LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Tiến sĩ Võ Văn
Tài, Thầy đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt em trong mỗi bước đi, giúp em hoàn thành
luận văn này.
Em xin gửi lời cảm ơn đến cô Phạm Bích Như, cố vấn học tập lớp Toán
Ứng Dụng K33, một người Cô, một người Chị luôn quan tâm giúp đỡ em và các
bạn trong những lúc khó khăn.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô trong Khoa Khoa học Tự
nhiên, đặc biệt là quý Thầy Cô trong bộ môn Toán đã truyền đạt cho em những kiến
thức quý báu cũng như những kỹ năng trong cuộc sống.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp Toán Ứng Dụng K33 thân yêu, những
người đã cùng tôi vượt qua bao khó khăn, chia sẻ bao vui buồn trong học tập cũng
như trong cuộc sống.
Xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, đặc biệt là mẹ tôi, chỗ dựa tinh thần, nguồn
động lực giúp tôi cố gắng học tốt, ngày càng cố gắng hoàn thiện mình hơn.
i
DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 2.1 Một số hàm hạt nhân thông dụng 18
Bảng 3.1 Các bước tính toán chùm kết quả học tập-phương pháp thứ bậc 34
Bảng 3.2 Các bước tính toán chùm kết quả học tập-phương pháp không
thứ bậc 35
Bảng 3.3 Kết quả chi tiết chùm kết quả học tập ở vòng lặp thứ 13 36
Bảng 3.4 Các bước tính toán chùm điểm rèn luyện-phương pháp
thứ bậc 37
Bảng 3.5 Các bước tính toán chùm điểm rèn luyện-phương pháp không
thứ bậc 39
Bảng 3.6 Kết quả chi tiết chùm điểm rèn luyện ở vòng lặp thứ 10 40
Bảng 3.7 Các bước tính toán chùm điểm học tập và rèn luyện-phương
pháp thứ bậc 42
Bảng 3.8 Các bước tính toán chùm điểm học tập và rèn luyện-phương

với những phần tử “gần” nhau theo một dấu hiệu nào đó, từ đó bài toán phân tích
chùm ra đời. Phân tích chùm là việc nhóm các phần tử trong tập hợp đã cho thành
các chùm sao cho các phần tử trong cùng chùm tương tự nhau theo những dấu hiệu
nào đó. Khi chùm được xây dựng, những phần tử trong cùng một chùm sẽ có sự
tương tự nhiều hơn so với những phần tử của chùm khác. Có rất nhiều ứng dụng
trong những lĩnh vực khác nhau của bài toán phân tích chùm: y học, kinh tế, kỹ
thuật, xã hội, … và trong bất kỳ lĩnh vực nào, nơi mà việc nhóm những phần tử lại
với nhau được đòi hỏi. Nhiều tác giả đã phát triển một số phương pháp liên quan
đến phân tích chùm với những thuật toán cụ thể, nhưng chỉ cho những dữ liệu rời
rạc. Các thuật toán này dựa trên định nghĩa khoảng cách hay sự tương tự của hai
phần tử cũng như của hai chùm gồm các phần tử rời rạc.
Có nhiều định nghĩa khoảng cách giữa hai phần tử rời rạc cũng như khoảng
cách giữa hai nhóm dữ liệu. Khoảng cách giữa hai phần tử trong bài toán phân tích
chùm thông thường là khoảng cách Euclide, khoảng cách city–block, khoảng cách
Chebyshev, khoảng cách Minkowski,…, trong khi khoảng cách giữa hai chùm được
định nghĩa là khoảng cách min, khoảng cách max và khoảng cách trung bình của
những phần tử trong hai chùm. Hiện tại có hai phương pháp chủ yếu để xây dựng
chùm cho các phần tử rời rạc: Phương pháp thứ bậc và phương pháp không thứ bậc.
Một hạn chế chung của hai phương pháp này đánh giá sự tương tự của các chùm
không dựa vào sự phân bố của dữ liệu của chùm nên đôi khi nó tạo ra nghịch lý cho
kết quả phân tích chùm: Phần tử đúng phải xếp vào chùm này nhưng lại xếp vào
chùm kia.
Chùm của các hàm mật độ xác suất, nơi mỗi hàm mật độ xác suất mô tả một
tổng thể là một chủ đề chưa được nghiên cứu nhiều. Năm 2010 nhóm tác giả Võ
Văn Tài, Phạm Gia Thụ đã đưa ra khái niệm độ rộng chùm làm tiêu chuẩn xây dựng
chùm các hàm mật độ xác suất. Độ rộng chùm được định nghĩa qua tích phân hàm
cực đại của các hàm mật độ xác suất, vì vậy khi đánh giá sự tương tự của các phần
tử, yếu tố phương sai đã được xem xét. Điều này thể hiện sự hợp lý hơn trong phân
tích chùm. Tuy nhiên trong việc giải quyết bài toán chùm các hàm mật độ xác suất,
vấn đề ước lượng hàm mật độ xác suất từ số liệu rời rạc, tính độ rộng chùm vẫn còn

