BÀI GIẢNG HỌC PHẦN GIẢI TÍCH HÀM

CHƯƠNG I ðẠI CƯƠNG VỀ KHÔNG GIAN BANACH 1
1.1. Không gian tuyến tính 1
1.2. Toán tử tuyến tính, phiếm hàm tuyến tính 3
1.3. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 4
1.4. Chuỗi trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 7
1.5. Các không gian Banach khả ly 8
1.6. Không gian con và không gian thương 9
1.7. Toán tử tuyến tính liên tục, phép ñồng phôi 11
1.8. Tích các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn 15
1.9. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn hữu hạn chiều 16
Bài tập 18
CHƯƠNG II Các nguyên lý cơ bản của giải tích hàm 21
2.1. ðịnh lý Hahn-Banach 21
2.2. Nguyên lý ánh xạ mở ñồ thị ñóng 24
2.3. Nguyên lý bị chặn ñều. ðịnh lý Banach-Steinhaus 28
Bài tập 30
CHƯƠNG III Không gian liên hợp, tô pô yếu và tính phản xạ 33
3.1. Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục 33
3.2. Topo yếu 36
3.3. Không gian phản xạ 39
Bài tập 40
CHƯƠNG IV Không gian Hinbe 42
4.1. Không gian unita và không gian Hilber 42
4.2. Các phần tử và tập hợp trực giao, cơ sở trực chuẩn, phép ñẳng cấu 44
4.3. Không gian liên hợp 48
4.4. Toán tử liên hợp 50
Bài tập 54
CHƯƠNG V Phổ của toán tử và toán tử compact 56
5.1. Phổ của toán tử tuyến tính liên tục 56

֏
x + y;
∀
x, y
∈
X.
Phép nhân vô hướng xác ñịnh trên K x X nhận giá trị trong X: (k, x)
֏
kx;
∀
k
∈
K,
∀
x
∈
X.
Gọi là một không gian tuyến tính (không gian vectơ) nếu các ñiều kiện sau ñược thỏa mãn:
1. X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là:
a) x + y = y + x;
∀
x, y
∈
X.
b) (x + y) + z = x + (y + z);
∀
x, y, z
∈
X.
c) Tồn tại phần tử 0 của X sao cho x + 0 = 0 +x = x;

∈
X.
5. 1.x = x,
∀
x
∈
X.
Nếu K =
ℝ
thì X ñược gọi là một không gian tuyến tính thực, nếu K =
ℂ
thì X ñược gọi là
một không gian tuyến tính phức.
1.1.2. Các ví dụ
1. Không gian K
T
Giả sử T là một tập hợp bất kỳ. Gọi K
T
là tập hợp các hàm số xác ñịnh trên T và nhận giá trị
trong K. Ta trang bị hai phép toán: 2

(x + y)(t) = x(t) + y(t)
∀
x, y
∈
K
T

0
Gọi S
0
là tập hợp các dãy số thực hoặc phức, trong ñó tất cả các số hạng của dãy, trừ một số
hữu hạn phần tử ñều bằng không. Khi ñó S
0
là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân
vô hướng thông thường.
4. Không gian l
Không gian l các dãy số thực hoặc phức khả tổng tuyệt ñối là một không gian tuyến tính với
các phép cộng và nhân vô hướng thông thường (x =(x
i
)
∈
l
↔

1
| |
i
i
x
∞
=
<∞
∑
).
5. Không gian l
p


cộng và nhân vô hướng thông thường, (x =(x
i
)
∈
l
∞

↔

sup | |
i
i
x
<∞
).
7. Không gian c
Không gian c các dãy số thực hoặc phức hội tụ là một không gian tuyến tính với các phép cộng
và nhân vô hướng thông thường.
8. Không gian c
0

Không gian c
0
các dãy số thực hoặc phức hội tụ ñến 0, là một không gian tuyến tính với các
phép cộng và nhân vô hướng thông thường.
9. Không gian B(T)
Giả sử T là một tập hợp bất kỳ. Gọi B(T) là tập hợp các hàm số xác ñịnh và bị chặn trên T và
nhận giá trị trong K. Khi ñó K
T
là một không gian tuyến tính với các phép cộng và nhân vô hướng

[ , ]
a b
C
các hàm số thực liên tục trên ñoạn [a, b] là một không gian tuyến tính với
các phép cộng và nhân thông thường.

