1
MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài khóa luận:
Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không
gian vectơ ñược trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến
tính liên tục giữa chúng. Ra ñời vào những năm ñầu của thế kỷ XX, bắt nguồn từ
các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm, ñến nay giải
tích hàm tích lũy ñược những thành tựu quan trọng và nó ñã trở thành chuẩn
mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học.
Tại trường ðại học Hùng Vương, sinh viên chuyên ngành toán ñã ñược
làm quen, tìm hiểu về lĩnh vực này mà bắt ñầu là học phần “Tôpô ñại cương”.
Tôpô ñại cương là môn toán cơ sở về lý thuyết giới hạn và liên tục. Tôpô ñại
cương trình bày những khái niệm cơ bản của tôpô, phân loại các không gian
tôpô… ðây là những kiến thức cơ bản cần thiết cho nhiều lĩnh vực toán học
khác nhau như: Lý thuyết ñộ ño và tích phân, hình học vi phân …
Khi nghiên cứu sâu về tôpô ta nhận thấy có rất nhiều không gian thỏa mãn
là một không gian tôpô khi ta trang bị một tôpô trên nó. Các tôpô này chủ yếu
ñược xây dựng từ các tập mở, hoặc từ một họ các ánh xạ cho trước. Trong số các
không gian vectơ tôpô, một lớp không gian ñặc biệt quan trọng là các không
gian lồi ñịa phương.
Không gian lồi ñịa phương E là một không gian vectơ tôpô mà 0
∈
E có
một cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi. Tôpô trên không gian này ñược gọi là
tôpô lồi ñịa phương, có thể có một hoặc nhiều tôpô khác nhau trên cùng một
không gian lồi ñịa phương, và tôpô sinh bởi họ gồm tất cả các tập lồi, cân, hút
trong E ñược gọi là tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất trên E.
Ngoài những ñặc ñiểm tương tự các không gian mà ta ñã biết, thì không
gian lồi ñịa phương cũng có một số tính chất và ñặc ñiểm khác. Vậy cụ thể
khóa luận gồm hai chương chính:
Chương 1. Kiến thức cơ sở
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. ðịnh nghĩa và ví dụ
1.1.2. Lân cận của một ñiểm, ñiểm trong, tập ñóng
1.1.3. So sánh hai tôpô
3
1.1.4. Cơ sở của một không gian tôpô
1.1.5. Xây dựng tôpô có cơ sở cho trước hoặc có các tập ñóng cho trước
1.1.6. Ánh xạ liên tục giữa hai không gian tôpô và phép ñồng phôi
1.1.7. Tôpô ñầu xác ñịnh bởi một họ ánh xạ
1.1.8. Tôpô cuối xác ñịnh bởi một họ ánh xạ
1.1.9. Các tiên ñề tách
1.2. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn
1.2.1. ðịnh nghĩa
không gian vectơ
1.2.2. ðịnh nghĩa không gian vectơ con
1.2.3. ðịnh nghĩa sơ chuẩn, nửa chuẩn, chuẩn
1.2.4. ðịnh nghĩa không gian tuyến tính ñịnh chuẩn
1.2.5. ðịnh nghĩa tập lồi, cân, hút
1.2.6. Các tính chất sơ cấp của tập lồi
1.2.7. Phiếm hàm Minhowsh
1.3. Không gian vectơ tôpô
1.3.1. ðịnh nghĩa và ví dụ
1.3.2. Các tính chất suy ra từ tính liên tục của các phép toán ñại số
1.3.3. Cơ sở lân cận của một không gian vectơ tôpô
1.3.4. Các tính chất của tôpô vectơ
Chương 2. Không gian lồi ñịa phương
5
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.
KHÔNG GIAN TÔPÔ.
t T
U
∈
là một họ những tập con của X và
t
U
τ
∈
với
t T
∀ ∈
thì :
t
t T
U
τ
∈
∈
∪
Tập X gọi là không gian, các phần tử của X gọi là các ñiểm, mỗi phần tử của
τ
gọi là một tập mở trong không gian X. Họ
τ
gọi là một tôpô trên tập X. Như vậy:
1)Tập
∅
và toàn bộ không gian X là tập mở.
2) Giao hữu hạn những tập mở là tập mở.
ọ
i là không gian tôpô ph
ả
n r
ờ
i r
ạ
c hay không
gian tôpô t
ầ
m th
ườ
ng.
