BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẦY ĐỦ NHẤT
Phần 1.1 Các công thức xác suất
Bài 1:
Gọi Ai là biến cố chọn được học sinh thứ i ( i= 1 4 )
a)
Xác suất sao cho 4 em được chọn có ít nhất 1 em lớp 10A
Gọi A là biến cố chọn đồng thời 4 học sinh sao cho ít nhất 1 h/s lớp 10A
TH1: Chọn được 1 học sinh lớp 10A
P(A1) = =
TH2 : Chọn được 2 học sinh lớp 10A
P(A2) == =
TH3 : Chọn được 3 học sinh lớp 10A
P(A3) = = =
TH 4: Chọn được 4 học sinh lớp 10A
P(A4) = =
⇨ P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 35/99 + 14/33 + 14/99 + 1/99 =0,93
b)
Gọi Ā là biến cố chọn được học sinh của cả 3 lớp
TH1 : Chọn được 2 h/s lớp 10A, 1 h/s lớp 10B, 1 h/s lớp 10C
P(Ā1) = =
TH2: Chọn được 1 h/s lớp 10A, 2 học sinh lớp 10B, 1 học sinh lớp 10C
P(Ā2)= =
TH3: Chọn được 1 h/s lớp 10A, 1 h/s lớp 10B, 2 h/s lớp 10C
P(Ā3)= =
⇨ P(Ā) = P(Ā1) + p(Ā2) + P(Ā3) = .Vì A và Ā là đối lập nên xác suất chọn được 4 học
sinh không quá 2 trong 3 lớp trên nên
P(A) = 1- P(Ā) = 1 – 6/11 = 5/11
Bài 2:
a, Gọi A là biến cố 4 quả lấy được có 2 quả đỏ, 1 quả xanh và 1 quả vàng.
m = = 90
n =

Bài 5:
Gọi A là biến cố gồm 6 sinh viên trong đó có ít nhất 2 nữ;
Ta có = = n;
+)TH1: Ban cán sự lớp có Cường mà không có Hoa,
* + * = 141 (cách);
+)TH2: Ban cán sự lớp có Hoa mà không có Cường,
* + * + * = 185 (cách);
+)TH3: Ban cán sự lớp không có cả Cường và Hoa,
* + * = 65 (cách);
Vậy P(A) = = 0,85.
Bài 6 :
a,
Gọi Ai là biến cố lần quay thứ i quay trúng số màu đỏ ( i=1,2)
Ta có xác suất cả hai lần quay đều dừng ở con số màu đỏ là: P(A1.A2)
Do A1, A2 độc lập với nhau nên: P(A1.A2)=P(A1).P(A2) = = 0,224
b,
Gọi Bi là biến cố lần quay thứ i quay trúng số màu đen (i=1,2)
Ta có xác suất cần tính là P(A1.B2+A2.B1)=P(A1.B2)+P(A2.B1)-P(A1.B2.A2.B1)
= P(A1).P(B2)+P(A2).P(B1)
Do đó: P(A1.B2+A2.B1)= + = 0,448
Bài 7
Số trường hợp có thể xảy ra là
a, Gọi A là biến cố 3 lần quay lần lượt dừng ở 3 vị trí khác nhau.
Để 3 lần quay vào 3 vị trí khác nhau:
Lần 1 vào 1 trong 7 vị trí=> có 7 khả năng
Lần 2 vào 1 trong 6 vị trí => có 6 khả năng
Lần 3 vào 1 trong 5 vị trí => có 5 khả năng
=>m=7*6*5.
Vậy P(A)= =
b,

là biến cố máy 1 hoạt động tốt và là biến cố máy 1 không hoạt động tốt
Gọi A
2
là biến cố máy 2 hoạt động tốt và là biến cố máy 2 không hoạt động tốt
Gọi A
3
là biến cố máy 3 hoạt động tốt và là biến cố máy 3 không hoạt đông tốt
P(A
1
) = 0,99 P(A
2
) = 0,95 P(A
3
) = 0,90
a, Tìm sắc xuất trong thời gian T có đúng 1 máy hoạt động tốt.
P = [(1-0,99) .(1-0,95) .(0,90) + (1-0,99). (0,95).(1-0,90) + (0,99) . (1-0,95).(1-0,99) ]
= 0,00635
b, Ít nhất 1 máy hoạt động tốt.
Cả 3 máy không hoạt động tốt:
Do là 3 biến cố độc lập
=(1 – 0,99) . (1 – 0,95) . (1 – 0,90) = 0,00005
Ít nhất 1 máy hoạt động tốt tức là không xảy ra trường hợp 3 máy không hoạt động tốt
Bài 12:
Gọi A là biến cố lấy được i quả hỏng ( i= 0,1,2)
Gọi A1 là biến cố lấy ra 1 quả hỏng :
P(A1) = [(C(60,9).C(20,1)]/ C(80,10) = 0,175
Gọi A2 là biến cố lấy được 2 quả hỏng:
P(A2) = [C(60,8).C(20,2)]/ C(80,10) = 0,295
Gọi A0 là biến cố không lấy phải quả hỏng nào
P(A0) = [C(60,10).C(20,0)]/ (80C10) = 0,046