SỰ TƯƠNG TỰ CỦA CÁC PHẦN TỬ
Khi thực hiện bài toán phân tích chùm, vấn đề quan trọng là xác định mức độ
gần và xa của các phần tử. Có nhiều tiêu chuẩn với nhiều tên gọi được đưa ra để
đánh giá mức độ này, trong luận văn này ta gọi chung là sự tương tự của các phần
tử. Khi các phần tử rời rạc, tiêu chuẩn để đánh giá sự tương tự thông thường là
khoảng cách. Khi các phần tử là hàm mật độ xác suất, có nhiều khái niệm được đưa
ra như: độ đo tách rời, affinity, độ rộng chùm.
1.1 SỰ TƯƠNG TỰ CỦA CÁC PHẦN TỬ RỜI RẠC
1.1.1 Khoảng cách của hai phần tử
Định nghĩa 1.1: Khoảng cách giũa hai phần tử d(x,y) là một metric, nghĩa là nó
thỏa mãn 3 điều kiện sau với mọi x, y, z.
i) d(x,y)
≥
0
, .x y∀
Dấu bằng xảy ra khi
yx =
,
ii) d(x,y) = d(y,x),
iii) d(x,y) + d(y,z)
≥
d(x,z).
Theo 3 điều kiện trên, ta có thể định nghĩa khoảng cách giữa 2 phần tử x và y
(x,y
∈
R
n
) theo nhiều cách khác nhau. Thông thường các loại khoảng cách sau được
sử dụng phổ biến:
Khoảng cách Euclide:

, max
ch i i
i
d x y x y= −
(1.3)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x(1;2)
y(2;4)
Khoang cach Euclide
mo ta do dai doan thang nay
Khoang cach city-block
mo ta do dai 2 doan gap khuc
Khoang cach
Chebyshev mo
ta do dai duongt
gap khuc lon nha
Khoảng cách Minkowski với bậc m:
( )
1
1
,

, ,
m e
d x y d x y=
, độ lớn của khoảng cách càng giảm khi m càng tăng, khi m
→ ∞
,
( ) ( )
, ,
m ch
d x y d x y=
.
Hình vẽ sau minh họa 3 khoảng cách phổ biến của hai điểm x(1;2) và y(2;4).
Hình 1.1 Các loại khoảng cách giữa hai phần tử x và y
5
Như đã thấy, khoảng cách Euclide mô tả đoạn thẳng nối 2 điểm x và y trong
khi khoảng cách city-block mô tả 2 đoạn gấp khúc nối x và y, chúng lần lượt song
song với trục hoành và trục tung của hệ tọa độ. Tương tự như vậy, nếu x, y thuộc
không gian R
3
thì khoảng cách city-block sẽ mô tả 3 đoạn thẳng lần lượt song song
với Ox, Oy, Oz. Hình trên cũng chỉ ra khoảng cách Chebyshev mô tả đoạn thẳng dài
nhất trong hai đường gấp khúc.
1.1.2 Khoảng cách giữa hai nhóm phần tử
Cho A, B là hai nhóm, mỗi nhóm gồm nhiều phần tử rời rạc khác nhau. Gọi
D(A;B) là khoảng cách giữa hai nhóm A và B, d(x,y) là khoảng cách giữa phần tử x
và phần tử y (
;x A y B∈ ∈
). Thông thường ta sử dụng các định nghĩa sau cho
D(A;B):
Khoảng cách min

