Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TRẦN THANH THƢƠNG ỨNG DỤNG MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ BẬC CAO
TRONG DỰ BÁO

CHUYÊN NGÀNH: KHOA HỌC MÁY TÍNH
MÃ SỐ: 60 48 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

1.2.2. Quá trình trung bình trượt 8
1.2.3. Quá trình tự hồi quy trung bình trượt 9
1.3. Ƣớc lƣợng tham số mô hình ARMA 11
1.4. Những hạn chế của mô hình ARMA trong chuỗi thời gian tài chính 12
CHƢƠNG 2 LÝ THUYẾT TẬP MỜ 17
2.1. Lý thuyết tập mờ 17
2.1.1. Tập mờ 17
2.1.2. Các phép toán trên tập mờ 19
2.2. Các quan hệ và suy luận xấp xỉ, suy diễn mờ 22
ii

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2.2.1. Quan hệ mờ 22
2.2.2. Suy luận xấp xỉ và suy diễn mờ 23
2.3. Hệ mờ 25
2.3.1. Bộ mờ hoá 25
2.3.2. Hệ luật mờ 26
2.3.3. Động cơ suy diễn 26
2.3.4. Bộ giải mờ 27
2.3.5. Ví dụ minh họa 28
CHƢƠNG 3 30
MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN MỜ BẬC CAO VÀ ỨNG DỤNG 30
3.1. Chuỗi thời gian mờ 30
3.1.1. Khái niệm 30
3.1.2. Một số định nghĩa liên quan đến chuỗi thời gian mờ 30
3.2. Một số thuật toán trong mô hình chuỗi thời gian mờ 31
3.2.1. Một số thuật toán bậc một (thuật toán cơ sở) 31
3.2.2. Một số thuật toán bậc cao 33
3.3. Ứng dụng trong dự báo 40
3.3.1. Ứng dụng thuật toán bậc cao mới 40

Bảng 3.2. Phân bố giá trị trong từng khoảng 41
Bảng 3.3. Phân khoảng 41
Bảng 3.4. Nhóm mối quan hệ mờ 42
Bảng 3.5. Mối quan hệ mờ và nhóm quan hệ mờ bậc cao 44
Bảng 3.6. Kết quả dự báo của các phƣơng pháp khác nhau 45
Bảng 3.7. Chuỗi thời gian mờ và kết quả dự báo dự báo 45
Bảng 3.8. Giá trị nhiệt độ Hà Nội 46
Bảng 3.9. Phân bố giá trị trong từng khoảng 47
iv

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Bảng 3.10. Phân khoảng 47
Bảng 3.11. Nhóm mối quan hệ mờ 48
Bảng 3.12. Mối quan hệ mờ và nhóm quan hệ mờ bậc cao – kết quả dự báo 54
Hình 3.1. Đồ thị so sánh kết quả dự báo và giá trị thực 55
Bảng 3.13. Phân khoảng 56
Bảng 3.14. Các giá trị mờ hóa 57
Bảng 3.15. Kết quả dự báo 58
Hình 3.2. Đồ thị so sánh kết quả dự báo và giá trị thực 58
Bảng 3.16. Phân khoảng 59
Bảng 3.17. Các quan hệ mờ 60
Bảng 3.18. Kết quả dự báo 61
Bảng 3.19. Phân bố giá trị trong từng khoảng 63
Bảng 3.20. Phân khoảng 63
Bảng 3.21. Các giá trị mờ hóa 64
Bảng 3.22. Kết quả dự báo 65
Bảng 3.23. Phân bố giá trị trong từng khoảng 67
Bảng 3.24. Phân khoảng 68
Bảng 3.25. Các giá trị mờ hóa 69
Bảng 3.26. Kết quả dự báo 70

