SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị TRUNG TÂM GIÁO DỤC THƯỜNG XUYÊN THÀNH PHỐ BIÊN
HÒA
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN CÁCH TÌM NHANH NGHIỆM CỦA
MỘT BẤT PHƯƠNG TRÌNH DƯỚI DẠNG TÍCH THƯƠNG CÁC
ĐA THỨC BẬC n
Người thực hiện: NGUYỄN VĂN TÀI
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2011 - 2012
BM 01-Bia SKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Văn Tài
2. Ngày tháng năm sinh: 13/ 12/ 1953
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 59/70/1 Phan Đình Phùng, Phường Quang Vinh, Biên Hòa
5. Điện thoại: 0613 822538 (CQ)/ 0613 810649 (NR);
ĐTDĐ: 0973767054
6. Fax: E-mail: [email protected]
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trung tâm Giáo dục thường xuyên thành phố Biên hòa
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 1984






−∞−
a
b
;
Chẳng hạn xét ví dụ 2 (tr.91 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức
f(x) =
53
)2)(14(
+−
+−
x
xx
Để giải bài này, học sinh làm các bước sau:
•
f(x) không xác định khi
3
5
=x
(tìm tập xác định của biểu thức)
•

3
5
053;202;
4




∈−−∞∈
3
5
;
4
1
)2;( xhayx
f(x) < 0 khi






∞+∈






−∈ ;
3
5
4
1
;2 xhayx

−
Nếu
∆
> 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x
1
hoặc x > x
2
, trái dấu với
hệ số a khi x
1
< x < x
2
trong đó x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) là hai nghiệm của f(x)
Chẳng hạn xét ví dụ 2 (tr.103 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức
4
12
)(
2
2
−
−−
=

1
−
1 2 +
∞
2x
2
- x - 1 + + 0 - 0 + +
x
2
- 4 + 0 - - - 0 +
)(xf
+ - 0 + 0 - +
•
Trả lời: f(x) > 0 khi
);2(1;
2
1
)2;( ∞+∈






−∈−−∞∈ xhayxhayx
f(x) < 0 khi
( )
2;1
2
1

+ a
1
x + a
o
. Giả sử đa thức
f(x) có đúng n nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, . . ., x
n
sao cho:
x
1
< x
2
< . . . < x
n-1
< x
n
. Khi đó ta có thể viết đa thức f(x) dưới dạng
f(x) = a
n
(x - x
n
)(x - x
n-1
). . .(x - x
2
)(x - x

0 cùng dấu với a
n
Có thể xét dấu f(x) bằng trục số:
x
1
x
2
. . . x
n-1
x
n

trái dấu với a
n
cùng dấu với a
n

Kết luận: f(x) luôn cùng dấu với a
n
trên khoảng (x
n
;
∞+
) và lần lượt đan dấu
trên các khoảng kế tiếp còn lại
- Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng nhau x
k
với k là số chẵn. Khi
đó (x - x
k

)
k
< 0
khi x < x
k

2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
1/. Vấn đề 1: Xét dấu đa thức
Căn cứ vào cơ sở lý luận trên, tôi đưa ra cách xét dấu một đa thức như sau:
5
•
•
•
•
Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức
Bước 2: Vẽ trục số, ghi tất cả các nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ ((2k + 1)
nghiệm trùng nhau) theo thứ tự trên trục số. Sau đó xét dấu khoảng (x
i
;
∞+
),với x
i
là nghiệm có giá trị lớn nhất trong tất cả các nghiệm của f(x), khoảng này luôn có
dấu cùng với dấu của a
n
(a
n
là hệ số của x với số mũ n cao nhất trong f(x)), còn các
khoảng kết tiếp còn lại cứ đan dấu nhau
•

