WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
1
TUYỂN TẬP
99 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
CỰC TRỊ VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ1.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5
= + − + − +
f x x m x m m
; (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1
2) Tìm m để (C
m
) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
2.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x
3
+ (1 – 2m)x
2
+ (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
3.Câu I (2 điểm). Cho hàm số
3 2
.
6.Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số :
3 2 3
3 1
2 2
= − +
y x mx m
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2) Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường
thẳng y = x.
7.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
4 3 2
2 3 1 (1)
= + − − +y x mx x mx
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.
8.Câu I (2 điểm): Cho hàm số
y x m m x m
4 2 2
2( 1) 1
= − − + + −
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
9.Câu I (2 điểm): Cho hàm số
y x mx m x
3 2 2
2 9 12 1
(
)
3 2
( ) 3 1 1
y f x mx mx m x
= = + − − −
, m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2. Xác định các giá trị của m để hàm số
( )
y f x
=
không có cực trị.
12.Câu I: Cho hàm số
4 3 2
x 2x 3 x 1 (1)
y x m m= + − − +
.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
2
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
2). Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.
13.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1
y m 1 x mx 3m 2 x
3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất.
16.Câu I Cho hàm số :
323
m
2
1
mx
2
3
xy +−=
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1.
2/ Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đt y = x
17.Câu I Cho hàm số:
2 2 3
( 1) 4
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
( )
m
C
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m= -1
2.Tìm các giá trò của tham số m để đồ thò
23
, với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1
=
m
.
2. Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
, xx
sao cho
2
21
≤− xx
.
22.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x
3
– 3(m+1)x
2
+ 9x – m (1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Xác định các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 2.
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
3
3
– 3x (1)
1. Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.
26.Câu I. (2 điểm) Cho hàm số
4 2
2 1
y x mx m
= − + −
(1) , với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
2. Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
1
.
27.Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = –x
3
+ 3x
2
+ mx – 2 (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; 2).
y f x x m x m m
= = + − + − +
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
2/ Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác
vuông
cân.
31.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số:
(
)
3 2
y x 3 m 1 x 9x m 2
= − + + + −
(1) có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1.
1) Xác định m để (C
m
) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua
đường thẳng
1
2
y x
=
.
32.Câu I:(2,0 điểm) Cho hàm số
3
(3 1)
y x x m
2
2
=+
+
−
+−
−
+
−
+−
a
x
x
xx
x
x
xx
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
4
34.Câu 1: Cho hàm số:
m
x
mmxmmx
y
+
++++
=
)
1) Xác định a để (C
a
) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đừơng thẳng y=x
2) Gọi (C’
a
) là đừơng con đối xứng (C
a
) qua đừơng thẳng: x=1. Tìm phương trình của (C’
a
).
Xác định a để hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến của (C’
a
) là 12
37.Câu I: (2 điểm). Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
-3m – 1.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số
có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.
38.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
= + − −
(1) , với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
1
m
= −
.
2. Xác định
m
để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành m
ột
tam giác
có diện tích bằng
4 2
.
42.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3
3 1
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Đường thẳng
( ): 1
y mx
∆ = +
cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác
0 trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để
ADB
0
.
45.Cõu I (2 im)
Cho hm s
4 2
2
y x mx
=
(1), vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
1
m
=
.
2. Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tiu v hỡnh phng gii hn bi th hm s vi
ng thng i qua hai im cc tiu y cú din tớch bng 1.
46.Cõu I (2 im) Cho hm s
3 2
1
2 3
3
y x x x
= +
(1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) .
2. Gi
A, B
ln lt l cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s (1). Tỡm im M thuc
trc honh sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng 2.
47.Cõu I (2 im)
2 nh m th ca hm s (1) cú ba im cc tr l ba nh ca mt tam giỏc vuụng.
50.Cõu 1. ( 2,0 im ) Cho hm s y = x
3
+ 2(m 1)x
2
+(m
2
4m + 1)x 2(m
2
+ 1) (1).
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s cú cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc i,
cc tiu ca th hm s (1) vuụng gúc vi ng thng
5
2
9
+= xy
.
51.Cõu 1: ( 2,0 im)Cho hm s
3 2
2( 1) 9 2
y x m x x m
= + +
(1)
1) Vi
4
m
=
. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s.