thay vì sử dụng các phép tính tổ hợp Max-Min phức tạp, Chen đã tính toán bằng các
phép tính số học đơn giản để thiết lập các mối quan hệ mờ. Phƣơng pháp của Chen cho
hiệu quả cao hơn về mặt sai số dự báo và giảm độ phức tạp của thuật toán.
Từ các công trình ban đầu về chuỗi thời gian mờ đƣợc xuất hiện năm 1993, hiện
nay mô hình này đang đƣợc sử dụng để dự báo trong rất nhiều lĩnh vực của kinh tế hay
xã hội nhƣ giáo dục để dự báo số sinh viên nhập trƣờng hay trong lĩnh vực dự báo thất
nghiệp, dân số, chứng khoán và trong đời sống nhƣ dự báo mức tiêu thụ điện, hay dự
báo nhiệt độ của thời tiết… Tuy nhiên xét về độ chính xác của dự báo, các thuật toán
trên cho kết quả chƣa cao. Trong những năm gần đây, một số tác giả đã sử dụng nhiều
kỹ thuật khác nhau để tìm mô hình hữu hiệu cho chuỗi thời gian mờ. Những kỹ thuật
trong lý thuyết tính toán mềm, khai phá dữ liệu, mạng nơ ron và các giải thuật tiến hoá
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
đều đƣợc đƣa vào sử dụng. Một số tác giả sử dụng phƣơng pháp phân cụm nhƣ công
trình của Chen et al trong tập thô hay sử dụng khái niệm tối ƣu đám đông nhƣ trong
các công trình để xây dựng các thuật toán trong mô hình chuỗi thời gian mờ. Ngoài ra,
một số tác giả khác đã sử dụng thêm thông tin khác trong chứng khoán để dự báo
chính xác hơn các chỉ số chứng khoán. Một trong các hƣớng đƣợc phát triển là sử
dụng mối quan hệ mờ bậc cao trong mô hình chuỗi thời gian mờ. Chen tiếp tục là
ngƣời đi đầu khi xây dựng đƣợc thuật toán để xử lý mối quan hệ mờ bậc cao. Sau đó
hƣớng này đƣợc một số tác giả khác tiếp cận và ứng dụng trong các công trình của
mình. Riêng Singh đã xây dựng mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao bằng cách mở
rộng thuật toán đơn giản của mình xây dựng trong các công trình trƣớc đây.
Nhƣ đã trình bầy ở trên, mô hình chuỗi thời gian mờ đang có nhiều ứng dụng trong
công tác dự báo. Tuy nhiên kết quả dự báo của các phƣơng pháp đề xuất còn chƣa cao.
Do đó việc tìm tòi các mô hình có độ chính xác cao hơn và thuật toán đơn giản hơn
đang là một ƣu tiên. Với mục tiêu tìm hiểu về việc sử dụng mô hình chuỗi thời gian
trong dự báo, đặc biệt là việc sử dụng mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao, em đã lựa
chọn đề tài “Ứng dụng mô hình chuỗi thời gian mờ bậc cao trong dự báo” làm đề tài
cho luận văn tốt nghiệp của mình.

n
} đƣợc xếp
thứ tự diễn biến thời gian với x
1
là các giá trị quan sát tại thời điểm đầu tiên, x
2
là quan
sát tại thời điểm thứ 2 và x
n
là quan sát tại thời điểm thứ n.
Ví dụ: Các báo cáo tài chính mà ta thấy hằng ngày trên báo chí, tivi hay Internet
về các chỉ số chứng khoán, tỷ giá tiền tệ, chỉ số tiêu dùng đều là những thể hiện rất
thực tế của chuỗi thời gian.
Bƣớc đầu tiên của việc phân tích chuỗi thời gian là chọn một mô hình toán học
phù hợp với tập dữ liệu cho trƣớc X:={x
1
, x
2
,……… x
n
} nào đó. Để có thể nói về bản
chất của những quan sát chƣa diễn ra, ta giả thiết mỗi quan sát x
t
là một giá trị thể hiện
của biến ngẫu nhiên X
t
với t