1.1.3. Tập lồi, cân, hút
ðịnh nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính, E là một tập con của X, E ñược gọi
i) lồi nếu
{
}
[ , ] (1 ) : 0 1 , , ;
a b ta t b t E a b E
= + − ≤ ≤ ⊂ ∀ ∈

ii) cân nếu
, | | 1, ;
tx E t x E
∈ ∀ ≤ ∀ ∈

iii) hút nếu
, 0 : , | | .
x X tx E t
ε ε
∀ ∈ ∃ > ∈ ∀ <1.2. Toán tử tuyến tính, phiếm hàm tuyến tính
Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng trường K. Ánh xạ A: X
→

Các phiếm hàm tuyến tính của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X thường ñược ký hiệu x*,
y*, z*, …
Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên trường K. Gọi
L
(X, Y) là tập hợp tất cả các
toán tử tuyến tính A : X
→
Y. Trên
L
(X, Y) ta trang bị hai phép toán:
(A + B)x = Ax + Bx
(kA)x = k(Ax)
∀
A, B
∈
L
(X, Y),
∀
k
∈
K,
∀
x
∈
X.
Khi ñó
L
(X, Y) là một khôn gian tuyến tính trên K.
ðặc biệt nếu Y = K thì
L

X’’
xác ñịnh bởi
H(x) = H
x

là một toán tử tuyến tính. Ngoài ra H là một ñơn ánh. Thật vậy, giả sử x là một phần tử khác 0 của
X. Gọi L là không gian con tuyến tính sinh bởi a, tức là L = Lin{a} và M là phần bù ñại số của L.
Khi ñó, mỗi phần tử x của X có biểu diễn duy nhất dưới dạng
x = ka + y, trong ñó k
∈
K, y
∈
M.
Ánh xạ x*: X
→
K xác ñịnh bởi x*(x) = k là một phiếm hàm tuyến tính trên X và x*(a) = 1.
Do ñó, H
a
(x*) = x*(a) = 1
≠
0. Suy ra H(a)
≠
0.
ðơn ánh tuyến tính H: X
→
X’’ xác ñịnh như trên gọi là phép nhúng chính tắc không gian X
vào X’’. Vì X ñẳng cấu tuyến tính với một không gian con tuyến tính của X’’ nên có thể coi X là
một không gian con tuyến tính của X’’và ñồng nhất mỗi phần tử x của X với phần tử H(x) của X’’.

1.3. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn

∈
X. 5

Từ ñịnh nghĩa nửa chuẩn ta có:
a)
1 1
( ) | | ( )
n n
i i i i
i i
p k x k p x
= =
≤
∑ ∑
với mọi
1 1
, , ; , ,
n n
x x X k k K
∈ ∈

b) |p(x) – p(y)|
≤
p(x - y) với mọi x, y
∈
X.
Nửa chuẩn p trên không gian tuyến tính X ñược gọi là một chuẩn trên X nếu từ p(x) = 0 suy ra

ñịnh bởi chuẩn). Vậy không gian tuyến tính ñịnh chuẩn là một không gian metric.
Nếu dãy {x
n
} những phần tử của X và x
0
∈
X thì
0
lim
n
n
x x
→∞
=

có nghĩa là
0
lim || || 0
n
n
x x
→∞
− =
.
Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn (X, || || ) ñầy ñủ ñối với metric xác ñịnh bởi chuẩn ñược gọi
là một không gian Banach.
ðịnh lý 1.1. Trong một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X,
a) Phép cộng và phép nhân vô hướng là những ánh xạ liên tục,
b) Chuẩn x
֏

.