2) Tỡm m
bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu của th hm s (1) tới trục
Oy
.
53.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x
3
3x
2
3m(m + 2) x 1 (1) , vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m=0.
2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) cú hai giỏ tr cc tr cựng du.
54.Cõu I (2 im) Cho hm s
(
)
3
3 2
m
y x mx C
= +
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
6
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
(
)
1
C
=
.
2/.Tìm các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua
ba điểm này có bán kính bằng 1.
56.Câu I:(2.0 điểm). Cho hàm số
4 2 2
2(1 ) 1
y x m x m
= − − + +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 0.
2. Tìm m để hàm số có đại cực, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam
giác có diện
tích lớn nhất.
57.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x
4
− 2x
2
+ 2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Tìm tọa độ hai điểm A, B thuộc (C) sao cho đường thẳng AB song song với trục hoành và
khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến AB bằng 8.
58.Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
4 2
2 1
y x mx m
= + − −
60.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
4 2
2
y x mx
= −
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
= −
.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với
đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1.
61.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) .
2. Gọi
A, B
lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M thuộc
trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
62.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
(
)
3 2 2 2
C
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
7
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
(
)
C
của hàm số khi
3
2
m
=
.
2. Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều
65.Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x
4
– 2(m
2
– m + 1)x
2
+ m – 1 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
66.Câu I (2.0 điểm). Cho hàm số: y = f(x) = x
3
– 3mx
2
C
tiếp xúc với đường tròn có phương
trình
( ) ( )
2 2
1 5
x m y m
− + − − =
68.Câu I.(2 điểm) Cho hàm số y =
3
2
1
( 3) 2( 1) 1 (1)
3 2
x
m x m x− + − + +
( m là tham số thực)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị với hồnh độ lớn hơn 1.
69.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
(
)
3 2
( ) 3 1 1
y f x mx mx m x
= = + − − −
, m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
23
+++=
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị thoả mãn khoảng cách từ gốc toạ độ O đến
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng
5
4
.
73.Câu I ( 2,0 điểm ) Cho hàm số
3 2 2
y x 3x m m 1
= − + − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại , cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam
giác
ABC bằng 7, với điểm C( – 2; 4 ).
74.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
= − + + + +
có đồ thị (C
m
).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(
)
+ (m-1)x + 2.
1. Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi giá trị của m.
2. Xác định m để hàm số có cực tiểu tại x = 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số
trong trường hợp đó.
78.Câu I (2 điểm): Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m m
= − + − − +
(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến
góc tọa độ O bằng
2
lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O.
79.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ
nhất.
80.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
4 2
(3 1) 3
y x m x
= + + −
(với
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1
=
m
.
2. Xác định
m
để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
, xx
sao cho
2
21
≤− xx
.
83.Câu I (2 điểm)Cho hàm số
y
=
2)1(2
24
−+−− mxmx
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
2
=
m
.
2. Tìm
m
2. Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.
86.Câu 1: ( 2 điểm) Cho hàm số
(
)
m
Cmmxmxy 55)2(2
224
+−+−+=
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2, Với những giá trị nào của m thì đồ thị ( C
m
) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
các điểm
cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
87.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
(
)
3
3 2
m
y x mx C
= − +
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
(
)
1
C
==
=
.
2/.Tìm các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua
ba điểm này có bán kính bằng 1.
89.Câu I:(2.0 điểm). Cho hàm số
4 2 2
2(1 ) 1
y x m x m
= − − + +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 0.
2. Tìm m để hàm số có đại cực, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam
giác có diện
tích lớn nhất.
90.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3
3 1
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Đường thẳng
( ): 1
y mx
∆ = +
cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác
0 trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để
93.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
4 2
2
y x mx
= −
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
m
= −
.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực tiểu và hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với
đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu ấy có diện tích bằng 1.
94.Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
1
2 3
3
y x x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) .
2. Gọi
A, B
lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M
thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
95.Câu I (2 điểm)
WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
10
= +
cú th
(
)
m
C
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th
(
)
C
ca hm s khi
3
2
m
=
.
