đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học khoa học
Nguyễn thị vân Hệ ph-ơng trình toán tử
loại đơn điệu

luận văn thạc sĩ toán học

thái nguyên 2012
đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học khoa học
Nguyễn thị vân Hệ ph-ơng trình toán tử
loại đơn điệu


2.2.2. Thuật toán điểm gần kề quán tính . . . . . . . . 29
2.2.3. Tính ổn định của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2
Mở đầu
Cho E là một không gian Banach thực phản xạ, E
∗
là không gian
liên hợp của E, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., A : E → E
∗
là
toán tử đơn điệu đơn trị. Với f ∈ E
∗
, tìm x
0
∈ E sao cho
A(x
0
) = f. (0.1)
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán (0.1) là việc
xây dựng các phương pháp giải. Bài toán (0.1), khi toán tử A không có
tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, nói chung là bài toán đặt
không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liên
tục vào dữ liệu ban đầu.
Năm 1963 A.N. Tikhonov [7] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng
và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết
sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế. Nội dung chủ yếu
của phương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình
toán tử (0.1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần
tử cực tiểu x

α(h,δ)
dần tới nghiệm chính xác của bài toán (0.1)
khi h và δ dần tới không.
Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khó
khăn trong trường hợp bài toán phi tuyến. Đối với bài toán phi tuyến
với toán tử đơn điệu A : E → E
∗
, F. Browder [5] đưa ra một dạng khác
của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Tư tưởng chủ yếu của phương
pháp do F. Browder đề xuất là sử dụng một toán tử M : E → E
∗
có tính
chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. J
s
, ánh
xạ đối ngẫu tổng quát của E, là một toán tử có tính chất như vậy. Bằng
phương pháp này Ya.I. Alber [2] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh
A
h
(x) + αJ
s
(x − x
∗
) = f
δ
(0.3)
cho bài toán (0.1).
Một mở rộng của bài toán (0.1) là bài toán tìm nghiệm chung cho hệ
phương trình toán tử
A

µ
1
= 0 < µ
j
< µ
j+1
< 1, j = 2, , N − 1,
4
trong trường hợp f
j
= θ, ở đây A
h
j
là xấp xỉ của A
j
.
Mục đích của luận văn nhằm trình bày lại các kết quả về phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov và thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh
hệ phương trình toán tử (0.4) với toán tử đơn điệu và toán tử accretive
trên cơ sở các nghiên cứu của Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu Thủy và
Trương Minh Tuyên trong các tài liệu [4], [6], [8] và [9].
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
trình bày sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh hệ
phương trình với toán tử đơn điệu đồng thời trình bày định lý về tốc
độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh được chọn tiên
nghiệm.
Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và
thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh hệ phương trình với toán
tử accretive, đồng thời trình bày sự ổn định của phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov trong trường hợp này.

E, tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Sự hội
tụ mạnh và hội tụ yếu của dãy {x
n
} ∈ E về phần tử x trong E lần lượt
được kí hiệu là x
n
→ x và x
n
 x tương ứng.
Không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi
7
phần tử x
∗∗
của không gian liên hợp thứ hai E
∗∗
của E, đều tồn tại phần
tử x ∈ E sao cho x
∗
(x) = x
∗∗
(x
∗
) với mọi x
∗
∈ E
∗
. Sau đây là một tính
chất của không gian phản xạ:
Mệnh đề 1.1.1. Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng
định sau là tương đương:

x
β
= x
c
0
+ β

∞

i=1
|x
i
|
2
i
2

, x = (x
i
) ∈ c
0
.
Khi đó, (X, .
β
), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là
không gian lồi đều.
8
Để đo tính lồi của không gian Banach E người ta đưa vào khái niệm
mô đun lồi
δ

