Phm Thanh Duy Trng THCS T An Khng Nam m Di C Mau
CC BI TON HèNH HC
Một số kiến thức về toán học cần nắm
1. Tam giác vuông:
* Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
b
2
= ab ; c
2
= ac
h
2
= b.c ; ha = bc

2 2 2
1 1 1
h b c
= +
;
Diện tích: S =
1 1
2 2
bc ah=
* Với góc nhọn thì:
a, 1<Sin + Cos
2
; Đẳng thức xảy ra khi = 45
0

b,
Cos

R: Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác.
r: Bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác.
Chu vi: 2p = a + b + c =>
; ;
2 2 2
b c a c a b a b c
p a p b p c
+ + +
= = =
Định lý về hàm số cosin:
a
2
= b
2
+ c
2
2bc.cosA; b
2
= c
2
+ a
2
2ca.cosB; c
2
= a
2
+ b
2
2ab.cosC







ab
cba
CCabbac
ac
bca
BBaccab
bc
acb
AAbccba
2
coscos2*
2
coscos2*
2
coscos2*
222
1222
222
1222
222
1222

1
c
b

αα
2
3
22
22
22
1
2
2*
sin4sin33sin*
cossin22sin*
sin211cos2
2coscossin*
1cot.*
1cos*
tg
tg
tg
gtg
Sin
−
=
−=
=
−=−=
=−
=
=+
§Þnh lý vỊ hµm sè sin:
2

A p a B p b C p c
cotg cotg cotg
r r r
− − −
= = =
a = h
A
(cotgB + cotgC);
b = h
B
(cotgC + cotgA);
c = h
C
(cotgA + cotgB);
3. Các bán kính đường tròn:
a) Ngoại tiếp:
C
c
B
b
A
a
S
abc
R
sin2sin2sin24
====

b) Nội tiếp:
( ) ( ) ( )

sin.2
sin.sin.
*
sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
*
2
1
2
1
2
1
*
2
=
−=−=−==
−−−=
=
===
===
∆
∆
∆

Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
5. Đường cao:
c
S
h
b
S
h
a
S
h
cba
∆∆∆
===
2
;
2
;
2

6. Đoạn phân giác trong tam giác:
( )
( )
( )
cppab
baba
C
ab
l
bppca

*
2
2
cos2
*
2
2
cos2
*

7. Trung tuyến:
222
222
222
22
2
1
*
22
2
1
*
22
2
1
*
cbam
bacm
acbm
c

PA
NA
NC
NC
MB
C. HỆ THỨC LƯNG TRONG TỨ GIÁC LỒI ABCD:
( )( )( )( )
( )( )( )
S
bcadcdabbdac
R
dcba
p
DB
abcddpcpbpapS
4
*
2
*
2
cos.*
2
+++
=
+++
=
+
−−−−−=
∧∧
ο

a
C
I
O
α
Phm Thanh Duy Trng THCS T An Khng Nam m Di C Mau
thửực:
( ) ( ) ( )
1
(1)
2
ABCD
S a b c d r a c r b d r= + + + = + = +
T (1) suy ra cụng thc tớnh bỏn kớnh ng trũn ngoi tip :
0
ABCD ABCD
s s
r
a c b d
= =
+ +
( khi: a+c = b+d )
2. Đa giác, hình tròn:
* Một số công thức:
1) Đa giác đều n cạnh, độ dài cạnh là a:
+ Góc ở tâm:
2
n



S g

=
2) Hình tròn và các phần hình tròn:
+ Hình tròn bán kính R:
- Chu vi: C = 2R
- Diện tích: S = R
2
+ Hình vành khăn:
- Diện tích: S = (R
2
- r
2
) = (2r + d)d
+ Hình quạt:
- Độ dài cung: l = R ; (: rad)
- Diện tích:
2
1
2
S R

=
(: rad)

2
360
R a

=

a
A

O
.
O
R
.
O
R
r
d
.
O
R
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
- Hình nón cụt:
lRRShRRRRV
xq
)'(;)''(
3
1
22
+Π=++Π=
- Hình lăng trụ: V=Bh; S
xq
=Chu vi thiết diện phẳng x l
- Hình cầu:
23
4;

