn hồi tuyến tính:
ij
ij
W


=
(8)
Cùng với khái niệm về hàm thế đàn hồi nh một hàm của các biến dạng, ta đ-
a thêm hàm công bù, kí hiệu A*, theo định nghĩa:
W*A
ij
j
i
=
(9)
Tên gọi của hàm A* xuất phát từ nghĩa hình học của diện tích đồ thị quan

dạng nh là đạo hàm của hàm công bù theo các ứng suất cùng chỉ số:
ij
ij
d
*dA

=
(12)
Công thức (12) đợc gọi là công thức Castigliano cho vật thể đàn hồi tổng
quát. Khi vật thể đàn hồi tuyến tính, ta có A* = W và nhận lại đợc công thức (8).
Với mô hình đất đàn hồi dẻo lí tởng, trong điều kiện sản sinh áp lực đất l-
ợng biến dạng dẻo nhỏ từ (1/1000 đến 4/1000)H, rõ ràng cho ta kết quả công nội
năng bằng công bù.
Với H là chiều cao lng tờng.
4
Từ các định nghĩa trên, ta có thể quan niệm quá trình trơng nở của đất là
quá trình giải phóng công nội năng do sự xuất hiện của hàm ứng suất trơng nở và
biến dạng trơng nở.
Ngoài ra với định nghĩa áp lực trơng nở là một hàm ứng suất biểu thị cho
nội lực bên trong và đợc thể hiện ra bên ngoài đúng bằng giá trị tải trọng ngoài đủ
lớn không làm xuất hiện biến dạng trơng nở.
II. Xây dựng đờng cong quan hệ ứng suất biến dạng tr-
ơng nở:
Trong quá trình thí nghiệm trơng nở theo sơ đồ K
o
(thí nghiệm không nở
hông), cứ mỗi giá trị tải trọng ngoài đều đợc cân bằng bởi ứng suất trơng nở bên
trong làm phát sinh một lợng biến dạng trơng nở tơng ứng. Giá trị tải trọng ngoài
lớn nhất có thể có làm cho phân tố đất không xuất hiện biến dạng trơng nở cũng
cân bằng với giá trị ứng suất trơng nở lớn nhất ẩn chứa bên trong và đợc gọi là áp

khi có tải trọng ngoài

z
Hình 2: ứng xử trơng nở do p
N

và biến dạng do phụ tải P
Trong đó:
p
N
làm phát sinh biến dạng
N
; P làm giảm biến dạng
N
thành
1
.
5
Khi P đạt giá trị đúng p
N
thì
N
=0, lúc đó đất không thể hiện biến dạng tr-
ơng nở. Từ đó ta có thể thấy công nội năng bằng công ngoại năng và đợc thể hiện
bởi biểu thức sau:
NN1N
.p)(P =
(13)
Do đó kết quả thí nghiệm K
o

động của ứng suất có giá trị lớn hơn áp lực trơng nở. Điều này cũng đã đợc thể
hiện bởi kết quả nghiên cứu của PGS.TS. Trần Thị Thanh [5].
6
Hình 4: Xây dựng đờng cong ứng suất biến dạng trơng nở
e
max
Đừơng cong quan hệ
ứng suất-biến dạng
truơng nở
Đừơng cong thí nghiệm Ko
O
Đừơng cong thí nghiệm cố kết
Quá trình thoát nuớc
Quá trình uớt nuớc
e
o
e

-

+
p
N
Hình 5: Đờng cong quan hệ ứng suất biến dạng tơng ứng với các quá trình ớt nớc
(trơng nở) và thoát nớc (cố kết) - gọi chung là quá trình Consolidation.
7
O
O'
Đừơng cong thí nghiệm Ko
Đừơng cong quan hệ

n
i
p
i
N

Hình 6: Quan hệ ứng suất và biến dạng trơng nở
Từ đó có thể định nghĩa module trơng nở cát tuyến trong thí nghiệm K
o
nh
sau:
N
N
N
p
gcotE

==
(14)
Tơng tự nh vậy ta cũng định nghĩa module trơng nở đối với mô hình đất tr-
ơng nở trực hớng nh sau:
N
x
N
x
N
x
p
E


Song, không phải lực trơng nở đều có tác dụng trên suốt chiều cao tờng chắn và
theo suốt chiều ngang khối đất đắp. Điều này có thể hiểu là lực trơng nở của đất
8
chỉ thật sự xuất hiện khi đất có khả năng phát sinh biến dạng trơng nở trong trờng
ứng suất. ở những vị trí mà ở đó đất không xuất hiện biến dạng trơng nở thì không
phát sinh lực trơng nở.
Nh vậy, nếu xét theo chiều cao tờng thì, đất chỉ phát sinh lực trơng nở đến 1
độ sâu nhất định.
Ngoài ra ta cũng biết rằng, mọi loại đất đá đều có một năng lợng dự trữ nào
đó. Trong đất loại cát và đất loại sét, năng lợng chung gồm năng lợng bên trong và
năng lợng bề mặt, nghĩa là:
s.V.iEEE
mtrch
+=+=
(17)
Trong đó:
E
ch
: năng lợng chung; E
tr
: năng lợng bên trong;
E
m
: năng lợng bề mặt; V: thể tích vật chất;
s: diện tích bề mặt vật chất;
i: năng lợng bên trong của một đơn vị thể tích vật chất;
: năng lợng bề mặt của một đơn vị diện tích bề mặt.
Năng lợng bên trong thì tỉ lệ thuận với thể tích vật chất, còn năng lợng bề
mặt thì tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt. Trong đất loại cát và một số đất hòn mảnh
khác, bề mặt riêng bé, vì vậy năng lợng bề mặt không đáng kể, và về mặt hóa lí,

p
zN
: áp lực trơng nở (kG/cm
2
); q: phụ tải trên mặt đất;
: dung trọng của đất đắp.
IV. kết luận:
Bài viết đã xây dựng hoàn chỉnh đờng cong quan hệ ứng suất biến dạng tr-
ơng nở và vùng hoạt động trơng nở. Các kết quả này cho phép tiến tới việc tính
toán dự đoán một các thuận tiện các biến dạng trơng nở có thể xảy ra một các
thuận tiện, dựa trên nền tảng của Cơ học đất bão hòa.
10
.
z
gh
+ q - p
zN
= 0
.
z + q - p
zN
p
zN
0
z
x
z = 0
p
zN
p

11