Đề tài: Hướng dẫn học sinh khai thác một
bài tập hình học sách giáo khoa toán 9
I. Đặt vấn đề:
Bắt đầu năm học 2005-2006 học sinh lớp 9 trên toàn quốc được học tập cuốn
sách giáo khoa mới. Trong quá trình giảng dạy bộ môn hình học 9, tôi thấy rằng
cuốn sách được biên soạn khá công phu, sắp xếp hệ thống kiến thức khoa học. Hệ
thống bài tập đa dạng, số lượng bài tập ở trong sách giáo khoa đã quá đủ với tất cả
học sinh. Đặc biệt, các bài tập thử nghiệm đơn giản, nhưng nghiên cứu kĩ tôi thấy
rằng chứa đựng trong đó nhiều điều hết sức thú vị. Cụ thể đó là chúng ta có thể
hướng dẫn các em “khai thác phát triển” thành những bài toán hay hơn khó
hơn…Làm như vậy sẽ góp phần quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy
cho học sinh, kích thích sự tìm tòi sáng tạo phát huy được trí lực cho học sinh.
II. Nội dung.
Bài toán 1( Bài tập 11 trang 104 SGK - Toán 9 tập 1)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD
không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là
chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD.
Chứng minh rằng: CH = DK (*)
(Gợi ý: kẻ OM vuông góc với CD).
Giải:
Theo gt ta có: AH
⊥
CD và BK
⊥
CD nên
AH // BK suy ra AHKB là hình thang.
Kẻ OM
⊥
CD tại M
⇒
MC = MD

Bài 1:Cho đường tròn O đường kính AB,
dây CD không cắt đường kính. Qua C, D kẻ các
đường vuông góc với CD lần lượt cắt AB tại H
và K.
Chứng minh rằng AH = BK
Để chứng minh AH = BK ta chỉ cần
chứng minh hai đoạn thẳng AB và HK có
chung trung điểm O. Muốn vậy ta làm xuất hiện
trung điểm I của đoạn thẳng CD. Lập luận để
có O là trung điểm của hai đoạn thẳng HK và AB
⇒
ĐPCM
Từ bài toán 1 chúng ta có thể
Phát biểu bài toán đảo như sau:
Bài 2: Bài toán đảo của bài toán 1
Trên đường kính AB của đường tròn tâm O ta lấy hai điểm H và K sao cho
AH = KB. Qua H và K vẽ hai đường thẳng song song với nhau lần lượt cắt đường
tròn tại hai điểm C và D (C, D cùng thuộc một nửa đường tròn tâm O). Chứng
minh rằng: HC ⊥ CD, KD ⊥ CD
Từ bài toán (*) nếu dây cung CD cắt đường kính AB thì kết luận CH = DK
có còn đúng nữa không? Kết luận đó vẫn đúng
và chúng ta có bài toán khó hơn bài toán (*) một
chút như sau.
Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính
AB, dây CD cắt đường kính AB tại G. Gọi H và
K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD.
Chứng minh rằng CH = DK.
Hướng dẫn giải:
Để chứng minh CH = DK ta c/m CD và
HK có chung trung điểm.

Từ bài toán 3 và 4 ta có thể thấy tam giác AGH nội tiếp đường tròn đường
kính AG, tam giác BGK nội tiếp đường tròn đường kínhBG. Nên từ bài toán 3 & 4
ta có bài toán toán sau
Bài 5: Gọi G là điểm thuộc đoạn thẳng AB
(G không trùng với A và B). Lấy AB, AG và BG
làm đường kính , dựng các đường tròn tâm O,
O1, O2. Qua G vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O)
tại C, D; cắt (O1) tại H, cắt (O2) tại K. Chứng
minh CH = DK
B Hướng thứ hai:
Đề bài: ( Bài tập 11 trang 104 SGK - Toán 9
tập 1)
Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD
không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là
chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD.
Chứng minh rằng: CH = DK ( gợi ý: kẻ OM ⊥ CD)

Bài 1: Thêm vào bài tập 11 câu b như sau:
Chứng minh H và K ở bên ngoài (O)

Giải: (dùng phương pháp phản chứng)
Giả sử chân đường vuông góc hạ từ A đến
đường thẳng CD là H’, H’ là điểm nằm giữa 2
điểm C và D.
Xét
'
ACH

Chứng minh tương tự đối với điểm K
M
K
H
B
A
O
C
D
F
I
K
H
D
O1
O2
O
A B
G
C
M
H
K
B
O
A
C
D
H'
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

+
= (MM’ là đường trung
bình của hình thang CDD’C’)
⇒

''1
('')
22
ACBADB
CCDD
HKOMABABCCDDSS
∆∆
+
==+=+
Mặt khác HK.OM = S
AHKB
(Vì OM là đường
trung bình của hình thang AHBK nên
2
AHKB
OM
+
= ). Từ đó ta có
AHKBACBADB
SSS
∆∆
=+

Bài 2: Qua nhận xét trên ta có thể thêm vào bài 11 câu c:
CMR

H
K
B
O
A
C
D
M'
H
K
B
O
A
M
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Do đó ta có HK.OM = 2.OM.MM' '
2
HK
MM⇒=
Dựa vào điều kiện một điểm thuộc đường tròn ta có M'
(;)
2
HK
M∈
⇒

(;)
2
HK
M tiếp xúc với AB tại M'

(g-c-g)
MAMC
⇒=

⇒

ABC
∆
có BM vừa là
đường cao, vừa là trung tuyến nên
ABC
∆
cân tại B
BM
⇒
là phân giác của
·
ABC
·
·
ABMCBM
⇒=

