Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH1
Số thứ tự 04: bài số 4, K
0
=2.1
Đề Bài: cho một thanh có kích thước và sơ đồ như hình vẽ với : tải trọng phân bố
đều q, tải trọng tập trung P=4,2.q (kN) và mômen tập trung M=8,4.q(kNm). chiều dài
a=2m. tiết diện thanh có hình chữ I (No27). Vật liệu của thanh có [σ]=16KN/cm
2
,
E=2.10
11
N/m
2
.
Yêu cầu:
1- Xác đònh tải trọng cho phép tác dụng lên thanh.
2- Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp, ứng suất tiếp mặt cắt có lực cắt Q
Y
,
mômen uốn M
X
đều cùng lớn.
3- So sánh mức độ tiết kiệm vật liệu khi thanh có tiết diện chữ I( đã cho)
với thanh trên khi có tiết diện tròn, vuông , chữ nhật ( chiều cao h=2b
với b: chiều rộng) cùng chòu tải trọng tính được ở trên.
4- Vẽ đường đàn hồi của thanh.


mM qqV
+
+
+
→= =
↑= + − − =
=− − + =
∑
∑
∑
{1
.(3,8.7,6. 6.4,2. 8,4. ) 6. ( )
7,6
B
VqqqqkN⇒= + − =

7,6. 4,2. 6. 5,8. ( )
A
VqqqqkN⇒= + − =
a> Vẽ sơ đồ nộ lực bằng phương pháp mặt cắt:

*Chọn mặt cắt 1-1 qua đoạn AC, cách A một đoạn Z
1
(0

Z
1

OXA X
Zq
m M V Z qZ M Z qZ
+
=− + =⇒=−+
∑
{

11
11
0: 0( )
1,8: 8,82. ( )
X
X
ZM kNm
Z
MqkNm
+= =
+= =

Cực trò:
1
11
1
.5,8.0 5,8
X
dM
qZ q Z
dZ
=− + = ⇒ =

A
C
VA=5,8q
QY2
NZ2
MX2
2
2
Z2
O2
q
Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH3
22 22
() .(1,8 ) 0 . 4.
YAY
YQqZV QqZq
+
↓= + + −=⇒ =− +
∑
( đường thẳng bậc 1)

22
22
0: 4 ( )
4, 2 : 0,2. ( )
Y

M
Mq Z V Z Z qZ q
+
⇒=−− + + +=−++
( đường cong bậc 2
hứng q phân bố)

22
22
0: 0,42 ( )
4, 2 : 8,4 ( )
X
X
Z
MqkNm
Z
MqkNm
+= =
+= =

**Cực trò:
2
22 2
2
40 4() 8,42( )
cuctri
X
X
dM
qZ q Z m M q kNm

+= =−
+= =−

2
3
03 3 3 3 3 3 3
() . 6.
22
XBX
Z
q
m M qZ V Z M Z qZ
+
=+ − ⇒=−+
∑
z
(đường cong bậc 2 hứng q phân
bố)

33
33
0: 0( )
1, 6 : 8, 4 ( )
X
X
ZM kNm
Z
MqkNm
+= =
+= =
b> Kiểm tra bằng phương pháp vi phân:

*Xét đoạn AC : q=const
Q
Y1

đường thẳng bậc 1; M
X1
đường cong bậc 2
Điểm A:
5,8 ( )
0( )
YA A
XA
QV qkN
MkNm
==
⎧
⎨
=
⎩

1.8m
4.2m
1.6m
M=8,4.q q
P=4,2.q
A

YC YA
Tr AC
XC XA QY
QQ q q qqkN
M
MS qq qkNm
⎧
=− = − =
⎪
⎨
=+=+ + =
⎪
⎩ Tại C có momen tập trung M

phía bên phải điểm C có bước nhảy
 điểm C (bên phải):
4( )
8,82 8, 4 0, 42 ( )
Ph Tr
YC YC
Ph Tr
XC XC
QQ kN
M
MM q q qkNm
⎧
==

4
20 20
0, 2
aq
ab
bq
==⇒= với a+b=4,2m b0,2m;a4m

1
0,42 .(4 .4 0,2 .0,2) 8,4 ( )
2
Tr Ph CD
XD XC QY
M
MS q q q qkNm=+= + − =

**Xác đònh giá trò cực trò:
1
0,42 .4 .4 8,42
2
cuctri Ph CD
XXCQY
M
MS q q q=+= + =
(kNm)
Tại D có lực tập trung P nên tại điểm D có bước nhảy

