Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
lời giải một số bài toán về
rút gọn biểu thức
Dạng 1
Bài 1 Cho biểu thức
x 2 1
A ( ):
x 1 x x x 1
= +

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b)Tính giá trị của A khi x=3-2
2
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x

1.
Rút gọn
x 2 1 x 2 1
A ( ): ( ):
x 1 x x x 1 x 1 x 1
x( x 1)
= + = +


2
( x) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2
A .
1
x( x 1) x( x 1) x
+ + +

x 3 x 3 x 3
x 3 x 3
+

= =
ữ
+

+
.
x 3
3

=
( ) ( )
6
x 3 x 3 +
.
x 3
3

A =
2
x 3+
b) A >
( )
1 2 1 2 1 3 x
0 0
3 3 3
x 3 x 3

2
A
x 3
=
+
đạt giá trị lớn nhất khi
x 3+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà
( )
min
x 3 3 x 3 3 x 0 x 0+ + = = =
lúc đó A
Max
=
2
x 0.
3
=
Bài 3: Cho biểu thức
3 1 1
P :
x 1
x 1 x 1

= +
ữ

+ +


=
( ) ( )
( ) ( )
x 2 x 1
x 2
x 1
x 1 x 1
+ +
+
=

+
b)
( ) ( )
5 x 2 5
P 4 x 2 5 x 1 4 x 8 5 x 5.
4 4
x 1
+
= = + = + =

x 13 x 168 = =
(TMĐK)
c)
x 12 1 x 12 x 1 x 12 x 4 16
M . .
P
x 1 x 1 x 2 x 2 x 2
+ + + +
= = = =

x 4 =
.
Bài 4: Cho biểu thức:
2 x x 3x 3 2 x 2
D : 1
x 9
x 3 x 3 x 3

+
= +
ữ ữ

+

a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
2
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
b) Tìm x để D < -
1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
Dạng 2
Bài 1 :Cho biểu thức:
a 2 a a a
P 1 : 1
a 2 a 1

+
= +

+ +

để P nhận giá trị nguyên thì
2
a 1+
nhận giá trị nguyên dơng.
a 1 +
thuộc
ớc dơng của 2.
a 1 1 a 0
a 1
a 1 2

+ = =




=
+ =



a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện)
Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0
Bài 2: Cho biểu thức
( ) ( )
1 1
B
2 x 3 1 2 x 3 1

+ = =

thoả mãn điều kiện
Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
3
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
Bài 3: Cho biểu thức:
( )
2
2 x 1
x x 2x x
P
x x 1 x x 1

+
= +
+ +
a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức
2 x
Q
P
=
nhận giá trị nguyên.
Dạng 3

1 x


+ +

= + = =

+



b) P > 0
1 x
0 1 x 0
x

> >
( vì
x 0)>

x 1 x 1. < <
Kết hợp với ĐKXĐ:
0 x 1< <
thì P > 0
Bài 2: Cho biểu thức:
1 1 a 1 a 2
P :
a 1 a a 2 a 1

+ +

P
x 1
x 1 x 1

= +

+
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.
b) Tìm x để P <
1
2
Bài 5: Cho biểu thức:
1 a a 1 a a
B a a
1 a 1 a

+
= +
ữ ữ
+

a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
4
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
b)Tìm a để B < 7- 4
3
Bài 6: Cho biểu thức:
a 1 1 2
K :

nghiệm.
Bài giải
a) ĐKXĐ: x > 0; x
1
( )
( )
( )
2
x 1 1 x 1 1
A : :
x 1 x x x 1 x 1 x 1
x x 1
x 1
x 1 x 1
.
1
x
x 1 x
= =
ữ





để phơng trình (1) có
nghiệm thì phơng trình (*) phải có nghiệm dơng.
Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì:
( )
( )
1 4 m 1 0
m 1 0
= + +