MDBMKB
⇒∆=∆
(cạnh huyền - góc nhọn)
MDMK
⇒=
mà
MH = MK = HK/2

x
y
K
H
B
O
A
M
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Vẽ O'D
⊥
AB, nối OO' ta có OO'
⊥
HK (OO' là đường trung bình của hình
thang HABK). Đặt OO' = a; O'D = b
⇒

''''
OOAOOHOOBOOK
SSSS
∆∆∆∆
===
Mà
''
1.
.'
24
OOAOOH
ABb
SSOAOD

Đường tròn đường kính HK tiếp xúc với AB tại D.
Bài toán 2: ( Bài 30- trang 116 SGK- toán 9, tập 1)
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc
với AB (Ax, By và của đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua
điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn,
nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
a.
0
90
ˆ
=DOC

b. CD = AC + BD
c. Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn
Giải:
a. Theo gt: CA, CM là tiếp tuyến của (O)
⇒

CO là phân giác
MCA
ˆ
⇒
CO cũng là phân
giác
·
AOM
hay
21
ˆ
ˆ

=+++ OOOO
(4)

Từ (1), (2), (3) và (4)
⇒

0
32
90
ˆ
ˆ
=+ OO
hay
0
90
ˆ
=DOC

b. Theo t/c tiếp tuyến ta có CA = CM và DB = DM
(5)

mà CD = CM + DM
⇒
CD = CA + BD hay CD = AC + BD
x
y
4
32
1
D

C/M: Ta có AC//BD (gt)
Xét
ANC
∆
có AC//BD
⇒

AC
DB
NC
NB
NA
ND
==
(7)
(theo định lí ta lét)
CA, CM là tiếp tuyến của nửa (O) nên CM
= CA
(8)
tương tự ta có DB = DM
(9)

Từ (7), (8) và (9)
⇒

MC
MD
NA
ND
=

a. D, A, E thẳng hàng
b. BD.CE = AH
2
(không đổi)
c. DE là tiếp tuyến của đường tròn đường
kính BC
C/M:
a. Theo gt ta có:
21
ˆ
ˆ
AA = (T/c tiếp tuyến)

34
ˆ
ˆ
AA = (T/c tiếp tuyến)
⇒

3241
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
AAAA +=+
x
y
1
2 3
4

90
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=+=+ AAAA
⇒

0
4321
180
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=+++ AAAA hay 3 điểm D, A E thẳng hàng
b. Theo gt
ABC
∆
có
0
90
ˆ
=A
. áp dụng hệ thức lượng trong tam gác vuông ta có AH
2

= BH.CH
Mà BH = BD (t/c tiếp tuyến)
CH = CE (t/c tiếp tuyến)

⊥
DE
⇒
AI
⊥
DE. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Cũng từ bài toán trên ta có bài toán hay hơn và khó hơn.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng l. Qua A, B kẻ Ax và By
vuông góc với AB. Lấy điểm C nằm trên nửa đường tròn, qua C kẻ tiếp tuyến với
(O) cắt Ax, By lần lượt tại D và E. Kẻ CH
⊥
AB, gọi M là giao điểm của CH và
AE. CM
a. D; M; B thẳng hàng
b. M là trung điểm của CH
c. Gọi P là giao điểm của OE với nửa đường tròn đường kính AB. Tìm vị trí điểm
C trên nửa đường tròn để chu vi tứ giác ADEB nhỏ nhất
d. Gọi giao điểm của OE và BC là K, trên tia đối của tia OE lấy điểm Q sao cho
OQ = OP. Chứng minh QK.PE = KP.QE.
Giải:
a. Theo gt ta có: Ax
⊥
AB
By
⊥
AB
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
CM
⊥
AB

M
B
A
M
D
ˆˆ
=

Mà A, M, E thẳng hàng
⇒
D, M, B thẳng
hàng
b. Theo gt: CH
⊥
AB
M
∈
CH
By
⊥
AB
E
∈
By
⇒
CH//BE
Xét
EDB
∆
có CM//BE

BE
MH
BE
CM
=
⇒
CM = MH hay M là trung điểm của CH
c. ta có chu vi tứ giác ADEB là: P = AD + DE + EB + AB
mà AD = DC (t/c tiếp tuyến)
EB = CE (t/c tiếp tuyến)
⇒
P = 2DE + AB
Mặt khác ED
≥
AB vì AB là khoảng cách giữa Ax và By nên P nhỏ nhất khi DE
nhỏ nhất, tức là DE = AB. Khi đó P = 3AB = 3l
⇒
DE//AB
⇒
DE
⊥
CH
⇒
CH là bán kính của đường tròn
⇒
C là điểm chính giữa cung AB
d. Nối C với P và Q ta thấy EQ
⊥
BC và BP = PC
⇒

0
90
ˆ
=QCP (góc chắn nửa đường tròn)
⇒
CQ là phân giác góc ngoài tại đỉnh C của
KCE
∆
do đó
QE
QK
CE
CK
=
(8)
Từ (7) và (8)
⇒

QE
QK
PE
KP
=
hay KP.QE = PE.QK (đpcm)
III. Kết luận
Qua việc tìm hiểu các bài toán trên chúng ta cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo
kết quả các bài toán, cũng như vận dụng triệt để hình vẽ của một bài tập để chuyển
tiếp sang bài khác khai thác phát triển để được các bài toán hay hơn, khó hơn. Nếu
làm tốt điều này sẽ giúp các em hiểu sâu sắc hơn các kiến thức đã học, góp phần
phát triển tư duy sáng tạo và tiếp thu tốt những kiến thức mới, phát huy trí lực của