Ta cã: KỴ AK//BC c¾t BD t¹i K.
Khi ®ã:
6 1
12 2
DK AD AB
DB DC BC
= = = =
XÐt
∆
ABK c©n t¹i A,
∠
ABK = 60
0
nªn
∆
ABK
®Ịu. Suy ra KB = 6(cm), ®ång thêi
1
2
DK
DB
=
=> BD = 4(cm). KỴ ®êng cao AH cđa
∆
AHK
ta cã: AH = 6sin60
0
= 6.
3
2

Gi¶i: Ta kỴ: CK//AB c¾t AM t¹i K,
Ta cã
∆
ABM
:
∆
CKM
=>
9 6 6 2
9 3
AB AM MK
CK MK CK MK CK
= ⇒ = ⇒ = =
=> CK = 9; MK = 6 =>
∆
ABM =
∆
KCM(g.cg)
=> AK = 12cm
Ta thÊy trong tam gi¸c AKC cã:
AC
2
= AK
2
+ KC
2
=> 15
2
= 12
2

;
ˆ
;
ˆ
(đến độ ,phút ,giây)

5
6
12
60
0
60
0
60
0
D
B
A
C
K
H
9
15
6
M
A
B
C
K
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau

2
=11
2
–x
2

⇒
24x=184

⇒
x=7,666666667 Thế vào ( 1)
⇒
h=
2
2
)666666667,7(
11
−
=7,888106377
b. Sin B =
845386089.0
9
888106377,7
===
AB
h
AB
AH
Nhấn SHIFT SIN
-1

0
;AB=10;AC=12
a)Tính độ dài 3 đươmg cao AH;BK;CL. b)Tính diện tích tam giác ABH
L
K
H
C
A
Xét
ALC∆
vuông Ta có SinA=
87569344,1012.65. ===⇒ SinACSinACL
AC
CL
*
AKB∆
vuông Ta có : SinA=
06307787,965.10. ===⇒ SinABSinABK
AB
BK
*xét
ALC∆
vuông
2222
)34487569,10(12 −=−= LCACAL
=5,07141915
92858085,407141915,510 =−=−=⇒ ALABBL
Xét
CLB∆
vuông Ta có : BC=

Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
=⇒
AHB
S
79817791,18
2
127673405,4.108364961,9
.
2
1
==HBAH
Bài 1.Cho
ABC∆
có
µ
120 , 6,25 , 12,5 .
O
B AB cm BC cm= = =
Đường phân giác của góc B cắt Ac tai D.
a) Tính độ dài của đoạn thẳng BD.
b) Tính tỉ số diện tích của các tam giác ABD và ABC.
c) Tính diện tích tam giác ABD.
Giải:
Qua A kẻ đường thẳng song song với BD cắt tia đối của
tia BC tải B’ , nối BB’.·
·
·

ABS
S AD
S AC
∆
∆
=
và
' 1
' 3
AD BB
AC B C
= =
c)
· ·
1 1 2
. sin .sin . 11,2763725
2 2 3
ABD
S AB BD ABD AB ABD AB
∆
= = ;
Bài 2. Cho
ABC
∆
vuông tại A. Biết BC = 8,916 cm và AD là phân giác trong của góc A. Biết
BD = 3,178 cm. Tính AB, AC.
Giải:
Ta có:DC = BC – BD = 8,916 – 3,178
2 2 2
BC AB AC= +

7
B’
B
C
A
D
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Bài 1. Cho
ABC∆
có các cạnh AB = 21 cm ; AC = 28 cm
a) Chứng minh rằng
ABC∆
vuông. Tính diện tích
ABC∆
.
b) Tính các góc B và C
c) Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính BD, DC.
Giải:
a) S
ABC∆
= 294 cm
b)
µ µ
4
sin 53 7'48''
5
O
AC
B B
BC

O
AB
B B
BC
= ⇒ =
Tính AH.