+ <


TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
5
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
5
4m 5 0
m
m 1
4
m 1 0
m 1


+




( )
1 1 x 1
P 1 .
x 1 x x x 1
x x 1 ữ
= + =
ữ
ữ


( )
2
1
P
x 1
=

b) Khi x= 25
( )
2
1 1
P
16
25 1


= + +
ữ ữ
+

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.
b)Tính giá trị của A khi x=
1
4
.
c)Tìm giá trị của x để
A A.>
Bài giải:
a) ĐKXĐ x > 0; x
1

.
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
6
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
( ) ( )
1 1 1 x 1 x 1 x 1
A . 1 .
x 1 x 1 x x
x 1 x 1
+ + +

= + + =
ữ ữ
+

x 1
> < < < <

( )
2
0 x 1 0 x 1 1
x 1
2 2 x 3
1 1 0 0
x 1 x 1 x 1
+ < > >


+ < > >


x 3 0
x 9
x 1 0

>

>

>


Vậy x > 9 thì
A A>
Bài 2: Cho biểu thức:

= = = =


b) Khi x=36
36 1 5
A
6
36

= =
c)
x 1
A A A 0 0 x 1 0
x

> < < <
(vì
x 0>
)
x 1 x 1 < <
Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì
A A>
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
7
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
Chuyên đề tam thức bậc hai
A.lý thuyết
I. áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xét số
nghiêm phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai: ax


hoặc
{
'
a 0
0


2.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi .

{
a 0
0

>
hoặc
{
'
a 0
0

>
3.Phơng trình có nghiệm kép khi.

{
a 0
0

=
hoặc

d. Phơng trình vô nghiệm
Giải:

=(4m+3)
2
-4.2(2m
2
-1)=24m+17.
a.Phơng trình có nghiệm khi .
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
8
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012

{
a 0
0



{
2 0
24m 17 0

+

m

17
24


17
m
24

+ =


=


d. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0
0

<
{
2 0
24m 17 0
17
m
24

+ <

<
Ví du 2 :
Cho phơng trình mx
2

- Nếu a=0

m=0 ,phơng trình có nghiệm x=
c
b

m 4
2(m 1)


=2.
+Trờng hợp 2 :

{
a 0
0



{
m 0
2m 1 0

+

m 0
1
m
2



{
a 0
0

=

{
m 0
2m 1 0

+ =

m 0
1
m
2

=



d. Phơng trình vô nghiệm khi.

{
a 0
0

<


và
x
1
.x
2
=
c
a
Ví dụ . Tính nhấm nghiêm của phơng trình x
2
-7x+12=0
Giải.
Ta có
2
b 4ac =
=(-7)
2
-4.12=49-48=1>0
Theo định lý Vi-ét x
1
+ x
2
=
b
a

=7, x
1
.x
2

1
=1và x
2
=
c
a
=
4
3
-Nếu a-b+c=0 thì x
1
=-1và x
2
=
c
a

Ví dụ :
Giải phơng trình 7x
2
-5x-12=0
Giải.
Ta có a-b+c=7-(-5)+(-12)=0

x
1
=-1và x
2
=
c

∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P < 0.
cùng dấu,
±
±
P > 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0
cùng dương, + + S > 0 P > 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm
−
−
S < 0 P > 0
∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.
VÝ dô :
Cho ph¬ng tr×nh x
2
+(2m+2)x+m
2
-4=0
Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
Cã hai nghiÖm cïng dÊu
Cã hai nghiÖm d¬ng
Cã hai nghiÖm ©m
Gi¶i :
∆
= b
2
- 4ac = (2m+2)
2
- 4(m

8m 12 0
c
x .x m 4 0
a
− ≥
= = − >



⇔
3
m
2
m 2;m 2
≥
<− >



⇔
m>2
*Cã hai nghiÖm d¬ng
{
'
1 2 1 2
0( 0)
x x 0;x .x 0
∆≥ ∆ ≥
+ > >
⇔

x x 0;x .x 0
∆≥ ∆ ≥
+ < >
2
1 2 1 2
8m 12 0
b c
x x (2m 2) 0;x .x m 4 0
a a
∆= − ≥
−
+ = =− + < = = − >