T. Ở đây T đƣợc gọi là tập chỉ số. Khi đó ta có thể coi tập
dữ liệu X:={x

là tập {1,2 } hay tập (-,+). Cũng có những quá trình ngẫu nhiên có T không phải là một
tập con của R nhƣng trong giới hạn của luận văn nàychỉ xét cho trƣờng hợp TR. Và
thƣờng thì ta xem T là các tập các số nguyên, khi đó ta sẽ sử dụng ký hiệu tập chỉ số là Z
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
thay vì T ở trên. Một điểm chú ý nữa là trong luận văn này sẽ dùng thuật ngữ chuỗi thời
gian để đồng thời chỉ dữ liệu cũng nhƣ quá trình có dữ liệu đó là một thể hiện.
1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên dừng
Định nghĩa 1.2 (Hàm tự hiệp phƣơng sai)
Giả sử

X
t
, t

Z

là một quá trình ngẫu nhiên có var(X
t
)<

với mỗi t

Z. Khi
đó hàm tự hiệp phương sai của X
t
được định nghĩa theo công thức sau:
)],
s
X)(


-
ZtmE  ,X
t

-
Zsrttstrsr
xx
 ,,),,(),(


Định lý 1.1
Nếu

X
t
, t

Z

là một quá trình dừng, và nếu như a
t


R, i

Z thoả mãn điều
kiện



x
y 


Và vì vậy, với một quá trình dừng thì có thể định nghĩa lại hàm tự hiệp phƣơng
sai bằng cách chỉ thông qua hàm một biến. Khi đó, với quá trình dừng

X
t
, t

Z

ta có:
Zht
t
X
ht
XCovh
x
h
x
y 

 ,),,()0,()(


Hàm số
(.)
x

t+h
,X
t
), t, hZ
Chú ý:
Trong thực tế, ta chỉ quan sát đƣợc một thể hiện hữu hạn X:={x
t
, t = 1,2,…n}
của một chuỗi thời gian dừng nên về nguyên tắc ta không thể biết chính xác đƣợc các
hàm tự hiệp phƣơng sai của chuỗi thời gian đó, muốn ƣớc lƣợng nó ta đƣa vào khái
niệm hàm tự hiệp phƣơng sai mẫu của thể hiện X.
Hàm tự hiệp phƣơng sai mẫu của một thể hiện X đƣợc định nghĩa bởi công
thức:
nhx
hj
xx
hn
j
j
xnnhc 






 0),)(
1
(
11

ngẫu nhiên

Y
t
, t

Z

sao cho
1
::


ttt
XBXY

Toán tử lùi B là toán tử tuyến tính và khả nghịch. Nghịch đảo của nó
B
-1
:=F đƣợc gọi là toán tử tiến, định nghĩa bởi công thức:
FX
t :=
X
t+1
Các toán tử B, F thoả mãn hệ thức
B
n
X
t
= X

a
n
i
i
B
i
a

6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chú ý:
Một cách tổng quát, ngƣời ta có thể định nghĩa các chuỗi theo toán tử tiến F hay
toán tử lùi B và muốn thế cần hạn chế trong trƣờng hợp các quá trình là dừng. Khi đó,
giả sử ta có quá trình dừng

X
t
, t

Z

và một dãy {a
i
,iZ tuyệt đối khả tổng, tức là



i
i
a


Y
t
, t

Z

. Các chuỗi theo B khi đó sẽ có những tính chất cho phép ta xử lý
nó tƣơng tự nhƣ đối với chuỗi nguyên thông thƣờng. Đặc biệt ta có thể thực hiện phép
cộng, phép nhân hay phép lấy nghịch đảo. Điều này có vai trò quan trọng trong các
phép biến đổi của đa thức tự hồi quy, đa thức trung bình trƣợt và các phép biến đổi xử
lý chuỗi thời gian khác.
1.2. Quá trình ARMA
1.2.1. Quá trình tự hồi quy
Định nghĩa 1.5 (Quá trình ồn trắng)
Quá trình ngẫu nhiên

t,
t

Z

được gọi là một ồn trắng, ký hiệu

WN(0,

2
),
khi nó thoả mãn các điều kiện sau:
E


AR(p), là một quá trình dừng {X
t
, t

Z} thoả mãn
X | 0
1 1 2 2 t-p
a X a X a a
t t p t p
X
t

     

.
với {

} là một ồn trắng.
Ta có thể viết biểu thức của quá trình tự hồi quy ở trên bởi công thức
X | 0,
1 1 2 2 t-p
a X a X a a
t t p t p
X
t

