- 1 -
Lời cảm tạ

Thời gian thắm thoát thoi đưa, chớp mắt mà em đã
hoàn thành bốn năm đại học. Nhớ ngày nào, đầu khóa học,
ba còn đưa đến trường gặp thầy cô mới, bạn bè mới với
bao bỡ ngỡ lo lắng. Vậy mà cuối cùng em cũng trải qua
bốn năm học. Bốn năm học tập với biết bao khó khăn, vất
vả, có những lúc vấp ngã em tưởng như mình không thể
vượt qua. Nhưng mong muốn được làm luận văn khi tốt
nghiệp đã thúc đẩy em phấn đấu nhiều trong học tập. Cuối
cùng với kết quả đạt được trong các năm đầu, em được bộ
môn phân công làm luận văn dưới sự hướng dẫn của thầy
Phạm Gia Khánh. Được làm luận văn là một niềm vui,
niềm vinh dự lớn đối với em. Nhưng bên cạnh đó cũng có
không ít nỗi lo và gặp nhiều khó khăn, nào là khan hiếm
tài liệu, thời gian hạn hẹp, mà kiến thức thì mới và tương
đối khó… Nhưng với kiến thức mà em được thầy cô bộ
môn trang bị trong các năm qua cùng với sự hướng dẫn
nhiệt tình của thầy Phạm Gia Khánh cũng như sự động
viên giúp đỡ của gia đình, bạn bè, cuối cùng cuốn luận văn
cũng được hoàn thành. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành
nhất đến thầy hướng dẫn, các thầy cô khác trong bộ môn,
cùng gia đình và bạn bè.
Cần Thơ, tháng 5 năm
2009
PHẦN MỞ ĐẦU

1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như đã biết, việc nghiên cứu quá trình động trong tự nhiên cũng như trong
xã hội thường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạo hàm riêng

nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét trong
quá trình nghiên cứu lí thuyết. Đầu tiên, sau khi tìm được nguồn tài liệu tham khảo
thì tổng hợp các kiến thức trong đó với các kiến thức sẵn có. Sau đó, tiến hành so
sánh, phân tích chúng, chọn ra những kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đó đưa
ra những nhận xét riêng. Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu một cách rõ
ràng.
Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá cũng được kết hợp sử
dụng trong giải và sắp xếp các bài tập. Sau khi tổng hợp các bài tập từ các nguồn
tư liệu khác nhau, sẽ tiến hành phân tích, so sánh, chọn lọc các bài tập hay phù hợp
với nội dung lí thuyết sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí. Cuối cùng, tiến hành
phân tích, đánh giá để giải một cách chi tiết, trình bày một cách rõ rang.
4. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Nội dung của luận văn gồm 2 chương.
Chương 1. Gồm 4 §, trong đó §1. Không gian
p
L
, §2. Biến đổi Fourier,
§3. Hàm suy rộng, §4. Không gian Sobolev. Ở đây, chỉ tập trung giới thiệu một
số định nghĩa, định lí, tính chất và các ví dụ có liên quan mà không quan tâm đến
việc chứng minh các định lí, tính chất đó.
Chương 2. Giải chi tiết và sắp xếp một cách tương đối hợp lí các bài tập có
liên quan đến phần lí thuyết đã giới thiệu ở chương 1.
- 3 -
PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
§1. Không gian
p

p
L
{
ff :
là hàm đo được và
( ) ( )
∞<
∫
Ω
xdxf
p
µ
}
và
( ) ( )
( ) ( )
p
p
p
p
p
dfxdxff
/1/1






=

KxfK ≤> :0
hầu khắp nơi}
Chú ý. Nói
( )
kxf ≤
hầu khắp nơi tương đương với nói rằng
( )
{ }( )
0: => Kxfx
µ
.
Nếu
gf ,
là hai hàm đo được thỏa
( ) ( )
xgxf =
hầu khắp nơi thì
f
và
g

