Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN MẠNH HÙNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO
HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC ơ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
NGUYỄN MẠNH HÙNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG MINH CHO
HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.0111
của Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Cao Thị Hà ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
PGS.TS. Cao Thị Hà. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến cô. Cô đã tận
tình hướng dẫn, hết lòng giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để
hoàn thành luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn Phương pháp
giảng dạy môn Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Sư phạm Hà
Nội; Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trường Đại học
Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong
quá trình học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn.
Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi khỏi những hạn
chế và thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014
Tác giả luận văn

Nguyễn Mạnh Hùng

CHƯƠNG II. MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHỨNG
MINH CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC 47
2.1. Cơ sở xây dựng biện pháp : 47 iv
2.2. Một số biện pháp phát triển năng lực chứng minh cho HS trong DH Hình
học 47
2.2.1. Biện pháp 1: Tập luyện cho HS nắm được cấu trúc của một phép
chứng minh một cách tàng ẩn 47
2.2.2. Biện pháp 2 : Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần
trong chứng minh 54
2.2.3. Biện pháp 3 : Chú trọng phân bậc hoạt động chứng minh hình học 62
2.3 Kết luận chương 2 70
CHƢƠNG III. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 71
3.1. Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 71
3.1.1 Mục đích thực nghiệm 71
3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 71
3.2 Nội dung thực nghiệm. 71
3.3. Tổ chức thực nghiệm: 71
3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 71
3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 72
3.3.3. Nội dung các đề kiểm tra 94
3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm 96
3.4.1. Phân tích định tính 96
3.4.2. Phân tích định lượng 97
3.5. Kết luận chung về thực nghiệm 99
KẾT LUẬN 101
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 103 1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phát triển tư duy cho HS trong quá trình học tập là một mục tiêu quan
trọng của quá trình DH môn Toán ở trường phổ thông. Việc nghiên cứu
những vấn đề lí luận về việc phát triển năng lực tư duy cho HS trong quá trình
DH Toán đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Những nghiên cứu về
các biểu hiện của năng lực tư duy của HS cho thấy, năng lực chứng minh toán
học của HS là một trong các năng lực tư duy quan trọng của HS. Trong khi
thực hiện hoạt động chứng minh toán học người học không chỉ được phát
triển kĩ năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa mà họ còn được rèn luyện
một cách thường xuyên năng lực tư duy lôgic. Thông qua hoạt động chứng
minh toán học còn hình thành cho người học khả năng nhìn nhận vấn đề một
cách sâu sắc với những dẫn chứng xác thực chứ không nhìn nhận vấn đề một
cách phiến diện, hời hợt và thiếu căn cứ.
Hình học là một ngành của toán học, nó nghiên cứu hình dạng, kích
thước và vị trí của các hình trong không gian. Bộ môn hình học ở trường phổ
thông có hai đặc trưng cơ bản : thứ nhất nó có tính lôgíc chặt chẽ kết hợp với
biểu tượng trực quan sinh động, thứ hai là mối liên hệ giữa hình học thuần
túy với hình học thực tế, trong đó hình học thuần túy lấy hình học thực tế làm
điểm xuất phát để trừu tượng hóa đồng thời kiểm nghiệm tính đúng đắn của
nó. Đó là con đường lôgíc đến thực tiễn.
Trong chương trình môn Toán ở trường THPT, nội dung hình học
chiếm một phần rất quan trọng. Việc DH hình học ở trường THPT không
chỉ cung cấp cho người học những kiến thức về các đối tượng hình học và
các mối quan hệ giữa chúng mà nó còn là những cơ hội để rèn luyện năng
lực tư duy, phẩm chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề và

