SỬ DỤNG DÃY SỐ ĐỂ XÂY DỰNG NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Có nhiều bài toán không yêu cầu tìm tất cả các nghiệm của
phương trình nghiệm nguyên, mà chỉ yêu cầu chứng minh phương
trình có vô số nghiệm. Trong trường hợp như thế, ta có thể dùng
dãy số để xây dựng một họ nghiệm thỏa mãn phương trình. Dưới
đây, ta xét một số dạng phương trình nghiệm nguyên mà nghiệm của
nó được xây dựng bởi dãy.
I. Sử dụng dãy số để xây dựng nghiệm của một số phương trình đối
xứng bậc hai.
1. Cơ sở lý thuyết:
Xét dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai
Ta có:

un +1 + un −1 − b
= a, ∀n = 1,2,...
un

u0 = α ; u1 = β

.
un +1 = aun − un −1 , ∀n = 1,2,...

(*)

Suy ra

un +1 + un −1 − b un + 2 + un − b
=
un


Suy ra

un +1 + un −1 un + 2 + un
=
⇔ u 2 n +1 − un un + 2 = u 2 n − un −1un +1
un
un +1

⇔ u 2 n +1 − un (5un +1 − un ) = u 2 n − un −1 (5un − un −1 )
⇔ u 2 n +1 + u 2 n − 5un +1un = u 2 n + u 2 n −1 − 5un un −1 , ∀n = 1,2,...

Từ đó, ta có:
u 2 n + u 2 n −1 − 5un un −1 = u 21 + u 20 − 5u1u0 = −5

Như vậy, mỗi cặp ( un+1 , un ) với mọi số nguyên dương n là nghiệm của (1).
Mặt khác, dễ thấy un là số nguyên dương với mọi n và ( un ) là dãy số tăng
nghiêm ngặt. Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 2: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương:
x 2 + y 2 + 10 = 3( x + 1)( y + 1) . (2)
Hướng dẫn:
(2) ⇔ x 2 + y 2 + 10 = 3( xy + x + y + 1)
⇔ x 2 + y 2 − 3xy − 3( x + y ) = −7

Phương trình này có dạng (**), trong đó a = 3, b = 3.
Khi đó: α 2 + β 2 − 3αβ − 3(α + β ) = −7 , chọn α = 1; β = 1 thỏa mãn. Ta xây dựng
dãy số (un ) : u0 = 1, u1 = 1, un+1 = 3un − un−1 + 3 ; mỗi cặp (un+1 , un ) là một nghiệm của
(2). Dễ thấy, un là số nguyên dương với mọi n; u2 = 5 > u1 , bằng qui nạp ta
chứng minh được ( un ) là dãy số tăng nghiêm ngặt. Từ đó suy ra phương
trình có vô số nghiệm nguyên dương.

chứng minh được ( un ) là dãy số tăng nghiêm ngặt. Từ đó suy ra phương
trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 5: Cho số nguyên dương a > 1. Chứng minh phương trình sau có vô
số nghiệm nguyên dương
x2 + y 2
= a2 .
xy + 1

(5)

Hướng dẫn:
Với x, y nguyên dương thì phương trình (5) tương đương với
x 2 + y 2 − a 2 xy = a 2 . Phương trình này có dạng (**), trong đó a = a 2 , b =0.
Khi đó: α 2 + β 2 − a 2 .αβ = a 2 , chọn α = a; β = a 2 thỏa mãn. Ta xây dựng dãy số
(un ) : u0 = a, u1 = a 3 , un +1 = a 2un − un −1 ; mỗi cặp (un +1 , un ) là một nghiệm của (5). Dễ
thấy, do a là số nguyên dương nên un là số nguyên dương với mọi n và (
un ) là dãy số tăng nghiêm ngặt do a> 1. Từ đó suy ra phương trình có vô
số nghiệm nguyên dương.
Như vậy, từ những biểu thức bậc hai, đối xứng giữa hai biến x, y ta
có thể xây dựng nên những bài tập mà phương trình của nó có thể đưa
về dạng (**). Sau đây, ta xét những phương trình nghiệm nguyên bậc 2
có nhiều hơn hai ẩn mà vẫn đưa được về dạng (**).
Bài 6: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương
x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz . (6)
Hướng dẫn:
Chọn z = 1, phương trình (6) trở thành: x 2 + y 2 + 1 = 3xy ⇔ x 2 + y 2 − 3xy = −1
(6’). Phương trình này có dạng (**), trong đó a = -3; b = 0.
Khi đó: α 2 + β 2 − 3.αβ = −1 , chọn α = 1; β = 1 thỏa mãn. Ta xây dựng dãy số
(un ) : u0 = 1, u1 = 1, un +1 = 3un − un −1 ; mỗi cặp (un +1 , un ) là một nghiệm của (6’). Dễ


đó suy ra phương trình (9) có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 10: Cho số tự nhiên n > 2. Chứng minh phương trình sau có vô số
nghiệm nguyên dương
x12 + x2 2 + x32 + ... + xn 2 = n.x1.x2 ...xn . (Phương trình Markov)(10)
Hướng dẫn:
Chọn x3 = x4 = ... = xn = 1 , ta có: x12 + x2 2 + n − 2 = n.x1.x2 . Xét dãy số xác định bởi:


(um ) : u0 = 1, u1 = 1, um +1 = num − um −1 .