Ví dụ 3
: Cho X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p, a
∈
X. H
ọ
τ
=
{
}
a
tôpô này là tôpô Sierpinski trên X=
{
}
0,1
cho b
ở
i
τ
=
{
}
{
}
, 0 ,X
∅
.
Ví dụ 4:
Cho X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p, a
∈
X. H
ọ
1.1.2. Lân cận của một ñiểm, ñiểm trong, tập ñóng.
a. Lân cận của một ñiểm:
Cho X là không gian tôpô,
X
x
∈
. Tập con V của X ñược gọi là một lân cận
của x nếu tồn tại U
τ
∈
:
U V
x
∈ ⊂
ðịnh lí 1: Nếu V
x
là họ tất cả các lân cận của ñiểm x thì
(i)
V
x
∈
với mọi V
∈
V
x
(ii) Nếu V
1
∈
V
x
(iv) Với mỗi V
∈
V
x
có một W
∈
V
x
sao cho V
∈
V
y
cho mọi y
∈
W
Ngược lại, nếu với mỗi
x
∈
X có một họ V
x
các tập con của X sao cho thỏa mãn
các ñiều kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên X nhận mỗi V
x
làm họ tất cả các
lân cận của ñiểm x
Chứng minh:
V
x
với mọi
x
∈
G. Rõ
ràng
∅
∈
G và do (i) và (iii) nên X
∈
G. Vả lại nếu G
1
, G
2
∈
G thì G
1
∩
G
2
∈
G,
vì với mọi
x
∈
G
2
∈
V
x
. Nếu G
α
∈
G thì
G
α α
∪
∈
G, vì với mọi
x
∈
G
α α
∪
ta có
x
∈
0
G
α
( với một
0
α
nào ñó ) và
0
V
x
rồi
do ñó theo (iii) V
∈
V
x
. Ngược lại, cho V
∈
V
x
và gọi G là tập tất cả các ñiểm y
sao cho V
∈
V
y
. Với mỗi y
∈
G, vì V
∈
V
y
nên theo (iv) có một W
y
∈
V
y
sao
cho V
∈
làm họ tất cả các lân cận của
x
. Nếu có một tôpô G
*
cũng
có các tính chất ñó thì dễ thấy rằng G = G
*
b. ðiểm trong:
X là một không gian tôpô, A
⊂
X, x
0
ñược gọi là ñiểm trong của A nếu tồn tại
một lân cận U của x
0
sao cho U
⊂
A
Nhận xét: A là mở khi và chỉ khi
A :
x
∀
∈
x là ñiểm trong của A
Chứng minh:
⇒
A mở. Ta cần chứng minh
x
∀
A
U A
x
x∈
⊂
∪
Vì x
∈
U
x
nên
x
∀
∈
A ta có : A
A
U
x
x∈
⊂
∪
⇒
A =
A
U
x
x∈
∪
) thì X và
∅
vừa là tập ñóng vừa là tập
mở.
ðịnh lí 2: Nếu D là họ tất cả các tập ñóng trong không gian tôpô (X,
τ
).
Khi ñó:
(i)
D,X D
∅
∈ ∈
(ii) Hợp hữu hạn các tập ñóng là tập ñóng
(iii) Giao tùy ý các tập ñóng là tập ñóng
Chứng minh:
(i) Do
τ
∅
∈
X \ X
⇒ ∅=
∈
D
X
τ
∈
X \ X
⇒ = ∅
∈
=
∩
Do A
i
là
ñ
óng nên X\ A
i
là m
ở
. Suy ra
n
i
i 1
(X \ A )
=
∩
là m
ở
n
i
i 1
X A
\
τ
=
⇒
∈
ðặ
t B =
i
i I
B
∈
∩
Ta có: X\ B = X\
i
i I
B
∈
∩
=
i
i I
(X \ B )
∈
∪
Do B
i
∈
D nên X\ B
i
∈
τ
Cho X
≠ ∅
xác
ñị
nh hai tôpô
2
1
,
τ τ
trên X. N
ế
u
2
1
τ τ
⊂
thì ta nói
2
τ
m
ạ
nh
(m
ị
n) h
ơ
n
1
τ
ho
ờ
i
r
ạ
c là tôpô m
ạ
nh nh
ấ
t.
1.1.4. Cơ sở của một không gian tôpô
a. Cơ sở của một không gian tôpô.
