KỲ THI TOÀN QUỐC GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM 2009

MÔN: TOÁN 12 (THPT)
THỜI GIAN: 150 PHÚT
NGÀY THI: 13/03/2009 Câu 1: Tính nghiệm giá trị của hàm số sau tại
0,5x 
:

3
2
2 sin 1
()
ln( 3)
xx
fx
xx




Câu 2: Tìm tọa độ giao điểm của của đồ thị hai hàm số
2
75y x x  
và
2
8 9 11
1
xx

Câu 6: Cho dãy số
()
n
u
có
1 2 3
1; 2; 3u u u  
và
1 2 3
2 3 ( 4)
n n n n
u u u u n
  
   
.
Tính
20
u

Câu 7: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
3
3 5 7 (log 1)
x x x
x  
.
Câu 8: Tính diện tích hình tứ giác ABCD biết
4 , 4 , 5AB cm BC cm CD cm  

,6DA cm
và góc





(1)

0
1
!
n
e
n




(2)
Theo em, để tính được giá trị của biểu thức
1025
1
1
1025
A




thì cần tới bao
nhiêu phép nhân và chia, và khi ấy kết quả thu được xáp xỉ số
e

4 7 5 7 3


   
  

   
   



b) B =
3 5 3 5 2009 13,3
3 2 5 3 7 2 3 5 4 7
    
    

c) C =
3 2 2 3 2 3
3 2 2 3 2 3
(1 sin 17 34`) (1 25 30`) (1 cos 50 13`)
(1 cos 35 25`) (1 cot 25 30`) (1 sin 50 13`)
tg
g
     
     

Câu 2: Hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh AB = m, BC = n.
Từ A kẻ AH vuông góc với đường chéo BD
a) Tính diện tích tam giác ABH theo m, n

5,75 , 6,15a cm l cm

2. Người ta cắt hình chóp
. O ABCD
cho trong câu 1 bằng mặt phẳng
song song với đáy
ABCD
sao cho diện tích xung quanh của hình chóp
.O MNPQ
được cắt ra bằng diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều
.MNPQ ABCD
được cắt ra. Tính thể tích hình chóp cụt được cắt ra
( chính xác đến 2 chữ số thập phân )
Câu 5:
1. Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 10 phút, một chiếc
canô chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền đó cách bến A 20,5 km. Hỏi vận tốc của
thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền
12,5 /km h
. ( Kết quả chính xác với
2 chữ số thập phân)
2. Lức 8 giờ sáng, một ô tô đi từ A đến B, đường dài 157 km. Đi được 102 km thì xe
bị hỏng máy phải dừng lại sửa chữa mất 12 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc ít
hơn lúc đầu là
10,5 /km h
. Hỏi ô tô bị hỏng lúc mấy giờ, biết rằng ô tô đến B lúc
11 giờ 30 phút. ( Kết quả thời gian làm tròn đến phút)
Câu 6: Cho dãy số
   
1 2 1 2
22


3. Tính các giá trị từ
11
U
đến
20
UCâu 7: Hình thang vuông
( // )ABCD AB CD
có góc nhọn
BCD


,
độ dài các cạnh
,BC m CD n

a) Tính diện tích, chu vi và các đường chéo của hình thang
ABCD

theo
,mn
và

.
b) Tính ( chính xác đến 4 chữ số thập phân ) diện tích, chu vi và các
đường chéo của hình thang
ABCD

có dạng
1 399025M mn
chia hết cho 9. Tìm các chữ số
,mn

Bài 9: Cho dãy số xác định bởi công thức :
2
1
2
3 13
1
n
n
n
x
x
x




với
1
0,09x 
, n = 1,2,3,…,
k,…
a) Viết quy trình bấm phím liên tục tính
1n
x


MÔN: TOÁN 12 (THBT)
THỜI GIAN: 150 PHÚT
NGÀY THI: 13/03/2009 Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc thì
lấy đến số nguyên giây.

Bài 1: Tính gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình:
2
2sin2 5sin 1xxBài 2: Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) =
2
3 4 5 2xx  Bài 3: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi
phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất.
Tính gần đúng diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là 1
3
dm
.

Bài 4: Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số
2
2 5 3
21
xx
Bài 7: Tính gần đúng bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD có các cạnh
AB = AC = AD = 8dm, BC = 7dm, CD = 6dm, BD = 5dm.