triển năng lực chứng minh cho học sinh thông qua dạy học hình học ở trường
phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu một số vấn đề lí luận về chứng minh toán học và phát triển
năng lực chứng minh toán học cho học sinh trường THPT. 3
 Tìm hiểu thực trạng dạy học hình học ở trường THPT theo hướng phát
triển
 năng lực chứng minh cho học sinh.
 Đề xuất một số BPSP nhằm phát triển năng lực chứng minh toán học cho
 HS trường THPT thông qua dạy học hình học.
 Tổ chức dạy thực nghiệm để minh chứng cho tính hiệu quả và tính
khả thi của các BPSP đã đề xuất.
4. Khách thể và đối tƣợng nhiên cứu
 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học Hình học ở trường phổ
thông.
 Đối tượng nghiên cứu: Năng lực chứng minh toán học của HS trong
dạy học Hình học ở trường phổ thông.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu lí luận
+ Nghiên cứu tài liệu về phương pháp giảng dạy môn Toán, liên quan
đến dạy học chứng minh định lí toán học.
+ Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách giáo viên và các tài liệu có liên quan
đến vấn đề này.
 Phương pháp điều tra: Nhằm tìm hiểu thực trạng về khả năng
chứng minh toán học của học sinh.
 Phương pháp quan sát: Nhằm tìm hiểu thực trạng việc tổ chức dạy
học chứng minh hình học cho học sinh trường THPT.

mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu toán học là
đúng đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là tranh
luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm”. Có nghĩa là, một chứng minh phải
biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại
lệ. Một mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được
gọi là một phỏng đoán.
Một mệnh đề đã được chứng minh thường được gọi là định lý, một khi định
lý đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các
mệnh đề khác. Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó
được dự định dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12] thì “Chứng minh một mệnh đề T là tìm ra
một dãy hữu hạn
n
AAA , ,,
21
thỏa mãn các điều kiện sau :
+ Mỗi
( 1,2, , )
i
A i n=
của dãy đó là một tiên đề, hoặc định nghĩa, hoặc
suy ra từ một số trong các
121
, ,,
i
AAA
nhờ những quy tắc kết luận lôgic.
+
n
A







d
d
d
)()(
)(
)(
2
1



thì
21
//// ddd
hoặc
1
dd 
hoặc
2
dd 
.


d

////
)()(
)()d , (d
)()d , (d
ddd
d
d
d












(vì
21
//dd
nên ba đường thẳng đó không
đồng quy).Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Như vậy qua chứng minh mệnh đề trên ta thấy:
- Luận đề :
21
//// ddd
hoặc h


,
)(

và
(
1
d
,
2
d
) thì rõ ràng
21
//// ddd
hoặc
1
dd 
hoặc
2
dd 
. Đó chính là điều phải
chứng minh.
- Luận chứng : Trong phép chứng minh trên ta sử dụng quy tắc lôgic

,A B A
B
Þ

1.1.3. Các phép chứng minh toán học
Trong Toán học người ta có các phép chứng minh như sau:


A
2
, …, A
n

B.
Tức là ta đã vận dụng liên tiếp các quy tắc kết luận sau:
1 1 2 1
12
,
,,
, , ,
nn
A B A
A A A A A A
A A B



Theo quy tắc bắc cầu, ta có:
     
1 1 2

n
A A A A A B
B
     

Ví dụ 2: Chứng minh tính chất: Trong mọi hình bình hành, hai cạnh đối diện

CAD ACB

và


BAC ACD
theo chứng minh trên
Vậy hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp g – c – g
(iv) Nếu hai tam giác bằng nhau thì đối diện với các cặp góc bằng nhau
là những cặp cạnh bằng nhau.
Hai tam giác ABC và ADC bằng nhau, mặt khác hai cạnh AD và BC đối
diện với hai góc bằng nhau


BAC ACD
, hai cạnh AB và CD đối diện với hai
góc bằng nhau
 
CAD ACB
.
Vậy AD = BC và AB = CD.
Mỗi mắt xích (i), (ii), (iii), (iv) là một đoạn áp dụng quy tắc kết luận
lôgic
,A B A
B

(1). Giáo viên cần nhấn mạnh sơ đồ (1) thông qua những ví dụ
cụ thể như trên để học sinh lĩnh hội quy tắc đó một cách ẩn tàng.
Thông thường khi vận dụng quy tắc 1, nếu
AB

AB CD
và
BC DA

Ví dụ 3: Chứng minh định lý sau:
Với mọi tam giác ABC ta có:
sin sin sin
a b c
A B C