    



p
t
i
ia
1
2
|)()0(


-
0,0)(
1
)( 


 hih
p
i
i
ah


Lần lƣợt cho h = 1,2,….p ta đƣợc 












)(
)1(

)2(
)1(
p
p



 Hệ phƣơng trình gọi là hệ phƣơng trình Jule – Walker, song tuyến đối với a và

.
Nghĩa là nếu cho

ta sẽ tính đƣợc a và ngƣợc lại cho a ta cũng sẽ tính đƣợc

.
Trong hệ phƣơng trình Jule – Walker, nếu ta đặt 
pi

….,

pp.
1

(1) ….

(p-2)

(p-1)
(1) 1 ….

(p-3)

(p-1)
…. …. …. … …

(p-2)….

(p-3) 1

(1)

(p-1)

(p-2)

(1) 1

8

qt
q
b
t
b
t
X


với

t

là một ồn trắng.
Ta cũng có thể viết biểu thức trung bình trƣợt ở trên dƣới dạng toán tử lùi
tƣơng tự nhƣ đối với quá trình tự hồi quy nhƣ sau :
X
t
= b(B)

t,
Trong đó hàm b(.) định nghĩa bởi
b(z) : = 1+b
1
z+…+b
q
z
q.
Ở đây b(z) đƣợc gọi là đa thức trung bình trƣợt.
Chú ý:

j
j
z
j
jt
X
j
t

;)(;

Một chú ý nữa, cũng giống nhƣ trƣờng hợp AR, nếu đa thức trung bình trƣợt
b(z) không có nghiệm có môđun bằng 1 thì ta có thể biểu diễn X
t
dƣới dạng sau:






 j
jtjt
j
jt
XX

;
1


2
( ) , ;1
1
0,
st
E X b s t i i q
tt
s






    






Mặt khác
có:

Từ đó suy ra
2
( ) ( ), : 1;1
1 1 0
( ) 0,
h b b b b b b h q

q
h h q h
hq
bb
h
q
hq

   





  







1.2.3. Quá trình tự hồi quy trung bình trượt
Định nghĩa 1.8 (quá trình tự hồi quy trung bình trƣợt)
Một quá trình

X
t
, t











q
b
p
aR
q
bbb
p
aaa
qt
q
b
t
b
tpt
X
p
a
t
Xa
t
X

( ): (X X E X b b
t t h t t h h q h q
hE
  
  
     

10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Định nghĩa 1.9 (Quá trình nhân khả nghịch)
Một quá trình ARMA(p,q) đƣợc gọi là một quá trình nhân quả và khả nghịch
nếu có là một quá trình ARMA(p,q) có a(z) và b(z) thỏa mãn hai điều kiện:
i) a(z) và b(z) không có nghiệm chung
ii) a(z) và b(z) không có nghiệm có môđun không vƣợt quá 1
Chú ý:
Do tính nhân quả và khả nghịch cộng với tính chất khả đảo của đa thức
toán tử, ta có thể biểu diễn một quá trình
, 1; .
0
01
X
t
i t i i
ii
   

   




( ): (
.
k E X
t
X
tk





Mặt khác ta có thể biểu diễn
0
X
i
t k t k i
i




  


Và ta có
Lần lƣợt cho h = 0,1, p trong các chƣơng trình trên và chú ý đến tính chẵn của hàm
(h) ta có hệ phƣơng trình tuyến tính đối với (0), , (p) hay với






0,
2
0,0
)(
.
k
k
k
k
Xe



11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.3. Ƣớc lƣợng tham số mô hình ARMA
Giả sử ta cần ƣớc lƣợng các tham số của mô hình ARMA(p,q)
| , , , , , , , , 0, 0,
1 1 2 1 2

1 1 1
b a a a b b b R a b
q p q p q
tq
t

Bƣớc 2:
Ƣớc lƣợng vecto tham số
( , , , , )
11
t
a a b b
pq


trên cơ sở cực tiểu hóa hàm
2
( ) ( ) .
1 1 2 2 1 2
1
n
S x a x a x a x b b theo
pq
t t p t q
t t t
t m q
   