0, 2 4, 2 4, 4 ( )
8, 4 ( )
Ph Tr

⎪
⎩

**Kết luận : cả hai phương pháp đều cho cùng một kết quả , nên biểu đồ nội lực là như
nhau
Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH6 II - ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA THÉP CHỮ I (No27)

F=40,2 (cm
2
)
J
X
= 5010 (cm
4
)
J
Y
=260 (cm
4
)
S
X
= 210 (cm
3
)
W

.
X
X
M
Y
J
 [σ]=16

4
8,82 .10 27
.
5010 2
q
16q
4
16.5010.2
0,0673( / ) 6,73( / )
8,82.10 .27
kN cm kN m==
sơ bộ xác đònh sơ bộ : [q]=6,72(kN/m)
 P2,1.6,72.228,224kN;M2,1.6,72.2
2
56,448kNm

IV - KIỂM TRA BỀN THEO BÀI TOÁN THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG (có
kể đến trọng lượng bản thân thanh)
1 - VẼ LẠI SƠ ĐỒ NỘI LỰC CÓ TÍNH ĐẾN TẢI TRỌNG CỦA DẦM
a> Biểu đồ nội lực thanh chỉ chòu tải trọng bản thân:
1.6443
1.512
A
B
Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH8i> Xác đònh phản lực tại các gối tựa:
Lúc này ta xem trọng lượng của thanh phân bố đều theo thanh
() 0
A
XH
+
→= =
∑0
( ) . 0 0,315.7,6 2,394( )
AB AB
YVVqABVV kN
+
↑= + − =⇒ + = =
∑00
7,6
( ) . . . 0 . 0.315. 1,197( )

QqZV⇒=− + ( đường thẳng bậc 1)

0
0 : 1,197( )
7,6 : .7,6 0.315.7,6 1,197 1,197( )
YA
YA
ZQV kN
Z
Qq V kN
+= = =
+ = =− + =− + =−2
00 0
( ) . . 0 . 1,197.
22
XAX
ZZ
mMqZVZMq Z
+
=+ − =⇒=− +
∑
{ (đường cong bậc 2)

2
0: 0( )
7,6
7,6 : 0.315. 1,197.7,6 0( )

0
phân bố

Q
y
: đường thẳng bậc 1 ; M
X
: đường cong bậc 2
A
VA=1,197
q
0
NZ
MX
QY
O
A
A
Z
X
Y
Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH9 Điểm A:
1,197( )
0( )
YA A
XA

b
=
=⇒ =
ta có: a+b=7,6  a=b=3,8(m)
tại điểm B:
1
(1,197.3,8 1,197.3,8) ( )
2
XB XA
M
MkNm=+ − =

vậy điểm B:
0
.7,6 1,197 0,315.7,6 1,197( )
1
(1,197.3,8 1,197.3,8) ( )
2
YB YA
XB XA
QQq kN
MM kNm
=− = − =−
⎧
⎪
⎨
=+ − =
⎪
⎩


Qq kN=+ = + =

8,82 1,6443 60,9147( )
Tr
XC
M
qkNm=+ =0,42 1,6443 4,4667( )
Ph
XC
M
qkNm=+ =

Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH 10 Tại điểm D:

0,2 0,693 0,2.6,72 0,693 2,037( )
Tr
YD
Qq kN=− − =− − =−4,4 0,693 4,4.6,72 0,693 30,261( )
Ph
YD

q
40,173
27,51
2,037
30,261
41,517
60,9147
4,4667
57,96
0
0
Qy
Mx
kN
kNm
0
Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH 11 Nhận Xét: trọng lượng bản thân của thanh ảnh hướng rất ít đến nội lực.
V> KIỂM TRA BỀN CHO PHÂN TỐ Ở TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT (TTUS):
1 - PHÂN TỐ Ở TTUS ĐƠN:
Vì ta đã chọn [P]<P
Yêu cầu
nên điều kiện bền đã đạt.
2 - PHÂN TỐ Ở TTUS TRƯT THUẦN TÚY:
Chọn mặt cắt ngang nguy hiểm có :
41,517
Y

τ
== =
<
[]
τ



điều kiện bền đã đạt.
3 - PHÂN TỐ Ở TTUS PHẲNG ĐẶC BIỆT:
Chọn mặt cắt có
X
M
và
Y
Q
đều cùng lớn : xác đònh được tại vò trí D

30,261( )
57,96( )
Y
X
QkN
M
kNm
⎧=
⎪
⎨
=
⎪

td
YX Y
zyK X
XX
QS Q
dh
St kNcm
Jd Jd
τ
⎤⎡ ⎤
⎡⎛⎞ ⎛ ⎞
==−−= −−=
⎥⎢ ⎥
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎢
⎣⎝⎠ ⎝ ⎠
⎥⎢ ⎥
⎦⎣ ⎦