3
- 140x
2
+ 30x + 225
- Bước 1: f(x) = 0 khi x = -1, x = 5, x = 3 (nghiệm kép). Do đó có thể viết
f(x) = -5(x - 3)
2
(x + 1)(x - 5)
- Bước 2: Vẽ trục số, chỉ ghi các nghiệm -1, 5 trên trục số và xét dấu
-1 5
- 0 + 0 -
(cùng dấu với hệ số -5 của x
4
)
Kết luận: f(x) > 0 khi x
)5;1(−∈
f(x) < 0 khi x
);5()1;( ∞+∪−−∞∈
•
Ví dụ 3: Xét dấu f(x) = -x
5
- 5x
4
+ 6x
3
+ 76x
2
+ 152x + 96
- Bước 1: f(x) = 0 khi x = -3, x = -2 (ba nghiệm trùng nhau), x = 4. Do đó
có thể viết f(x) = -(x + 2)

2
- 4x + 3) hay
f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x - 1)(x - 3)
Do đó để tìm nhanh nghiệm của bất phương trình đã cho ta có thể làm như sau:
Bước 1: Tìm nghiệm của các nhân tử trong biểu thức ở vế trái của bất
phương trình ta được: -
3,1,
3
5
,4,
2
1
Bước 2: Biểu diễn các số : -
4,3,
3
5
,1,
2
1
trên trục số và xét dấu trên khoảng
(4 ; +
∞
) có dấu âm (là kết quả của tích các hệ số âm của x với số mũ cao nhất
trong các nhân tử hay chỉ cần đếm số các dấu âm này, nếu là số lẻ ta có dấu âm,
nếu là số chẵn ta có dấu dương)
2
1
−
1
3

)123)(32(
)4)(31(
2
2
≤
−+−+
−−
xxx
xx
Giải: Cho
3
1
031
=⇔=−
xx

204
2
±=⇔=−
xx
7
2
3
032
−=⇔=+
xx
0123
2
=−+−
xx

3
1
2
3
;2
•
Ví dụ 6: Giải bất phương trình
0
)76)(2(
)2)(52(
2
24
<
−++−
−+−
xxx
xxx
Giải: Cho
052
24
=+−
xx
, phương trình vô nghiệm
202
=⇔=−
xx
2,102
2
=−=⇔=++− xxxx
6

++−−
xx
xxxx
Giải: Cho
3,2,10652
23
=−==⇔=+−−
xxxxxx
505
2,204
202
2
=⇔=−
=−=⇔=+−
−=⇔=+
xx
xxx
xx
-2(bội ba) 1 2 3 5
- + 0 - + 0 - +
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:
);5(]3;2(]1;2(
∞+∪∪−
8
Tóm lại: Khi giải một bất phương trình, ta làm như sau
-Bước 1: Biến đổi tương đương bất phương trình đã cho về dạng tích hoặc
thương các đa thức (vế phải của bất phương trình là 0)
-Bước 2: Tìm nghiệm của các đa thức nhân tử (lưu ý các nghiệm bội chẵn và
bội lẻ, nếu có)
-Bước 3: Thể hiện các nghiệm trên trục số kể cả nghiệm bội lẻ (không ghi

−=⇔=+
xx
xxx
xx
Bảng xét dấu
x
∞−
-2 1 2 3 5 +
∞
x
3
- 2x
2
-5x + 6 - 0 + 0 - - 0 + +
x + 2 - 0 + + + + +
-x
2
+ 4 - 0 + + 0 - - -
5 - x + + + + + 0 -
f(x) - + 0 - + 0 - +
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:
);5(]3;2(]1;2(
∞+∪∪−
Ta thấy học sinh sẽ mất thời gian nhiều hơn khi lập bảng xét dấu
Chẳng hạn với đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2008 có câu:
9
Giải bất phương trình
0
4
loglog

222
6
2
67,0
∞+∪−−∈⇔>
+
−+
⇔
>
+
−−
⇔>
+
+
⇔>
+
+
⇔<








+
+
x
x

Đơn vị

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
, ngày tháng năm
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học:
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:
Đơn vị:
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: 
- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới 
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 
2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại
đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt  Khá  Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và