( )
sin sin 36 44'25,64" 4,6892 2,80503779
O
AH
B AH cm
BH
= ⇒ = × ≈
Tính CI. Góc
90 36 44'25,64"
2
o o
C
−
=
Bài 3. Cho
ABC∆
vuông tại B. Với AB = 15 AC = 26. Kẻ phân giác trong CI
( )
CI AB∈
. Tính
IA.
Giải:
Ta có :

IB IA AB CA IB
CA AB
IA
AB CA
⇒ = =
+ +
−
⇒ = =
+ +
;

Bµi 7. Cho tam giác ABC có BC = 11,34; AC = 24,05; AB = 15,17 và phân giác AD.
Tính độ dài BD và DC.
Tia phân giác góc B cất AD tại I. Tính tỉ số
AI
DI
Sử dụng tính chất đường phân giác trong.
a)

.
4,386226425
.
6,593773585
AC AB
BD
AC AB
BC AC
DC
AB AC
= ≈

= 66,2722 cm
2
Bµi 9:Cho
∆
vuong ABC (A=1v) có AB=14,568 cm và AC=13,245 cm. Kẻ AH vuông góc
với BC.
1)Tính BC; AH; HC. 2)Kẻ phân giác BN của góc B. Tính NB.
Bài 11 . Cho tam giác ABC cân tại A có
∠
A=36
0
. Tính giá trị của tỉ số
AB
BC
(chính xác đến
0,0001).

9
B A
I
-Dùng hệ thức lượng trong tam
giác vuông để tính câu 1.
-Theo t/c đường phân giác có:
từ đây tính NA; sử dụng Pitago
trong tam giác ABN tínhBN.
A
N
B H C
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Vẽ tia phân giác trong BD. Ta có

⇒
.AB BC
DC
AB BC
=
+
mặt khác DC = AC – AD = AB – BC = AB – BC (AB = BC ; AD = BD = BC)
Nên
.AB BC
DC AB BC
AB BC
= − =
+
⇔ AB.BC = AB
2
– BC
2
(*)
Đặt x =
AB
BC
> 0 từ (*) ta có x
2
– x – 1 = 0.Tìm được x =
1 5
2
−
và x =
1 5
2

( )
( )
2
2 2 3
2
; 2
2 2
3 1
2 2 . 2 3
AED
a
a
x EG BG BE a x
S S AG EG a
−
⇒ = = − = − =
+
⇒ = = = −
b, S
≈
39,3733
( )
2
cm

10
D
C
B
A

2
AB
=
. Suy ra BH =
3 2 3AB =
Do MK là đường trung bình của tam giác BHC nên HK =
1
2
HC =
1
2
(AC + AH) = 4
Suy ra AK = HK – AH = 4 – 2 = 2
Lại có MK =
1
2
BH =
3
nên AM
2
=AK
2
+ MK
2
=4 + 3 =7⇒AM =
7
.Tính được AM ≈ 2,6458
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D. Biết
BD = 7, CD = 15. Tính độ dài đoạn thẳng AD.
Vẽ DE ⊥ BC và lấy K đối xứng với D qua H là giao điểm của AE và BD.

5
; x = -5
5
6
(loại do x > 0).Nên AD = 4.2
Bài 15:Cho tam giác ABC có
∠
A=135
0
, BC = 5, đường cao AH = 1. Tính độ dài các cạnh AB
và AC (chính xác đến 0,0001).
Vẽ CK ⊥ AB ta có
∠
CAK=180
0
-135
0
= 45
0
nên tam giác CAK vuông cân tại K
Đặt AB = x > 0, AK = CK = y > 0.
∆
HBA đồng dạng với
∆
KBC (gg) nên
AH AB
KC BC
=
⇒
1

x
K
H
C
B
A
Phm Thanh Duy Trng THCS T An Khng Nam m Di C Mau
p dng pitago cho tam giỏc vuụng BKC:
BK
2
+ KC
2
= BC
2
(x + y)
2
+ y
2
= 25 x
2
+ 2xy + 2y
2
= 25 (2)
T (1) v (2) tỡm c (x ;y) =
( )
5 ; 5
hoc (x ; y) =
10
10 ;
2

x = 47
0
.Do ú suy ra:

à
( )
0 0
1
2 25 59 30'
2
A x= + =

à
( )
0 0
1
3 22 59 30'
2
B x= + =


à
( )
0 0
1
75 61
2
C x= + =
Bi 17. Cho tam giỏc ABC cú cỏc nh
(1; 2), (3;4), (0; 5)A B C

ABH
theo p,q b/ áp dụng:p=10,05 cm ;q=4,12 cm.Tính S

ABM
; S

ABH

HD:
a/ Ta có:
ã
ã
ã
AME BME BAC= =
và EA = EB ; MA = MB
Ta có :
AHB
đồng dạng với
AEN

