Lời cam đoan
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong
luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Các số liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu đều được ghi rõ nguồn gốc.
Tác giả luận văn
TRƯƠNG CẨM NANG
ii
Lời cảm ơn
Trong quá trình nghiên cứu và viết luận văn tôi đã nhận được sự quan tâm, hướng
dẫn, giúp đỡ của nhiều tập thể, cá nhân trong và ngoài trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm dạy bảo của các Thầy Cô giáo trường Đại
học Cần Thơ; xin chân thành Ban giám hiệu và Thầy Cô trường THPT Nguyễn Việt
Dũng (Cần Thơ), THPT Vị Thanh (Hậu Giang), TT.GDTX TP. Trà Vinh và THPT
Nguyễn Đáng (Trà Vinh) đã giúp đỡ tôi hoàn thành tốt luận văn này.
Đặc biệt tôi xin được gởi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Chu Trọng Thanh đã trực tiếp
hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong quá trình nghiên cứu đề tài và hoàn thiện
bản luận văn.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các anh, chị, bạn bè đã tạo điều kiện và khích
lệ tôi hoàn thành luận văn của mình.
Tác giả luận văn
TRƯƠNG CẨM NANG
iii
Mục lục
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục iv
Danh sách bảng x
Danh sách hình vẽ xi
MỞ ĐẦU 1
Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1.7 Đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1.8 Đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1.9 Ba đường cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Kiến thức hình học giải tích trong không gian . . . . . . . . . . 22
1.3.2.1 Hệ tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2.2 Phương trình mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2.3 Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2.4 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3 Các dạng toán và cách giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng 27
1.3.3.1 Tìm tọa độ của vectơ và điểm . . . . . . . . . . . . . . 27
v
1.3.3.2 Ứng dụng phương pháp tọa độ chứng minh bất đẳng thức 28
1.3.3.3 Viết phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.3.4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng - góc giữa hai
đường thẳng - khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3.5 Tìm tâm và bán kính đường tròn . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3.6 Viết phương trình của đường tròn . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3.7 Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn; giữa
hai đường tròn trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . 31
1.3.3.8 Tiếp tuyến của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.3.9 Xác định các yếu tố thuộc elip (hypebol), tìm các điểm
thuộc elip (hypebol) thỏa điều kiện nào đó . . . . . . . 33
1.3.3.10 Viết phương trình chính tắc của elip (hypebol) . . . . 33
1.3.3.11 Các bài toán liên quan đến tính chất của elip (hypebol) 34
1.3.3.12 Xác định các yếu tố của parabol, tìm các điểm thuộc
parabol thỏa điều kiện nào đó . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.3.13 Lập phương trình chính tắc của parabol và các bài toán
tổng hợp trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.4 Các dạng toán và cách giải toán hình học giải tích trong không
gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2.3 Rèn luyện các thao tác tư duy . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2.4 Bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ . . . . . . . . . . . . 49
2.1.3 Các định hướng phát triển năng lực chứng minh cho học sinh
thông qua dạy học hình học giải tích . . . . . . . . . . . . . . . 50
Định hướng 1. Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh
thông qua khai thác nội dung dạy học . . . . . . . . . 50
Định hướng 2. Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh
thông qua hình thành và củng cố các quy tắc suy luận
chứng minh, các suy luận có lý và dự đoán . . . . . . . 51
2.2 Các biện pháp sư phạm phát triển năng lực chứng minh hình học giải
tích cho học sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
vii
2.2.1 Các biện pháp phát triển năng lực chứng minh thông qua khai
thác nội dung dạy học hình học giải tích . . . . . . . . . . . . . 53
Biện pháp 1. Làm cho học sinh hiểu đúng hệ thống khái niệm ký
hiệu của các kiến thức hình học giải tích và rèn luyện
các kỹ năng cơ bản được quy định trong nội dung sách
giáo khoa làm cơ sở cho việc thực hiện các quá trình
suy luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Biện pháp 2. Làm rõ cấu trúc của các bước chứng minh trong
giải toán hình học giải tích nhằm hình thành cho học
sinh thói quen suy luận hợp lôgic trong quá trình trình
bày chứng minh toán học . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Biện pháp 3. Xây dựng hệ thống bài tập điển hình theo từng chủ
đề; đề xuất và khai thác các quy trình giải toán phù
hợp với năng lực học tập của học sinh . . . . . . . . . 56