⇔


⇔
3
m
2
m 1;m 2;m 2
≥
>− <− >



⇔
m>2
TRUNG VĂN ĐỨC- THCS LAI THÀNH- KIM SƠN – NINH B×NH
11

1
+x
2
=S =15, x
1
.x
2
=P=54 thì x
1
,x
2
là
nghiệm phơng trình
x
2
-15x+54=0

=(-15)
2
-4.54=225-216=9;

=3

x
1
=
15 3
9
2
+

+1=10;
'

=
10
-phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x
1
=-3-
10
; x
2
=-3+
10
b. Phơng trình có nghiệm x=
2
,thay vào phơng trình ta có
(m-4)2-2
2
m+m-2=0

m=10(3+2
2
)
c Phơng trình có nghiệm kép khi
{
'
a 0
0

m 1
3
4
m 4 2
4
3
= =


-Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
12
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
{
'
a 0
0

>

m 4
4
m
3

>



Công thức tính nghiệm của phơng trình là x

-(2-k)x-k(k-2)=0

=(2-k)
2
+8k(k+2)=4-4k+k
2
+8k
2
+16k=9k
2
+12k+4=(3k+2)
2
0
với mọi k.
Vậy phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi k .
b Nếu 2k-1=0 hay k=
1
2
thì -4kx+1=-2x+1=0,ta có nghiệm x=
1
2
.
- Nếu 2k-1

0 hay k

1
2
thì ta tìm đợc
'

2k 4k 1
(2k 1)
+

;x
2
=
2
2k 4k 1
(2k 1)


Với k =
1
4
phơng trình có một nghiệm kép x
1
= x
2
=-
'
b
a
=
2
2
1
2k
2
2

1
.x
2
=-5.
b. Tổng các nghịch đảo của hai nghiệm là
2 1
1 2 1 2
1 1 x x 7 7
x x x .x 5 5
+
+ = = =

c.Tổng các bình phơng của hai nghiệm
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x ( 7) 2( 5) 49 10 59+ = + = = + =
d.Bình phơng của hiệu hai nghiệm là
2 2 2
1 2 1 2 1 2
(x x ) x x 2x .x = + =
59+10=69.
e.Tổng các lập phơng của hai nghiệm là
3 3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 3x .x (x x ) ( 7) 3( 5)( 7) 343 105 448.+ = + + = = =
Bài tập 4.
Cho phơng trình 2x
2
+(2p-1)x+p-1=0
a.Tìm p để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .

+ = >
> <
>
= > >









Hệ phơng trình vô nghiệm ,không có giá trị nào của p để cả hai nghiệm đều d-
ơng.
c. Do S=
1 2
1 2p
x x
2

+ =
và P=
1 2
x .x
=
p 1
2

nên ta có :S+2P=

2 2 2
m 4(m 1) m 4m 4 (m 2) 0 m = = + =
,vậy phơng trình
luôn có nghiệm với mọi m .
b. A=
2 2
1 2
x x+
=
2 2
1 2
x x+
+2x
1
x
2
-2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2

2
đều là số dơng.
b. Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
thỏa mãn :
1 2
2 1
x x 10
x x 3
+ =
Giải:
a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng là :
{
'
0
S 0,P 0
>
> >

{
{
1 m 0 m 1
2 0,m 0 m 0
0 m 1
> <
> > >
< <
b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt


