ĐẶNG VĂN CƯỜNG
Chuyên đề
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
DÙNG CHO HỌC SINH LỚP 10,11,12 VÀLUYỆN THI ĐẠI HỌC TRÌNH BÀY THEO BỐ CỤC:
PHÂN CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN LƯNG GIÁC
TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
VÍ DỤ CHO TỪNG DẠNG BÀI TẬP.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email: N NH
th qu:
1/
22
sin cos 1
2/
sin
tg
cos
3/
cos
cot g
sin
4/
2
2
1
1 tg
cos
5/
2
2
1
1 cotg
sin
cotgacotgb +1
8 / cotg(a - b) =
cotga - cotgb
1/
22
sin2a 2 sin a.cosa sin a cosa 1 1 sin a cosa
2/
2 2 2 2
cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a
3/
2
2tga
tg2a
1 tg a
4/
2
cot g a 1
cot g2a
2 cot ga
c
1/
3
sin 3a 3sin a 4 sin a
1 cos2a cot g a
cos a
2
1 cotg a
3/
2
1 cos2a
tg a
1 cos2a
4/
1
sin a cos a sin2a
2
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
3
3
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
c h bc ba:
1/
3
1
sin a 3 sina s in3a
1t
4/
2
1t
cot gx
2t
c bing:
1/
1
cos .cos cos cos
2
a b a b a b
2/
1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b
3/
sin(a + b)
tga + tgb =
cosa.cosb
6/
sin(a - b)
tga - tgb =
cosa.cosb
7/
sin(a + b)
cotga + cotgb =
sina.sinb
8/
-sin(a - b)
cotga - cotgb =
sina.sinb
9/
cos(a - b)
tga + cotgb =
cosa.sinb
10/
2
tga cot ga
sin2a
tusachvang.net
aa
aa
aa
aa
cotcot
tantan
coscos
sinsin
aa
aa
aa
sin
2
0
90
sin
0
1/ 2
2 / 2
3 / 2
1
cos
1
3 / 2
2 / 2
1/ 2
0
Tan
0
3 / 3
1
2
x a k
x a k
x a k
3.
tan tan ,x a x a k k
4.
cot cot ,x a x a k k
XVI: Mt s nghic bit :
sin 0x x k
kxx
0908.77 2324 0169.9249 686 Email:
1/ sin cos 2sin
4
2 / sin cos 2 sin
4
x x x
x x x
3/ cos sin 2 cos
4
4 / cos sin 2 cos
4
x x x
x x x
x
xx
3)
2
2
2
1 sin
1 2tan
1 sin
x
x
x
4)
2
2
2
1 cos
1 2cot
1 cos
x
x
x
tan cot
sin .cos
x
xx
xx
9)
2 2 2 2
sin (1 cot ) 3(1 tan )cos 2x x x x
10)
cos 1
tan
1 sin cos
x
x
xx
11)
2 2 2 4
cos (2sin cos ) 1 sinx x x x
12)
2
1 2sin 1 tan
1 2sin cos 1 tan
xx
x x x
16)
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
xx
x x x
17)
2 2 4 2
tan sin sin (1 tan )x x x x
18)
2
2
tan cot 1
.1
cot
1 tan
xx
x
x
19)
2
2
x 2) B = sin
2
x.cotg
2
x + sin
2
x
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
6
6
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
3) C =
2
2cos 1
sin cos
x
xx
4) D =
2
2sin 1
sin cos
xx
9) K =
2 2 2 2 2
cos (1 sin .tan cos .tan )x x x x x
10) L =
2
22
2
4tan
1 cos 3sin
1 tan
x
xx
x
: Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào x:
1) A = 2(cos
6
x + sin
6
x) – 3(cos
4
5) E = 3(sin
8
x – cos
8
x) + 4(cos
6
x - 2sin
6
x) + 6sin
4
x 6) F =
2
22
tan 1 cot
.
tan 1 cot
xx
xx
7) G = 2(sin
4
x + cos
4
x + sin
2
x.cos
2
x)
00
00
1 tan(90 ) tan(180 ) 1
1 cot(360 ) cot(270 ) 1
xx
xx
2)
00
00
cot(270 ) cot(360 ) 1
.1
1 tan(180 ) cot(180 )
xx
xx
3)
0 0 0
6
sin15 tan30 cos15
3
4)
0
0
cos2A cos2 cos2 1 4cos .cos .cosB C A B C
4)
cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C
5)
2 2 2
sin A+sin sin 2 2cos .cos .cosB C A B C tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
7
7
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
: Chứng minh rằng tam giác ABC là vuông hoặc cân khi và chỉ khi:
BbAaAbBa sinsincoscos : Chứng minh rằng trong tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau:
Cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0 thì tam giác đó là tam giác vuông.