(g.g)
2
2
AH AB AB AB
AH AE
AE AN AN q
= = ì =
Ta lại có :
AHB
đồng dạng với

2
2 2
2q p
p q+12
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Do ®ã:
3
2 2
1 .
2
ABM
p q
S AH MB
p q
∆
= × × =
+
(§VDT)
3 3
2 2 2
1 2 .
2 ( )
ABH
p q
S AH BH
p q
∆

×
AC)
Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB < CD, AB //CD). E và F lần lượt là trung điểm của AD,
BC. Gọi giao điểm của AD và BC là K , giao điểm của AC và BD là O, giao điểm của KO với
CD là H, giao điểm của KO với AB là I. Cho biết EF =
12,1234
(cm), tính tổng các độ dài các
đoạn thẳng IA và DH. (chính xác đến 0,0001)
Theo định lí Ta let:
IA IB
HD HC
=
(1)
Do tam giác IOA đồng dạng với tam giác HOC nên:
IA OI
HC OH
=
(2)
Tam giác IOB đồng dạng với tam giác HOD nên:
IB OI
HD OH
=
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
IA IB
HC HD
=
(4)
Chia từng vế của (1) và (4) với nhau cho:
HC HD


13
O
I
H
K
D
C
B
A
B C
DHA
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Ta cã: AH = BK; DH = cotg60
0
45’.AH; KC = cotg29
0
15’.BK;
Suy ra: DH + KC = DC – AB = AH(cotg60
0
45’ + cotg29
0
15’)
<=> AH =
0 0
3,901
cotg60 45’ cotg29 15’ 2,34566
DC AB−
=
+

VËy AD = 1,90612; BC = 3,403608; AH = BK = 1,663075; AC = 6,93888; BD = 4,98403
Bµi 4.Cho hình thang ABCD có
00
60
ˆ
,90
ˆ
ˆ
=== DBA
, AB = 3cm, BC = 4cm Tính chu vi và diện
tích của hình thang ABCD.
Ta kẻ CH vuông góc với AD tại H.
Khi đó góc DCH = 30
0
. Xét tam giác CHD
60
0
đặt HD = a  CD = 2a ( cạnh đối diện với góc 30
0
).
CH
2
+ HD
2
= CD
2
3
2
+ a
2

cm.Gọi M và N là
hai điểm thuộc AD và BC sao cho
3
MA
MD
=
và MN//CD.Tính MN (Với7chữ số thậpphân ).
E A B

M N
D C
F
Qua M kẻ EF //BC suy ra MNCF là hbh suy ra MN=FC ,
DF=DC-FC=DC-MN .Mặt khác EBNM là hbh suy ra EB=MN,
EA=EB-AB=MN-AB.
Xét tam giác AME có DF//AE suy ra
3
3 3,3834879
3 1
EA MA MN AB AB CD
MN
DF MD CD MN
− +
= ⇔ = ⇒ = ≈
−
+
Ví dụ 1:Một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc nhau. Đáy nhỏ dài 13,724 (cm).
Cạnh bên dài 21,867 (cm). Tính diện tích hình thang đó.
Giải


⇒

222
2ADDCAB =+

⇒
DC =
22
2 ABAD −
S =
2
22






+
=×
+ CDAB
h
CDAB
S =
2
22
2
2



2
vuông góc nhau là
1 2
1
d d
2
S =
Mà ABCD cân nên d
1
= d
2
= a+b →
2
1
( )
2
S a b= +
(
)
2
2 2 2
1
13,724 : 2 21,867 13,724 : 2.
2
S = + −
Xây dựng quy trình bấm máy để có kq chính xác nhất:
13,724
2
: 2 → A
A X→

→ BC = 5 cm (Pytago)
* Sin C = 3/5 →
µ
C
= 36
0
52’12’’
*
µ
B
= 180
0
–
µ
C
= 143
0
7’48’’
3
8
4
H
A
D
C
B
(
IFTSH
1
sin

HD = AD – BC=
36
-8 cm
CD
2
= CH
2
+ HD
2
= 6
2
+ (
36
-8)
2
= 208 - 96
3
= 6,46 cm.
Vậy chu vi C = 6 + 8 + 6,46 +
36
= 30,85 cm.
S = (8+
36
).6/2 = 55,177 cm
2
Bài 2. Hình thang ABCD ( AB// CD) có đường chéo BD hợp với tia BC một góc DAB. Biết
rằng AB = 12,5 cm, DC = 28,5 cm.
a) Tính độ dài x của đường cheo BD ( tính chính xác đến hai chữ số thập phân)
b) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích
( )