được xem là giống nhau. Do đó,
0=
p
f
khi và chỉ khi
( )
0=xf
hầu khắp nơi,
với

qp
+≤
.
1.2.2 Bất đẳng thức Hoder. Nếu
qp
LgvàLf ∈∈
thì
1
Lfg ∈
và
q
p
gffg ≤
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
∈∃ BA,
R
+
sao cho
( ) ( )
qp
xgBxfA =
.
1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski. Nếu
p
Lgf ∈,
thì
ppp
gfgf +≤+
, với

f
và g được định nghĩa là
( ) ( ) ( )
∫
Ω
−=∗ dyygyxfxgf
1.4 Giá của hàm
1.4.1 Định nghĩa. Cho
f
là một hàm liên tục trên R
n
. Giá của
f
, kí hiệu là
supp
f
, là bao đóng của tập
( ){ }
0: ≠xfx
.
Kí hiệu
c
C
(R
n
) là kí hiệu tập tất cả các hàm liên tục với giá compact.
c
C
(R
n

∞
∈Cf
.
- 5 -
• Cho
:f
R
n
→
R được xác định
( )





≥
<
=
−−
ax
axe
xf
xaa
,0
,
))/((
2
22
, với

L∈
φ
(R
n
),
1
1
=
φ
và
( )
0≥x
φ
khi đó
1
1
=
ε
φ
. Thật vậy,
( ) ( ) ( )
1/ ===
∫∫∫
−
nnn
RR
n
R
dyydxxdxx
φεφεφ

→
R được cho bởi hàm
( )





≥
<
=
−−
1,0
1,
))1/(1(
2
x
xe
x
x
φ
Khi đó,
( )
x
ε
φ
D∈
(R
n
) và supp

(R
n
).
•
( )
( )
n
n
dxdxdxxdm ...
2
1
21
2/
π
=
đo được Lebesgue trên R
n
.
•
( ) ( )
yxfxf
y
−=
τ
, với y thay đổi trên R
n
,
( ) ( )
λ
λ

n
R
dyygyxfxgf
,
111
gfgf ≤∗
.
• Đa chỉ số
( )
∈=
jn
a,,...,,
21
αααα
N,
∑
=
=
n
j
j
a
1
α
. Cho
∈
ξ
R
n
,

Lf ∈
(R
n
), biến đổi Fourier của
f
được định nghĩa là
( ) ( ) ( )
∫
−
=
n
R
xi
xdmexff
ξ
ξ
ˆ
.
Với mỗi
∈
ξ
R
n
,
xi
ex
ξ
−
→
là một hàm đặc trưng trong R

n
),
( ) ( ) ( ) ( )
ξξξ
gfgf
ˆ
ˆ
^ =∗
.
•
( )
( ) ( )
ξξτ
ξ
fef
yi
y
ˆ
^
−
=
,
( )
( )
( ) ( )
ξτξ
ξ
ξ
fxfe
xi

jj
ˆ
^ =∂
.
Nếu
1
Lf ∈
(R
n
) và
1
LfD ∈
α
(R
n
),
k≤∀
α
, thì
( )
( ) ( ) ( )
.
ˆ
^
ξξξ
α
α
fifD =
• Nếu
1

(R
n
),
1
Lfx ∈
α
(R
n
) và
fD
ˆ
α
tồn tại, thì
( ) ( ) ( )
( )
( )
ξξ
α
α
^
ˆ
xfixfD −=
2.3 Ví dụ
• (Gauss)
( )
2/
2
x
ex
−

• (Poisson)
( )
( )
( )






+=
+ 2/1
2
1/
n
n
xCx
φ
, với
n
C
làm cho
1
1
=
φ
thì
( )
ξ
ξφ

K
1
1
ˆ
ξξ
.
• (de la Vallie Pousin) (cho
1=n
)
( ) ( ) ( )
xKxKxV
λλλ
−=
2
2
. Khi đó,
- 7 -
( )