Cho không gian tôpô (X,
τ
),
B
τ
⊂
ñược gọi là một cơ sở của không gian
tôpô X nếu với mọi A
∈
τ
tồn tại
{
}
i
i I
B
∈
, B
i
∈
B
⊂
A.
Ví dụ 1: X = {a , b, c },
τ
= {X,
∅
, {a}, {a, b}, {a,c}}. Khi ñó
τ
là một tôpô
trên X và cũng là cơ sở của không gian X.
ðịnh lí 3: Cho không gian tôpô (X,
τ
) có cơ sở B. Khi ñó B có các tính chất
sau:
(i)
∀
U
1
∈
B ,
∀
U
2
∈
U.
Chứng minh:
(i)
∀
U
1
∈
B ,
∀
U
2
∈
B
⇒
U
1
∩
U
2
là tập mở nên U
1
∩
U
2
∈
τ
. Theo ñịnh
∉
U. Khi ñó mỗi tập mở A trong X chứa x
thì không tồn tại U
∈
B sao cho U
⊂
A
⇒
Mâu thuẫn với giả thiết B là cơ sở
⇒
∀
x
∈
X tồn tại U
∈
B sao cho x
∈
U (ñpcm).
b. Cơ sở lân cận của không gian tôpô tại một ñiểm.
Giả sử x là một ñiểm của không gian tôpô X. Họ B(x) những lân cận của x
ñược gọi là một cơ sở lân cận của không gian tôpô (X,
τ
) hay cơ sở lân cận của
tôpô
τ
tại ñiểm x nếu với mỗi lân cận V của x tồn tại một tập hợp U
∈
B(x) sao
cho U
⊂
x
∈
X thì B
x
≠
∅
(ii)
∀
x
∈
U
∈
B
x
, tồn tại V
∈
B
x
sao cho x
∈
V
⊂
U
(iii)
∀
U
1
gọi là hệ thống ñầy ñủ các lân cận của không gian tôpô (X,
τ
)
Chứng minh:
(i)
∀
U
∈
B
x
⇒
U là một lân cận của x. Khi ñó theo ñịnh nghĩa lân cận của một
ñiểm thì x
∈
U.
x
∀ ∈
X : Họ tất cả các lân cận của X là một cơ sở lân cận
⇒
B
x
≠
∅
(ii) Suy ra từ ñịnh nghĩa cơ sở lân cận
10
x
sao cho x
∈
U
⊂
U
1
∩
U
2
.
1.1.5. Xây dựng tôpô có cơ sở cho trước hoặc có các tập hợp ñóng cho
trước:
Chúng ta ñã biết là một cơ sở B của không gian tôpô (X,
τ
) có các tính chất:
a) Với mọi
1
U
,
2
U
∈
B, với mọi
x
∈
∩
1 2
U U
2
U
∈
B, với mọi
x
∈
∩
1 2
U U
, tồn tại
U
∈
B sao cho:
∈ ⊂ ∩
1 2
U U U
x
b) Với mọi
∈
X
x
, tồn tại
U
∈
B sao cho :
∈
U
x
là thuộc
τ
.
Giả sử U, V
τ
∈
khi ñó :
s s
s S
U U , U
∈
= ∈
∪
B với mọi s
∈
S và
t t
t T
V ,V
V
∈
∈
=
∪
B, với mọi t
∈
T
Do ñó:
( )
s t s t
∈ ∩
luôn tồn tại
U B
x
∈
sao cho:
s t
U U V
x
x
∈ ⊂ ∩
do ñó
s t
s t
U V
U V U
x
x∈ ∩
∩ =
∪
. Vậy
s
t
U V
τ
∩ ∈
với mỗi t
∈
T và
s
∈
D,
t T
∀ ∈
thì
t
t T
F
∈
∩
∈
D
ðảo lại, nếu họ D các tập con của tập hợp X có các tính chất trên thì tồn
tại hay không một tôpô trên X mà các tập hợp thuộc D và chỉ các tập hợp ñó là
các tập hợp ñóng. Ta xét ñịnh lý sau:
ðịnh lí 6: Giả sử T là tập hợp khác rỗng, D là một họ các tập con của một tập
hợp X thỏa mãn ba ñiều kiện:
a)
D,X D
∅∈ ∈
b) Nếu F
1
, F
2
∈
D thì
ỉ
các t
ậ
p
ñ
ó là các t
ậ
p h
ợ
p
ñ
óng c
ủ
a không gian tôpô (X,
τ
).Tôpô
τ
ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư
trên g
ọ
i là tôpô xác
ñị
nh b
ở
i h
τ τ
∅∈ ∈
Gi
ả
s
ử
A
i
∈
D (i =
1,n
)
⇒
X \ A
i
∈
τ
Ta có:
( )
n
i
i 1
X \ A
=
là t
ậ
p m
ở
.