Bài 8: Tính a, b, c nếu đồ thị hàm số
32
y x ax bx c   
đi qua ba điểm A( 5;1), B(6;2),
C(7;3).

Bài 9: Tính gần đúng thể tích khối chóp S.ABCD nếu đáy ABCD là hình bình hành, cạnh
SA vuông góc với đáy, AB = 7dm, AC = 9dm, SD = 11dm, góc ABC =
80
o
.

Bài 10: Tính gần đúng tọa độ giao điểm của elip :
22
1
94
xy

và đường thẳng
5 6 7 0xy  

SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

1
3 *
1
1 1 61
;
4 8
15
,
64
n n
u
u u n N


 

 

 
 

 


   



a) Chứng minh dãy số (u
n
SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU LỚP 12 DỰ THI QUỐC GIA, NĂM H ỌC 2010 -2011

HƯỚN G DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ
MÔN THI:TOÁN
( Hướng dẫn chấm có : 5 trang )
Câu Nội dung kiến thức Điể m
Câu 1 4điểm

1. Giải phươ ng trình:
2
2( 1)(1 1)
x x x x x
     (1)
* Điều kiện:
1
x

.
2
1 1 1
(1) 2(1 1 )( 1 ) 1
x x x
     

Đặt
1
cos2 ,0



 
2. Giải bất phương trình:
2
3 2
log ( 2 1) 1 log
x x x
    (1)
* (1)
3 2
2log ( 1) 1 log
x x
    . Điều kiện x > 0.
Đặt
2
log 2
t
t x x
  

(1) trở thành:
1
2
2 1
2 1 3 3
3 3
t t
t
t

, lập luận được f’ có nghiệm duy nhất t
0
và t
0

(1;3)

.
* Lập BBT, suy ra
( ) 3
f t
 
1 3
t
 
.
* Nghiệm: 2 < x < 8. 0,5 0,5 0,5
0,5
. .
AF AE
MA MB MC MB MC
BC BC
   
Áp dụng bất đt B.C.S ta có :

 
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
. .
.
AF AE AE AF
MB MC MB MC
BC BC BC
EF
BC EF
BC

 
1
1
Câu 3 4điểm

a)
*
3
1 1
15 15
,
64 64
n n n n
u u u u n N
 
      
Xét hs : f(x) =
3
15
64


F

Thật vậy : Với n = 1 :
3
2 1 1 1
15
64
u u u u
   2
1 1 1
(4 1)(16 4 15) 0
u u u
    
( HN đúng vì
1
1 1 61
;
4 8
u
 

 
 
 
 
)

 
bằng QN
Thật vậy : Với n = 1 :
1
1 1 61
;
4 8
u
 

 
 
 
 

Giả sử ( 2) đúng vớ n = k
1

, nghĩa là :
1 1 61
;
4 8
k
u
 

 
 
 
 


 
  
 
 
 
 
 

Suy ra :
1
1 1 61
4 8
k
u


  
(1), (2) suy ra Đpcm 1
n n
L
u u L L L L L
L


 




          








So với đk suy ra:
1 61
lim
8
n
n
u





Cho
0, (2 ) 3
x y a f a a
   
; cho
, 0 (2 ) 7
x a y f a a
   
.
Vậy 7a = 3a nên a = 0. Suy ra f(0) = 0.
* Cho y = 0 ta có
( ( )) ( ) 6
f f x f x x
 
.
Xét dãy số (x
n
) : x
1
= x, x
2
= f(x), x
n+1
= f(x
n
) , n = 1,2,3,…
Ta có : x
n+2
+ x


  



 
  






* Vì
2
2 1
0
0, 1,2, ; 1,2,
0
n
n
n
x
x n n
x



     
1

0,5

Câu 5 5điểm

a/ Số phải tìm có dạng :
, ,1 , 9
aabb a b N a b
  



1
đoạn thẳng
.các cách nối như vậy luôn tồn tại và do đó chỉ có 2010 cặp điểm cho
nên
số tất cả cách nối như vậy là hữu hạn.
Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là
ngắt nhất.Ta chứng minh rằng đây chính là cách nối phải tìm.