Định nghĩa 1.1.3. Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
lim
τ→∞
ρ
E
(τ)
τ
= 0.
Ví dụ 1.1.2. Mọi không gian Hilbert và không gian l
p
(1 < p < +∞)
đều là không gian Banach lồi đều và trơn đều.
Định lý 1.1.1. Cho E là một không gian Banach. Khi đó các khẳng
định sau là tương đương:
i) Nếu E là không gian trơn đều thì E
∗
là không gian lồi đều;
ii) Nếu E là không gian lồi đều thì E
∗
là không gian trơn đều.
9
1.1.2. Toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
Định nghĩa 1.1.4. Cho E là một không gian Banach, toán tử A :
D(A) ⊂ E → 2
E
∗
được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) ta luôn
có
x − y, u − v ≥ 0 ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y).
Trong trường hợp A : E → E

không gian Banach F . Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm
x ∈ E nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T : E → F sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o(h)
10
với mọi h thuộc lân cận của điểm θ trong E. Nếu tồn tại thì T được gọi
là đạo hàm Fréchet của A tại x và viết là A

(x) = T .
Định nghĩa 1.1.7. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn,
ánh xạ đa trị j : E → 2
E
∗
xác định bởi
j (x) =

f ∈ E
∗
: x, f  = x
2
, x = f

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.
Nếu E là một không gian Hilbert thì j ≡ I, ở đây I là ánh xạ đồng
nhất trên E.
Mệnh đề 1.1.3. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn và j
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó,
i) j là một ánh xạ lẻ, tức là j (−x) = −j (x) ∀x ∈ E;
ii) j là thuần nhất dương, tức là j(λx) = λj (x) ∀λ > 0, ∀x ∈ E;
iii) j bị chặn, tức là nếu A là tập con bị chặn của E thì j(A) là tập
hợp bị chặn trong E

được gọi
là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(u, x) : x ∈ D (A) , u ∈ A (x)}
của nó không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào
khác trên D(A).
Định nghĩa 1.1.10. Phiếm hàm F : E → R ∪ {+∞} được gọi là
i) lồi trên D(E) nếu với mọi x, y ∈ D(E) và mọi λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
ii) lồi chặt trên D(E) nếu với mọi x, y ∈ D(E), x = y và mọi λ ∈ (0, 1)
ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
iii) nửa liên tục dưới tại điểm x
0
∈ domF nếu với dãy {x
n
} bất kỳ
x
n
∈ domF sao cho x
n
→ x
0
thì F (x) ≤ lim
n→∞
inf(F (x
n
));
iv) nửa liên tục dưới yếu tại điểm x
0
∈ domF nếu với dãy {x
n

là toàn bộ không gian E
∗
, đó là nội dung định lý sau.
Định lý 1.1.3. Cho E và E
∗
là các không gian Banach thực phản xạ và
lồi chặt, J : E → E
∗
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E, A : E → E
∗
là một toán tử đơn điệu. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu và
chỉ nếu với mọi λ > 0, R(A + λJ) là toàn bộ E
∗
.
Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liên
tục và bị chặn nào từ E vào E
∗
cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 1.1.4. Cho E là một không gian Banach thực phản xạ, B :
E → E
∗
là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn, A : E → E
∗
là toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó A + B cũng là một toán tử đơn điệu
cực đại.
Tính bị chặn của toán tử A sẽ là không cần thiết nếu miền xác định
của nó là toàn bộ không gian E. Ta có kết quả sau.
Định lý 1.1.5. Cho E là không gian Banach thực phản xạ và A : E →
E
∗


x
n
 → x

luôn kéo theo sự hội tụ mạnh

x
n
− x → 0

.
Bổ đề 1.2.1. (Bổ đề Minty) Cho E là không gian Banach thực, E
∗
là
không gian liên hợp của E, f ∈ E
∗
và A : E → E
∗
là một toán tử
hemi-liên tục. Khi đó nếu tồn tại phần tử x
0
∈ E thỏa mãn bất đẳng
thức
A(x) − f, x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ E
thì x
0
là nghiệm của phương trình A(x) = f .

j
(x) + αJ (x − x
∗
) = θ, j = 1, 2, , N, (1.2)
ở đây A
h
j
là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và là xấp xỉ của A
j
thỏa
mãn