0 0 0 0 0
|| || || ( ) ( ) ||
n n n n n
k x k x k x x k k x
− = − + −0 0 0
| | . || || | | . || || 0
n n n
k x x k k x
≤ − + − →
khi n
→

∞
.
b) Ta có | || x || – || y || |
≤
|| x – y ||
∀
x, y
∈
X, do ñó hàm chuẩn là liên tục trên X.


, với mọi x = (x
1
, , x
n
)
∈
K
n
.
3. B(T) là không gian Banach với chuẩn xác ñịnh bởi
|| || sup | ( ) |
t T
x x t
∈
=
, với mọi x(t)
∈
B(T).

4. l

∞
là không gian Banach với chuẩn
|| || sup | |
n
n N
x x
∈
=
, với mọi x = (x



 
∑
, với mọi x = (x
1
, , x
n
)
∈
K
n
.
Mệnh ñề 1.1. Giả sử p là một nửa chuẩn trên X. Khi ñó các tập
B B(p) X p 1
{ : ( ) }
x x
= = ∈ <

và
B B(p) X p 1
{ : ( ) }
x x
= = ∈ <

là lồi, cân và hút.
Mệnh ñề 1.2. Nếu E là một tập lồi, cân và hút thì công thức
( ) inf{ 0 : },
x
p x t E x X

X sao cho 7

∀
x
∈
E,
∃
y
∈
A: || x – y || <
ε
.
iii) compact nếu mọi dãy {x
n
}
⊂
E có một dãy con
{
}
k
n
x
hội tụ tới một phần tử x
∈
E.
Nhận xét.
a) Các khái niệm bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compact tương ñương với các ñịnh nghĩa trong

= x
1
+ + x
n

gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.
Nếu dãy các tổng riêng hội tụ thì chuỗi ñược gọi là hội tụ. Giới hạn S của dãy {S
n
} ñược gọi là
tổng của chuỗi và ta viết S = , khi ñó r
n
= S – S
n
ñược gọi là phần dư thứ n của chuỗi . Ngược lại
chuỗi gọi là phân kỳ.
ðịnh lý 1.3. Nếu chuỗi
1
n
n
x
∞
=
∑
trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X hội tụ thì thỏa mãn
ñiều kiện : với mọi
ε
> 0,
∃
n
0

→∞
=
.
ðịnh lý 1.5. Nếu các chuỗi
1
n
n
x
∞
=
∑
,
1
n
n
y
∞
=
∑
trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X hội tụ và
có tổng tương ứng là S, T thì các chuỗi
1 1
( ), .
n n n
n n
x y k x
∞ ∞
= =
+
∑ ∑

hội tụ.
ðịnh lý 1.6. Trong không gian Banach X, mỗi chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ và
1 1
|| ||
i i
i i
x x
∞ ∞
= =
≤
∑ ∑

ðịnh lý 1.7. Trong không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X mỗi chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ
thì X là không gian Banach.

1.5. Các không gian Banach khả ly
Ví dụ 1. Các không gian
ℝ
n
và
ℂ
n
là khả ly.
Ví dụ 2. Không gian l
p
với 1
≤
p <
∞
là khả ly. Thật vậy, ta chứng minh cho trường hợp

, vì
1
| |
p
n
n
x
∞
=
∑
hội tụ nên với số
dương
ε
bất kỳ, tồn tại một số tự nhiên n
0
sao cho
0
1
| |
2
p
p
n
n n
x
ε
∞
= −
<
∑

=
− <
∑

0
0 1 2
( , , , ,0, 0, )
n
y r r r
=
là một phần tử của M thỏa mãn bất ñẳng thức
0 0
0
0
1 1
|| || | | | |
n n
p p p p
n n n
n n n
x y x r x
ε
= = +
− = − + <
∑ ∑

do ñó || x – y
0
|| <
ε
9

1 = || x – y ||
≤
|| x - z || + || z - y ||
≤
0,3 + 0,3 = 0,6
ñiều này là vô lý. Vậy, l
∞
không phải là một không gian khả ly.