       


  
  


Giải hệ Gauss-Markov, kết quả thu đƣợc ở dạng sau:
1

X X X
m q m q
m q m q p m q m
Z
X X X
n p n q
n n n n
  
  
  


       



       






   

     

Ƣớc lƣợng phƣơng sai
t


các chuỗi thời gian kinh tế tài chính. Nguyên nhân chính là giả thiết về mặt toán học
phƣơng sai của các chuỗi thời gian tài chính không thay đổi theo thời gian là không
phù hợp. Và vì vậy mô hình ARMA có thể dự báo đƣợc kỳ vọng nhƣng thất bại khi dự
báo phƣơng sai của chuỗi thời gian tài chính. Sau đây ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể
để thấy rõ sự không phù hợp của mô hình ARMA đối với chuỗi thời gian tài chính.
Xét chuỗi số chuỗi số liệu NYSE chứa giá trị của chỉ số chứng khoán giao dịch
hằng ngày trên thị trƣờng NewYork từ tháng ngày 02/01/1990 đến ngày 31/12/2001.
Chuỗi gồm 3028 số liệu đƣợc lƣu dƣới tên file là NYSE.txt. Tuy nhiên thay vì trực
tiếp làm việc với chuỗi số liệu gốc, ta lấy logarit tự nhiên của chuỗi gốc rồi lấy lại sai
phân của nó để đƣợc một chuỗi mới mà trong lĩnh vực kinh tế tài chính ta gọi là chuỗi
tăng trƣởng. Từ số liệu ở trên, chuỗi giá và chuỗi tăng trƣởng đƣợc minh họa nhƣ sau: Hình 1.1 Chuỗi giá

Hình 1.2 Chuỗi tăng trưởng
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Nhìn vào đồ thị của chuỗi giá, rõ ràng ta thấy nó không có tính dừng. Ngƣợc
lại, chuỗi tăng trƣởng có đồ thị rất giống với một quá trình dừng. Khi nhìn vào đồ thị
của chuỗi tăng trƣởng ta cũng thấy có xuất hiện những cụm biến động, có vùng biến
đổi về phƣơng sai của chuỗi thời gian. Tiếp theo ta sẽ khai thác đặc trƣng tƣơng quan
riêng mẫu của chuỗi tăng trƣởng ở trên.
Kết quả đƣợc minh họa bằng đồ thị sau:

Hình 1.3 Tự tương quan của chuỗi tăng trưởng

Hình 1.4 Tự tương quan riêng của chuỗi tăng trưởng
Ta thấy rằng tƣơng quan riêng của chuỗi tăng trƣởng biến đổi trong một khoảng
tƣơng đối hẹp khá giống với tự tƣơng quan riêng của một quá trình dừng. Tuy nhiên ta

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Nhiễu khi đó đƣợc tính toán và biểu diễn bởi đồ thị sau

Hình 1.8 Nhiễu
Khi đó tự tƣơng quan và tự tƣơng quan riêng của nhiễu cho bởi đồ thị dƣới đây

Hình 1.9 Tự tương quan của nhiễu

Hình 1.10. Tự tương quan riêng của nhiễu
Ban đầu, do tính ít tƣơng quan của nhiễu ƣớc lƣợng đƣợc nên ta thấy nó giống
với một quá trình ồn trắng. Tuy nhiên khi lấy bình phƣơng nhiễu ta lại thấy khác.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Hình 1.11. Bình phương nhiễu

Hình 1.12 Tự tương quan bình phương nhiễu

Hình 1.13 Tự tương quan riêng bình phương nhiễu
Rõ ràng là nhiễu có hiện tƣợng tạo cụm biến động giống nhƣ chuỗi tăng trƣởng
ban đầu. Còn khi nhìn vào đồ thị tự tƣơng quan của bình phƣơng nhiễu ta thấy nó thể
hiện sự tƣơng quan mạnh nên ta có thể kết luận rằng nhiễu không phải là một ồn trắng
nhƣ mong muốn. Và nhƣ vậy mô hình ARMA sẽ không phù hợp với chuỗi số liệu này.
Mặc dù mô hình ARMA tỏ ra không phù hợp với chuỗi thời gian tài chính
nhƣng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất quan trọng và mang lại nhiều
gợi ý cho các công trình nghiên cứu về chuỗi thời gian sau Box-Jenkins.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
CHƢƠNG 2 LÝ THUYẾT TẬP MỜ