·
·
DAB DBC=
( gt)

.
ABD BDC
BD AB
DC BD
BD DC AB
⇒ ∆ ∆
⇒ =
⇒ =
:
b) Ta có:
2
2
ABD
BDC
S BD
k
S DC
∆
∆
 
= =
 ÷
 
B i 3à . Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC = a; BD = b, góc tạo bởi hai đường chéo là
α

S S S
∆ ∆
= +

( )
1
.
2
DK BI AC= +
(1)
Trong
∆
DKE (
µ
K
= 1v)
sin .sin
DK
DK DE
DE
α α
= ⇒ =
(2)
Trong
∆
BEI (
I
$
= 1v)
sin .sin

cm; AD=198,2001cm.
a) Tính AH và AK
b) Tính tỉ số diện tích
ABCD
S
của hình bình hành ABCD và diện tích
HAK
S
∆
của tam giác HAK.
c) Tính diện tích phần còn lại S của hình bình hành khi khoét đi tam giác.

Giải
a) Do
µ
µ
0
180B C+ =

·
µ
µ
·
0
0
180
45 38'25"
HAK C
B HAK
+ =

ABCD
S BC AH AB cm= = ;

·
0
1 1
. sin . .sin 450 38'25"
2 2
HAK
S AH AK HAK AH AK
∆
=

µ µ µ
1
.sin . .sin .sin
2
AB B AD B B=
2
3
. .sin 2
3,91256184
1
sin
. sin
2
ABCD
HAK
S
AB AB B

BE CE
AE EF
=
(1) và
DF CF
AF EF
=
(2)

18
F
E
D
C
B
A
Nhớ AB và A; AD vào B
1/Tính được BD bằng đònh
lý Pitgago rồi tìm OB và HB
hoặc DH. Đsố:
DB=25,61738695 nhớ vào C
AH=12,36311165 nhớ vào D.
DH=9,459649007 nhớ vào E.
HO=OD-DH=3,349044467.
-Tính AE:AD
2
=AH.AE Nên
AE=19,6011729. nhớ vào F
A B
H O

(4)
Theo pitago, ta có AC =
2 2 2 2
40 30AB BC+ = +
.
Ấn phím: ( 40 x
2
+ 30 x
2
) = Kết quả AC = 50
Nên từ (4) cho
. .BE CF DF CE+
= 50.
99
≈ 497,4937 (cm)
Bµi 20: Tính diện tích phần gạch chéo(được giới hạn trong 4 cung tròn như hình vẽ), biết ABCD là
hình vuông cạnh 5,35 cm; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Cách giải Kết quả
Diện tích hình gạch chéo MNPQ bằng diện tích hình
vuông ABCD trừ 4 lần diện tích của một phần tư hình
trong bán kính a/2.
( )
2
2
2
4
1
4. .
4 4 4
MNPQ

O
A
N
B
P
C
Q
D
M
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
Viết quy trình ấn phím tính được IZ = 16 (cm)
sin
·
IOZ
=
16 4
20 5
IZ
IO
= =
Trong hình thang OIMN: sđ
·
OIN
= π - sin
-1
4
5
 
 ÷
 

Viết quy trình ấn phím và tính được S
1
≈ 118,6938 (cm
2
) (để máy tính bằng rad)
Diện tích hình quạt IKN: S
2
=
·
π
−
 
 
−
 ÷
 
 
 
=
2 1
2
4
4 sin
5
.
2 2
IN sdOIN
Viết quy trình ấn phím và tính được S
2
≈ 17,7144(cm

3
S
DEA
. Từ đó suy ra S
DEF
=
1
6
S
DBA
Suy ra S
ABEF
=
5
6
S
DBA
Vậy
1
5
DEF
ABEF
S
S
=
Bài 23: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 3 cm. Vẽ đường tròn tâm D đường kính AC
= 2 cm và đường tròn tâm E đường kính CB = 1 cm. Gọi 2r là độ dài đường kính của đường
tròn tâm I tiếp xúc với cả ba đường tròn nói trên (xem hình vẽ). Tính r (chính xác đến 0,01 cm)