Gi
ả
s
ử
B
i
∈
D ( i
∈
I )
⇒
X \ B
i
∈
τ
.
Ta có:
12(
ở
là t
ậ
p m
ở
⇒
τ
là m
ộ
t tôpô trên X và nh
ậ
n D là t
ậ
p
ñ
óng (
ñ
pcm)
1.1.6. Ánh xạ liên tục giữa hai không gian tôpô, phép ñồng phôi
a. Ánh xạ liên tục giữa hai không gian tôpô
ðịnh nghĩa: Cho hai không gian tôpô (X,
X
τ
) và ( Y,
Y
τ
).
Ánh xạ f : X
→
(
0
x
) trong Y thì
(
)
1
U
−
f là lân c
ậ
n c
ủ
a
0
x
trong X.
ðịnh lí 7:
Cho hai không gian tô pô X, Y và ánh x
ạ
f
: X
→
Y.
x
b
là c
ạ
i x khi
và ch
ỉ
khi v
ớ
i m
ọ
i V
∈
(
)
f x
D
thì t
ồ
n t
ạ
i U
∈
x
b
sao cho
f
(U)
⊂
V
Chứng minh:
ủ
a x trong X sao cho
f
(W)
⊂
V.
Vì
x
b
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a X và W
⊂
X nên t
ồ
n t
ạ
i U
∈
x
b
sao cho U
⊂
W. Khi
ñ
ó ta
s
ở
trong Y t
ạ
i
f
(x) nên t
ồ
n t
ạ
i V
∈
(
)
f x
D
sao cho V
⊂
G
Theo gi
ả
thi
ế
t t
ồ
n t
ạ
i U
→
Y liên
t
ụ
c khi và ch
ỉ
khi v
ớ
i m
ọ
i V
∈
Y
τ
ta
ñề
u có
(
)
1
V
−
f
∈
X
τ
1
V
−
f
≠∅
và x là một ñiểm bất kỳ của
(
)
1
V
−
f
. Khi ñó
f
(x)
∈
V
Vì f liên tục tại x và V là một lân cận của
f
(x) nên theo ñịnh nghĩa thì tồn tại
một lân cận U của x sao cho U
⊂
(
)
1
V
−
f
(
)
1
V
−
f
∈
X
τ
⇒
(
)
1
V
−
f
là lân cận của mọi ñiểm x
∈
(
)
1
V
−
f
⇒
tồn tại U
∋
f
: X
→
Y. Khi ñó các
mệnh ñề sau là tương ñương :
(i) f liên tục
(ii) Tạo ảnh của mỗi tập ñóng trong Y là một tập ñóng trong X
(iii) Với mỗi tập A
⊂
X ta ñều có
(
)
A
f
⊂
(
)
A
f
(iv) V
ớ
i m
ọ
i B
⊂
Y ta
ñề
u có
−
⊂
(
)
1
Int B
f
−
.
Chứng minh:
(i)
⇒
(ii) Gi
ả
s
ử
F là t
ậ
p
ñ
óng trong Y khi
ñ
ó Y \ F là m
ở
trong Y. Theo
ñị
nh lý
8 thì:
ñ
óng trong X
(ii)
⇒
(iii) Do
(
)
A
f
là t
ậ
p
ñ
óng trong Y nên
( )
(
)
1
A
f f
−
là
ñ
óng trong X
Ta có :
A
⊂
( )
(
f
.
(iii)
⇒
(iv) Ta có:
( )
(
)
1
B
f f
−
⊂
( )
(
)
1
B
f f
−
⊂
B⇒
f
−
= X \
(
)
1
Y \ B
f
−
Vì
(
)
1
Y \ B
f
−
⊂
(
)
1
Y \ B
f
−
nên
(
)
1
Int B
trong Y khi
ñ
ó Int V = V.