GT
ABC
có
BC = a, AC = b, AB = c
KL
sin sin sin
a b c
A B C


H
H
A
B
C
B
A
C



Vì
sin ,sinCB
đều khác 0 nên
sin sin
bc
BC


Bằng cách kẻ đường cao BH và chứng minh hoàn toàn tương tự ta có:

sin sin
ac
AC


Vậy ta có:
sin sin sin
a b c
A B C

11
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng
minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và COD tiếp xúc ngoài
với nhau.
Giải :
Phân tích:

,A B A
B


Tóm lại: phép chứng minh trực tiếp ưu điểm nổi bật
là trình bài gọn gàng, chặt chẽ, có hệ thống. Do vậy
phép chứng minh này thường được sử dụng để trình
bày phép chứng minh hầu hết các định lý trong sách
giáo khoa hoặc trình bày bài giải một bài toán nói chung và lời giải một bài
toán chứng minh hình học nói riêng. Tuy nhiên về phương diện sư phạm phép
chứng minh này thường thiếu tự nhiên, vì học sinh không hiểu lí do vì sao (tìm
N
M
O
C
B
A
D
O
B
A
M12
đâu ra, làm sao phải tìm) lại bắt đầu từ A. Để khắc phục nhược điểm này đòi hỏi
trong quá trình chứng minh giáo viên phải thường xuyên sử dụng pháp phân
tích đi lên để giúp người học tìm ra lời giải.
+ Phép chứng minh gián tiếp:
Trong thực tế, để chứng minh mệnh đề

nằm trên
đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB) có số đo bằng một nữa số đo của
cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một
tia tiếp tuyến của đường tròn.
Bài này ta có thể chứng minh trực tiếp hoặc gián tiếp, tuy nhiên ta có thể
trình bày cách chứng minh theo phương pháp chứng minh gián tiếp (chứng
minh phản chứng) như sau:
Giả sử tia Ax không phải là tiếp tuyến của (O).
Gọi M là giao điểm thứ hai của Ax với (O). Theo giả thiết ta có:

1
2
BAM 
sđ

AB
(1)
Mà

BAM
là góc nội tiếp có điểm M trên cung AB nên: 13

1
2
BAM 
sđ


học, gọi tắc là chứng minh quy nạp cũng là một phương pháp chứng minh
thường gặp trong Toán học. Nội dung của phương pháp này như sau:
Giả sử phải chứng minh mệnh đề P(n) nào đó đúng với mọi số tự nhiên n
(P(n) là hàm mệnh đề với số tự nhiên), với n

a, trong đó a là số tự nhiên cho trước.
Ta tiến hành theo các bước như sau:
Bước 1: chứng minh mệnh đề đúng với n = a
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k

a) nào đó. Ta chứng minh mệnh
đề đúng với n = k + 1, nghĩa là
( ) ( 1), ( )
( 1)
P k P k P k
Pk



Bước 3: Kết luận P(n) đúng với mọi n

a
Cơ sở lí luận của phương pháp này là:
Theo bước 1: mệnh đề P(n) đúng với n = a
Theo bước 2: ta có P(a) đúng

P(a+1) đúng
P(a+1) đúng

P(a+2) đúng

1
, A
2
, …, A
k
. và trên đường thẳng thứ hai, ta
ghi n điểm theo thứ tự từ trái sang phải là B
1
, B
2
, …, B
n

(
D'
)
(
D
)
B
N
B
3
B
2
B
1
A
K
A

k
với các điểm B
1
, B
2
, …, B
n
để các đoạn thẳng đó
không cắt nhau ở trong phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng (D) và
(D’) đã cho. (*)
Thật vậy: Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp như sau:
 Với k = 1 và n = 1: mệnh đề hiển nhiên đúng
 Giả sử (*) đúng với k + n = m, ta chứng minh (*) đúng khi k + n = m
+ 1. 15
Xem hai điểm cuối A
k
và B
n
. Đoạn thẳng A
k
B
n
không cắt bất kỳ đoạn
thẳng A
i
B
j