1.6. Không gian con và không gian thương
1.6.1. Không gian con
Giả sử (X, || . ||) là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn và L là một không gian con tuyến
tính của X. Dễ thấy hàm số
||. || ||. || :
L L
L
= →
ℝ

|| || || ||
L
x x
=

∀
x

θ
< 1, tồn tại một phần tử z của X sao cho
|| z || = 1, và || x – z || >
θ
, với mọi x
∈
L.
Chứng minh.
Vì L là một không gian con ñóng thực sự của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X nên X \ L
khác
∅
. Giả sử x
0

∈
X \ L. ðặt d =
inf
0
|| ||
x L
x x
∈
−
. Vì L là ñóng nên d > 0. Với mỗi số
θ
: 0<
θ
< 1,
vì
d


0
0
|| || || ||
|| ||
x u
x z x
x u
−
− = −
−0 0
0
1
|| (|| ||) ||
|| ||
x u x x u
x u
= − − +
−0 0
0
1
|| (|| || ) ||
|| ||
x u x u x

xác ñịnh như sau:



|| || = inf inf
|| || || ||, ( )
u L
y x
x y x u x x
∈
∈
= + ∈
ɶ
(1)
Dễ thấy hàm số xác ñịnh bởi (1) là một chuẩn trên X/L. Như vậy X/L là một không gian tuyến
tính ñịnh chuẩn với chuẩn ñược xác ñịnh bởi (1). Ta gọi nó là thương của không gian tuyến tính
ñịnh chuẩn X và không gian con ñóng L của nó.
ðịnh lý 1.8. Nếu X là không gian Banach và L là một không gian con ñóng của X thì X/L là
một không gian Banach.
Chứng minh.
Giả sử
1
n
n
x
∞
=
∑
ɶ
là một chuỗi hội tụ tuyệt ñối. Ta sẽ chứng minh chuỗi hội tụ trong không gian

ɶ
.
Vì
1
n
n
x
∞
=
∑
ɶ
là một chuỗi hội tụ tuyệt ñối nên chuỗi
1
|| ||
n
n
x
∞
=
∑
ɶ
hội tụ nên chuỗi
1
( )
n n
n
x u
∞
=
+

k k
n
k
x u x
→∞
=
+ − =
∑
(*)
Vì
0
1
( )
n
k k
k
x u x
=
+ −
∑
là một phần tử của lớp tương ñương
1
n
k
k
x
=
∑
ɶ
–

|| (**)
Từ (*) và (**) suy ra
0
1
lim || || 0
n
k
n
k
x x
→∞
=
− =
∑
ɶ
, tức là
1
n
n
x
∞
=
∑
ɶ
=
0
x
ɶ
.
Vậy X/L là một không gian Banach.

lim || || 0
n X
n
x x
→∞
− =
suy ra
0
lim || || 0
n Y
n
Ax Ax
→∞
− =
”.
Ta có: Nếu L là một không gian con ñóng của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X thì toán tử
thương
π
: X
→
X/L,
π
(x) =
x
ɶ
là một toán tử tuyến tính liên tục.

ðịnh lý 1.9. Nếu toán tử tuyến tính A: X
→
Y từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào

. Vì A liên tục tại x
0
nên

0 0
lim ( )
n
n
A x x x Ax
→ ∞
− + =
(*)
Vì A là toán tử tuyến tính nên
0 0
( )
n n
A x x x Ax Ax Ax
− + = − +
(**)
Từ (*) và (**) ta có
lim
n
n
Ax Ax
→ ∞
=
. Vậy A liên tục tại x. Do ñó A liên tục.
□

ðịnh nghĩa 1.7. Toán tử tuyến tính A: X

Do ñó Ax
n
→

Ax, hay A liên tục tại x và vì vậy A liên tục.
Giả sử A: X
→
Y từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn Y là liên tục. Khi ñó A liên tục tại 0 của X. Do ñó, tồn tại số dương
δ
sao cho với mọi x
∈