≤
≤≤−
≤
=
ξλ

R
n
∫
=
ˆ
hầu khắp nơi.
2.5 Định lí Plancherel
Nếu
21
LLf ∩∈
(R
n
) thì
2
ˆ
Lf ∈
(R
n
),
2
2
ˆ
ff =
và ánh xạ
:F
21
LL ∩
(R
n
)

{
∞
∈C
φ
(R
n
):
( )
( )
βαφ
βα
,,sup
n
R
∀∞<
∈
xDx
x
}
Ở đây
βα
,
là đa chỉ số.
Một vài chú ý
• Chú ý
SD
⊂
nên
S
trù mật trong

φ
.
•
S∈
φ
khi và chỉ khi với mọi số nguyên
0
≥
k
và với mọi đa chỉ số
β
ta
có
( )
( )
xDx
k
φ
β
2
1+
giới nội.
•
φφ
ˆ
→
là song ánh từ
S
vào
S

p
Lf ∈
(R
n
),
∞≤≤ p1
, định nghĩa
CST
f
→:
được xác định bởi
( ) ( ) ( )
∫
==
n
R
f
dxxxffT
φφφ
,
Khi đó,
( )
'pp
f
fT
φφ
≤
do đó
f
T

p
k
Lfx ∈+
−
2
1
(R
n
), với
∞≤≤ p1
. Khi đó,
( ) ( ) ( )
∫
=
n
R
f
dxxxfT
φφ
xác định một hàm trong
'S
, do
( )
≤
φ
f
T
( )
( )
( )

µ
. Độ đo đã cho được gọi là độ đo điều
hòa.
2.7.3 Định lí. Một hàm tuyến tính L trên S là một hàm điều hòa nếu và chỉ
nếu tồn tại một hằng số
0>C
và số nguyên l, m sao cho
- 9 -
( ) ( )
SCL
ml
∈∀≤
∑
≤≤
φφρφ
βα
βα
,
,
,
.
2.7.4 Toán tử trong
S
′
. Cho T
∈
S’.
• Phép tịnh tiến. Nếu h
∈
R

( )
( )
φφ
~
~
TT =
. Khi đó,
ST ∈
~
.
• Phép tính vi phân. Cho một đa chỉ số
α
, định nghĩa
( ) ( )
( )
SDTTD ∈∀−=
φφφ
α
α
α
,1
(Công thức trên cho ta một phép tính tích phân). Do đó,
'STD ∈
α
.
• Tích chập. Cho
S∈
ψ
định nghĩa
( ) ( )

R
x
R
Điều này chỉ ra rằng, tích chập với một phần tử của S là một quá trình trơn. Với
mọi hàm điều hòa T, thì
∞
∈∗ CT
φ
.
• Biến đổi Fourier. Định nghĩa
( )
( )
,
ˆ
ˆ
φφ
TT =

S∈∀
φ
. Khi đó,
'
ˆ
ST ∈
.
Kết hợp phép biến đổi Fourier và phép vi tích phân, ta có
i.
( )
( )
∧

φφδτ
=
•
( )
)0('
φφδ
−=∂
j
- 10 -
•
( ) ( )
0
ˆˆ
,1
ˆ
φφδδ
==
•
( )
x
δφ
∗
=
( )
x
φ
•
δφφ
jj
∂∗=∂

3.1.2 Ví dụ.
• Cho
:
φ
R
→
R được xác định bởi
( )
( )





≥
<
=
−
1,0
1,
1/1
2
x
xe
x
x
φ
Dễ dàng kiểm tra
φ
là một hàm vô hạn khả vi, trừ trường hợp