= =
Điều kiện m
0
(2)
Ta có 3(4-2m)=-10m

4m=-12

m=-3 thỏa mãn (1),(2).
Bài tập 7.
Cho phơng trình x
2
+ 2(m+1)x + m
2
=0 ,với m là tham số .
a.Giải phơng trình khi m=2 .
b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
c.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có
một nghiệm bằng (-2).
Giải:
a.Khi m=2 thay vào phơng trình ,ta có x
2
+ 6x + 4=0

'
=3
2
-4=5,



m >
1
2

- Theo hệ thức Vi- ét ta có
{
1 2
1 2
2
1 2
1 2
b
x x
x x 2(m 1)
a
c
x .x m
x .x
a
(1)

+ =
+ = +
=
=





=
Với m=-4 (loại),m=0 (thỏa mãn) điều kiện m >
1
2

.
Vậy m=0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt và trong đó có một nghiệm bằng
(-2).
Bài tập 8.
Cho phơng trình (m+1)x
2
+ 5x + m
2
-1=0 ,với m là tham số .
a.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
b.Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu và trong hai
nghiệm đó có một nghiệm bằng 4.
Giải:
a.Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi
{
{
2
1 2
a 0 m 1 0 m 1 m 1
c m 1 0 m 1
m 1
x .x 0
0
a
m 1



1 2
2
1 2
5
x x
m 1
m 1
x .x
m 1
(I)
+ =
+

=
+



Thay giá trị x
1
=4 vào (I) ta có m
2
+16m+35=0

m
1
=-8+
29

a.Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi
{
{
{
' 2
a 0 m 1 0 m 1
4 0
0 (m 1) (m 1)(m 3) 0
+
>
> + >

Vậy phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

-1.
b Theo câu a ,ta đã có

>0 với mọi giá trị m

-1
-Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi

1 2
c
x .x 0
a
= >

m 3
0

<
Vậy phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi m>3 hoặc m<-1
c.Theo câu a ,b phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi

>0 và
1 2
c
x .x 0
a
= >
ta có m>3 hoặc m<-1.
Mặt khác theo hệ thức Vi-ét ta có :

1 2
1 2
b
x x
a
c
x .x
a

+ =
=




1 2
1 2


=
+

=
+




2
2(m 1) m 3
3(m 1) 2(m 1)=

+ +

Rút ra ta đợc : m
2
- 2m- 35 = 0

m
1
=-5 ;m
2
=7 .Với giá trị m
1
;m

2
=
c
a
=7.
b.Phơng trình đã cho trở thành : mx
2
-2(m-1)x+3m-2=0 (1)
+ Với m=0 ,(1)

2x-2=0

x=1.
+ Với m

0 :
' 2 2 2 2
4m 4m 1 3m 2m m 2m 1 (m 1) = + + = + =

0
m
.
Vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c.Ta có m(x
2
-4x+3)+2(x-1)= (x-1)
[ ]
m(x 3) 2 0 + =

Xét phơng trình m(x-3)+2 = 0

+x
2
)
2
- x
1
.x
2

5.
Giải:
a.Với m=-1 .Ta có x
2
- x-2 = 0 Có a-b+c= 1-(-1)+(-2)=0

x
1
=-1,x
2
=2
b. Ta có:

=(m+2)
2
-4.2m=m
2
+ 4m + 4- 8m = m
2
- 4m + 4 = ( m- 2)
2

+2m+ 1

5-3

(m+1)
2


2

-
2

m+1

2

-1-
2

m

2
-1
Bài tập 12.
Cho phơng trình x
2
- px + p-1 = 0
a.Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của p .
b.Tính theo p giá trị biểu thức M=x

2
)
2
-2x
1
.x
2
- 6x
1
.x
2
=(x
1
+x
2
)
2
-8x
1
.x
2
= p
2
- 8(p-1) = p
2
- 8p + 8 = p
2
- 8p + 16 - 8 = (p-4)
2
- 8.