n n
∈
∈
=
∑
(1.7)
Với
,
A B
n n
lần lượt là số phần tử của nhóm A và nhóm B.
Nhận xét:
i) Việc tính khoảng cách giữa hai nhóm dữ liệu không chỉ phụ thuộc vào việc
chọn loại khoảng cách giũa hai nhóm mà còn phụ thuộc vào loại khoảng cách giữa
hai phần tử, do đó sẽ có nhiều kết quả khác nhau tùy vào loại khoảng cách được
chọn. Cho đến nay, người ta chưa chứng minh được sử dụng khoảng cách nào là tối
ưu. Trong thực tế các loại khoảng cách phổ biến đã được nêu ở trên thường được sử
dụng nhiều nhất.
ii) Khi hai nhóm A và B được nhập lại thành một nhóm (A+B) thì việc tính
khoảng cách từ nhóm (A+B) đến một nhóm C bất kỳ cũng có thể thực hiện theo
những công thức trên. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng những công thức sau đây để cho
việc tính toán được thuận tiện hơn:
6
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2 3 4
1 2 3
1 2
5

 
 
( ) ( ) ( )
, , ,
A B
avg ave ave
A B A B
n n
D A B C D A C D B C
n n n n
+ = +
+ +
( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( )
min min min
, min , , , min min , ,min ,
x A y B
z C z C
D A B C D A C D B C d x z d y z
∈ ∈
∈ ∈
 
 
+ = =
 
 
 
(1.8)
( ) ( ) ( )

(1.11)
Trong đó,
A
n
,
B
n
,và
C
n
lần lượt là số phần tử của nhóm A, B và C.
Ví dụ 1.1: Cho
Tính a)
min max
, ,
avg
D D D
giữa A và B.
b)
min max
, ,
avg
D D D
giữa A+C và B
Giải
Trước tiên ta chọn khoảng cách Euclide làm khoảng cách giữa hai phần tử.
Ta tiến hành tính khoảng cách giữa các nhóm như sau:
a)
( ) ( ) ( ) ( )
{ }

x A
A B
y B
D A B d x y
n n
∈
∈
= ≈
∑
b)
( ) ( ) ( )
{ }
min min min
, min , , ,d A C B D A B D C B+ =
7
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
O
X
Y
Nhom A
Nhom B

=
 
 
 
( )
2 2
,d a b=
( ) ( ) ( )
{ }
max max max
, max , , ,d A C B D A B D C B+ =
=
{ }
( )
1 1
max 2 5,5 5 ,d c b= =
( ) ( ) ( )
, , ,
C
A
avg avg avg
A C A C
n
n
D A C B D A B D C B
n n n n
+ = +
+ +
=
4 2

và
)(
2
xf
, theo Webb (2002),
),(
21
ffD
được gọi là khoảng cách của hai hàm mật độ
xác suất
)(
1
xf
và
)(
2
xf
nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
0),(
21
≥ffD
,
0),(
21
=ffD
nếu hai hàm mật độ xác suất bằng nhau.
),(
21
ffD
đạt giá trị lớn nhất khi

Khoảng cách Bhattacharyya

( ) ( )
[ ]






−=
∫
xxx dffffD
n
R
B
2
1
2121
ln),(
(1.13)
Khoảng cách Divergence

( ) ( )( )
( )
( )
x
x
x
xx d

p
p
p
R
f f f f d
 
= −
 ÷
 ÷
 
∫
x x x
(1.15)
Khoảng cách
1
L
1 2
1 2
1
( ) ( ),
n
R
f x f x dxf f −=
∫
(1.16)
9
Khoảng cách L
2
là khoảng cách được sử dụng phổ biến nhất. Khoảng cách L
1

π
f
µµ
1
2
2
1
2
1
exp
2
1
)( Σ
Σ
xx
, i = 1, 2 (1.17)
Ta có

( )( ) ( )








+−−−=
−
−

( )
{ }
ITrffD
T
D
2
2
1
),(
1
1
22
1
112
1
2
1
11221
−++−−−=
−−−−
ΣΣΣΣΣΣ
µµµµ
(1.19)
Khi s = 0.5 thì
),(
21
ffD
C
trở thành
),(

1
4
1
),(
ΣΣ
ΣΣ
ΣΣ
µµµµ
T
B
ffD
(1.20)
Khi hai ma trận phương sai bằng nhau
ΣΣΣ ==
21
thì D
D
= 8D
B
và trở
thành bình phương khoảng cách Mahalanobis:

)()(),(8),(),(
12
1
12212121
µµµµ
−−===
−
Σ

dxffffD
n
R
α
T
21
2121
),(
αα
∫
=
(1.23)
Trong đó
),(
21
α,α=
α
1),1,0(,
2121
=+∈
αααα
.
Trong trường hợp đặc biệt
2
1
21
==
αα
thì affinity của Toussaint trở thành
affinity của Matusita cũng như của Hellinger.

ji
jikji
ji
aaaaasaa , ,,max
21
(1.25)
b) Afinity
Định nghĩa 1.3: Cho k hàm mật độ xác suất
k
fff , ,,
21
, (
2
≥
k
) ta có các định nghĩa
affinity như sau:
i) Matusita (1967):

( ) ( )
∫
=
n
R
k
kkM
dffffffD x
/1
2121
, ,,

(1.27)
Trong đó
),(
k21
α, ,α,α=
α
∑
=
=∈
k
j
jj
1
1),1,0(
αα
.
Trong trường hợp đặc biệt
k
k
1
21
====
ααα

thì affinity của Toussaint trở
thành affinity của Matusita và khi
2=k
thì nó trở thành của Hellinger.
c) Độ rộng chùm
Định nghĩa 1.4: Cho k hàm mật độ xác suất trên R

{ }
k
fff , ,,
21
với mọi
2k ≥
. Lúc này độ rộng của một chùm là hợp
của một tập con chứa một phần tử với một tập con chứa nhiều hơn một phần tử
hoặc hợp hai tập con chứa nhiều hơn một phần tử được định nghĩa giống nhau.
Định nghĩa 1.5: Cho
), ,,(),, ,,(,
2121 mn
fffgggg
là các hàm mật độ xác suất,
chúng ta định nghĩa độ rộng của chùm
( ){ }
m
fffg , ,,,
21
là
{ }
[ ]
m
fffgw , ,,
21
∪
và độ
rộng của chùm
( ) ( ){ }
nm









−
−
≥
∏
=
k
j
kTk
fffD
k
k
fffw
α
(1.29)
Trong đó
)(
21
), ,,(
α
kT
fffD
được xác định bởi (1.27).

∏
∑
∏
∑
=
=
=
+++
=
≥⇔≥








k
j
j
k
j
j
k
j
j
k
j
j






≤






≤≤≤≤ 1
1
1
min, ,min
1
1

Do vậy
{ } ( )
∏
=
++
≤≤
≤





min
α

Như vậy
( ) { }
∑∑
∏
=
≤≤
=
=
−≤−≤
k
j
j
kj
j
k
j
k
j
jj
ffff
j
1
1
1
1
min0
α

=
≤≤
−≤−
∑
1
1
1
max)1(min

Do đó
( ) { }
j
kj
k
j
k
j
jj
fkff
j
≤≤
=
=
−≤−≤
∑
∏
1
1
1
max)1(0

k
fffwf x
vào bất đẳng thức trên ta có kết quả (1.29). ■
Định lý 1.2: Cho
121
,, ,,
+kk
ffff
là hàm mật độ xác suất của
1+k
tổng thể.
Chúng ta có các kết quả:
a)
( ) ( )
=−
+ kk
fffwfffw , ,,, ,,
21121

{ }
∫
+
−
n
R
k
dfh xxx )(),(min1
11
(1.30)
Trong đó


)}(), ,(),(max{)(
211
xxxx
n
fffk =)}(), ,(),(max{)(
212
xxxx
knn
fffk
++
=
.
Chứng minh
a) Đặt
∫
−=
n
R
k
k
dh
k
Pe xx)(
1
1
1


)}(), ,(),(max{)(
1212
xxxx
+
=
k
fffh
Bởi vì
{ }
)(),(min)()()(
11112
xxxxx
++
−+=
kk
fhfhh

nên
)1/1(
1, ,2,1
+
+
k
k
Pe

[ ]
∫
++








−
+
+
+
=
∫∫
+
xxxx )(
1
1
)(
1
1
11
1
11BPe
k
k
k
k

+−=
k
kk
Pekkfffw
(1.33)
Kết hợp (1.32) và (1.33) ta có

( )






+
+
+−=
+
B Pe
k
k
kkfffw
k
k,1,2, ,k
)/1(
121
1
)1(, ,,
nPenfffw −−=
( )
)/1(
, ,2,121
1, ,,
m
mknn
mPemfffw −−=
++
với
nkm −=
Vì vậy