T
ừ
(v) ta có :
(
)
1
V
f
−
=
(
)
1
Int V
f
−
⊂
(
)
1
Int V
f
−
⇒
⇒
f
là liên t
ụ
c (
ñ
pcm)
ðịnh lí 10 :
Cho ba không gian tôpô X, Y, Z và
f
: X
→
Y, g : Y
→
Z là
các ánh x
ạ
liên t
ụ
c. Khi
ñ
ó h = g
0
f
: X
→
Z c
ở
trong X.
Mà h
-1
(V) =
(
)
1 1
g V
f
− −
⇒
h là liên t
ụ
c
ðịnh nghĩa
: Ánh x
ạ
f t
ừ
không gian X
ñế
n không gian Y
ñượ
c g
15
b. Phép ñồng phôi:
ðịnh nghĩa: Ánh xạ
f
: X
→
Y từ không gian X ñến không gian Y ñược gọi
là phép ñồng phôi nếu
f
là song ánh và
f
,
1
f
−
ñều là các ánh xạ liên tục. Khi
ñó hai không gian X và Y ñược gọi là ñồng phôi với nhau.
ðịnh lí 11:
f
: X
→
Y là song ánh liên tục từ không gian X lên không gian
Y. Khi ñó các mệnh ñề sau là tương ñương :
a) f là phép ñồng phôi
c. Giả sử F là ñóng khi ñó X \ F là mở. Do
f
là ánh xạ mở nên ta có:
(
)
(
)
X \ F Y \ F
f f
=
là mở trong Y
Từ ñó suy ra
(
)
F
f là
ñ
óng
V
ậ
y
f
là ánh x
ạ
ñ
óng.
c
⇒
ch
ỉ
c
ầ
n ch
ỉ
ra
1
f
−
liên t
ụ
c
Ta có :
1
f
−
: Y
→
X
V
ớ
i m
ỗ
i U
∈
X
τ
thì X\U là
ñ
⇒
(
)
( )
1
1
U
f
−
−
∈
Y
τ
⇒
1
f
−
liên t
ụ
c
V
ậ
y
f
là phép
ñồ
s
f
: X
→
s
Y
. Hiển nhiên nếu ta thay
τ
bằng
τ
′
(trên X) mạnh hơn
τ
thì mỗi ánh xạ
s
f
của họ ánh xạ ñó vẫn liên tục.
(Vì với mọi V
∈
s
τ
thì
(
)
1
s
V
−
f
τ
nhưng do
τ
′′
⊂
τ
nên chưa chắc
(
)
1
s
V
−
f
ñã thuộc
τ
′′
.
ðịnh lí 12 : Giả sử X là một tập hợp ,
(
)
{
}
s
s
s S
Y ,
τ
f
−
=
∩
Trong ñó s
1
, … , s
k
∈
S,
i
V
là tập hợp mở trong không gian
i
s
Y
với i = 1,…,k
là một cơ sở của không gian tôpô (X,
τ
). Tôpô
τ
gọi là tôpô ñầu xác ñịnh bởi họ
ánh xạ
{
}
s
s S
f
1
∩
U
2
thì ta có
i
s
( )
f x
∈
i
s 1 2
(U U )
∩
f
(
∀
i =
1,k
, s
∈
S). G
ọ
i V
i
là
lân c
ậ
i
nh
ư
trên ).
⇒
(
)
i
1
s i
V
f
−
là lân c
ậ
n c
ủ
a x trong X. 17
Ta có:
x
∈
(
)
i
1
s i
U
2
ðặ
t U =
( )
i
k
1
s i
i 1
V
f
−
=
∩
ta có : x
∈
U
⊂
U
1
∩
U
2
.
+)
∀
x
ụ
c (
s S
∀ ∈
) nên
(
)
i
1
s i
V
f
−
là lân c
ậ
n c
ủ
a x trong X.
⇒
( )
i
k
1
s i
i 1
V
f
−
=
i m
ộ
t tôpô
τ
trên X có c
ơ
s
ở
B
M
ỗ
i ánh x
ạ
s
f
ñề
u liên t
ụ
c
ñố
i v
ớ
i tôpô
τ
và
τ
là y
t c
ả
s
f
ñề
u liên t
ụ
c. Khi
ñ
ó v
ớ
i m
ỗ
i V là m
ở
trong
s
Y
thì
(
)
1
s
V
f
−
∈
τ
a m
ộ
t h
ọ
nào
ñ
ó nh
ữ
ng t
ậ
p h
ợ
p d
ạ
ng (*) thì U
∈
τ
′
.
