I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong toán học có nhiều bộ môn, bộ môn nào cũng có cái hay cái thú
vị của nó. Ở cấp phổ thông trung học cơ sở hiện nay học sinh được học và
nghiên cứu một số bộ môn như: số học đại số và hình học. Riêng bộ môn
hình học là một bộ môn rất mới lạ và rất khó đối lứa tuổi học sinh cấp 2.
Trước những bài toán hình học, đặc biệt về bài toán chứng minh hình học
thường học sinh rất lúng túng, không biết bắt đầu đi từ đâu và đi từ hướng
nào. Do đó các lập luận trong bài toán chứng minh hình học của các em
thường dài dòng, rời rạc thiếu căn cứ, không đảm bảo tính khoa học và
logic. Có thể nói hầu hết các em học sinh ở bậc học trung học cơ sở hiện
nay còn gặp nhiều khó khăn trong việc học tập môn hình học nói chung và
trong việc chứng minh các bài toán hình học nói riêng. Nói cách khác các
em chưa nắm vững được phương pháp chứng minh một bài toán hình học.
Về phía giáo viên trong quá trình giảng dạy môn hình học ở trung học
cơ sở không ít giáo viên chỉ thiên về xây dựng khái niệm, hình thành khái
niệm, liệt kê các định lý, tính chất.v.v mà không dạy cho học sinh sử dụng
những khái niệm tính chất đã học vào việc giải bài toán chứng minh hình
học. Mặt khác giáo viên chỉ chú ý đến việc giải nhiều các bài toán có liên
quan đến vấn đề đã học và thỏa mãn với việc đã tìm ra kết quả bài toán,
mà chưa khái quát cách giải từng loại bài, dạng bài khác nhau. Dặc biệt
giáo viên chưa dạy cho học sinh phương pháp tư duy tìm hướng giải tối ưu
nhất đối với từng loại bài, dạng bài cụ thể Do đó học sinh rất khó xuất
phát điểm tư duy và tìm ra hướng giải nhanh nhất, cách giải tối ưu nhất.
Vì thế học sinh hay lúng túng trong việc giải quyết bài toán và lời giải
nhiều khi không logic, thiếu chặt chẽ, máy móc không sáng tạo quá trình
này sẽ làm hạn chế năng kực tư duy học sinh.
1
Việc giải bài toán hình học ở chương trình trung học cơ sở thực chất
là đi chứng minh lại các mệnh đề toán học. Do đó phương pháp chứng
minh các bài toán hình học đối với các em học sinh cấp 2 là rất cần thiết,

phương pháp giải toán hình và từ đó học sinh thích học, tự tin hơn không lo
sợ bộ môn hình học.
- Nhiệm vụ của đề tài là nói lên một số cách giải chủ yếu thường gặp
trong giải toán về chứng minh hai góc bằng nhau trong hình học phẳng.
- Thông qua môn hình học và kinh nghiệm giảng dạy đưa ra một số
bài tập tổng hợp và hướng giải. Trong ví dụ minh họa các phương pháp
giảng người thực hiện đề tài chú ý phân tích để học sinh thấy được
phương pháp suy nghĩ như thế nào để có được phương pháp giải tối ưu.
Từ đó có cách trình bày phần chứng minh cho rõ ràng, lập luận chặt chẽ,
logic hơn.
I.3. THỜI GIAN, ĐỊA ĐIỂM
* Thời gian: Thực hiện 4 năm từ 2006 đến 2010
* Địa điểm: Tại trường THCS Mạo Khê II
I.4. ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Môn Hình là một bộ môn khó và trừu tượng đối với học sinh THCS vì
vậy đòi hỏi người giáo viên phải luôn tìm tòi suy nghĩ, có những phương
pháp để truyền đạt đến học sinh một cách dễ hiểu.
Trong thời gian qua, tôi đã cùng với nhóm, tổ Toán Lý trực tiếp giảng
dạy nhiều năm bộ môn Toán, Lý từ lớp 6 đến lớp 9, đã cùng với tổ từng
bước nâng cao chất lượng giảng dạy và đã có nhiều học sinh đạt học sinh
giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh trong các năm học 2007 – 2008.
3
Năm học 2007 – 2008 đã có 4 học sinh giỏi bộ môn Toán cấp Huyện
trong đó có 3 em lớp mình phụ trách.
II. PHẦN NỘI DUNG
I.1. CHƯƠNG I: TỔNG QUAN
Tên đề tài là: “Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài
toán chứng minh hai góc bằng nhau“ ở hình học phẳng trong chương
trình hình học ở trung học cơ sở.
Thời gian thực hiện đề tài là 4 năm. Trong đề tài này tôi đi sâu vào