2. Xỏc nh tham s m hm s cú 3 cc tr to thnh 3 nh ca mt tam giỏc u
98.Cõu I (2,0 im) Cho hm s
4 2
2 1
y x ( m )x m
= + +
(1), m l tham s.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 1.
2. Tỡm m th hm s (1) cú ba im cc tr A, B, C sao cho OA = BC, O l gc ta , A l
cc tr thuc trc tung, B v C l hai im cc tr cũn li.
99. Câu I.(2 điểm). Cho hàm số y = x
3
+( 1-2m)x
VI. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI…… 94 – 102 - 106
VII. DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA
k
n
C …… 107 - 110
VIII. KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC ………………111- 114
I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 2
II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ Điều kiện tiên quyết để làm tốt phần tích phân là chúng ta phải nhớ và hiểu được cách
vận dụng các công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu 8 công thức thì sẽ biết cách suy
luận ra các công thức còn lại)
1
( 1))
1
u
u du C
) ln
du
u C
u
2
a
3
;
ln
1
;
x
x u u
x x ax b ax b
a
a dx C e du e C
a
e dx e C e dx e C
a
2
) cot
sin
du
u C
u
6
2
2
cot
sin
1
cot( )
sin ( )
dx
x C
x
dx
tan( )
cos ( )
dx
x C
x
dx
ax b C
ax b a
2 2
11 1 1
) ln
2 2
du u a
du C
u a a u a u a a u a
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang
3
III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ
CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
( )
( )
f x
I dx
g x
(*)
ố
thì ta chuy
ể
n sang
TH2
(trư
ờ
ng h
ợ
p 2).
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 4
CHÚ Ý :
Việc đồng nhất hệ số dựa theo cách phân tích sau:
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m n n
m n m n
dx
I
x x k
với : 1)
3
4
k
2)
1k
3)
4k
Giải: 1) Với
3
4
k
thì :
2
2 2 2 2
2
2
0 0 0 0
0
4 (2 3) (2 1) 2 2 2 1
2 ln
3
2
3
3) Với
4k
thì :
2 2
2 2
0 0
2 4 ( 1) 3
dx dx
I
x x x
Đặt
1 3 tan
x t
với ;
2 2
t
3
18
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
1)
2
1
1
3
4 1
I dx
x
2)
0
2
2
1
2 3
5)
1
5
2
0
4 5
2
x
I dx
x x
6)
2
6
2
1
3 2
4 4 1
x
I dx
x x
I dx x
x
3 7
ln
4 3
2)
0
2
2
1
2 3
dx
I
x x
0
1
( 1)(2 3)
dx
x x
ln6
5
3)
1
1 1
3
2 2
0
0 0
1
6 9 ( 3) 3
dx dx
I
x x x x
1
12
4)
1 1
4
và
:0 1x
thì
: 0
4
t
Khi đó
0 0
2
0
4
2
4
4 4
(1 tan )
tan 1
t dt
I dt t
t
,a b
thỏa mãn:
4 5 ( 1) ( 2) 4 5 ( ) 2
x a x b x x a b x a b
khi đó
4 1
2 5 3
a b a
a b b
6)
2 2 2
6
2 2 2
1 1 1
3 7
2 1
3 2 3 7
2 2