⇒
τ
⊂
τ
′
V
ậ
ạ
s
f
: X
→
s
Y
t
ừ
t
ậ
p h
ợ
p X vào
không gian tôpô
(
)
s
s
Y ,
τ
,
τ
là tôpô
ñầ
u xác
ñị
nh b
ở
i h
ỉ
khi v
ớ
i m
ọ
i s
∈
S thì ánh x
ạ
:
s
f
0
g : Z
→
s
Yñề
u liên t
ụ
c.
Chứng minh:
[
⇒
N
ế
f
0
g : Z
→
s
Y
liên t
ụ
c (
∀
s
∈
S) và V =
( )
i
k
1
s i
i 1
V
f
−
=
∩
là
t
ậ
p m
ở
s i s i
i 1 i 1
g V g V g V
f f
−
− − −
= =
= =
∩ ∩
Vì
s
f
0
g liên t
ụ
c nên
(
)
1
g V
−
( )
( )
o
i
k
−
∈
Z
τ
. V
ậ
y g liên t
ụ
c(
ñ
pcm)
1.1.8. Tôpô cuối xác ñịnh bởi một họ ánh xạ:
Giả sử
(
)
{
}
s
s
s S
X ,
τ
∈
là một họ không gian tôpô, (Y,
τ
) là một không gian
tôpô và
thì tính liên tục của các
ánh xạ
s
f
có thể không ñược bảo toàn.
ðịnh lí 14: Giả sử
(
)
{
}
s
s
s S
X ,
τ
∈
là một họ không gian tôpô, Y là một tập hợp
và
{
}
s
s S
f
∈
là một họ ánh xạ trong ñó
s
f
:
s
∈
S
Tôpô
τ
ñược gọi là tôpô cuối xác ñịnh bởi họ ánh xạ
{
}
s
s S
f
∈
.
Chứng minh:
Ta thấy
τ
xác ñịnh như trên là một tôpô trên Y. Ta sẽ chứng minh
τ
là tôpô mạnh
nh
ất trong tất cả các tôpô trên Y sao cho tất cả các
s
f
ñều liên tục (
∀
s
∈
S ).
Giả sử
τ
⇒
τ
′
⊂
τ
. Vậy
τ
là tôpô mạnh nhất trên
Y(
ñpcm).
ðịnh lí 15: Giả sử
{
}
s
s S
f
∈
là một họ ánh xạ trong ñó
s
f
:
s
X
→
Y từ không gian
tôpô
X
→
Z ñều liên tục.
Chứng minh:
[
⇒
Nếu g liên tục thì hiển nhiên g
o
s
f
:
s
X
→
Z liên tục (
∀
s
∈
S ).
]
⇐
Ngược lại, giả sử
∀
s
∈
S ta có g
o
s
f
:
∀
s
∈
S )
⇒
(
)
1
g V
−
là một tập mở trong Y ñối với
τ
⇒
g liên tục (ñpcm)
1.1.9. Các tiên ñề tách:
a. T
0
– không gian ( Không gian Kolmogov)
ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,
τ
) ñược gọi là một T
0
– không gian (hay
không gian Kolmogov) nếu với hai phần tử khác nhau bất kì x, y của X tồn tại
một tập hợp U
τ
∉
V
.
Nhận xét: T
1
– không gian là T
0
– không gian.
c. T
2
– không gian ( Không gian Hausdorff )
20
ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,
τ
) ñược gọi là T
2
– không gian (hay không
gian Hausdorff ) nếu với mỗi cặp ñiểm khác nhau bất kì x, y
∈
X luôn tồn tại
một lân cận
U
của x và một lân cận
ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,
τ
) ñược gọi là T
3
– không gian (hoặc không
gian chính qui) nếu X là T
1
– không gian và với mọi x
∈
X, với mọi tập ñóng
F
⊂
X,
∀
x
∉
F, luôn tồn tại tập U, V
∈
τ
, U
x
∋
,
V F
⊃
sao cho U
∩
V =
∅
.