Thật vậy: giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX và BY mà cắt
nhau tại điểm O(Giả sử A và B tô màu đỏ , còn X và Y tô màu
xanh).Khi đó , nếu ta
Thay đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng : AY và BX , các
đoạn đã nối khác giữ nguyện thì ta có cách nối này có tính chất :
AY + BX < (AO +OY) + (BO + OX) = (AO +OX) + (BO + OY)
Suyra : AY+BX<AX+BY

Như vậy : việc thay hai đoạn thẳng AX và BY bởi hai đoạn thẳng AY
và BX , ta nhận đựợc một cách nối mới có tổng độ dài các đoạn thẳng
là nhỏ hơn .Vố lý , vì trái với giả thiết là đã chọn cách nối có tổng độ
dài là bé nhất .Điều vô lý đó chứng tỏ : cách nối có tổng độ dài các
đoạn thẳng là ngắn nhất là không có điểm chung.
1


Số báo danh HỌ VÀ TÊN THÍ SINH
MÔN THI: TOÁN 12 cấp THPT
Ngày sinh: tháng năm , nam hay nữ: Đơn vị dự thi

HỌ, TÊN CHỮ KÝ
Giám thị số 1:
Giám thị số 2:
SỐ PHÁCH
(Do chủ tịch hội đồng ghi)

Chú ý:
- Thí sinh phải ghi đủ các mục ở phần trên theo sự hướng dẫn của giám thị;
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này;
- Bài thi phải được viết bằng một loại bút, một thứ mực; không viết bằng mực đỏ, bút chì; không
được đánh dấu hay làm kí hiệu riêng; phần viết hỏng phải dùng thước gạch chéo; không được tẩy, xóa bằng
bất kỳ cách gì (kể cả bút xóa).
- Trái với các điều trên, thí sinh sẽ bị loại.


SỐ PHÁCH
(Do Chủ tịch Hội đồng ghi)

Bằng số Bằng chữ
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống
liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính
xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy.

Bài 1: (5 điểm) Tính gần đúng ( độ, phút, giây ) nghiệm của phương trình
4cos2x + 3sinx = 2

Cách giải Kết quả

Bài 2: (5 điểm) Tính giá trị biểu thức P =
3 2 2
5
2
( 10 31 30)( 5 4

 
 
 
.
b. Gọi y = ax + b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
x =
2
5

.
Tìm giá trị gần đúng của a, b.

Cách giải Kết quả

Bài 4: (5 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 5cosx - cos5x trên
,
4 4
 

4

Bài 6: (5 điểm) Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng nếu ta xóa đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ
được một số mới bằng căn bậc ba của số ban đầu.

Cách giải Kết quả
Bài 7: (5 điểm) Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bời công thức
32
)313()313(
nn
n
U

 với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
a) Tính
87654321
,,,,,,, UUUUUUUU
b) Lập công thức truy hồi tính

Cách giải Kết quả 5

Bài 9: (5 điểm) Trong mp (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB=3,54 và BC=2,43. Một
điểm M nằm trên đường tròn (C) đường kính BD trong mp (Q) vuông góc với mp (P) theo
giao tuyến BD. Tính gần đúng thể tích hình chóp M.ABCD khi BM=
5
.

Cách giải Kết quả
Bài 10. (5 điểm) Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao
cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp ( sắt tây ) là ít nhất , tức là diện tích toàn phần của hình
trụ là nhỏ nhất . Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon
là
3
314cm

Cách giải Kết quả



Cách giải Kết quả Điểm

2
4cos2x +3 sinx = 2 8sin 3sin
2 0
x x
   
sin
0,7215
sin
0,3465
x
x




 


0"'0
1
360431046 kx 

0"'0
2

khi x = 2010
Cách giải Kết quả Điểm
Dùng máy để tính
(Hoặc có thể phân tích thành thừa số rồi rút gọn)
P = 1

5đ

Bài 3: Cho hàm số
4cos2sin)(
2
 xxxxfy

a. Tính giá trị gần đúng của
'
5
2
f f

 
 
 
 
 
 
.
b. Gọi y = ax + b là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ

2

Bài 4: Tính gần đúng giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = 5cosx - cos5x trên
,
4 4
 
 

 
 Cách giải Kết quả Điểm
'( ) 5sin5 5
sin
f x x x
 

'( ) 0 2cos3 sin
2 0
f x x x
  

Giải PT ta tìm được các nghiệm:
1 2 3
0, ,
6 6
x x x
 
   

Bài 5: Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình:

3 4 2
2 3 lg 2 0
.
x
x x

   Cách giải Kết quả Điểm
Đặt


3 4 2
2 3 lg
2
x
f x x x

   
với


0;x
 
.
Vì
 


0,7743
.
x


2.5đ 2.5đ Bài 6: Tìm một số có 5 chữ số, biết rằng nếu ta xóa đi 3 chữ số cuối cùng thì sẽ được một số
mới bằng căn bậc ba của số ban đầu.