10: Tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
2
1coscoscos
cba
CcBbAa
Chứng minh tam giác này là tam giác đều.
11: Cho tam giác ABC có hệ thức sau:
CB
a
C
c
B
b
sinsincoscos
. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông.
12: Chứng minh rằng tam giác ABC là vuông hoặc cân khi và chỉ khi:
BbAaAbBa sinsincoscos
Chứng minh rằng tam giác ABC là vuông hoặc cân.
và
cot x
:
- Phương trình chứa
tan x
thì đặt điều kiện :
cos 0 ,
2
x x k k
.
- Phương trình chứa
cot x
thì đặt điều kiện :
sin 0 ,x x k k
.
Đặt điều kiện đối với phương trình chứa mẫu thức. Điều kiện mẫu khác 0.
Đặt điều kiện đối với phương trình chứa căn thức. Điều kiện biểu thức bên trong căn lớn hơn bằng 0.
Nếu căn dưới mẫu điều kiện lớn hơn 0.
Nếu phương trình chứa đồng thời các yếu tố trên thì đặt điều kiện cho tất cả các điều kiện đó.
GII
a)
1 sin
tan 0
cos tan 1
x
x
xx
Điều kiện :
cos 0
2
,
tan 1
4
xk
x
k
x
xk
2: Tìm điều kiện xác định các phương trình lượng giác sau:
a)
1 sin
tan 0
cos tan 1
x
x
xx
b)
22
sin2 cos
0
tan 1 sin
xx
xx
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
9
9
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Tìm tập xác định các phương trình lượng giác sau :
1)
1
tan2 cos 0
sin2 1
xx
x
2)
44
sin cos 1
tan cot
sin2 2
xx
xx
x
3)
3
2
1
tan 1 3cot 3
2
cos
7)
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
8)
x
xx
xx
sin22
coscot
)cot(cos3
9) 3(cotgx – cosx) – 5(tgx –sinx) = 2. 10)
2
tan2 cot 8cosx x x
I. :
1. Hàm số sinx :
sin:
sinx y x
Tập xác định của hàm số
sinyx
là
D
.
Hàm sin là hàm lẻ.
Hàm sin là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2.
Tập giá trị của hàm số
sinyx
là đoạn [-1 ;1].
2. Hàm số cos :
cos:
cosx y x
Tập xác định của hàm số
cosyx
là
D
.
Hàm tan là hàm lẻ.
Hàm tan là hàm số tuần hoàn chu kỳ .
Tập giá trị của hàm số
tanyx
là R.
4. Hàm số cot :
Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức :
cos
(sin 0)
sin
x
yx
x
.
Ký hiệu là :
cotyx
.
Tập xác định của hàm số
cotyx
là
\,D k k
. GII
a)
2 3sinyx
Ta có:
1 sin 1
3 3sin 3
1 2 3sin 5
15
x
x
x
y
Vậy
[ 1,1]
max 5y
tại
sin 1 2 , .
23
x
x
x
y
Vậy
[ 1,1]
ax 3my
tại
cos 1 2 ,x x k k
[ 1,1]
min 2y
tại
cos 0 ,
2
x x k k
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
GII
*
xxxxxxxxf 2sin
2
1
1cossin2cossincossin)(
222
2
2244
* Ta có:
2
1
2sin
2
1
11
2
1
2sin
2
1
012sin0
222
xxx
0cos2cossin20cos42sin20' xxxxxy
0cossincos2 xxx
kx
kx
x
x
2
f(x)
1
22
3
* Vậy
3)(max
2
;0
xf
khi
2
x
,
1)(min
2
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
13
13
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
Bài toán trở thành tìm GTLN, GTNN của hàm số:
122)(
2
tttg
với t [-1;1]
Hàm số
122)(
2
tttg
liên tục trên [-1;1].