[
]
0;1
sao cho:
f
(x) = 0 ;
f
(y) = 1 (
∀
y
∈
F )
Không gian hoàn toàn chính qui còn ñược gọi là không gian Tichonov
g. T
4
- không gian ( Không gian chuẩn tắc )
ðịnh nghĩa: Không gian tôpô X ñược gọi T
4
– không gian ( hay không gian
chuẩn tắc ) nếu X là một T
1
– không gian và với hai tập ñóng rời nhau bất kì A,
B trong X tồn tại các tập U, V
∈
τ
sao cho A
⊂
, x)
→
λ
x ,
λ
∈
K, x
∈
X
21
gọi là một không gian tuyến tính ( hoặc không gian vectơ) nếu các ñiều kiện sau
ñây ñược thỏa mãn:
a) x + y = y + x với mọi x, y
∈
X
b) (x + y ) + z = x + ( y +z ) với mọi x, y, z
∈
X
c) Tồn tại một phần tử 0 của X sao cho x + 0 = x với mọi x
∈
X
d) Với mỗi phần tử x của X tồn tại một phần tử - x của X sao cho x +(-x) = 0
e)
λ
(x + y) =
λ
x +
µ
∈
K, x
∈
X
h) 1.x = x với mọi x
∈
X
Nếu K =
ℝ
thì X ñược gọi là một không gian tuyến tính thực, nếu K =
ℂ
thì X
ñược gọi là một không gian tuyến tính phức.
Ví dụ 1: Giả sử T là một tập hợp tùy ý. Gọi
K
T
là tập hợp các hàm số
x : T
→
K xác ñịnh trên tập hợp T và lấy giá trị trong K. Ta trang bị hai phép
toán:
( x + y) (t) = x (t) + y (t)
t T
∀ ∈
(
Ví dụ 2: Tập V cũng là không gian con của V.
1.2.3. ðịnh nghĩa sơ chuẩn, nửa chuẩn, chuẩn.
Giả sử X là một không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực hay các
số phức. Hàm số thực
ρ
: X
→
ℝ
xác ñịnh trên X 22
ρ
ñược gọi là một sơ chuẩn trên X nếu thỏa mãn :
a)
ρ
(
λ
x) =
λ
ρ
(x)
∀
0
λ
≥
∈
X
b)
ρ
(
λ
x) =
λ
ρ
(x) với mọi
λ
∈
K,
X
x
∀ ∈
c)
ρ
(x + y )
≤
ρ
(x) +
ρ
(y) với mọi x, y
∈
X
c)
ρ
(x + y )
≤
ρ
(x) +
ρ
(y) với mọi x, y
∈
X
1.2.4. ðịnh nghĩa không gian tuyến tính ñịnh chuẩn:
Cặp (X, ), trong ñó X là một không gian tuyến tính và là một chuẩn trên
X, gọi là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn.
Ví dụ 1:
ℝ
và
ℂ
là những không gian tuyến tính ñịnh chuẩn với chuẩn xác
ñịnh bởi :
x x
=
với
x
∈
x
ε ε
= ∈
Ví dụ 3: Không gian B(T) các hàm số thực (phức) xác ñịnh và giới nội trên T
( T là một tập hợp tùy ý) là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn với chuẩn:
t T
sup ( )
x x t
∈
=
1.2.5. ðịnh nghĩa tập lồi, cân , hút.