A
j
(x) − A
h
j


≤ hg (x) , h → 0, (1.3)
g(t) là hàm không âm, bị chặn, t ≥ 0, J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
của E. Với mỗi j = 1, 2, , N, phương trình hiệu chỉnh (1.2) có duy nhất
nghiệm, ký hiệu là x
α,h
j
và nếu
h
α
, α → 0 thì x

∗
-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là
x
0
− x
∗
 = min
x∈S
x − x
∗
 .
Vấn đề đặt ra là tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử (1.1)
tức là tìm phần tử x
0
∈ S = ∩
N
j=1
S
j
ở đây
S
j
= {¯x ∈ E : A
j
(¯x) = θ}
15
với giả thiết S = ∅. Để giải quyết vấn đề này, Nguyễn Bường [4] đã
nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh dưới dạng phương trình toán tử
N


có tính chất ngược đơn điệu mạnh, A
h
j
: E → E
∗
đơn điệu thỏa mãn
(1.3). Khi đó, với mỗi α > 0, h > 0 phương trình hiệu chỉnh (1.4) có duy
nhất nghiệm x
h
α
. Ngoài ra, nếu
h
α
, α → 0, thì x
h
α
→ x
0
∈ S có x
∗
-chuẩn
nhỏ nhất của hệ phương trình toán tử (1.1).
Chứng minh. Từ tính chất đơn điệu, bị chặn và hemi-liên tục của toán
tử A
h
j
, suy ra A
h
j
là toán tử đơn điệu cực đại xác định trên không gian

có
N

j=1
α
µ
j

A
h
j

x
h
α

, x
h
α
− x

+ α

J

x
h
α
− x
∗

g (x)


x
h
α
− x


. (1.5)
Vì vậy,
x
h
α
− x
∗

2
− x
h
α
− x
∗


x − x
∗
 +
c (h)
α

∗
 +
c (h)
α
+


x − x
∗
 +
c (h)
α

2
+ 4 x
h
α
− x
∗

c (h)
α



.
(1.6)
Từ đây suy ra dãy {x
h
α


A
h
1

x
h
β

, x − x
h
β

=
N

j=2
β
µ
j

A
h
1
(x) , x
h
β
− x

+ β


x
h
β
− x
∗

, x
h
β
− x

,
∀x ∈ E.
Cho h, β → 0, ta thu được
A
1
(x) , x − ¯x ≥ 0 ∀x ∈ E.
Do vậy theo Bổ đề Minty ta có ¯x ∈ S
1
.
17
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng ¯x ∈ S
j
, j = 2, , N. Thật vậy, từ
(1.4) và tính đơn điệu của A
h
j
, ta nhận được



, x
h
β
− x

+ β
1−µ
2

J

x
h
β
− x
∗

, x
h
β
− x

≤
h
β
µ
2
g (x)


A
h
j
(x) , x
h
β
− x

+ β
1−µ
2

J (x − x
∗
) , x
h
β
− x

≤
h
β
β
1−µ
2
g (x)


x
h

2
(¯x), ˜x − ¯x ≥ 0.
Do đó, A
2
(¯x), ˜x− ¯x = 0 = A
2
(˜x), ˜x− ¯x. Từ đây kết hợp với tính chất
ngược đơn điệu mạnh của toán tử A
2
suy ra A
2
(˜x) = A
2
(¯x) = 0, nghĩa
là ¯x ∈ S
2
.
18
Đặt

S
i
= ∩
i
k=1
S
k
. Suy ra

S

− x +
N

j=i+2
β
µ
j
−µ
i+1

A
h
j

x
h
β

, x
h
β
− x

+ β
1−µ
i+1

J

x

≤
h
β
ig (x)


x
h
β
− x


.
Do đó,

A
h
i+1
(x) , x
h
β
− x

+
N

j=i+2
β
µ
j

Ng (x)


x
h
β
− x


≤
h
β
Ng (x)



x
h
β


+ x

.
Cho h, β → 0 ta thu được
A
i+1
(x) , ¯x − x ≤ 0 ∀x ∈

S

1.2.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
Để đánh giá tốc độ hội tụ của dãy {x
h
α(h)
}, chúng ta giả sử rằng J
thỏa mãn điều kiện
J (x) − J (y) , x − y ≥ m
J
x − y
2
, m
J
> 0 (1.7)
và tồn tại một hằng số dương τ sao cho
A
1
(y) − A