Biện pháp 4. Hệ thống hóa kiến thức theo từng chủ đề và làm rõ
mối liên hệ lôgic giữa các kiến thức trong các hệ thống 60
2.2.2 Các biện pháp phát triển năng lực chứng minh hình học giải tích
1.3 Các hoạt động giáo dục được tiến hành trong dạy học . . . . . . . . . . 43
2.1 So sánh kiến thức hình học giải tích trong mặt phẳng và không gian . . 61
2.2 So sánh kiến thức về đường tròn (mặt phẳng) và mặt cầu (không gian) 62
3.1 Bảng phân phối tiết dạy thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2 Đánh giá của học sinh về mức độ khó của nội dung dạy học . . . . . . 72
3.3 Đánh giá của học sinh về mức độ tiếp thu bài học . . . . . . . . . . . . 72
3.4 Đánh giá của học sinh về mức độ khó của các ví dụ . . . . . . . . . . . 72
3.5 Bảng thống kê các điểm số của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Bảng phân phối tần suất các điểm số của hai nhóm . . . . . . . . . . . 74
3.7 Bảng phân phối tần suất lũy tích của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . 75
3.8 Bảng phân loại theo học lực của hai nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.9 Bảng tổng hợp các tham số đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
x
Danh sách hình vẽ
1.1 Các trường hợp đặc biệt của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Đường thẳng theo đoạn chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Đường elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Đường hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Đường parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Mặt phẳng theo đoạn chắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song . . . . . . . . . 26
1.10 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
thiết kế, tổ chức các hoạt động học tập, giúp các em có thể phát hiện vấn đề và cách
thức giải quyết vấn đề sao cho nhanh, gọn, hợp lý, đúng đắn và khoa học. Thông qua
đó học sinh thu được kiến thức, rèn luyện được kỹ năng, phát triển được tư duy, tích
1
lũy được kinh nghiệm và bồi dưỡng hứng thú, lòng ham muốn học toán và sử dụng
kiến thức toán vào thực tiễn cuộc sống.
3. Phát triển năng lực suy luận chứng minh cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng
của môn toán ở trường phổ thông. Nhiệm vụ này chỉ có thể được thực hiện một cách
có hiệu quả nếu trong dạy học giáo viên biết khai thác các thuộc tính của kiến thức
toán học tích hợp trong các tuyến kiến thức của môn toán một cách hợp lý và vận
dụng các phương pháp dạy học theo hướng tăng cường tính tích cực của học sinh.
Tri thức toán học nói chung, kiến thức môn toán nói riêng, có tính trừu tượng cao độ
và tính lôgic chặt chẽ. Những thuộc tính này vừa tạo nên những khó khăn đối với học
sinh về hoạt động nhận thức trong quá trình dạy học, đồng thời cũng là những tiềm
năng có thể khai thác để phát triển trí tuệ cho học sinh. Môn toán có nhiều tuyến kiến
thức với đặc điểm khác nhau.
Mỗi tuyến kiến thức có những lợi thế có thể khai thác vào việc phát triển những năng
lực khác nhau của học sinh. Việc phối hợp một cách hợp lý quá trình khai thác thế
mạnh của các tuyến kiến thức môn toán trong dạy học sẽ tạo nên khả năng giáo dục
toàn diện của môn toán.
4. Đối với phân môn hình học, ngay từ cấp tiểu học, học sinh đã được làm quen với
các hình tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi,. . . với các thao tác phân tích
hình cơ bản.
Ở cấp trung học cơ sở, bước đầu học sinh làm quen với phương pháp xây dựng hình
học bằng tiên đề, làm quen với hoạt động chứng minh. Đây là những tiền đề quan
trọng để phát triển năng lực suy luận, năng lực chứng minh cho học sinh.
Đến cấp trung học phổ thông, học sinh đã tìm hiểu khá nhiều các kiến thức về hình
học ở những hình thức trình bày khác nhau: hình học tổng hợp (hình học sơ cấp truyền
thống) và hình học giải tích.
Hình học giải tích tuy mới đưa vào dạy học trong chương trình môn toán phổ thông
– Phương pháp thực nghiệm giáo dục.
– Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán học.
3
Cấu trúc luận văn
– Mở đầu
– Nội dung
* Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
* Chương 2. Phát triển năng lực chứng minh cho học sinh trong dạy học giải toán hình
học giải tích
* Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
– Kết luận
– Tài liệu tham khảo
– Phụ lục
4
Chương 1
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1 Lý luận về dạy học giải toán
1.1.1 Chức năng của bài tập toán trong dạy học
Theo [13], mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều
chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau hướng đến
việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán. Các chức năng đó là:
Dạy học
Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau ở các giai đoạn
khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào cuộc sống.
Phát triển tư duy
Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện cho
học sinh những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.