4 4 1 (2 1) 2(2 1) 2(2 1)
x
7)
2 2 2 2
7
2 2 2 2
1 1 1 1
1
2 2 4
3 1 (2 2) 1
2
4 4
2 4 2 4 2 2 4 2 4 2
x
x x dx
I dx dx dx A B
x x x x x x x x
(*)
+) Tính
2 2
2
2
2
2 2
x t
với ;
2 2
t
2
2
3
3.(1 tan )
cos
dt
dx t dt
t
và
: 1 2x
thì
:0
3
t
23 3
3
2
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:
1)
2
3 2
1
1
2 2 4
2 1
x x x
I dx
x
2)
1
4 3 2
2
2
0
2 4 2
2 3
x x x x
I dx
x x
( D – 2013) 5)
2
2
5
2
0
2 1
2 4
x x
I dx
x x
Giải:
1)
2
2 2
3 2 3
2
1
1 1
1
2 2 4 5 5
1 ln 2 1
2 1 2 1 3 2
I dx x dx x dx
x x x x x x
1
1
3
2
0
0
2 1
1 2ln 3 ln 1
3 1 3
x
x dx x x x
x x
2
2
1
3 1
ln 2 1
2 2 2(2 1)
x
x
x
11 3
ln3
6 2
4)
1
2
4
1 ln 2
5)
2 2 2
2
5
2 2 2
0 0 0
3
(2 2) 6
2 1 3 9
2
2 2
2 4 2 4 2 4
x
x x x
I dx dx dx
x x x x x x
(*)
Tính
2 2
2 2
0 0
2 4 ( 1) 3
dx dx
I
x x x
Đặt 1 3tan
x t
(với ;
2 2
t
)
2
2
2 2
t dt
I dt t
t
(2*). Thay (2*) vào (*) ta được:
5
I
3 3
4 ln3
2 3
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 7 Ví dụ 4. Tính các tích phân sau:
1)
1
1
( 3 2)
x
I dx
x x x
4)
2
4
2 2
1
2 3
( 2 )( 4 3)
x
I dx
x x x x
5)
1
2
5
4 3 2
2
I dx
x
8)
2
8
2014
1
1
dx
I
x x
9)
0
2
9
8
1
(1 )
x dx
I
x
0 0 0 0
. 1 . 1 2( 1) ( 2) 1 2 1
3 2 2 3 2 2 ( 1)( 2) 2 2 1
x xdx t dt t t
I dt dt
x x t t t t t t
1
0
1
ln 2 ln 1
2
t t
3
ln3 ln 2
2
và :0 1x thì :3 1t
Khi đó
1 1 1 3
7 4
3
2
4 2 4 2 2 2
0 0 3 1
3
1 1 3
2
.
(3 2 ) (3 2 ) 8 16
t
x x t
I dx x dx dt dt
x x t t
I dx
x x x
Đặt
2
2
2
dt
t x dt xdx xdx
và
:1 2x thì :1 2t
Khi đó
2 2
2
3
2 4 2 2
1 1
( 1) 1 1
.
( 3 2) 2 ( 3 2)
x t
I xdx dt
x x x t t t
0
2
3 2 1 2
2 1 3
2
A
A B C
A B C B
A
C
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 8
2 2 1 2( 2) 4 4
I dt t t t
t t t
7ln3 11.ln 2
4
4)
2 2 2
4
2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3
( 2 )( 4 3) ( 2)( 1)( 3) ( 3 )( 3 2)
x x x
I dx dx dx
x x x x x x x x x x x x
2 12 Cách 2
: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân)
2 2
2 2 2
4
2 2 2 2
1 1 1
( 3 2) ( 3 ) (2 3)
1 1 (2 3) (2 3)
2 ( 3 )( 3 2) 2 3 3 2
x x x x x
x dx x dx
I dx
x x x x x x x x
4 6 4 1
x
I dx
x x x x
Chia cả tử và mẫu trong biểu thức tích phân cho
2
x
ta được:
1 1
2
2
5
2
2
2 2
2
2
1
1
1
1
4 1
1 1
2
2 2
2
1
1
1
2
dt dx
x
t x
x
và
: 2 1x
thì
5
1
1 1
2
5
2 2
2 2
2
1 1
1 2
1
1
1 1 1
2
4 4 2
dx d x
x x
I
x
x x x
x
x x x
2
t x
2
2
dt
dt xdx xdx
và :1 2x thì :1 4t
Khi đó
2 4
6
4 2 2
1 1
1
(1 ) 2 ( 1)
xdx dt
I
x x t t