''
22 2 2 2
'
14,484 1,64 14,57 [ ] 16( / )
zK zyK
tdK
kN cm
σστ σ
=+= +=<=



⎧=
⎪
⎨
=
⎪
⎩

1 - ỨNG SUẤT TIẾP
Momen tónh của phần tiết diện bò cắt đối với đường trung hòa :
1
2
()
2
.
2
td
C
XX
dy
SS=−

Chọn điểm K thuộc phần bụng của tiết diện hình chữ I, nên b
c
=d
1
22
()
32
2
. 30,261 0,6.

1,64
2,114
0
15,62
15,62
K
K'
K'
A
z
[kN/cm2]
zy
M
X
Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH 13

Với :
12,52 12,52
22
hh
ty t cy cm
⎛⎞ ⎛⎞
−−≤≤−⇔− ≤≤
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ Tại đường trung hòa (y=0)
Z

bd cm
=
=

(
)
2
32 3 2
''
3,02.10 . 2,114 3,02.10 . 12,52 2,114 1,64( / )
long
zyK K
y
ykNcm
−−+
−
⇒=− + =− + =
Tại điểm K’ thuộc phần đế (cánh) có :
'
12,52( )
2
K
h
yt cm
++
−−
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠

⎣⎦

Tại điểm A thuộc mép :
12,52( )
2
A
h
ycm
++
−−
==
,
2
00 0(/)
C
CXXY
FS kNcm
τ
=⇒ =⇒ =

2 - ỨNG SUẤT PHÁP:
Vì tiết diện hình chữ I đều cánh nhận OX làm trục đối xứng nên max max
27
13,5( )
22
KN
h

j
ππ
==
:

C
Y
X
D
Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH 14

Vì tiết diện hình tròn nhận OX làm trục đối xứng nên:
max max
2
KN
D
yyR
===4
3
3
max
.
.

max
X
X
M
W
 [σ]=16
22
3
3
60,9147.10 60,9147.10
16 15,6( )
0,1. 0,1.16
D
cm
D
⇔≤⇔≥ =

Sơ bộ chọn D=15,6cm
22
2
15,6
191,037( )
44
D
Fcm
ππ
⇒= = =
c> Kiểm tra bền phân tố ở TTUS trượt thuần túy:

Chọn mặt cắt ngang nguy hiểm có :


ng suất tiếp cực đại: tại vò trí đượgn trung hòa y=0

max 2
4 4 41,517
. . 0,289( / ) [ ]
3 3 191,037
Y
ZY
Q
kN cm
F
τ
τ
⇒= = = <
Vậy đạt điều kiện bền
Tỉ lệ diện tích:
191,037
.100% 475%
40,2
I
F
F
==
:

Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH 15

Kết luận

12
()
6
2
vuong
vuong
X
X
a
j
a
Wcm
a
y
⇒===

Diện tích F=
2
a
(cm
2
)
b> Xác đònh chiều dài cạnh a:

Từ điều kiện bền :
[]
2
max
max 16( / )
X

(kN)
Theo thyết bền số 3 :
2
[] 16
[] 8( / )
22
kN cm
σ
τ
===

ng suất tiếp :
2
2
24
Y
ZY
vuong
X
Qa
y
J
τ
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠

a
Y

kN cm
a
J
ττ
== = =≤=

Vậy đạt điều kiện bền
Tỉ lệ diện tích:
184,96
.100% 460%
40,2
Vuong
I
F
F
==

Kết luận
: nếu dùng thép hình vuông thì phải tốn nhiều hơn 4,6 lần so với thép chữ I 
không hiệu quả về mặt kinh tế.
3- TIẾT DIỆN HÌNH CHỮ NHẬT:
a> Đặc trưng hình học:3
4
.
()
12
HCN

bh
Wcm
h
y
⇒===

Diện tích :
2
.( )
HCN
Fbhcm=
b> Xác đònh b,h:[]
2
max
max 16( / )
X
vuong
X
M
kN cm
W
σ
=≤2
2

2284,3
8,29( )
4
bcm⇒≥ =

Sơ bộ chọn b=8,29(cm) ; h=2.8,29=16,58(cm)

2
8,29.16,58 137, 4482( )Fcm⇒= = ;
c> Kiểm tra bền phân tố ở TTUS trượt thuần túy:

Chọn mặt cắt ngang nguy hiểm có :
41,517
Y
Max
Q =
(kN)
Theo thyết bền số 3 :
2
[] 16
[] 8( / )
22
kN cm
σ
τ
===

ng suất tiếp :
2
2

τ
=

22
max 2
3
3 3 41,517
. . . 0,453( / )
2 4 4 2 2 137,4482
2.
12
YY Y
ZY
HCN HCN
X
QQ Q
hh
kN cm
h
JF
b
τ
⇔= = = = =

Ta thấy :
max
[]
ZY
τ
τ
p dụng nguyên lý cộng tác dụng, đưa biểu đồ momen
X
M
về các dạng hình học chuẩn do
những nhân tố trên gây ra.
1- XÉT RIÊNG TÁC ĐỘNG CỦA M ĐẾN BIỂU ĐỒ MOMEN
X
M
:
a> Tính phản lực tại gối tựa:() 0
A
BAB
YVV VV
+
↑=−=⇒=
∑56,448
( ) 7,6. 0 7,43( )
7,6 7,6
ABB
M
mMVV kN
+

1.6m
M=56,448kNm
A
C
D
B
VA=7,43kN
VB=7,43kN
13,374
43,074
0
Mx
27,471
11,868
Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH 1911
00()
X
Z
MkNm=⇒ =

11
1,8 13,374( )
X
Z
MkNm=⇒ =


MkNm=⇒ =
Tại vò trí giữa thanh :
22
3,8 27,471( )
X
Z
MkNm=⇒ =−
Tại điểm D:
22
4,2 11,868( )
X
Z
MkNm=⇒ =−
2 - XÉT RIÊNG TÁC ĐỘNG CỦA P=28,224KN ĐẾN BIỂU ĐỒ MOMEN
X
M
:
a> Tính phản lực gối tựa:( ) 0 28,224( )
AB AB
YVVPVV kN
+
↑= + −=⇒ + =
∑6.28,224
( ) 7,6. 6. 0 22,282( )

( ) . 0 5,942.
OXAX
mMZVM Z
+
=− =⇒=
∑
{

11
11
11
11
0: 0( )
1,8: 10,6956( )
3,8: 22,5796( )
6 : 35,652( )
X
X
X
X
ZM kNm
Z
MkNm
Z
MkNm
ZM kNm
==
==
==
==

MkNm==
3- XÉT RIÊNG TÁC ĐỘNG CỦA Q,Q
0
ĐẾN BIỂU ĐỒ MOMEN
X
M
:
Vì các lực phân bố q,q
0
cùng chiều nên ta có thể thay thế bằng lực phân bố
'
0
6,72 0,315 7,035( / )qqq kNm=+ = + =

P=28,224kNm
10,6956
22,5796
35,652
0
kNm
1.8m
4.2m
1.6m
A
C
D
B
VA=5,942kN
VB=22,282kN
Mx

1
7,6m,
xét
phần bên trái:

'2
( ) . . 0 3,5175. 26,733.
2
OX A X
Z
mMZqVZM Z Z
+
=+ − =⇒=− +
∑
{
(đường cong bậc 2)
1.8m
4.2m
1.6m
q'=7,035kN/m
A
C
D
B
VA=26,733kN
VB=26,733kN
q
Mx
0
kNm

5 - XÉT DẦM GIẢ TẠO VÀ ĐẶT NGOẠI LỰC GIẢ TẠO NHƯ HÌNH VẼ SAU:

Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH 23 Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH 24 Để đơn giản hóa bài toán ta có thể vẽ lại sơ đồ phân bố lực trên dầm: 1
1 13,374 12,0366
1,8 ()
2
XX
kN
EJ EJ
Ω= =
cách A khoảng
2
.1,8 1,2( )
3
Z
m==

3
Z
m=='
2
1 35,652 28,5216
1,6 ()
2
XX
kN
EJ EJ
Ω= =
cách A khoảng
198
6.1,6 ()
315
Z
m=+ =3
2 50.7927 257,35
7,6 ()
3
XX
kN
EJ EJ
Ω= =

⇒ + =Ω +Ω +Ω +Ω −Ω = =''
12 2 3 1
98 56
( ) 1,2. 4. . 3,8. . 7,6. 0
15 15
A B
mV
+
=Ω+Ω+Ω+Ω−Ω− =
∑
z''
12 2 3 1
98 56
1,2. 4. . 3,8. .
15 15
7,6
B
V
Ω+ Ω+ Ω+ Ω− Ω
⇒= =

Bài Tập Lớn Sức Bền Vật Liệu
TRẦN SONG ÁNH 25