Hay nói cách khác phải nói rõ tại sao với những điều kiện nào thì nhất thiết
rút ra được những kết luận gì. Phải đưa ra được bằng cớ để chứng thực
các kết luận là đúng, nêu nên được mối quan hệ bên trong của chúng.
Để đạt được các yêu cầu trên trước khi chứng minh cần phải lưu ý
các vấn đề sau :
4
a. Đọc kỹ đầu bài, hiểu rõ được các dữ kiện đã cho dữ kiện cần
chứng minh và mối liên hệ giữa điều đã cho và cần chứng minh
b. Phân biệt rõ giả thiết và kết luận, vẽ hình chính xác, dùng ký hiệu
làm nổi bật hình vẽ, thay ngôn từ toán bằng ký hiệu toán học cho bài toán
đơn giản dễ phân biệt hơn.
VÍ DỤ : Cho ∆ABC cân (đỉnh A ) một đường thẳng song song với BC
cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh tam giác AEF cân.
Cho học sinh đọc kỹ đầu bài điều cần chứng minh là tam giác AEF
cân. Điều đã cho là tam giác ABC cân và EF song song với BC. Từ đó cho
học sinh vẽ hình và tóm tắt giả thiết, kết luận bằng ký hiệu toán học :
GT ∆ABC cân
AB=AC; EF//BC
KL ∆AEF cân
II.2.2. Bài tập chứng minh là gì ? Một bài tập chứng minh gồm 2
phần cơ bản đó là gì?
II.2.2.1. Bài tập chứng minh
Là những mệnh đề trong hình học cần chứng minh, thông qua
các mệnh đề ( định lý ) đã được biết. Hay nói cách khác là đi bài tập
chứng minh là một mệnh đề, một định lý. Do đó chứng minh bài tập là
chứng minh định lý toán học.
II.2.2.2. Hai phần cơ bản trong bài tập chứng minh định lý
Bất cứ một định lý nào hay một bài tập nào đều có hai phần:
- Phần quy định những yếu tố đã cho (hoặc có sẵn) gọi là phần
giả thiết.

B =B
1
→B
2
→B
3
→ →B
n
=A gt
Trong cách suy luận này cần lưu ý :
Nếu A đúng thì chưa kết luận được B đúng hay sai.
Nếu A sai thì chắc chắn B sai.
• Phân tích đi lên (suy ngược lùi) :
Sơ đồ : A=B
n
→B
n-1
→ B
3
→B
2
→B
1
→B
A là giả thiết, B là kết luận.
Nếu A đúng thì B đúng.
Nếu A sai thì B sai hoặc đúng.
Phương pháp tổng hợp:
Là phương pháp chứng minh đi từ giả thiết đi đến kết luận: Giả
thiết là những điều đã biết (định lý, tiên đề, định nghĩa ) là phép suy

Tìm hướng chứng minh thông qua hướng phân tích và tổng hợp như
sau :
Sơ đồ phân tích như sau :
8
A
CD
Tổng
hợp
Phân
tích
Định lý, điều đã biết
C
D
A
B
x
y
O
(gt)
(gt)
(gt)
Với sơ đồ này chúng ta hướng cho học sinh bắt đầu từ điều đã cho ở
giả thiết và đi đến tam giác AOB cân, tam giác AOD = tam giác BOC
sau đó sử dụng tính chất cộng góc.
Dùng phép tổng hợp để trình bày bài toán như sau:
Chứng minh Lý do
1.tam giác ABC cân OA=OB
2.góc OAB=góc OBA tính chất tam giác cân
3.OA= OB gt
OC=OD gt

kuận của bài toán là đúng.
VÍ DỤ 3:Chứng minh rằng nếu tam giác có hai đường phân giác trong
bằng nhau thì tam giác ấy cân.
GT ∆ABC
BE = CF
Góc B
1
= Góc B
2
Góc C
1
= Góc C
2
KL ∆ABC cân
Chứng minh:
Để chứng minh tam giác ABC cân ta cần chứng minh:
góc B = góc C
Giả sử: góc B> góc C → B
2
>C
1
→ CE>BF
Dựng hình bình hành :BFME ta được BE=FM và góc B
1
= góc M
1
10
B
F
A