Khi đó u2 = n − 1 > u1 , bằng qui nạp ta chứng
minh được dãy là dãy các số nguyên dương và tăng nghiêm ngặt. Vậy
( x1 , x2 , x3 ,..., xn ) = (um −1 , um ,1,...,1) là nghiệm của (10). Từ đó suy ra phương trình
(10) có vô số nghiệm nguyên dương.
II. Sử dụng dãy số xây dựng nghiệm của phương trình Pell.
1. Phương trình Pell :
Là phương trình Diophantine có dạng x 2 − dy 2 = 1 , trong đó d là một số
nguyên dương không chính phương.
Để mô tả tập hợp nghiệm của phương trình Pell, trước hết ta chứng
minh bổ đề sau.
Bổ đề : Giả sử r + s d = t + u d , trong đó r, s, t, u là những số hữu tỉ, d là số
nguyên dương không chính phương. Khi đó : r = t, s = u.
Chứng minh : Do

r + s d = t +u d

nên nếu

s≠u,


Nhân bất đẳng thức với

( x1 + y1 d ) − n ,

1 < ( x1 − y1 d ) ( X + Y d ) < x1 + y1 d
n

ta được


Vì

x12 − dy12 = 1

nên

x1 − y1 d = ( x1 + y1 d ) −1 .

s + t d = ( x1 − y1 d ) ( X + Y d ) .
n

Bây giờ giả sử

Ta lại có

s − dt = ( s − t d )( s + t d )
2

2


d = ( x1 − y1 d )
 yk = 1 [( x1 + y1 d ) k − ( x1 − y1 d ) k ]

2 d
k

Từ đó, ta có thể biểu diễn nghiệm của phương trình Pell dưới dạng dãy
số như sau:
 xn + 2 = 2 x1.xn +1 − xn , x0 = 1, x1 = x1

.
 yn + 2 = 2 x1. yn +1 − yn , y0 = 0, y1 = y1

2. Bài tập áp dụng.
Bài 11: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình x 2 − 15 y 2 = 1 .
Hướng dẫn:
Dễ thấy nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là x = 4, y = 1.
Như vậy mọi nghiệm ( xk , yk ) của phương trình được xây dựng bởi công
thức:
 xk + 2 = 8 xk +1 − xk , x0 = 1, x1 = 4

.
 yk + 2 = 8 yk +1 − yk , y0 = 0, y1 = 1

Từ quan hệ truy hồi này ta thiết lâ]j được tất cả các nghiệm của phương
trình.
Bài 12: Tìm các số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình
( x + 1)3 − x3 = y 2 .
Hướng dẫn:
Ta có: ( x + 1)3 − x3 = y 2 ⇔ 3x 2 + 3x + 1 = y 2 .

Hướng dẫn:
Giả sử m, n là những số nguyên dương thỏa mãn

m( m + 1)
= n2 .
3

Khi đó ta có: (2m + 1)2 − 3(2n)2 = 1 . Như vậy 2m+1 và 2n là các nghiệm của
phương trình Pell:
X 2 − 3Y 2 = 1 . Dễ thấy phương trình có nghiệm nhỏ nhất X = 2, Y = 1. Do
đó m, n xác định bởi:
(2m + 1) + 2n 3 = (2 + 3) k . Suy ra k chẵn, đặt k = 2j. Khi đó
(2m + 1) + 2n 3 = (7 + 4 3) j . Vì 3 chỉ xuất hiện trong các lũy thừa lẻ của 4 3
trong khai triển nhị thức (7 + 4 3) j nên ta có:
(2m+1) - 2n 3 = (7 − 4 3) j . Như vậy, các số m cần tìm là
m=

(7 + 4 3) j + (7 − 4 3) j − 2
, j = 1, 2,3...
4

III. Sử dụng dãy số để xây dựng nghiệm của một số phương trình
bậc hai dạng ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 .
1. Cơ sở lý thuyết
Xét phương trình ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 . Sử dụng các biến đổi đại số, ta
đưa phương trình trên về dạng X 2 − kY 2 = m . (***) Nếu k là số chính
phương thì (***) được giải dễ dàng bằng cách đưa vào phương trình tích.
Nếu k không phải là số chính phương, khi đó nếu (***) có nghiệm
nguyên dương thì có sẽ có vô số nghiệm nguyên dương. Nếu (α , β ) là một
nghiệm của phương trình Pell X 2 − kY 2 = 1 thì xét các dãy số ( xn ),( yn ) như

X = 4 , Y = 2. Xét các dãy ( xn ),( yn ) xác định bởi công thức:
 x0 = 4, y0 = 2

 xn +1 = 2 xn + 3 yn
y = x + 2y
n
n
 n +1

Ta có:
x 2 n +1 − 3 y 2 n +1 = (2 xn + 3 yn ) 2 − 3( xn + 2 yn ) 2 = x 2 n − 3 y 2 n , ∀n = 0,1, 2,....