Tập con X trong không gian vectơ E gọi là:
23
lồi nếu
}
{
a,b : ta +(1- t)b: 0 t 1 X, a, b X
= ≤ ≤ ⊂ ∀ ∈
cân nếu
ế
u nó
ñồ
ng th
ờ
i là l
ồ
i và cân,
ñ
i
ề
u này t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
ñ
i
ề
u
ki
ệ
n:
x
∀ ∈
X,
∀
ó các t
ậ
p
{
}
B B( ): E: ( ) 1
x x
ρ ρ
= = ∈ <
và
{
}
B B( ): E: ( ) 1
x x
ρ ρ
= = ∈ ≤
là l
ồ
i cân và hút
Chứng minh:
Ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
ñố
+ − ≤ + −
⇒
+ − ≤ + −
⇒
+ − < + −
⇒
+ − <
⇒
+ − ∈
M
ặ
t khác
( ) ( ) ( ) 1
x x x
ρ λ λ ρ ρ
= ≤ <
,
1
λ
∀ ≤
Cu
ố
i cùng n
ế
u
E
x
∈
lồi với mọi
I
λ
∈
và
I
D D
λ
λ
∈
=
∩
khi ñó
t 0,1
∀ ∈
,
24
a, b
D
∈
thì :
ta (1 t)b D I
λ
λ
+ − ∈ ∀ ∈
p
l
ồ
i bao hàm A
ñ
ó là X. Giao c
ủ
a t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p l
ồ
i bao hàm A
ñươ
ng nhiên là t
ậ
p
l
ồ
i nh
ỏ
nh
ấ
t bao hàm A: Ta g
ọ
i nó là bao l
ồ
ủ
a X là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
x
có d
ạ
ng:
k k
1 1 2 2
x x x x
α α α
= + + +
Trong
ñ
ó
1 2
k
, , ,
α α α
là nh
ữ
ng s
ố
∈
khi
ñ
ó:
(i) N
ế
u D là t
ậ
p l
ồ
i thì
α
D,
x
+ D là các t
ậ
p l
ồ
i, h
ơ
n n
ữ
a n
ế
u E là t
ậ
p l
ồ
i thì
D + E c
t v
ậ
y, ta có:
(i)
t [0,1]
∀ ∈
thì
t D (1 t) D [ tD (1 t)D] D
α α α α
+ − = + − ⊂
Và
t( D) (1 t)( D) [ tD (1 t)D] D
x x x x
+ + − + = + + − ⊂ +
Do
ñ
ó
α
D,
x
+ D là các t
ậ
p l
ồ
i
N
ế
K
λ
∈
,
1
λ
≤
ta có
( D) ( D) D
λ α α λ α
= ⊂
⇒
D
α
là t
ậ
p cân
N
ế
u E là t
ậ
p cân thì v
ớ
i
K, 1
λ λ
∀ ∈ ≤
ta có
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
vect
ơ
t
∈
X
ñề
u có m
ộ
t s
ố
0
ε
>
sao cho toàn
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng n
ố
i
a
N
ế
u m
ộ
t t
ậ
p l
ồ
i D có m
ộ
t
ñ
i
ể
m trong a và n
ế
u b
∈
D thì m
ọ
i
ñ
i
ể
m
c =
a (1 )b
α α
m trong D. Khi
ấ
y
(
)
b
S S 1
α α
′
= + −
s
ẽ
là
(
)
αε
- lân c
ậ
n c
ủ
a c n
ằ
m trong D vì
S
′
- c =
(
)
S a
⊂
X có m
ộ
t
ñ
a t
ạ
p tuy
ế
n tính nh
ỏ
nh
ấ
t ch
ứ
a nó kí hi
ệ
u affD,
ñ
ó là giao c
ủ
a
t
ấ
t c
ả
các
ñ
a t
ạ
ñ
i
ể
m
a
∈
D g
ọ
i là m
ộ
t
ñ
i
ể
m trong t
ươ
ng
ñố
i c
ủ
a D n
ế
u a là
ñ
i
ể
m trong c
ủ
a D xét trong
bao gi
ờ
c
ũ
ng có ít nh
ấ
t m
ộ
t
ñ
i
ể
m trong
t
ươ
ng
ñố
i ( nói cách khác riD
≠ ∅
)
Th
ậ
t v
ậ
y, b
ằ
ng m
ộ
t phép t
ị
ế
n tính, nh
ư
ng khi thêm b
ấ
t k
ỳ
D
x
∈
nào vào thì h
ệ
1
h
, , ,
x e e
c
ũ
ng s
ẽ
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính (vì s
ố
ạ
i).
Không gian con M sinh b
ở
i
1
h
, ,
e e
ch
ứ
a D vì r
ằ
ng theo cách ch
ọ
n
ñ
i
ể
m này thì
m
ọ
i
D
x
∈
ñề
u là t
ổ
h
t cách duy nh
ấ
t d
ướ
i d
ạ
ng
h
1
i i
i
x e
ξ
=
=
∑
. D
ễ
th
ấ
y
ràng m
ọ
i
ñ
i
ể
m
h
1
ậ
y, ta hãy ch
ọ
n
0
ε
>
ñủ
nh
ỏ
ñể
0
i
i
e
ε
α
+ >
( i = 1, h) và
h
( )
i
i
i
e
ε
α
+
t
i i i
β α ξ
= +
(i = 1, h) và
0
1
1
h
i
i
β β
=
= −
∑
ta s
ẽ
có
0
i
β
>
( i - 0,1…,h),
Copyright: Tài liệu đại học ©