→ góc B= góc C → ∆ABC cân.
II.2.4. Những điều chú ý khi chứng minh.
Hình học là môn học suy diễn bằng lý luận chặt chẽ nên khi chứng
minh phải có lý do chính xác, có lập luận chắc chắn logic. Những lý do đó
phải có căn cứ. Phần chứng minh chỉ giới hạn trong 4 điểm sau:
• Giả thiết của bài toán.
• Những định nghĩa đã học.
• Những tiên đề định nghĩa đã học.
• Những bài tập áp dụng được chứng minh.
Nếu ngộ nhận vấn đề nào bài toán khó tìm được lời giải hoặc
lời giải đó sai.
Khi chứng minh cần kẻ thêm đường phụ để giải quết vấn đề hình
học. Những đường phụ đó cần được ghi vào phần chứng minh
Muốn vẽ được đường phụ cần hiểu rõ mục đích của nó và nhằm vào
một số mục đích sau :
• Kẻ các đường phụ phải liên quan đến các vấn đề cần chứng minh.
Phải có mối quan hệ mật thiết với các vấn đề cần chứng minh.
• Khi vẽ đường phụ không được làm cho rối hình thêm, phải tuân
thủ các bước dựng hình. Đường phụ phải chính xác không tùy tiện
Những loại đưòng phụ cơ bản có thể có :
11
• Kéo dài đoạn cho trước.
• Nối 2 điểm cho trước hoặc hai điểm cố định.
• Dựng đường song song hoặc hạ vuông góc.
• Kẻ dây cung tiếp tuyến với đường tròn.
II.2.5. Tóm lại
Khi chứng minh bài toán hình học cũng như bài toán nói chung có
một nội dung và phạm vi nhất định, đó chính là tiềm lực của bài toán.
Những tiềm lực của bài toán mà ta biết khai thác hết thì khả năng phát triển
cao nhất trong tư duy, nhận thức, kỹ năng làm bài tập cho học sinh. Với

• Để chứng minh hai góc bằng nhau ta đưa chúng về dạng hai góc
đối đỉnh, 2 góc so le, 2 góc đồng vị hoặc 2 góc có cạnh tương ứng
vuông góc hoặc tương ứng song song.
Muốn thế cần cho học sinh ôn tập nắm chắc các kiến thức cơ
bản có liên quan. Khi giải bài tập yêu cầu học sinh phát hiện dấu hiệu của
bài có liên quan vấn đề cần xét, như : song song, vuông góc, cắt nhau
Cách 2 : Lợi dụng trường hợp bằng nhau hoặc đồng dạng của tam
giác : Lớp 7 + Lớp 8.
Kiến thức cơ bản :
+ Ba trường hợp bằng nhau của tam giác.
Trường hợp đồng dạng vẽ tương tự :
+ Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, đồng dạng của
tam giác thường, tam giác cân.
Khi dạy kưu ý học sinh mấy điểm sau :
13
+ Làm cho học sinh biết ghép các góc cần chứng minh vào hai tam
giác bằng nhau hay đồng dạng. Khi chứng minh chúng bằng nhau hay
đồng dạng ta suy ra hai góc bằng nhau.
CÁCH 3 : Lợi dụng tam giác cân, hình bình hành.
Để sử dụng được cách này chúng ta phải cho học sinh nắm chắc tính
chất của tam giác cân, tính chất của hình bình hành. Cách chứng minh tam
giác cân, chứng minh hình bình hành đã học. Từ đó có vấn đề liên quan
của bài chứng minh góc đó là:
- Hai góc ở đáy của tam giác cân bằng nhau.
- Hai góc đối đỉnh của hình bình hành.
Do đó yêu cầu học sinh gắn vào tam giác cân nào đó, hình bình hành có
góc đối đó một cách hợp lý để chứng minh.
CÁCH 4 : Lợi dụng các định lý về dường tròn kiến thức cơ bản.
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung chắn một cung.