0lim
1
1
1
1
1
2
2
=
−
−
→
−
x
x
x
e
m
Do đó, tất cả đạo hàm của
φ
bằng 0 tại
1
=
x
• Một hàm tiêu chuẩn đối xứng cầu
φ
trên R
n
được cho bởi
( )

thì
( )
Ω∈+ Dcc
2211
φφ
với mọi số thực
21
cvàc
.
• Nếu
φ
thuộc
( )
ΩD
và
a
khả vi vô hạn trên
Ω
thì
φ
.a
cũng thuộc
( )
ΩD
.
• Nếu
φ
thuộc
( )
ΩD

Dxxx
m
∈,...,,
21
φ
(R
m
) và
( )
Dxx
nm
∈
+
,...,
1
ψ
(R
n-m
). Nếu
( )( )
=
n
xxx ,...,,.
21
ψφ
( )
m
xxx ,...,,
21
φ

Ω⊂K
sao cho supp
( )
K
m
⊆
φ
với tất cả m,
m
φ
và tất cả đạo hàm của nó đều hội tụ đều đến 0 trên K.
3.3 Định nghĩa về hàm suy rộng
Một hàm tuyến tính
T
trên
( )
ΩD
được gọi là một hàm suy rộng trên
Ω

nếu
0→
m
T
φ
với mọi dãy rỗng
{ }
m
φ
trong

p
Lf
,
1≥p
. Khi đó,
f
T
∈
( )
Ω'D
.
Ví dụ
• Hàm suy rộng Dirac.
Cho
∈x
R
n
, định nghĩa
- 12 -
( ) ( )
Dx
x
∈=
φφφδ
,
(R
n
)
Dễ dàng chứng minh rằng
'D

Trường hợp
1=n
,
1
T
được gọi là hàm suy rộng lưỡng cực.
Nhận xét.
δ
không được sinh ra bởi bất cứ hàm khả tích địa phương nào.
Thật vậy, nếu tồn tại một hàm khả tích địa phương
f
sao cho
f
T=
δ
, khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
∫∫ ∫
≤==
00
εε
εεε
φφφδ
BR B
dxxfdxxxfdxxxf
n
với

0
→
ε
.
Mặt khác,
( )
1=
ε
φδ
, với mọi
ε
φ
. Vì vậy,
( )
0→
ε
φδ
khi
0→
ε
là mâu
thuẫn.
3.5 Tính chất của hàm suy rộng
Nhắc lại. Cho
( )
n
αααα
,...,,
21
=

•
∈=
∏
=
xxx
n
i
i
i
,
1
α
α
R
n
Cho hai đa chỉ số
( ) ( )
nn
ββββαααα
,...,,,,...,,
2121
==
. Khi đó,
βα
≤
khi
và chỉ khi
ii
βα
≤

n
, và đa chỉ số
α
.
Khi đó,
( ) ( )
( )
( )
Ω∈−= DDTTD
φφφ
α
α
α
,1
.
Tính chất 2. Cho
( )
Ω∈ 'DT
,
⊆Ω
R
n
là tập mở và
( )
Ω∈
∞
C
ψ
. Khi đó,
( )( ) ( ) ( )

−
=
!!
!
.
Ví dụ. Cho
:H
R
→
R là hàm Heaviside được cho bởi
( )



<
≥
=
0,0
0,1
x
x
xH
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
φδφφφφ
==−=−=
∫
∞
0'''
0

( ) ( )
yuyu −=
∨
.
Suy ra
( )






=
∨
−
∨
uu
xx
ττ
và
yxyx +
=
τττ
.
Với
'DT ∈
(R
n
),
D∈

n
),
:
φ
∗T
R
n
→
R
n
được cho
bởi
- 14 -
( )( )






=∗
∨
φτφ
x
TxT
, với mọi
∈x
R
n
.