1
) P(Ā
2
) P(Ā
3
) = 0,3 0,1 0,1 = 0,006
Vậy P(B) = 1 – 0,006 = 0,994
c, Gọi C là biến cố người thứ 2 ném trúng rổ và có 2 người ném trúng rổ.
P(C) = P(Ā
1
) P(A
2
) P(A
3
) + P(A
1
) P(A
2
) P(Ā
3
)
= 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,342
Bài 14.
Gọi A
i
là biến cố “máy thứ i bị hỏng trong 1 ca làm việc” , i= 1,2, 3.
a. Gọi A là biến cố có ít nhất 1 máy bị hỏng
Ta có là biến cố đối lập của A, trong đó là biến cố không có máy nào bị hỏng.
=
1 2 3

A
3
+A
1 2
A
3
+A
1
A
2 3
)
= (1-0,01).0,1.0,5+0,01.(1-0,1).0,5+0,01.0,1.(1-0,5)
=0,0545
c. Ta có:
P(
1
/B) = =
= =
Bài 15:
Gọi E là biến cố lấy được ít nhất 2 em sinh viên khá hoặc giỏi toán,
Gọi A
i
là biến cố lấy được i sinh viên khá hoặc giỏi toán là: i = 2,3,4,5.
Ta có:
P(A
2
) = ≈ 0,355.
P(A
3
) = ≈ 0,26.

+ B
3
)
= P(B
1
) + P(B
2
) + P(B
3
) – P(B
1
.B
2
) – P(B
2
B
3
) – P(B
3
B
1
) + P(B
1.
B
2
.B
3
)
= 0,09 + 0,95 + 0,9 – 0,95.0,09 – 0,95.0,9 – 0,9.0,99 + 0,95.0,99.0,9 = 0,999
c)

Gọi biến cố A là biến cố rút được bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng.
A1 là biến cố rút được bệnh án của bệnh nhân bị bỏng do nóng. => P(A1)=0,8
A2 là biến cố rút được bệnh án của bệnh nhân bị bỏng do hóa chất. =>P(A2)=0,2
Ta có: P(A/A1)=0,3 , P(A/A2)=0,5
Mặt khác A1,A2 lập thành nhóm biến cố đầy đủ và A chỉ xảy ra đồng thời với 1 trong 2 biến cố
A1,A2.Do đó áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)
⇨ P(A)=0,8x0,3+0,2x0,5=0,34
b, Ta có xác suất cần tính sẽ là P(A1/A).
Áp dụng công thức Bayes ta có: P(A1/A)= = = 0,705
Bài 3:
a)
Gọi A là biến cố lấy được 2 chính phẩm từ lô II,
A
1
là biến cố lấy được 1 chính phẩm từ lô I,
A
2
là biến cố lấy được 1 phế phẩm từ lô I.
Ta có: P(A
1
) =30/40=0,75; P(A
2
) = 0,25;
Theo định nghĩa xác suất ta có:
P(A/A
1
) = ;
P(A/A
2

Vậy xác suất để 2 sản phẩm lấy ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 phế phẩm là:
P(B) = P(B
1
)*P(B/B
1
) + P(B
2
)*P(B/B
2
)
= 0,75* + 0,25* = 0,4786;
Bài 4:
a, Gọi biến cố mua được máy chính hãng là A
A1 là biến cố mua máy của IBM
A2 là biến cố mua máy ACER
Có A=A.A1+A.A2
P(A1)=0,4;P(A2)=0,6; P(A/A1)=0,8; P(A/A2)=0,9
Suy ra P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)=0,4*0,8+0,6*0,9=0,86
B,Ta tính P( ) và P( ) rồi so sánh .
P( ) . P( ) = P( /A1).P(A1) => P( ).(1-0,86)=0,2 *0,4=> P( )=0,57
P( ) . P( ) = P( /A2).P(A2) => P( ).(1-0,86)=0,1 *0,6> P( )=0,428
Vậy xác suất là máy của Ibm nhiều hơn.
Bài 5:
Gọi E
1
: nhóm 5 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc
E
2
: nhóm 7 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc
E