Giáo dục
Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng
thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
mới sử dụng được nó không?
– Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?
– Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra, hãy thử giải một bài toán có liên quan. Bạn
có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát
hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài
toán hay không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm
được xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ
ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìm hay không? Có
6
thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho cái phải tìm
mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?
– Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện và điều kiện hay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ
yếu trong bài toán chưa?
Bước 3. Thực hiện chương trình giải
– Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ được ở bước 2.
– Trình bày lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán, phát hiện, những yếu tố
lệch lạc nhất thời, và đã được điều chỉnh những chỗ cần thiết.
– Khi thực hiện chương trình hãy kiểm tra từng bước bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước
đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không? Bạn có thể kiểm tra tính
đúng, sai của kết quả đó không?
Bước 4. Khảo sát lời giải đã tìm được
– Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài
toán không? Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp kết
quả không?
– Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó để giải bài toán khác không?
1.2 Lý luận về năng lực chứng minh hình học
1.2.1 Khái niệm về năng lực, năng lực toán học
1.2.1.1 Năng lực
Năng lực là những điều kiện đủ hoặc vốn có để làm một việc gì: năng lực
tư duy của con người. Là khả năng đủ để thực hiện tốt một công việc: có
động toán học có hiệu quả.
Một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán:
– Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một
lời giải, biết trình bày lời giải rõ ràng, đẹp đẽ.
– Sự phát triển của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập luận chính
xác về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán.
– Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các ký hiệu, ngôn ngữ
toán học. Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ: ký hiệu, quan
hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết và ngược lại.
8
– Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động kiến thức vào việc giải bài tập theo các
hướng tiếp cận khác nhau, từ đó đưa ra được nhiều lời giải và lựa chọn được lời giải
tối ưu.
– Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từ bài toán
có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát, nhờ các thao tác
trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, hệ thống hoá, đặc biệt hóa,
Trong quá trình giải bài tập toán cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách
giải cho một bài toán. Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó
của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh
biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó
rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy. Mặt khác tìm được nhiều
cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp nhất, [12]
1.2.3 Năng lực chứng minh toán học
Năng lực chứng minh toán học là năng lực dùng lý luận để khẳng định
sự đúng hoặc không đúng của một mệnh đề dựa vào những định lý, định
nghĩa, tiên đề, đã biết.
– Nắm vững lược đồ suy luận, quy tắc suy luận để làm bộc lộ đối tượng cần thiết nhằm
đạt được điều cần chứng minh. Các quy tắc suy luận: bắc cầu, kết luận, phản chứng,
hoán vị, quy nạp hoàn toàn, quy nạp toán học,
– Năng lực phân chia một hoạt động chứng minh thành các hoạt động thành phần.
được thừa nhận trong các tiên đề hoặc đã được chứng minh trước đó).
Ta gọi B
1
, B
2
, . . . , B
n
là các kết luận trung gian, B
i
⇒ B
i+1
(với i = 0, . . . , n − 1) là
một bước suy luận và dãy các suy luận (1) là một phép chứng minh (cách chứng minh)
kết luận A. Việc tìm ra phép chứng minh (1) có thể thực hiện bằng phép suy ngược
(còn gọi là phép phân tích đi lên) như sau:
Điều cần chứng minh là A, muốn vậy ta chỉ cần chứng minh B
n
.
Để chứng minh B
n
, ta chỉ cần chứng minh B
n−1
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Để chứng minh B
1
, ta chỉ cần có B
0
.
Khi B
, A
2
, . . . , A
n
và kết luận B nếu ứng với mọi bộ giá trị của các biến sao
cho tất cả các công thức A
1
, A
2
, . . . , A
n
đều nhận giá trị 1 ta có B cũng
nhận giá trị 1. Khi đó ta sử dụng ký hiệu
A
1
, A
2
, . . . , A
n
B
· Các công thức
A
1
, A
2
, . . . , A
n
được gọi là các tiền đề (hay giả thiết), công thức B được gọi
là kết luận.
Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét:
đã biết chắc chắn là sai thì dù cho B là
công thức nào đi chăng nữa ta cũng có quy tắc suy luận
A
1
, A
2
, . . . , A
n
B
·
– Để rút ra được kết luận đáng tin cậy (tức là kết luận đúng), khi sử dụng các quy
tắc suy luận phải xuất phát từ những tiền đề đúng (tức là những công thức đã được
chứng minh là đúng hay những giả thiết cho trước là đã được thực hiện).
Sau đây là danh sách các quy tắc suy luận của đại số mệnh đề và đại số vị từ thường
được sử dụng trong chứng minh toán học.