( ) ( )
knnn
fffwfffw , ,,, ,,
2121 ++
+

[ ]
)/1(
, ,2,1
)/1(
, ,2,1
2
m
m
n
n
mPenPek +−−=

1
1
2121
14
=






+−+−
∫ ∫ ∫
n n n
R R R
dkkdkndkm
k
xxxxxxx )}(),(min{)()(
1
2121
=
[ ]
AnPemPe
k
n
n
m
m
++
)/1(

fff , ,,
21
, nhưng xem w
*
(k) là hàm của số những hàm mật độ xác suất (hàm số
với biến số k). Hàm số này có tính đơn điệu và có giá trị được xác định bởi
hệ quả sau:
Hệ quả 1.1: Đặt w
*
(k) =
1
21
, ,,
k
fff
, khi đó với
2
≥
k
thì w
*
(k) là hàm không
giảm và
1 )(*0 −≤≤ kkw
. Dấu bằng ở vế trái xảy ra khi tất cả các
)(x
i
f
trùng nhau
và ở vế phải khi các


0)(1
1
=−≥
∫
+
n
R
k
df xx

nghĩa là w
*
(k) là hàm không giảm với biến số k.
Mặt khác

{ }
∑
=
≤≤
k
i
iki
fffff
1
21
)()(), ,(),(max)( xxxxx

∫
=

(k).
Nhận xét:
Từ (1.31) ta có mối quan hệ giữa độ rộng của 2 chùm và hội của chúng là
( ) ( ) ( )
Affwfffwfffffw
kiikii
−++=
++
1, ,, ,,, ,,, ,,
121121
.
Chúng ta có thể hiểu mối quan hệ này như sau:
( ) ( )
kii
ffwfffw , ,, ,,
121 +
+
là tổng độ rộng của hai chùm trước khi ghép.
1 – A là khoảng cách ngoài hay khoảng cách giữa hai chùm.
Độ rộng chùm phản ánh sự gần nhau của những phần tử trong chùm, trong
khi khoảng cách ngoài phản ánh sự xa nhau giữa hai chùm. Bởi vì
( )
1 2 1
, , , , ,
i i k
w f f f f f
+
là hằng số, nên độ rộng chùm và khoảng cách ngoài biến
thiên theo hướng trái ngược nhau. Khi ghép hai chùm thành một chùm, chúng ta cố
gắng cực tiểu tổng độ rộng và vì vậy cũng có nghĩa là cực đại khoảng cách giữa hai

có dự kiến trước việc phân chia các phần tử vào tổng thể nào. Phân tích chùm là
việc nhóm các phần tử trong tập hợp đã cho thành các chùm sao cho các phần tử
trong cùng chùm tương tự nhau theo những dấu hiệu nào đó. Khi chùm được xây
dựng, những phần tử trong cùng một chùm sẽ có sự tương tự nhiều hơn so với
những phần tử của chùm khác.Có rất nhiều ứng dụng trong những lĩnh vực khác
nhau của bài toán phân tích chùm: y học, kinh tế, kỹ thuật, xã hội, … và trong bất
kỳ lĩnh vực nào, nơi mà việc nhóm những phần tử lại với nhau được đòi hỏi.
Xây dựng chùm cho các phần tử rời rạc đã được rất nhiều nhà toán học quan
tâm về mặt lý thuyết cũng như tính ứng dụng của nó. Tiêu chuẩn dùng để đánh giá
mức độ gần xa của các phần tử cũng như các chùm trong trường hợp này là khoảng
cách. Tuy nhiên, khi phân tích nhiều tổng thể, trong đó mỗi tổng thể có rất nhiều
phần tử, các phương pháp phân tích chùm rời rạc chỉ tính đến khoảng cách giữa
trung bình các tổng thể chứ không xét đến dạng phân bố của tổng thể và điều này
đôi khi sẽ dẫn đến kết quả phân tích không được hợp lý: Phần tử đúng phải xếp vào
chùm này nhưng lại xếp vào chùm kia. Đây là một hạn chế của việc phân tích chùm
chỉ dựa vào khoảng cách đơn thuần. Trong chương này luận văn sẽ trình bày một
phương pháp phân tích chùm khác, phức tạp hơn nhưng khắc phục được những hạn
chế của việc phân tích chùm rời rạc. Đó là phương pháp phân tích chùm các hàm
mật độ xác suất.
2.2 ƯỚC LƯỢNG HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT
2.2.1 Ước lượng hàm mật độ xác suất
Phần lớn các dữ liệu thu được trong thực tế đều là rời rạc. Do đó, trước khi
tiến hành phân tích chùm các hàm mật độ xác suất từ dữ liệu rời rạc ta phải ước
lượng các hàm mật độ xác suất của các tổng thể chứa dữ liệu. Chính việc ước lượng
này làm tăng tính ứng dụng thực tế của bài toán phân tích chùm các hàm mật độ xác
suất. Có nhiều cách ước lượng hàm mật độ xác suất bằng phương pháp tham số và
phi tham số. Trong luận văn này, chúng ta sẽ tiến hành ước lượng bằng phương
pháp hàm hạt nhân, một phương pháp phi tham số được đánh giá là có nhiều ưu
điểm hiện nay.
Gọi