20

) – (IO
2
– IH
2
) =
2 2
1 3
2 2
r r
   
+ − −
 ÷  ÷
   
⇔ (HE – HO)(HE + HO) = 4r – 2 ⇔ HE – HO = 4r – 2 (1) (do HE + HO = OE = 1)
Tương tự: HE
2
– HD
2
= IE
2
– ID
2
=
( )
2
2
1
1
2
r r

đỉnh đối diện của nó trùng nhau. Nếu chiều dài của nếp gấp là
6
cm thì chiều rộng của hình
chữ nhật là bao nhiêu ? (tính chính xác đến 0,0001).
Giả sử hình chữ nhật ABCD được gấp sao cho nếp gấp dọc theo EF và A trùng C. (xem hình
vẽ). Gọi a là chiều rộng của hình chữ nhật .Đặt BE = x thì AE = EC = 5 – x (vì AE trùng với
CE khi gấp)
Trong tam giác vuông BCE: a
2
= (5 – x)
2
– x
2
= 25 – 10x (1)
Vì EF là trung trực của AC nên EF phải đi qua tâm O của hình chữ nhật. Theo tính chất đối
xứng thì DF = BE = x.
Kẻ FG ⊥ AB thì FG = a và GE = AE – AG = 5 – x – x = 5 – 2x
Từ tam giác vuông EFG: a
2
= 6 – (5 – 2x)
2
= 20x – 19 – 4x
2
(2)
Từ (1) và (2): 4x
2
– 30x + 44 = 0 ⇔ x = 2 hay x =
11
2


5 - x
a
a
F
G
E
D
C
B
A
Phạm Thanh Duy – Trường THCS Tạ An Khương Nam – Đầm Dơi – Cà Mau
1) Ta có:
2 2 2 2 2 2
2 3 6 9 130AB AC+ = + + + =

2 2 2
3 11 130BC = + =
Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

2
1
19,50
2
ABC
S AB AC cm= × =
2) Tam giác ABC vuông tại A nên:
1 1
2 2
ABC
S AB AC BC AH= × = ×

2
AM BC= ≈
cm
( )
2
1 1 1
3,42 5,70 2,85 4,87
2 2 2
ADM ABM ABD
S S S AH BC BD cm
 
= − = − ≈ × − ≈
 ÷
 

Bài 25: Từ đỉnh của một cái cây có treo một cái dây thả xuống đất thì thừa một đoạn có độ dài
là 12,5 m. Nếu kéo căng dây ra thì đầu dây chạm đất ở một khoảng cách là 15,5 m so với gốc
cây. Hãy tính độ dài của dây (chính xác đến cm).
Gọi a là độ cao của cây thì độ dài của dây là c - cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc
vuông là a = c – 12,5 và 15,5.
Áp dụng định lý Pitago: (c – 12,5)
2
+ 15,5
2
= c
2
Tìm được c =
2 2
15,5 12,5
2.12,5

4) TÝnh c¸c gãc cđa tam gi¸c ABC
Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC víi c¸c ®Ønh A(4,324; 7,549); B(12,542; 13,543); C(-5,768; 7,436) .
1) TÝnh sè ®o(®é , phót , gi©y) cđa gãc A .
2) TÝnh gi¸ trÞ gÇn ®óng víi ba ch÷ sè thËp ph©n cđa diƯn tÝch tam gi¸c ABC .
Bµi 6: Tính diện tích tam giác ABC biết A(8; -3); B(-5; 2); C(5; 7).
Tính diện tích tam giác. ĐS: S = 75,7
Bài7:Cho tam giác ABC có BC=8,876; AC=7,765; AB=6,654
a)Tính số đo(độ,phút,giây) của gócBAC.
b) Gọi G, H lần lượt là trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.Tính gần đúng với 5 chữ số
thập phân độ dài các đoạn GA và GH.