1
+q
2
) thì ít nhất một
trong hai phơng trình trên có nghịêm.
Giải
Gọi phơng trình x
2
+p
1
x+q
1
=0 (1) và x
2
+p
2
x+ q
2
=0 (2)
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
18
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
Ta có
1

=p
1
2
-4 q
1

2
2
p
- 4(q
1
+ q
2
).
Vì 2(q
1
+q
2
)= p
1
p
2

4(q
1
+ q
2
) = 2p
1
p
2
.
Do đó
1

+

1

hoặc
2

phải >0 .Vậy ít
nhất một trong hai phơng trình có nghiệm.
Bài tập 14.
Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm nếu một trong hai
điều kiện sau
a) a( a + 2b + 4c ) < 0
b) 5a + 3b + 2c = 0
Giải:
Ta có
2
b 4ac =
.
a) a( a + 2b + 4c ) = a
2
+2ab+4ac < 0

a
2
+b
2
+2ab < b
2
-4ac

0,phơng trình có nghiệm .
Bài tập 15.
Chứng minh rằng nếu hai phơng trình bậc hai x
2
+p
1
x+q
1
=0 và x
2
+p
2
x+ q
2
=0 có nghiệm chung thì : (q
1
- q
2
)
2
+(p
1
-p
2
)(q
2
p
1
-q
1

,giải hệ phơng trình ta có x=
2 1
1 2
p p
p p


và y=
1 2 1 2
2 1
q p p q
p p


.Do y=x
2
suy
ra
1 2 1 2
2 1
q p p q
p p


=(
2 1
1 2
p p
p p


p x y q
p x y q
+ =
+ =
Hệ này có nghiệm ,suy ra q
1
=q
2
.Do đó
đẳng thức cần chứng minh có dạng 0 = 0, hiến nhiên đúng.
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
19
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
Chuyên đề:
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
A) tóm tắt lý thuyết
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ ohơng trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
b) Biểu diễn các đại lợng cha biết thông qua ẩn và các địa lợng đã biết.
c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
Bớc 2: Giải phơng trình.
Bớc 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả
lời.
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phơng trình bậc nhất
một ẩn, hệ phơng trình hay phơng trình bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức
thực tế
B) Các dạng toán
Dạng 1: Toán về quan hệ các số.
Nững kiến thức cần nhớ:

Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
20
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
Đợc phân số mới bằng
1
2
ta có phơng trình
x 1 1
x 4 2
+
=
+
.
2(x 1) x 4
x 2( Thoả mãn điều kiện của bài toán)
2
Vậy phân số ban đầu đã cho là
5
+ = +
=
Ví dụ 2: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63
đơn vị thì số thu đợc cũng viết bằng hai chữ số đó nhng theo thứ tự ngợc lại.
Hãy tìm số đó?
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x (
(0 < x 9, x N)
Chữ số hàng đơn vị là y (0<y 9,y N)
Vì tng 2 ch số là 9 ta có x + y = 9 (1)
Số đó là

x N
). Số tự nhiên kề sau là x + 1.
Vì tổng các bình phơng của nó là 85 nên ta có phơng trình: x
2
+ (x + 1)
2
= 85
2 2 2
2
2 2
x x 2x 1 85 2x 2x 84 0
x x 42 0
b 4ac 1 4.1.( 42) 169 0 169 13
+ + + = + =
+ =
= = = > = =
Phơng trình có hai nghiệm
1
2
1 13
x 6(thoả mãn điều kiện)
2
1 13
x 7(loại)
2
+
= =

= =
Vy hai số phải tìm là 6 và 7.

v ;t
t v
= =
.
Gọi vận tốc thực của ca nô là v
1
vận tốc dòng nớc là v
2
tì vận tốc ca nô khi
xuôi dòng nớc là
v = v
1
+ v
2
. Vân tốc ca nô khi ngợc dòng là v = v
1
- v
2