 ÷
 ÷
 
∑
∏
(2.1)
Trong đó
j
h
là tham số trơn cho biến thứ j,
j
K
là hàm hạt nhân của biến thứ j, thỏa hai điều kiện:
( )
( )
0
1
K x
K x dx

≥


=


∫
Thông thường, ta chọn K là một trong các hàm được cho bởi bảng sau:
Bảng 2.1 Một số hàm hạt nhân thông dụng
Hàm hạt nhân Biểu thức


18
Chuẩn
( )
2
1
exp
2
2
x
f x
π
 
= −
 ÷
 
Epanechnikov
( )
( )
2
3
1 1
4
0 1
x khi x
f x
khi x

− ≤



( )
1
4
4
2
n
j j
h
N n
σ
+
 
=
 ÷
 ÷
+
 
,
j
σ
là độ lệch chuẩn mẫu của biến thứ j.
Khi
1n =
,
( )
1
5
1.06h N
σ

−
=
,
( )
1 2
1 2
1
1 2
1
ˆ
N
i i
i
x x x x
f x K K
Nh h h h
=
 
− −
   
=
 ÷  ÷
 
   
 
∑
(2.3)
ii) Trong luận văn này hàm hạt nhân được chọn có dạng chuẩn.
2.2.2 Chương trình ước lượng hàm mật độ xác suất
Việc tính toán tường minh các công thức trên thực sự rất phức tạp. Vì vậy

Ta viết thực hiện ước lượng hàm mật độ xác suất của chiều cao các nhân
viên công ty X bằng Matlab 7.0.4 như sau:
syms x
f=uocluong([173 174 161 159 167 170 169 171 169 173 168 169 169,…
171 160 170 167 158 164 178 158 161 159 168 164 180 174 170 172,
163])
Ta có kết quả:
f = 21956415689413010567052911461721/2596148429267413814265248164610048*exp(-
1/2*(140737488355328/442584986134111*x-24347585485471744/442584986134111)^2)
+21956415689413010567052911461721/2596148429267413814265248164610048*exp(-
1/2*(140737488355328/442584986134111*x-24488322973827072/442584986134111)^2)
+21956415689413010567052911461721/2596148429267413814265248164610048*exp(-
1/2*(140737488355328/442584986134111*x-22658735625207808/442584986134111)^2)
+21956415689413010567052911461721/2596148429267413814265248164610048*exp(-
1/2*(140737488355328/442584986134111*x-22377260648497152/442584986134111)^2)
+21956415689413010567052911461721/2596148429267413814265248164610048*exp(-
1/2*(140737488355328/442584986134111*x-23503160555339776/442584986134111)^2)
+65869247068239031701158734385163/5192296858534827628530496329220096*exp(-
1/2*(140737488355328/442584986134111*x-23925373020405760/442584986134111)^2)
+21956415689413010567052911461721/1298074214633706907132624082305024*exp(-
1/2*(140737488355328/442584986134111*x-23784635532050432/442584986134111)^2)
+21956415689413010567052911461721/2596148429267413814265248164610048*exp(-
1/2*(140737488355328/442584986134111*x-24066110508761088/442584986134111)^2)
+21956415689413010567052911461721/2596148429267413814265248164610048*exp(-
1/2*(140737488355328/442584986134111*x-23643898043695104/442584986134111)^2)
+21956415689413010567052911461721/5192296858534827628530496329220096*exp(-
20