/A) = =
P(E
3
/A) = =
P(E
4
/A) = =
Vậy thí sinh có khả năng ở nhóm 2
Bài 6
Gọi Ai là xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu (i= 1,2,3)
Gọi A1 là biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng mục tiêu: P(A1) = 0,8
A2 là biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu: P(A2) = 0,85
A3 là biến cố xạ thủ thứ ba bắn trúng mục tiêu: P(A3) = 0,9
a,Xác suất để 2 viên đạn trúng đích
A = A1A2 Ā3 + A1 Ā2A3 + Ā1A2A3
P(A) = P(A1A2 Ā3 + A1 Ā2A3 + Ā1A2A3)
= P( A1).P(A2).P( Ā3) + P (A1)P( Ā2)P(A3) + P (Ā1)(A2)(A3)
= 0,8.0,85.(1-0,9) + 0,8.(1-0,85).0,9 + (1-0.8).0,85,0.9
= 0,329
b, Gọi Ai là biến cố có i viên đạn trúng đích (i= 0,1,2,3)
Ai là hệ đầy đủ
Gọi A là biến cố mục tiêu bị tiêu diệt
Xác suất để đúng 1 mục tiêu bị trúng đích là:
P1= P(A1).P(Ā2).P(Ā3) + P (Ā 1)P( A2)P(Ā 3) + P (Ā1)( Ā 2)(A3)
= 0,8.0,15.0,1 + 0,2.0,85.0,1 + 0,2.0,15.0,9 = 0,056
Xác suất để đúng 2 mục tiêu bị trúng đích là:
P2 = P( A1).P(A2).P( Ā3) + P (A1)P( Ā2)P(A3) + P (Ā1)(A2)(A3)
= 0,8.0,85.(1-0,9) + 0,8.(1-0,85).0,9 + (1-0.8).0,85,0.9 = 0,329
Xác suất để đúng 3 mục tiêu bị trúng đích là:
P3 = 0,8.0,85.0,9 = 0,612

lần lượt là biến cố chuyển 1,2,3 file.xls từ thư mục 1 sang thư mục 2

A là biến cố chọn được file.xls ở thư mục 2
⇨ P(A) = P(A/A1).P(A1)+P(A/A2).P(A2)+P(A/A3).P(A3)
= 3/15.5/14+3/15.6/14+1/15.7/14 = 4/21
Bài 9:
Số trường hợp có thể xảy ra là: .
a)
Gọi A là biến cố Nam mua được 2 bóng tốt,
Ta có số trường hợp thuận lợi cho A là: .
Vậy xác suất để Nam mua được 2 bóng tốt là:
P(A) = = 0,625.
b)
Gọi B là biến cố Nam mua ít nhất được 1 bóng tốt,
Ta có: P(B) = + P(A) = 0,98.
c)
Gọi C là biến cố Nam đưa cho Lan là bóng tốt,
C
i
là biến cố Nam mua được I bóng tốt: i = 0,1,2.
→ C
1
, C
2
, C
3
là 1 hệ biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi.
Ta có: P(C
1
) = 0,625; P(C