1
, B
2
, …, B
n
, từ giả thiết qui
nạp, ta kẻ được tối đa là:
(k – 1) + n – 1 = k + n – 2 đoạn thẳng không cắt nhau. Từ đó, ta suy ra:
với các điểm A
1
, A
2
, …, A
k
và B
1
, B
2
, …, B
n
có thể kẻ được tối đa:
( k + n – 2) + 1 = k + n – 1 đoạn thẳng không cắt nhau  đpcm.
1.1.4. Các bƣớc giải một bài toán hình học
Cũng như việc giải một bài toán thông thường, quy trình giải một bài
toán chứng minh hình học cũng thường phải trải qua các bước sau đây (theo
G.Polia [ 17]):
a) Tìm hiểu đề toán:
Theo quan điểm của chúng tôi, để giải được một bài toán, trước hết
người học phải hiểu đề bài và ham thích giải bài toán đó. Vì thế, bước quan
trong nhất trong việc giải một bài toán là giáo viên cần giúp học sinh tìm hiểu

thể là những bài toán tương tự với những bài toán đã cho hoặc là những bài
toán tổng quát hơn bài toán đã cho, hoặc là trường hợp đặc biệt của bài toán
đã cho, hoặc những bài toán liên quan chứa đựng một phần giả thiết hoặc một
phần kết luận của bài toán cần chứng minh. Nghĩ đến những bài toán liên
quan để tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải các bài toán đó.
Ví dụ 7: Cho tam giác nhọn ABC, xác định một tam giác MPQ có chu vi bé
nhất, nội tiếp tam giác ABC (có nghĩa là các đỉnh M, N, P của tam giác MNP
lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, BA của tam giác ABC).
Bài toán trên cho ta gợi nhớ đến bài toán quen thuộc sau đây ở lớp 8: 17
Bài toán liên quan: Cho góc nhọn xOy và một điểm M nằm trong góc đó.
Hãy xác định điểm A, B lần lượt nằm trên hai tia Ox, Oy sao cho chu vi của
tam giác ABM bé nhất.
Bài toán này được giải quyết như sau:
Gọi M’, M” là các điểm đối xứng với
M lần lượt qua Ox, Oy. Gọi A, B lần lượt là
giao điểm của M’M”với Ox và Oy
Ta có: chu vi tam giác MAB bằng:
MA + MB + AB = M’A + M”B + AB
= M’M”
Với hai điểm A’, B’ bất kì khác A, B trên tia Ox, Oy ta có chu vi tam
giác MA’B’ bằng:
MA’ + MB’ + A’B’ = M’A’ + M”B’ + A’B’
> M’M” vì đường gấp khúc M’A’B’M” bao giờ cũng
có độ dài lớn hơn đường thẳng M’M”.
Vậy các điểm A, B như đã xác định ở trên tạo thành một tam giác có chu
vi bé nhất thoả yêu cầu đề toán.
Từ bài toán đó và cách giải của nó ta tìm thấy lời giải của bài toán ban

18
Vậy với mỗi vị trí của M trên cạnh BC ta xác định được một tam giác MPQ
có chu vi bé nhất.
Bài toán được giải nếu ta xác định được vị trí của điểm M trên cạnh BC
sao cho độ dài M’M” bé nhất.
Ta thấy đoạn thẳng AM’ và AM” đối xứng với đoạn AM lần lượt qua
các đoạn thẳng AB và AC nên ta có AM’ = AM” = AM và góc


' " 2M AM BAC
. Như vậy tam giác M’AM” cân tại A có cạnh bên AM’ =
AM” = AM và góc ở đỉnh không đổi. Vậy cạnh đáy M’M” bé nhất khi độ dài
AM bé nhất.
Suy ra M là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
Bằng cách lập luận tương tự ta có P và Q là đường cao hạ từ B và C của
tam giác ABC.
Ví dụ 8: Cho hình thang ABCD với hai cạnh AB và CD song song. Hai
đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
a. Chứng minh rằng
1
2
AOB COD ABCD
S S S

b. Với điều kiện nào của các cạnh AB và CD thì tổng các diện tích tam
giác AOB và COD nhỏ nhất?
Để chứng minh bài toán này ta cần cho học sinh xét bài tập sau:
Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M tuỳ ý. Đường thẳng qua M và
song song với AB cắt AC ở P. Đường thẳng
qua M và song song với AC cắt AB tại Q.