23
KQ:

)(98783,40
7,5035107)max(
)(15291,3
)(66639,4
2
'''0
max
dmS
dmr
dmR
ABC
≈
≈




cm. TÝnh ®é dµi ®êng
trung tun AM vµ diƯn tÝch cđa tam gi¸c ABC.
Bµi 13: Cho tam gi¸c ABC víi AB = 7,624 cm ; BC = 8,751 cm ; AC = 6,318 cm . TÝnh gÇn
®óng víi b¶y ch÷ sè thËp ph©n ®é dµi cđa ®êng cao AH , ®êng ph©n gi¸c trong AD vµ b¸n kÝnh
®êng trßn néi tiÕp r cđa tam gi¸c ABC .
Bài 14: Cho
ABC∆
vuông ở A, đường cao AH=20cm, HB=20cm, HC=45cm. Vẽ đường tròn
tâm A bán kính AH. Kẽ các tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm
khác H). Gọi K là giao điểm của CN và HA . Gọi I là giao điểm của AMvà BC.
a. Tính S tứ giác BMNC. b.Tính độ dài AK , KN , IM và IB.
Bài 15:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (0,R) có AB =8cm, AC=15cm, đường cao
AH=5cm (Điểm H nằm ngoài cạnh BC ).Tính bán kính của đường tròn .
Bài 16: Cho tam giác đều ABC có cạnh 8cm, Một tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp tam
giác. Cắt các cạnh AB và AC ở M và N. Tính diện tích tam giác AMN biết MN =3cm.
Bµi 17: Cho
∆
ABC cã ®êng trung tun CM, AN, BP c¾t nhau t¹i G.
Gi¶ sư AB = 3,2 ; CM = 2,4 ; AN = 1,8 .H·y tÝnh:
a/ §êng cao GH cđa tam gi¸c AGM b/DiƯn tÝch tam gi¸c ABC
c/TÝnh ®é dµi ®êng trung tun cßn l¹i cđa tam gi¸c ABC.
d/TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cßn l¹i cđa tam gi¸c ABC.
Bµi 18:Cho tam gi¸c ABC, BC = 40 cm, ®êng ph©n gi¸c AD = 45 cm, ®êng cao AH=36 cm.
TÝnh BD, CD.
Bài 19 : Cho ∆ ABC cân tại C, cạnh AB =
3
, đường cao CH =
2
.Gọi M là trung điểm HB,
N là trung điểm của BC , AN và CM cắt nhau tại K. Biết KM =5cm. Tính KA.

57
0
48’; C
≈
45
0
35’. b) AM
≈
2,79cm;
c) SAHM
≈
0,66cm
2
.
Lo¹i 2: BiÕt 2 c¹nh vµ mét gãc
Bµi 7: Tam gi¸c ABC cã 90
o
<
∠
A < 180
o
vµ sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6.
TÝnh: 1) §é dµi c¹nh BC ? Trung tun AM ?
2) Gãc
∠
B=? 3) DiƯn tÝch tam gi¸c S = ?
Bµi 8:TÝnh c¹nh BC, gãc B, gãc C cđa
∆
ABC,biÕt: AB =11,52; AC=19,67 vµ gãc
∠

Bµi 9:Tam gi¸c ABC cã
∠
A=90
o
; AB=7cm ; AC=5 cm.
TÝnh ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong AD vµ ph©n gi¸c ngoµi AE ?
Bµi 10.cho tam giác ABCvuông ở A,BC =8,916cm đường phân giác trong AD biết
BD=3,178cm .tính AB,AC.
Bài 11:Cho tam giác ABC có AB= 32,25cm; AC= 35,75cm số đo góc A bằng 63
0
25’. Tính
diện tích tam giác ABC, độ dài cạnh BC và số đo các góc B và C.
Bài 13:Cho tam giác ABC có góc B bằng 120
0
, BC=12 cm, AB=6 cm, đường
phân giác góc B cắt cạnh AC tại D.
a) Tính độ dài đường phân giác BD.
b) Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ABC
c) Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác BCD
d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM
⊥
BD
Bµi 14.Cho tam giác ABC cã  = 1v kỴ ®êng cao AH. Trên tia HC lÊy ®iĨm BH = HD. Từ C
kỴ CK vu«ng gãc víi AD. Cho AB=10,45 cm; AC=15,768cm
a.Tính AH b. Tính KC; HK
c. GoI lµ trung điểm AC. Giao điểm của HI với AK là E. tính AE và gãc HCK
AH = 8,710701213 KC= 6,143911261 AE = 4,812044394 góc ACK = 67
0
43’47’’
Bµi 15.Cho tam gi¸c ABC (vu«ng ë A) kỴ AH lµ ®êng cao cho AB = 8,1567; AC = 1,8956