* Quy tắc kết luận:
A, A ⇒ B
B
·
* Quy tắc bắc cầu:
A ⇒ B, B ⇒ C
A ⇒ C
hoặc
A
1
⇒ A
2
, A
2
⇒ A
·
* Quy tắc suy luận loại trừ:
A ∨ B, A
B
·
* Một số quy tắc khác:
A
B ⇒ A
;
A ⇒ B, C ⇒ D
A ∧ C ⇒ B ∧ D
;
A ⇒ B, C ⇒ D
A ∨ C ⇒ B ∨ D
;
A ⇒ B
(A ⇒ C) ⇒ (A ⇒ B ∧ C)
;
A ⇒ C
(B ⇒ C) ⇒ (A ∨ B ⇒ C)
·
Các quy tắc suy luận của đại số vị từ thường dùng trong chứng minh:
* Quy tắc đặc biệt hóa:
∀xf(x)
f(y)
·
* Quy tắc lượng hóa tồn tại:
f(y)
∃xf(x)
·
f(x), ∀x ∈ D
2
f(x), . . . , ∀x ∈ D
n
f(x)
∀x ∈ Df(x)
·
* Quy tắc quy nạp toán học:
f(0), ∀k ∈ N {f(k) ⇒ f(k + 1)}
∀n ∈ Nf(n)
·
* Ta cũng có các quy tắc suy luận của đại số vị từ (trên tập hợp D nào đó) tương tự
như trong đại số mệnh đề sau đây:
f(x)
f(x) ∨g(x)
;
f(x) ∧g(x)
f(x)
;
∀x(f(x) ∧g(x))
∀xf(x) ∧∀xg(x)
;
∀xf(x) ∧∀xg(x)
∀x(f(x) ∧g(x))
·
Chú ý rằng khi vận dụng các quy tắc suy luận trên đây vào các nội dung toán học cụ
thể phải sử dụng hệ thống khái niệm, tiên đề, định lý, ngôn ngữ và ký hiệu thể hiện
các nội dung đó một cách phù hợp.
12
1.3 Kiến thức cơ bản về hình học giải tích và thực
Ký hiệu: độ dài của a là |a|, của
−→
AB là AB.
– Hai vectơ bằng nhau: hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng
độ dài.
Nếu hai vectơ a và
b bằng nhau thì ta viết a =
b.
Các phép toán vectơ
– Phép cộng vectơ: cho hai vectơ a và
b. Lấy một điểm A nào đó, rồi xác định các điểm
B và C sao cho
−→
AB = a và
−−→
BC =
b. Khi đó vectơ
−→
AC được gọi là tổng của hai vectơ
a và
b. Ký hiệu:
−→
AC = a +
b.
b, ký hiệu là a −
b, là tổng của vectơ a và
vectơ đối của vectơ
b, tức là a −
b = a + (−
b).
Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
– Các quy tắc cần nhớ
* Quy tắc ba điểm: với ba điểm A, B, C tùy ý, ta luôn có:
−→
AB +
−−→
BC =
−→
AC.
* Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì:
−→
AB +
−−→
AD =
−→
AC.
* Quy tắc về hiệu hai vectơ
Cho hai điểm A, B thì với mọi điểm O bất kỳ ta có:
−→
0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc a =
0.
– Tính chất của trung điểm
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì
−−→
MA +
−−→
MB =
0.
Hay ta còn có
−→
OA +
−−→
OB = 2
−−→
OM với O bất kỳ.
– Tính chất của trọng tâm tam giác
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
−→
GA +
−−→
GB +
−→
GC =
0.
Hay ta còn có
−−→
i,
j), nếu a = x
i + y
j thì cặp số (x; y) được
gọi là tọa độ của vectơ a. Ký hiệu là a = (x; y) hay a(x; y). Số thứ nhất x được gọi là
hoành độ, số thứ hai y được gọi là tung độ của vectơ a.
– Hai vectơ bằng nhau: a(a
1
; a
2
) =
b(b
1
; b
2
) ⇔ a
1
= b
1
và a
2
= b
2
.
– Các phép toán vectơ: với a(a
2
).
* ka = (ka
1
; ka
2
) với k ∈ R.
– Vectơ
b cùng phương với vectơ a =
0 khi và chỉ khi có một số k: b
1
= ka
1
và b
2
= ka
2
.
– Tọa độ của điểm
Tọa độ của vectơ
−−→
OM được gọi là tọa độ của điểm M.
Với hai điểm M(x
M
; y
M
) và N(x
N
MA = k
−−→
MB
15
Copyright: Tài liệu đại học ©