D∈
φ
(R
n
).
Định nghĩa 3.6.2 tương đương với điều kiện
( ) ( )
φφ
∗∗=∗∗ STST
, với mọi
D∈
φ
(R
n
).
§4. Không gian Sobolev
4.1 Không gian Sobolev
Cho
Ω
là một tập mở con của R
n
có biên là
Ω∂
. Ta bắt đầu với định nghĩa.
4.1.1 Định nghĩa. Cho số nguyên m>0 và
∞≤≤ p1
. Không gian
Sobolev được định nghĩa
{ }
mLuDLuW

. Nếu
)(Ω∈ D
φ
thì
)(Ω∈ DD
φ
α
,
với mọi đa chỉ số
α
. Như vậy,
)()()(
,
Ω⊂Ω⊂Ω
ppm
LWD
, với
∞≤≤ p1
.

)(
,
Ω
pm
W
là một không gian véctơ.
Trên
)(
,
Ω



=
∑
≤≤
Ω
Ω
α
α
.
Với
∞=p
, ta định nghĩa
- 15 -
)(
0
,,
max
Ω
≤≤
Ω∞
∞
=
L
m
m
uDu
α
α
.

)(Ω∈
p
Lu
được
kí hiệu là
)(Ω
p
L
u
.
Không gian
)(Ω
m
H
có một phép toán nhân trong tự nhiên được định nghĩa
∑
∫
≤
Ω
Ω
=
m
m
vuDDvu
α
αα
,
),(
, với
)(, Ω∈

=
n
R
x
dxxfeu )()(
ˆ
2
ξπ
ξ
là sự biến đổi Fourier của u.
Chú ý.
(
1
L
R
n
)
(
2
L∩
R
n
) thì trù mật trong
(
2
L
R
n
), những hàm trong
(

α
được xác định tốt. Hơn nữa, Ta có
uiuD
ˆ
)2()^(
α
α
α
ξπ
=
.
Do đó,
(
ˆ
2
Lu ∈
α
ξ
R
n
), với mọi
m≤
α
.
Ngược lại, nếu
(
2
Lu ∈
R
n

4.1.2 Bổ đề. Tồn tại hằng số
00
21
>> MvàM
chỉ phụ thuộc m và n sao
cho với mọi
∈
ξ
R
n
,
- 16 -
m
m
m
MM )1()1(
2
2
2
2
1
ξξξ
α
α
+≤≤+
∑
≤
Từ bổ đề, chúng ta có định nghĩa của
(
m

2
2
2
)(
)(
ˆ
)1(
ξξ
uu
m
R
RH
n
nm
∫
+=
.
Từ định nghĩa trên cho phép chúng ta định nghĩa
(
s
H
R
n
), với mọi
0≥s
.
4.1.4 Định nghĩa. Cho
0≥s
, định nghĩa
(

ˆ
)1(
ξξ
uu
s
R
RH
n
ns
∫
+=
.
4.1.5 Định lí. Với mọi p,
∞≤≤ p1
,
)(
,
Ω
pm
W
là một không gian Banach.
* Xét không gian tích:
( )
( )
( ) ( )
)1((,...
1
+Ω××Ω=Ω
+
nLLL

( )
1
11
),...,(
+
+
Ω∈=
n
p
n
Luuu
Khi đó, ánh xạ
( )
( )
1
1
,
,...,,)(
+
Ω∈








∂
∂

là không gian tách được, với
∞<≤ p1
.
•
)(Ω
m
H
là không gian Hilbert tách được, với
∞<≤ p1
.
4.1.6 Định nghĩa. Cho
∞<≤ p1
, đặt
)(
,
0
Ω
pm
W
bằng bao đóng của
)(ΩD

trong
)(
,
Ω
pm
W
.
)(

C
có giá compact trên
Ω
.
)(
,
0
Ω
pm
W
là không gian con thực sự của
)(
,
Ω
pm
W
, trừ trường hợp
=Ω
R
n
.
4.1.7 Định lí. Cho
∞<≤ p1
, khi đó
(
,1 p
W
R
n
) =

(R
n
)=
m
H
0
(R
n
).
Ta có thể nói rằng
( )
Ω
p
L
là một tập gồm các lớp hàm. Như vậy, khi nói “u
là một hàm liên tục trong
( )
Ω
p
L
” nghĩa là ta đang nói tới một lớp hàm mà có đại
diện là hàm u liên tục.
Kết quả sau đặc trưng cho
( )
Ω
p
W
,1
khi
⊂=Ω I