1;1
2
1
0240)('24)(' tttgttg
2
6
kx
kx
(k Z)
3)(maxmax
1;1
tRx
tgy
khi t = 1 tức là
2
2
kx
(k Z) 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
xxxf cos1sin1)( Gii:
Do sinx [-1;1], x R, cosx [-1;1], x R.Nên hàm số đã cho xác định trên R.
Mặt khác ta dễ dàng nhận thấy
xxf ,0)(
R
Xét hàm số:
2,1),1(22
1,2),1(22
)(
ttt
ttt
th
Từ đó suy ra:
2,1,21
1,2,21
xtusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
14
14
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
3cossin2
1cos3sin2
xx
xx
yGii:
3cossin2
1cos3sin2
3)
xy 2cos2
2
4)
4 2sinyx
5)
2 cos 1 1yx
6)
3 5 sinyx
7)
2
sin 3yx
8)
22
sin .cosy x x
9)
2
sin2 1
y
x
10)
2
cos 4yx
4)
3sincos2
3sin2cos
xx
xx
y
5)
3sinsin
2sin
2
xx
x
y
6)
xxxxy
22
cos5cossin3sin2 Vấn đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
a)
1
sin sin sin
26
xx
2
6
,
5
22
66
xk
k
x k k
tan3 1x
(1)
Điều kiện :
cos3 0
63
k
xx
(*)
Với điều kiện trên phương trình (1) tương đương :
tan3 1 tan3 tan
4
,
12 3
xx
k
xk
So với điều kiện (*) phương trình đã cho có nghiệm :
,
12 3
k
GII
2: Giải phương trình lượng giác:
a)
sin cos 2 0
43
xx
b)
cos sin 0
3
xx
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
16
5
sin sin 2
46
5
22
46
5
22
46
xx
x x k
x x k
b)
cos sin 0
3
xx
cos sin
3
cos cos
23
xx
xx
cos cos
6
xx
GII
1
sin2
1
2
2 sin2 1 sin2
1
2
sin2
2
x
xx
x
22
2
2
)
6
2cos(
x
3) tan(x+75
0
) =
3
4) cot(2x +15
0
) =
3
3
5)
12cos2 x
6)
1
cot
4
3
x
0
)
3) cos(3x) – sin(4x) = 0 4)
cot 2 cot
4
xx
5)
tan cot 0
5
xx
6) cos(110
0
– 4x) + sin(x – 80
0
) = 0
7)
3
cos 2 sin
3)
20
3
cos 30
4
x
4)
2
1
2
1
sin x
1
5) cos2 1
2
x
6) tan 2 2x 4 : Giải các phương trình lượng giác sau:
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
Dạng 2: Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác
Ph: Đưa phương trình lượng giác về phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác
0sinsin
2
cxbxa
(*)
Đặt t = sinx, điều kiện - 1
t
1
Phương trình (*) trở thành :
0
2
cbtat
GII
Phương trình đã cho tương đương :
2
Vì
1 sin 1x
nên phương trình nhận nghiệm :
2
2
1
36
6
sin ,
32
2
2
36
2
GII
Phương trình đã cho tương đương :
2
2
5
2cos 1 4cos 0
2
4cos 8cos 3 0
xx
xx
4: Giải phương trình lượng giác sau:
2
2cos 5sin 4 0
33
x
Vì
1 cos 1x
nên phương trình đã cho nhận nghiệm :
1
cos 2 , .