Ví dụ1: Xe máy thứ nhất đi trên quảng đờng từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20 phút.
Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ
hai 3 km.
Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình?
Giải:
Gọi vận tốc x thứ nhất là x (km/h), đk: x>3;
Vận tốc của xe tứ hai là x - 3 (km/h).
Trong 3 giờ 20 phút (=
10
3
giờ) xe máy thứ nhất đi đợc

Quảng đờng ô tô đi là 100 km nên thời gian ô tô đi là
100
y
(giờ)
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
22
Giỏo ỏn ụn thi vo 10 nm 2011-2012
ta có phơng trình
100 80
x y
=
(1)
Quảng đờng xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là
60
y
(giờ)
Quảng đờng ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là
120
y
(giờ)
Vì ô tô đi trớc xe máy 54 phút =
9
10
nên ta có phơng trình
120 60 9
(2)
x y 10
=
.
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình

Vì thời gian ô tô đi hết quảng đờng là 8 giờ nên ta có phơng trình
2
240 280
8 x 55x 300 0
x x 10
+ = =
+
2 2
b 4ac ( 55) 4.( 300) 4225 0 4225 65 = = = > = =
Phơng trình có hai nghiệm
+
= = = =
1 2
55 65 55 65
x 60(TMDK);x 5(loai)
2 2
Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h.
Bài tập:
1. Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h. Qua 1 giờ 15 phút ô tô
thứ hai cũng khởi hành từ A đi cùng hớng với ô tô thứ nhất với vận tốc 40
km/h. Hỏi sau mấy giờ thì ô tô gặp nhau, điểm gặp nhau cách A bao nhiêu
km?
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH
23
100 80
60 12
0
x y x 50
x 10
(thoả mãn điều kiện)

Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ
nhất đến B trớc ô tô thứ hai là 30 phút. Tính vânl tốc của mỗi ô tô.
4. Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi
dòng và ngợc dòng là 4 giờ 10 phút. Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng
một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông.
5. Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô
tô khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h. Sau khi hai
xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc của mỗi xe?
6. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 100 km. Cùng lúc đó một
bè nứa trôi tự do từ A đến B. Ca nô đến B thì quay lại A ngay, thời gian cả
xuôi dòng và ngợc dòng hết 15 giờ. Trên đờng ca nô ngợc về A thì gặp bè nứa
tại một điểm cách A là 50 km. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của
dòng nớc?
Đáp án:
1.
3
4 (giờ)
8
2. 20 km/h
3. Vn tốc của ô tô thứ nhất 60 km/h. Vận tốc của ô tô thứ hai là 50 km/h.
4. 25 km/h
5.
6. Vận tốc của ca nô là 15 km/h. Vận tốc của dòng nớc là 5 km/h.
Dạng 3: Toán làm chung công việc
Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm đợc
1
x

công việc.

x y 16
+ =
Ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì 25%=
1
4
công
việc. Ta có phơng trình
3 6 1
x y 4
+ =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
1 1 1 3 3 3 1 1 1
x y 16 x y 16 x y 16
3 6 1 3 6 1 3 1
x y 4 x y 4 y 16

+ = + = + =





+ = + = =


x 24
(thoả mãn điều kiện)
y 48
=

12
35
công việc
Theo bài ra ta có phơng trình
2
1 1 12
35x 70 35 12x 24x
x x 2 35
+ = + + = +
+
2 2
12x 46x 70 0 6x 23x 35 0 = =
Ta có

2
1 2
( 23) 4.6.( 35) 529 840 1369 0 1369 37
23 37 23 37
Vậy phơng trình có hai nghiệm x 5(thoa mãn); x 2(loại)
12 12
= = + = > = =
+
= = = =
Vậy đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ. Đội hai hoàn thành công việc
trong 7 giờ.
Chú ý:
+ Nếu có hai đối tợng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại
lợng này hơn, kém đại lợng kia ta nên chọn một ẩn và đa về phơng trình bậc
hai.
TRUNG VN C- THCS LAI THNH- KIM SN NINH BìNH