1
(x)
∗
(y − x) ≤ τ A
1
(y) ∀x ∈ S, (1.8)
và y nằm trong lân cận của x ∈ S.
Định lý 1.2.3. Giả sử những điều kiện sau được thỏa mãn:
i) A
1
liên tục, khả vi Fréchet thỏa mãn (1.8) với x = x
0

= O (h
γ
) , γ = min

1 − p,
µ
1
p
2

.
20
Chứng minh. Từ (1.1), (1.3), (1.4), (1.7), tính chất của A
h
j
và J suy ra
m
J
x
h
α
− x
0

2
≤ J(x
0
− x
∗
) − J(x

0
− x
h
α

≤ J(x
0
− x
∗
), x
0
− x
h
α

+
1
α

N

j=1
α
µ
j
A
h
j
(x
h

h
α

≤ J(x
0
− x
∗
), x
0
− x
h
α
 +
h
α
g(x
0
)
N

j=2
α
µ
j
x
h
α
− x
0


α
g(x
0
)

1 +
N

j=2
α
µ
j

x
h
α
− x
0
.
(1.9)
Mặt khác, sử dụng (1.8) và điều kiện (ii) của định lý, ta có thể viết
J(x
0
− x
∗
), x
0
− x
h
α


j=2
α
µ
j
A
h
j
(x
h
α
) + αx
h
α
− x
∗

+ hg(x
h
α
)

.
21
Kết hợp (1.9) và bất đẳng thức cuối cùng ta được
m
J
x
h
α

α
µ
j
A
h
j
(x
h
α
) + αx
h
α
− x
∗
 + hg(x
h
α
)

.
(1.10)
Vì α = α (h) được chọn trước thỏa mãn α ∼ h
p
, 0 < p < 1 nên bất đẳng
thức (1.10) có dạng
m
J
x
h
α(h)

ta nhận được
x
h
α(h)
− x
0
 = O(h
γ
).
✷
22
Chương 2
Hệ phương trình với toán tử
accretive
Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu trong
[8], [9] về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và thuật toán điểm gần kề
quán tính hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử với toán tử accretive
trong không gian Banach.
2.1. Toán tử accretive
2.1.1. Toán tử accretive
Định nghĩa 2.1.1. Cho E là một không gian Banach, toán tử A :
D(A) ⊂ E → 2
E
được gọi là toán tử accretive nếu với mọi x, y ∈ D(A),
tồn tại J(x − y) ∈ j(x − y) sao cho
u − v, J (x − y) ≥ 0 ∀u ∈ A (x) , v ∈ A (y) . (2.1)
Chú ý 2.1.1. Trong không gian Hilbert thì khái niệm toán tử đơn điệu
và toán tử accretive trùng nhau.
Định nghĩa 2.1.2. Toán tử accretive A : D (A) ⊂ E → 2
E

b) co rút không giãn nếu Q
C
là co rút và là một ánh xạ không giãn,
tức là
Q
C
(x) − Q
C
(y) ≤ x − y ∀x, y ∈ E;
c) S-co rút không giãn nếu Q
C
là một co rút không giãn và thỏa mãn
tính chất
Q
C
(Q
C
(x) + t (x − Q
C
(x))) = Q
C
(x) ∀x ∈ E, t ∈ (0, 1) .
Định nghĩa 2.1.4. Một tập con lồi đóng C của không gian Banach E
được gọi là:
a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;
b) co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn
từ E lên C;
c) S-co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ S-co rút không
giãn từ E lên C.