( )
q
IL
q
p
x
p
x
xuxuxdttuxudttuxuu
p
/1/1
/1
00
''')0( +≤






+≤+≤
∫∫
Lấy tích phân trên
( )
1,0
, ta được
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
IpILIL

3
c
độc lập với u.
4.1.11 Chú ý. Không gian lớn hơn chứa không gian của những hàm trơn
hơn.
- 18 -
Lấy B(0,1)
( )
{ }
1:
,,1
,1
≤∈=
Ip
p
uIWu
là hình cầu đơn vị trong
( )
IW
p,1
. Khi
đó, ánh xạ
( )
)(:
,1
ICIWi
p
→
liên tục. Do đó, B(0,1)=i(B(0,1)) là một tập giới nội
đều trong

→
là một toán
tử compact.
Trên không gian
)(
,
Ω
pm
W
, ta định nghĩa nửa chuẩn
( )
p
ma
p
L
pm
p
uDu
/1
,,








=
∑

.
Ω
→
,,1 p
uCu
định nghĩa một chuẩn trên
)(
,1
0
Ω
p
W
tương đương với chuẩn
Ω,,1
.
p
. Từ
0
,,1
=
Ωp
u
theo bất đẳng thức Poincare suy ra
0=u
. Do đó, nó là một
chuẩn.
Ta có,
( )
( )
p

p
L
p
p
uuDu
p
Ω
=
Ω
Ω
∑
≤=
,,1
1
,,1
α
α
.
Từ hai bất đẳng thức trên, ta có
p
p
p
p
p
p
p
uCuu
ΩΩΩ
+≤≤
,,1

10 ≤≤
φ
Đặt
( ) ( )
kxx
k
/
φφ
=
, thì
0
/1
1
)(
,,1
→








=
∑
=
p
p
RL

)(
,
0
Ω
pm
W
, với m là số nguyên lớn hơn 1, được kí hiệu là
)(
,
Ω
− qm
W
.
Như vậy,
( )
Ω
−m
H
là không gian đối ngẫu của
( )
Ω
m
H
0
.
4.2.2 Định lí. Cho
( )
Ω∈
− q
WF

0
,
(2.1)
Và
( )
Ω
≤≤
Ω−
=
q
L
i
ni
q
fF
0
,,1
max
.
Khi
Ω
là tập giới nội, ta có thể giả sử rằng
0
0
=f
.
Giả sử định lí trên là đúng. Vì
( )
ΩD
trù mật trong

−=
∂
∂
+=
n
i
i
i
i
n
i
i
x
f
f
x
ffF
1
0
1
0
- 20 -
Như vậy,
F
có thể được xác định với hàm suy rộng
∑
∫
=
Ω
∂

0
được kí hiệu là
( )
Ω
− q
W
,1
.
Định lí trên cũng đúng với không gian đối ngẫu của
( )
Ω
p
W
,1
(trừ trường
hợp ta không giả sử
0
0
=f
ngay cả khi
Ω
giới nội), nhưng sự xác định với hàm
suy rộng thì không thể. Thật vậy, không gian đối ngẫu của
( )
Ω
p
W
,1
cũng bao gồm
sự mở rộng của hàm suy rộng trên

=

và
( ) ( )
( )
ΩΩ
≤≤=
∞
,,
0
0 pmL
x
Cx
φφφφδ
.
Cho không gian định chuẩn
( )
Ω
pm
W
,
,
0
x
δ
liên tục trên
( )
ΩD
và tính liên
tục được thác triển đến