4
2
1
1 ( 1)
2 ( 1)
t t
dt
t t
3 1 5
ln
8 2 8
Cách 2
: (Dùng kĩ thuật tách ghép)
2 2
2 2
6
3 2 3 2
1 1
(1 ) 1 1
(1 ) (1 )
x x
I dx dx
x x x x x
dx
x x x
2
2
2
1
1 1 3 1 5
ln ln(1 ) ln 2 ln
2 2 8 2 2
x x
x
3 1 5
ln
8 2 8
7)
1
1 1 1
Đặt
2014 2013 2013
1 2014
2014
dt
t x dt x dx x dx
và :1 2x thì
2014
: 2 1 2t
Khi đó
2014 2014
2 1 2 1 2
2013
8
2014 2014
1 2 2
1 1 1 1
2014 ( 1) 2014 1
1
x dx dt
I dt
t t t t
x x
x dx
I
x
Đặt
1t x dt dx
và
: 1 0x
thì
:1 2t
Khi đó
2
2 2 2
2 2
9
8 8 8 7 6 7 6 5
1 1 1
1
(1 ) 1 2 1 2 1 1 1 1
7 3 5
t dt t t
I dt dt
t t t t t t t t
1)
2
2
1
3
1
1x
I dx
x
Đặt
2 2 2
2 2
1 1
1
tdt xdx
t x t x
x t
và cận
:0 3t
3
u
2 2 2 23 3 3 3
2 2
1
2 2 2 2
0 0 0 0
tan .(1 tan ) tan sin
.cos sin
(1 tan ) 1 tan cos
u u du u u
I du udu udu
u u u
3
3
0
0
1 cos2 1 1 3
sin 2
2 2 4 6 8
1 1
1
x
x x
x
t dt e dx
t e t e
e t
và cận
:0 1t
ln2 ln2 1 1 1
3 2 3
3
2
3 3 3
0 0 0 0 0
1. .3 1
1 3 3 1
1 1 1
x x
x
3 3 3
1
A B
A B t A B C t A C A B C A B C
A C
( Có thể chọn
0t
và
1t
được ba pt 3 ẩn
, ,A B C
rồi giải tìm được
, ,A B C
(máy tính có thể giúp ) )
Vậy ta có:
3 2 2
1 1 2 1 1 2
1 3( 1) 3( 1) 3 1 1
t t
t t t t t t t
1 1 1 ( 1)
2
3 3
1 1 1 2 1 1
t
d t t dt
dt dt
t t t t t t t t
1
2
0
1
3 ln( 1) ln( 1)
2
t t t t J
Đặt
2
2
2
2
2
3 3(1 tan )
2cos 2
1 3
tan
2 2
1 3 3
(1 tan )
2 2 4
u
dt du du
t
t u
t u
(2*)
Thay (2*) vào (*) ta được :
2
I
2 3
3 ln 2
9
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 11
Nhận xét: Trong các bài toán đổi biến các em sẽ nhận ra một điều (rất quan trọng trong phần đổi biến), khi
chúng ta đổi biến thì bước tiếp theo là bước vi phân cả 2 vế. Sau khi làm xong điều này các em sẽ biết ngay
là bài toán chúng ta đi có đúng hướng hay không. Cụ thể: Nếu sau khi vi phân ta có:
( ) ( )
f t dt g x dx
thì
xảy ra 2 khả năng:
x
và
x
e )
Bài luyện
Tính các tích phân sau: 1)
1
2
0
2
dx
I
x x
( Đs:
1 1
ln
3 4
) 2)
1
2
2
0
4 11
5 6
x
3
3
4
2
0
1
x dx
I
x
( Đs:
3
ln 2
2
)
5)
1
5
4 2
0
4 3
xdx
I
x x
( 4 3)( 4 4)
dx
I
x x x x
( Đs:
1 3 1
ln
2 2 6
) 8)
1
2
8
4 2
0
2 1
dx
I
x x
( Đs:
1 1
ln3
3 4
( Đs:
(9 2 3)
72
)
11)
1
11
3
0
(1 3 )
x
I dx
x
( Đs:
1
8
) 12)
1
12
2
2
96 128
)
14)
1
14
3
0
1
dx
I
x
( Đs:
1 3
ln 2
3 18
) 15)
6 10
2
2
15
4
1
1
1
x
17)
1
2
17
4 3 2
1
2
2
2 5 4 4
x
I
x x x x
( Đs:
3
44
) 18)
1
18
2 2
0
2 5
( 3 2)( 7 12)
x
I dx
2
2
20
4 2
1
3
( 3 2)
x
I dx
x x x
( Đs:
13 21
ln3 ln2