B = “Tín hiệu phát ra là B”
C = “ Thu được tín hiệu A”
D = “Thu được tín hiệu B”
Ta có: {A,B} là hệ biến cố đầy đủ.
P(A) = 0,8; P(B) = 0,2;
P(C/A) = ; P(D/B) = ;
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có xác suất thu được tín hiệu A:
P(C) = P(A).P(C/A) + P(B).P(D/B)
= 0,8.(1- ) + 0,2. = 0,665.
b)
Xác suất thu được đúng tín hiệu lúc phát là:
P(A/C) = = = 0,96.
Bài 11
Gọi A là biến cố anh ta bị viêm họng.
B là biến cố anh ta là người hút thuốc lá.
là biến cố anh ta không hút thuốc lá.
Ta có P(B)=0,35; P( )=0,65; P(A/B)=0,65; P(A/ )=0,3;.
a, P(A)=(P(B).P(A/B)+P( ).P(A/ ) = 0,35*0,65+0,65*0,3= 0,4225
Xác suất để anh ta là người hút thuốc lá khi anh ta viêm họng:
P(B/A)= = = 0,54
b, xác suất để anh ta không viêm họng:P( ) =1-P(A)=1-0,4225=0,5775
Xác suất để anh ta là người hút thuốc khi anh ta không bị viên họng:
P(B/ )= = = 0,2
Bài 12
a, Gọi A1 là biến cố chuẩn đoán cho bệnh nhân có bệnh
Gọi A2 là biến cố chuẩn đoán cho bệnh nhân không có bệnh
A là biến cố chuẩn đoán đúng.
Ta có A=A.A1+A.A2
P(A1)=0,8; P(A2)=0,2; P(A/A1)=0,9; P(A/A2)=0,85
=>P(A)=0,8*0,9 + 0,2*0,85 =0,89

1
) = 0,01; P(A/A
2
) = 0,02;
Vậy xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm là:
P(A) = P(A
1
)*P(A/A
1
) + P(A
2
)*P(A/A
2
)
= 0,4*0,01 + 0,6*0,02 = 0,016.
Xác suất để phế phẩm này do phân xưởng 1 sản xuất là:
P(A
1
/A) = = = 0,25.
Xác suất để phế phẩm này do phân xưởng 2 sản xuất là:
P(A
2
/A) = = = 0,75.
Bài 15:
Xác suất chuẩn đoán đúng khi chuẩn đoán có bệnh là 0,9
Xác suất chuẩn đoán đúng khi chuẩn đoán không có bệnh là 0,5
a,
Gọi A1 là biến cố người đến khám có bệnh
A2 là biến cố người đến khám không có bệnh
A là biến cố chuẩn đoán có bệnh

b,Gọi A là biến cố lấy được 1 bi màu đỏ và 1 bi màu xanh,
A
1
là biến cố viên bị bị mất có màu đỏ
A
2
là biến cố viên bi bị mất có màu xanh.
Ta có P(A
1
)= 5/9; P(A
2
)= 3/9;
Theo định nghĩa xác suất ta có:
P(A/A
1
)= = =
P(A/A
2
)= = =0,5
Vậy P(A)=P(A
1
).P(A/A
1
) + P(A
2
).P(A/A
2
) = 5/9.5/9 + 3/9.0,5= 0,475
Bài 18:
Gọi A là biến cố chọn được thỏ trắng

Bài 20 :
Gọi A
i
là biến cố kiểm tra loại sản phẩm i: i = 1,2;
A là biến cố kiểm tra sản phẩm đưa ra thị trường,
Ta có:
P(A
1
) = 0,75; P(A
2
) = 0,25;
P(A/A
1
) = 0,9; P(A/A
2
) = 0,99;
a)
Ta có: P(A) = 0,75.0,9 + 0,25.0,99 = 0,9225,
Phần trăm của sản phẩm của lô hàng không được đưa ra thị trường là:
100% - (0,9225.100%) = 7.75%
b)
Xác suất sản phẩm được đưa ra thị trường là:
P(A
1
/A) = = = 0,732.
Vậy phần trăm sản phẩm được đưa ra thị trường là: 73,2%
1.3 Công thức Becnulli.
Bài 1
Gọi A là biến cố để trong 5 tín hiệu đã phát có 4 tín hiệu phát thành công,
B là biến cố để trong 4 tín hiệu phát thành công có 3 tín hiệu chính xác,

Mặt khác là biến cố không bán được hàng ở đúng 10 nơi.=>
P( )= * * =
Suy ra P(B)=1- = 1-0.107=0,893
Bài 5:
a)
Gọi A là biến cố lớp học đủ ánh sáng,
A
i
là biến cố lớp có i bóng đèn sáng: i={4,5,6}.
Theo đề bài, mỗi bóng có xác suất cháy là 0,25;
→ xác suất sáng của mỗi bóng là 0,75.
Xác suất để lớp học lần lượt có 4, 5, 6 bóng đèn sáng là
P(A
4
) = * * 0,2966;
P(A
5
) = * *0,25 0,3559;
P(A
6
) = * * 0,1779.
Vậy xác suất để lớp học có đủ ánh sáng là:
P(A) = P(A
4
) + P(A
5
) + P(A
6
) 0,8305.
b)