Cách giải Kết quả Điểm
3
1000 ( )

m=32
3
32 32768
m  
1đ 1đ
1đ

2đ

Bài 7: Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bời công thức
32
)313()313(
nn
n
U

 với n = 1 , 2 , 3 , . . . k , . . .
a) Tính
87654321
,,,,,,, UUUUUUUU
b) Lập công thức truy hồi tính

của dãy là:
2
26 166 0
x x
  1 2 3
1, 26, 510
,
U U U  
4 5
8944, 147884
U U 
6 7
2360280, 36818536
,
U U 

8
565475456
U 

11
16626)


nnn
UUUb



1
2
S S
MDEN
ABC


18,3712
S
MDEN


1đ
1đ

1đ

2đ

Bài 9: Trong mp (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB=3,54 và BC=2,43. Một điểm M nằm
trên đường tròn (C) đường kính BD trong mp (Q) vuông góc với mp (P) theo giao tuyến
BD. Tính gần đúng thể tích hình chóp M.ABCD khi BM=
5

V abx
a b
 
 5,4737
.
V
M ABCD
1đ

1.5đ

2.5đ

Bài 10. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ , các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi
phí nguyên liệu làm vỏ hộp ( sắt tây ) là ít nhất , tức là diện tích toàn phần của hình trụ là
nhỏ nhất . Em hãy cho biết diện tích toàn phần của lon khi ta muốn có thể tích của lon là
3
314cm
Cách giải Kết quả Điểm
 
2 2


HẾT
2
314
V r h

 

3 3
2
1
628.3. 628.3.
4 4.314
r h

 
class="bi x25 y192 w89 h37"
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 15 tháng 11 năm 2009
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: ( 5 điểm)
1a) Giải hệ phương trình sau:







 nnn
UUU
U
U
.
Chứng minh rằng : (U
n
+ 4) chia hết cho n, với mọi số nguyên tố n.
Câu 2: ( 4 điểm)
Cho hàm số
 
xf
liên tục trên đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện
   
.10 ff 
Chứng minh rằng phương trình
 







2009

2

Câu 4: (3 điểm)
Tìm ba số nguyên tố a, b, c thỏa a
b
– c + 1 = 0.
Câu 5: (3 điểm)
Trong một giải đấu thể thao vòng tròn một lượt có n vận động viên
 
1, ,,
21
nPPP
n
.Mỗi vận động viên đấu với tất cả mọi đấu thủ còn lại và nguyên tắc
đấu không có hòa. Đặt
r
W
và
r
L
là số trận thắng và số trận thua tương ứng của đấu
thủ
r
P
.Hãy chứng tỏ rằng:



n
r

X
co di~n h:;ttnhan bfu1g+41,652.10
cJ9
C; nguyen cua n,guyent6
Y
co kh6i lUQ'ngb~ng 1,794.1 0-22gam. Xae dinh
X, Y
va d1,ra.trencAu hinb electron, hay cho bi~t gi:ii
thfeh) muc hoa bell11h~t eua X va
Y
trong hqp ch§t?
b. Chq bi~t tf?ng thai
va
dS hoan thanh sa d6 sau
(18)
R~~ +CH
z
__ (2,0 di~m)
14,224gam iot 112gaIll bilfh l(lIldllng tich 1,12lit (}nhi~t dQ400°C. T6c
dQban d~u cua phan (rug Ia IIlQt~qi gia11"(athai di~m t) p6ng dQcua la
0,04moI/Ht va khi phim img H2(k) + h(k) can bang thi nong dQ cua HI bang O,06mollIit.
a. Tiuh h~ng s6 t6e dQclm phim ling thu~n va phan U'ngnghieh.
b. T6e dQt:;tothanhHI
a
thai diSm tJabao.nhieu?
__C__
a¥~
4. (2,0di~m)
Nhi9t phan 104gam hQ'p X g6m A(N0
3