4 4
)
21)
1
21
2
0
( 1)( 2)
xdx
I
x x
23)
2
3 2
23
4 3
1
4 1x x x
I dx
x x
( Đs:
8 15
ln
3 7
) 24)
5
3 2
24
2 2
3
4 2 1
( 1)
x x x
I dx
x x
2
0
cos
k
B xdx
4
0
tan
k
C xdx
2
4
cot
k
D xdx
3
4
1
cot
k
H dx
x
Giải:
*) Với k = 1 . Ta có:
+)
2
2
1
0
0
sin cosA xdx x
1
ln 2
2
+)
2 2 2
2
1
4
4 4 4
cos sin 2
cot ln sin ln
sin sin 2
x d x
D xdx dx x
x x
1
ln 2
2
+)
2
1
và
:
3 2
x
thì
1
: 0
2
t
Khi đó
1 1 1 1
1
2 2 2 2
2
1
2
0 0 0 0
0
1 (1 ) (1 ) 1 1 1 1 1
ln
1 (1 )(1 ) 2 (1 )(1 ) 2 1 1 2 1
dt dt t t t
E dt dt
t t t t t t t t
1
ln3
2
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 13
Cách 2:
2 2
2 2 2 2 2 2
1
3 3 3 3 3 3
sin cos sin cos cos sin
1 1 1
2 2 2 2 2 2
sin 2 2
2sin cos cos sin cos sin
2 2 2 2 2 2
x x x x x x
dx dx d d
E dx dx
x x x x x x
x
2
sin
2sin cos 2tan cos tan
2 2 2 2 2
x
d
dx
E dx dx
x x x x x
x
2
3
ln tan
2
x
1
ln3
2
+)
6 6 6
1
2 2
1
ln3
2
+)
4 4 4 4
4
1
6
6 6 6 6
1 cos sin
cot ln sin ln 2
tan sin sin
x d x
G dx xdx dx x
x x x
1
ln 2
2
1 1 1
sin (1 cos2 ) sin 2
2 2 2
A xdx x dx x x
4
+)
2 2
2
2
2
0 0
0
1 1 1
cos (1 cos2 ) sin 2
2 2 2
B xdx x dx x x
+)
2 2
2
2
2
2
4
4 4
1
cot 1 cot
sin
D xdx dx x x
x
4
4
+)
F dx x
x
3
3
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 14
+)
4 4 4
2
4
2
2 2
6
6 6 6
1 1
cot 1 cot
tan sin
G dx xdx dx x x
x x
3 1
12
*) Với k = 3 . Ta có:
+)
32 2 2
2
3 2 2
3
0 0 0
0
cos
sin sin .sin (1 cos ) cos cos
3
x
A xdx x xdx x d x x
4 4 4 4
3 3 2
3
2
0 0 0 0
tan
tan tan tan tan tan (1 tan ) tan tan
cos
x
C xdx x x x dx x x x dx x dx
x
2
4 4 4
4
1 1
2
0 0 0
0
tan tan
tan tan tan
x
D xdx x x x dx x x x dx x dx
x
22 2 2
2
1 1
2
4
4 4 4
cot cot
cot cot cot
sin 2
x x
dx xdx xd x D D
x
1
: 0
2
t
Khi đó
1 1 1
2
2 2
2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
0 0 0
(1 ) (1 )
1 1 (1 ) (1 ) 2(1 ).(1 )
(1 ) 4 (1 ) .(1 ) 4 (1 ) .(1 )
t t dt
dt t t t t
E dt
t t t t t
1 1
2 2
2 2 2 2
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968
Trang 15
+)
6 6 6
3
3 4 2 2
0 0 0
1 cos cos
cos cos (1 sin )
x x
F dx dx dx
x x x
Đặt
sin cost x dt xdx
và
:0
6
x
thì
2 2 2 2
0 0
1 1 1 2 1 1 1 1 1
4 (1 ) (1 ) (1 ).(1 ) 4 (1 ) (1 ) 1 1
dt dt
t t t t t t t t
1
2
0
1 1 1 1
ln
4 1 1 1
t
t t t
1 1
ln3
4 3
dx dx dx xd x
x x x x x
2
4
6
cot
ln sin
2
x
x
1
1 ln 2
2
2
3
4
tan
ln cos
2
x
x
1
1 ln2
2
*) Với k = 4 . Ta có:
+)
3
16
www.VNMATH.com
Copyright: Tài liệu đại học ©