23
x x k k
BÀI TẬP ÁP DỤNG
: Giải phương trình lượng giác
1)
2
2sin 3sin 1 0xx
2)
10)
2
cos 2x 3sin2x 3 0 : Giải phương trình lượng giác
1)
04
3
xsin4
3
xcos2
2
cosxcosxsin4
66
: Giải phương trình lượng giác
1)
cos2 3sin 2xx
2)
cos2 cos 1 0xx
3)
22
3
sin 2 2cos 0
4
xx
4)
2
1
cos2 sin sin
4
sinsin x
; với
222222
sin;sin;cos
ba
c
ba
b
ba
a
điều kiện phương trình có nghiệm:
11
22
ba
c
tusachvang.net
Chuyên đề Lượng Giác Trang
Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm:
,
6
x k k
b) Chia 2 vế phương trình (2) cho
2
11
(2) cos sin 1
33
22
xx
sin os os sin 1
GII
cos3 sin2 3 cos2 sin3x x x x
3sin3 cos3 3cos2 sin2 (1)x x x x
Chia 2 vế phương trình (1) cho 2, ta được:
d 6: Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
3sin2 cos2 2xx
(1) b)
cos( ) sin( ) 2
33
xx
(2)
7: Giải phương trình lượng giác sau:
cos3 sin2 3 cos2 sin3x x x x
2
63
2
,
2
3 2 2
65
63
x x k
xk
k
k
x
x x k
Bài 2: Giải các phương trình lượng giác
1)
4cos3 3sin3 5 0xx
2)
2sin3 3cos7 sin7 0x x x
3)
2
(2sin cos )(1 cos ) sinx x x x
4)
cos5 sin3 3(cos3 sin5 )x x x x
5)
3
3sin 1 4sin 3cos3x x x
6)
44
3
2(cos sin ) sin4 2
2
x x x
Dạng 4: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx.
Ph: Phương trình có dạng:
0coscos.sinsin
2
2sin2 3cos 3sin cos 2 0x x x x
tusachvang.net
Chun đề Lượng Giác Trang
22
22
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
GII
a)
22
2sin sin cos cos 0x x x x
(1)
* Trường hợp 1: Kiểm tra
cos 0
2
x x k
có là nghiệm phương trình (1) khơng?
x
xk
b)
2
2sin2 3cos 3sin cos 2 0x x x x
2
2
2
(2) 7tan 3 2(tan 1) 0
2tan 7tan 5 0
xx
xx
tan 1
4
,
5
5
tan
arctan
2
2
xk
x
k
x
xk
1) sin
2
x + 3sinxcosx + 2cos
2
x = 0 2) 12sin
2
x + 3sin2x 2cos
2
x = 2
3) 2sin
2
x 5sinxcosx 3cos
2
x = 2 4) 2sin
2
x + sinx.cosx 3cos
2
x = 0
5)
02xcosxsin3xcos3x2sin2
2
6)
1xcosx2sinxsin
22
7)
33
1
cos.sincossin
2
t
xxxxt
, k:
2t
,
)
4
sin(2cossin
xxx
GII
a)
(sin cos ) sin2 1 0x x x
(sin cos ) 2sin cos 1 0x x x x
(1)
t
Vi
0 2sin 0 ,
4 4 4
t x x k x k k
Vi
0 2sin 1 2 2 ,
4 4 4 2
t x x k x k k
b)
3
sin cos 1 sin cosx x x x
(2)
24
12 LUYN THI
0908.77 2324 – 0169.9249 686 Email:
2
3 3 2
1
(2) 1 2 3 0
2
1
3
2
t
t t t
t
t
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình lượng giác sau:
1) 2(cosx + sinx) – 4sinxcosx = 2 2) 12(sinx – cosx) – 2sinxcosx –12 = 0
3) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 3 = 0 4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
5) sin
3
(Loại)
tusachvang.net
Chuyờn Lng Giỏc Trang
25
25
12 LUYN THI
0908.77 2324 0169.9249 686 Email: 1/
a b a b
cos a cos b 2 cos .cos
22
2/
a b a b
cos a cos b 2sin .sin
22
3/
a b a b
sin a sin b 2 sin .cos
22
4/
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
22
sin a.cos b
12/
cotga tga 2cotg2a
GII
Phng trỡnh ó cho tng ng:
sin sin5 sin3 cos cos5 cos3
2sin3 .cos2 sin3 2cos3 .cos2 cos3
sin3 2cos2 1 cos3 2cos2 1
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
2cos2 1 sin3 cos3 0
2cos2 1 0 (1)
sin3 cos3 0 (2)
x x x
x
,,
3 4 3
k
x k x k
.
BAỉI TAP AP DUẽNG
1: Gii phng trỡnh lng giỏc sau:
sin sin3 sin5 cos cos3 cos5x x x x x x
tusachvang.net
Copyright: Tài liệu đại học ©