Ω×Ω∈
−
−
Ω∈=Ω
+
p
pns
p
ps
L
yx
yuxu
LuW
/
,
:
.
Cho
σ
+= ms
,

và
( )
Ω
− qs
W
,
0
là đối ngẫu của
( )
Ω
ps
W
,
0
.
Khi
=Ω
R
n
và
0
≥
s
,
s
H
(R
n
)={
2


+=
∫
n
n
s
R
s
RH
duu
ξξξ
Không gian đối ngẫu của
s
H
(R
n
) là
s
H
−
(R
n
), khi s>0.
4.2.3 Định lí. Cho
0>s
, khi đó
s
H
−
(R

( )
( ) ( )
dxx
n
R
∫
=
/
==
φφφδφδ
0
ˆˆˆ

Và
s
H
−
∈
δ
(R
n
)
( )
2
2/
2
1 L
s
∈+⇔
−

∈
δ
(R),
2/1>s
.
- 22 -
CHƯƠNG 2
BÀI TẬP
Bài 1
a. Chứng minh rằng nếu
gf ,
là hàm liên tục có giá là tập compact thì supp
( )
⊆∗ gf
supp
( )
f
+ supp
( )
g
.
Giải
a. Gọi A, B lần lượt là giá của f và g. Giả sử
{ }
BzAyzyBAx ∈∈+=+∉ ,:
Xét
( ) ( ) ( )
∫
−=∗ .dyygyxfxgf
Dễ thấy tích phân khác không chỉ khi

q
p
gLgfgdf
µ
.
Giải
Trường hợp 1.
∞<< p1
. Theo bất đẳng thức Holder ta có
qp
gffgd ≤
∫
µ
Do đó, vế phải luôn lớn hơn hoặc bằng vế trái. Trường hợp đẳng thức xảy ra, giả
sử
0>
p
f
. (
0=
p
f
đẳng thức hiển nhiên đúng). Đặt
fffg
pp
p
sgn
11 −−
=
. Khi

0
1
≠f
. Đặt
fg sgn=
. Khi đó,
1=
∞
g
và
1
ffgd =
∫
µ
.
Trường hợp 3.
∞=p
. Một chiều của bất đẳng thức hiển nhiên đúng như
trước. Giả sử
0≠
∞
f
. Cho
∞
<< f
α
0
. Chọn một tập đo được A sao cho
( )
∞<< A

1
=g
. Khi đó,
( )
αµ
µ
µ
>=
∫∫
A
df
A
fgd
1
Do đó, phần trên là đúng cho mỗi
α
(
∞
<< f
α
0
).
Bài 3. Cho hàm
( )
baLf
loc
;
1
∈
, ta nói hàm

rộng
a. Đạo hàm suy rộng là duy nhất hầu khắp nơi
b.
( )
'''
2121
ffff +=+
c.
( )
'' cfcf =
.
Giải
a. Với mọi
( )
baC
c
;
∞
∈
ϕ
, giả sử có
21
, gg
thỏa
∫∫
−=
b
a
b
a

Do đó,
21
gg =
hầu khắp nơi. Hay đạo hàm suy rộng là duy nhất hầu khắp
nơi.
b. Với mọi
( )
baC
c
;
∞
∈
ϕ
, ta có
( ) ( )
∫∫∫∫∫∫
+−=−−=+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxffdxfdxfdxfdxfdxff

2121
ffff +=+
.
c. Với mọi
( )
baC
c
;
∞
∈
ϕ
, ta có
( ) ( )
∫∫∫∫
−=−==
b
a
b
a
b
a
b
a
dxcfdxfcdxfcdxcf
ϕϕϕϕ
''''
Mà
( ) ( )
∫∫
−=


<
≥
=
0,0
0,1
x
x
x
θ
và các hàm suy rộng
x
1
và
( )
x
δ
được định nghĩa: với mọi hàm thử
( )
Dx ∈
ϕ
(R)
( )
( )
∫
>
→
+
=
ε

ln =
c.
xx
dx
d
sgn=
, trong đó
( ) ( )
xxx −−=
θθ
sgn
- 25 -