Góc NEC = Góc ABC
Chứng minh :
Xét ∆ACB và ∆NEC có :
C là góc đối đỉnh
CE=CB (gt)
CA=CN (gt)
→ ∆ACB= ∆NEC ( c.g.c)
→ góc NEC = góc ABC ; góc CNE = góc A (1)
Tương tự ∆ ABC= ∆BMD.
→ góc ACB= góc BDM ; góc BMD= góc A (2)
Từ (1) và (2) → góc CNE=góc BMD
15
A
C
N
E
D
M
B
Bài toán 1 đã dùng 2 cách : cách 2 và cách 5.
Bài tập 2 :
Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. M là một điểm thuộc BC, gọi D là điểm đối
xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua AC, DE cắt AB, AC tại I
và K. Chứng minh MA là phân giác góc IMK.
Bài giải :
GT ∆ABC; M thuộc BC
D đối xứng M qua AB
E đối xứng M qua AC
KL MA là phân giác của góc IMK
Chứng minh :

2
→ góc M
1
= góc M
2
hay AM là phân giác
Bài toán đã sử dụng cách 2, cách 5, và cách 4.
Bài tập 3 :
Cho ∆ABC (AB<AC). Phân giác AD, đường trung trực của AD cắt BC
tại K. Chứng minh: góc KAC = góc ABK.
GT ∆ABC; Góc A
1
= Góc A
2

KI là trung trực của DA
KL Góc KAC = Góc ABK
Chứng minh :
Ta thấy: KI là dường trung trực do đó :
∆KAD cân → góc D
1
= góc A
2
+ góc A
3
Mà góc D
1
=góc C +góc A
2
vì góc D là góc ngoài của ∆ADC.

2
)
Chứng minh :
Ta thấy : góc BED = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
góc CFD = 1v ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
→ Xét 2 tam giác vuông :FCB và EBD ta có :
góc B
2
+ góc C
1
=góc B
1
+ góc D
1
=90
o
Mà góc B
1
= góc B
2
đối đỉnh
→ góc C
1
= góc D
1
(1)
Ta có góc C
1
= góc A
1

D
10
5 20
2
1
2
5
==
AB
AD
2
1
20
10
==
AC
AB
suy ra
AC
AB
AB
AD
=
Có góc A chung do đó ∆ ADB đồng dạng với ∆ ABC (một góc xen
giữa hai cạnh tương ứng tỉ lệ) nên góc ABD= góc ACB (hai góc tương ứng)
II.3.2. Kết quả
Bằng cách rèn học sinh làm nhiều bài tập dưới nhiều hình thức khác
nhau với phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
của học sinh. Với đề tài “Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài
toán chứng minh hai góc bằng nhau” giúp học sinh làm một bài tập hình

chuẩn bị thật công phu, tỉ mỉ cho từng tiết dạy
+) Trong giờ học luôn phát huy tính sáng tạo của học sinh tránh áp đặt,
luôn tạo ra không khí thoải mái, tạo tình huống để học sinh trao đổi nhằm
phát huy năng lực trí tuệ từ học sinh giỏi đến học sinh trung bình, yếu.
+) Cần đa dạng hóa các bài tập để học sinh tìm ra phương pháp tối ưu
nhất để giải bài toán.
+ Để giúp học sinh học tốt bộ môn Hình học thì đòi hỏi người giáo
viên phải biết hướng dẫn học sinh tổng kết lại các dạng bài tập và định
hướng cho các em có một phương pháp giải bài tập hình học ngay từ năm
đầu cấp học THCS một cách dễ hiểu và gây hứng thú cho học sinh học bộ
môn Hình học.
+ Hình thành cho học sinh thói quen chăm chỉ làm bài tập thông qua
việc rèn kỹ năng giải bài tập Hình học.
20
* Với học sinh:
+) Phải có sự chuẩn bị trước bài học ở nhà theo hướng dẫn của thầy
+) Trong giờ học phải nghiêm túc tích cực phát biểu ý kiến xây dựng bài,
tự giác sáng tạo tìm ra kiến thức.
+) Phải nắm chắc kiến thức của từng bài thì mới dễ dàng vận dụng lý
thuyết vào giải các bài tập chứng minh hình học phẳng.
III.2. Kiến nghị
Với đề tài “Phát triển năng lực trí tuệ của học sinh qua bài toán
chứng minh hai góc bằng nhau ” tuy đã đề ra nhưng tôi rất mong sự
đóng góp giúp đỡ của đồng nghiệp để cho đề tài có hiệu quả hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Mạo Khê, ngày 25 tháng 4 năm 2008
Giáo viên
Vũ Thị Dung
21
TÀI LIỆU THAM KHẢO