Vậy
x 2 n − 3 y 2 n = x 2 n −1 − 3 y 2 n −1 = x 2 n − 2 − 3 y 2 n − 2 = ... = x 2 0 − 3 y 2 0 = 4 .

Do đó

của phương trình X − 3Y = 4 .
Hơn nữa xn +1 ≡ 2 xn ≡ 4 xn−1 ≡ xn−1 (mod3), ∀n . Suy ra:
Ta chọn:

x2 k ≡ x2 k −2 ≡ ... ≡ x2 ≡ x0 (mod3), ∀k .

2

( xn , yn )

là nghiệm

2

= 8 .(15)
y
x

Hướng dẫn:
(15) ⇔ 2 x 2 + 4 y 2 − 8 xy + x + y = 0
⇔ 4( y − x) 2 − 2 x 2 + x + y = 0
⇔ 64( y − x) 2 + 16( y − x) − 8(4 x 2 − 4 x + 1) + 8 = 0
⇔ (8 y − 8 x + 1) 2 − 8(2 x − 1) 2 = −7
Xét các dãy ( xn ),( yn ) xác định

bởi công thức

 x1 = 1, y1 = 1

 xn +1 = 3xn + 8 yn
 y = x + 3y
n
n
 n +1

Ta có
xn2+1 − 8 yn2+1 = (3xn + 8 yn ) 2 − 8( xn + 3 yn ) 2 = xn2 − 8 yn2 = −7

Suy ra ( xn , yn ) là nghiệm của phương trình X 2 − 8Y 2 = −7 .
Hơn nữa xn +1 ≡ 3xn ≡ 9 xn−1 ≡ xn−1 (mod8), ∀n . Suy ra x2 k ≡ 1(mod8) . Mặt khác
yn +1 = xn + 3 yn = 3xn −1 + 8 yn −1 + 3( xn −1 + 3 yn −1 ) = 6 xn −1 + 17 yn −1 ≡ yn −1 (mod 2), ∀n

Suy ra


Như vậy, ( x, y ) = ( 2 k2 , 2k8 + 2k2 ) là

nghiệm của phương trình với mọi k

= 0, 1, 2, ….
Bài 16: Cho a, b là các số nguyên dương không đồng thời bằng 0. Chứng
minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương
x+a y+b
+
=3
y
x

(16).

Hướng dẫn:
(16) ⇔ x 2 + y 2 + ax + by − 3xy = 0
⇔ 4 x 2 + 4 y 2 − 12 xy + 4ax + 4by = 0
⇔ (2 x − 3 y ) 2 − 5 y 2 + 2a(2 x − 3 y ) + 2(3a + 2b) y = 0
⇔ (2 x − 3 y + a) 2 − 5 y 2 + 2(3a + 2b) y − a 2 = 0
⇔ 5(2 x − 3 y + a) 2 − [25 y 2 − 10(3a + 2b) y + (3a + 2b) 2 ]+(3a+2b) 2 − 5a 2 = 0


⇔ 5(2 x − 3 y + a) 2 − (5 y − 3a − 2b) 2 + 4(a 2 + b 2 + 3ab) = 0
⇔ (5 y − 3a − 2b) 2 − 5(2 x − 3 y + a) 2 = 4(a 2 + b 2 + 3ab)
Xét các dãy ( xn ),( yn ) xác định như sau
 x0 = 2a + 3b, y0 = b

 xn +1 = 9 xn + 20 yn
 y = 4x + 9 y


3 y − 2 x − a = y 2 k
 x = 3x2 k − 5 y2 k + 4a + 6b

10

Ta có
x2 k + 3a + 2b ≡ 2a + 3b + 3a + 2b ≡ 5( a + b) ≡ 0(mod5)
3 x2 k − 5 y2 k + 4a + 6b ≡ 3(2a + 3b) + 4a + 6b − 5 y2 k ≡ 5(b − y2 k ) ≡ 0(mod10) .

Như vậy

( x, y ) = (

3 x2 k − 5 y2 k + 4a + 6b x2 k + 3a + 2b
,
)
10
5

là nghiệm của phương trình đã

cho với mọi k nguyên dương, ta có điều phải chứng minh.
IV. Bài tập tự luyện
Bài 1: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương
x2 + y 2 + 6
=8.
xy

Bài 2: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

y
x

Bài 8:Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương
x + 3 y −1
+
= 4.
y
x