A
(x))
Khoảng xác định của hàm

A
(x) là đoạn [0,1], trong đó giá trị 0 chỉ mức độ
không thuộc về còn giá trị 1 chỉ mức độ thuộc về hoàn toàn.
Nhƣ vậy tập mờ A hoàn toàn xác định trên tập các bộ đôi:
A=

(x,

A
(x))

x

Ω


Nếu Ω =

x
1
,x
2
, ,x
n
,


Hình 2.1. Hàm liên thuộc của tập mờ “x gần 1”
Ví dụ 2: Một số dạng hàm liên thuộc liên tục khác
Triangle(x, a, b, c) = max(min(
)0),,1,
bc
xc
ab
ax





Trapezoid(x, a, b, c,d) = max(min(
)0),,1,
cd
xd
ab
ax





Gaussian(x,
,,c


c

của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc đƣợc xác định bởi:
A
c
(x) = n(A(x)), với mỗi x


2.1.2.2. Phép giao hai tập mờ
Định nghĩa 3 (T - chuẩn): Hàm T: [0,1]
2
 [0,1] là một T - chuẩn (phép hội)
khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện sau:
1. T(1, x) = x, với mọi 0  x  1.
2. T có tính giao hoán : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0  x, y 1.
3. T không giảm: T(x,y)=T(u,v), với mọi x  u, y v.
4. T có tính kết hợp: T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),z), với mọi 0  x,y, z 1.
Ví dụ: T
1
(x,y)=min(x,y) là một T-chuẩn, thật vậy:
- T
1
(1,x)=min(1,x)=x, với mọi 0  x  1.
- T
1
có tính giao hoán: min(x,y)=min(y,x), với mọi 0  x, y 1.
- T
1
không giảm: min(x,y)<=min(u,v), với mọi x  u, y v.
- T1 có tính kết hợp: min(x,min(y,z))=min(min(x,y),z)= min(x,y,z), với

2. S có tính giao hoán : S(x,y)= S(y,x) với mọi 0  x, y  1.
3. S không giảm: S(x,y) = S(u,v), với mọi x  u, y  v.
4. S có tính kết hợp: S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),z) với mọi 0  x, y, z1.
Định nghĩa 6 (phép hợp hai tập mờ): Cho hai tập mờ A, B trên cùng không
gian nền  với hàm thuộc A(x), B(x) tƣơng ứng. Cho S là một T - đối chuẩn. Phép
hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ (kí hiệu (A
S
B)) trên  với hàm thuộc cho
bởi biểu thức: (A
S
B)(x)=S(A(x),B(x)), với mỗi x
Ví dụ:
- Với S(x,y) = max(x,y): (A
S
B)(x)= max(A(x), B(x))
- Với S(x,y) = x + y – x.y: (A
S
B)(x)= A(x) + B(x) – A(x).B(x)
- Ta có thể biểu diễn phép hợp của hai tập mờ qua hai hàm
S(x,y)=max(x,y) và S(x,y)=x+y – x.y theo các đồ thị hình 2.4 sau đây:
- Hình a: Hàm thuộc của hai tập mờ A, B
- Hình b: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = max(x,y)
- Hình c: Hợp của hai tập mờ theo S(x,y) = x + y – x.y
2.1.2.4. Luật De Morgan
Cho T là T - chuẩn, S là T - đối chuẩn và n là hàm phủ định mạnh. Khi
đó bộ ba (T, S, n) là bộ ba DeMorgan nếu:
n(S(x,y)) = T(n,(x),n(y))
Với phép phủ định n(n-1) = 1- x, chúng ta có một số cặp T-chuẩn và T-
đối chuẩn thoả mãn luật DeMorgan trong bảng 2.1.