NaOH, t~o thanh dung dich
Y
va xac dinh duQ'ckh6i luc;mgdung dich tang len 7,73gaI11.
Dung dich
Y
duQ'c pha loang bing nuoe cAtthanh 250em
3
, eli 20em
3
dung dich nay tac dl,mg vlra du
veri24,828cl1l
3
dung dich HCIl,O 15M.
a. Xac dinh cong thuc phan t11cua X.
b. Vi~t t~t ca cong thuc c~u t?O cae ch~t d6ng phan eua X, gQiten theo danh phap thay th~.
r.So sanh va giai thich v~n t~t nbi~t dQsoicua:pentan-
_C_a_u_2.(2,5
di~m)
B6 tuc dic
fu1
cMit, vi~t cae
(m6i mUiten chi vi6t 01 phUOTIgtrinh
(I) (2) (3)
C
2
H
s
OH ~ C4Ho >
A
B

~

-
_.~
-
Amino3xit
pKl pKl
pKj
pI
Threonin,
H3C-CH( OH)-CH(NHz)-COOH 2,09 9,10
5,60
-
-
Axit aspatic, HOOC-CHz-CH(NH2)-COOH 1,99 3,90
10,00 3,90

,.,,-
2,20 9,11 10,07
10,07
Tyrozin, p-HO-C6H4-CHz-· CH(NHz)-COOH

~-
-
'-
cua hai d<,1ngd6i quang CtlaX.
ViStcd chS phan (mg, viSt cong th(rc
san
phftn1
t1;lO

giaj phong khi COz.f;hLhidro hoa A hay B b&ng Hz vai xuc tac Ni dugc h6n hQ'PX, gbm cac
ch~t co cong thuc C
S
H
S
04. Co thb tach X th;1nl1haid~l1g 0;6iquang cuarillau.
lu~n xac dinh c~u t<,10,cfiu hinh cua A va B.
th(rc Fisher, gQi c~u
B lli111ugt tac
Fisher, gQi
theo kh6i lugng m6i ch~t
dU'9'cphep d1.Jng13dl1gtudnhoiinVdina)ltinhcdmtay (theo danh mljC may tinhB(J
GD&DT cho phep dljngtrong cacki thi qu6c gia).
HQva ten Giam thi 1: ; Chuky: ~ .
HQ
va ten
Giam th1 2: .
; ChftkY:· .

.
~

"
.
"
trang 2/2SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH


x y
sinx
e
sin y
sin 2y cos2y sin x cosx 1
x,y 0;
4






   



 


 

 


Bài 3. (2,5 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:




2
là tiếp điểm) .
Chứng minh rằng: đường thẳng T
1
T
2
luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên . Hết Họ và tên thí sinh: SBD:
Đ
ề

ch
í
nh th
ứ
c

Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo - Việt Nam 2009
_________________________________________________
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
NĂM HỌC 2008-2009
____________________________________________________________________________



 




1
2
n 1 n 1 n 1
n
1
x
2
x 4x x
x
2
Xét dãy số



n
n
2
i 1
i
1
y
x
. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

____________________________________________________________________________
Copyright by Ly Tu Trong official website
HNG DN GII  THI HC SINH GII QUÔC GIA MÔN
TOÁN NM 2009 Bài 1 Gii h phng trình:
 
  
 
   

     


 
   

+ =

+

+ +


− + − =





+) Vi iu kin trên ta có




≤
và




≤

 
    
  

 
   


 
 = + ≥ >  <
+
+ +

+) Mt khác

 
  
 
⇔ + + − ≤
+ + +
+ +

 Theo bt ng thc B.C.S ta có
 
 
 
   

  
  

 
+ + ≥ +

≤
+
+ +

 
 


  

 

 
 
   

  
 
  
 
+ + − ≤
+ + +
+ +
luôn úng

 

 
 
∀ ∈
 
 
và
 
 
<
.
+) Vì





+) Vy h phng trình ban u


     
   

 
 
   
 
=

=


⇔ ⇔
 
− + − =
− + =




+) Gii h này và i chiu vi các iu kin ta có hai cp nghim (x; y) nh sau:
GV: Phm Vn Quý
Trng THPT chuy
ên Quang Trung
Tnh Bình Phc