X, nếu || x ||
≤

δ
thì || Ax ||
≤
1. Với mọi x
≠
0 của X, ñặt
|| ||
x
u
x
δ
=
. Vì || x || =
δ

ðịnh lý 1.11. Giả sử A: X
→
Y là toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X
vào không gian tuyến tính ñịnh chuẩn Y. Khi ñó: 13

i) || Ax ||
≤
|| A ||. || x ||,
∀
x
∈
X.
ii)
|| || 1 || || 1 0
|| ||
|| || || || || ||
|| ||
x x x
Ax
A sup Ax sup Ax sup
x
≤ = ≠
= = =
(3)
Chứng minh.
i) Theo ñịnh nghĩa || A || =
inf { }

∈
X.
ii) Từ (i) ta có || Ax ||
≤
|| A || với mọi x mà || x ||
≤
1( hoặc || x || = 1). (*)
Mặt khác từ ñịnh nghĩa chuẩn || A || suy ra rằng với mỗi số dương
ε
, tồn tại phần tử u
∈
X
sao cho
|| Au ||
≥
(|| A || -
ε
).|| u ||
ðặt v =
|| ||
u
u
. Khi ñó || v || = 1 và
|| ||
|| || || ||
|| ||
Au
Av A
u
ε


 
 
 
 || ||
: 0
|| ||
Ax
Sup x
x
 
 
 
= ≠
 
 
 
 

Do ñó
|| ||
: 0 || ||
|| ||
Ax
Sup x A
x
 

L
(X, Y) là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn với chuẩn
|| A || = inf { M : || Ax ||
≤
M.|| x || ,
∀
x
∈
X}. (4)
ii) Nếu Y là một không gian Banach thì
L
(X, Y) là một không gian Banach.
Chứng minh.
i) Hiển nhiên
L
(X, Y) là không gian tuyến tính.
Với mọi A
∈
L
(X, Y) và || A || = 0. Khi ñó, || Ax ||
≤
|| A || . || x || = 0
∀
x
∈
X. Do ñó Ax = 0
∀
x
∈
X, vậy A = 0.


|| || 1
| | sup || || | | . || ||
x
k Ax k A
≤
= =
.
Vậy
L
(X, Y) là không gian tuyến tính ñịnh chuẩn.
ii) Giả sử Y là một không gian Banach, {A
n
} là một dãy Cauchy trong không gian
L
(X, Y).
Khi ñó với mọi số dương
ε
, với mỗi phần tử x
≠
0 cố ñịnh, ñặt
ε
’ =
|| ||
x
ε
, khi ñó luôn tồn tại số
nguyên dương n
0
sao cho

ε
(*)
Như vậy, với mỗi x
∈
X dãy {A
n
x} là một dãy Cauchy của không gian Banach Y, nên A
n
x hội
tụ. ðặt
lim
n
n
Ax A x
→ ∞
=
,
∀
x
∈
X.
Ta ñược một ánh xạ A từ không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X vào không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn Y. Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính. Từ (*) ta có thể chỉ ra rằng A là bị chặn và A
n

→
A.
Vậy
L
(X, Y) là không gian Banach.

x
∈
X.
Phép ñồng phôi tuyến tính còn ñược gọi là phép ñẳng cấu tôpô hay ñẳng cấu hình học.
Hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X và Y ñược gọi là ñồng phôi tuyến tính hoặc ñẳng cấu
tôpô hoặc ñẳng cấu hình học nếu có một phép ñồng phôi tuyến tính từ một không gian lên không
gian thứ hai.
Hiển nhiên hai không gian ñẳng cự tuyến tính thì ñồng phôi tuyến tính.
Hai không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X và Y ñược gọi là ñẳng cự nếu có một phép ñẳng cự
tuyến tính từ một không gian lên không gian thứ hai.
Hiển nhiên hai không gian ñẳng cự tuyến tính thì ñồng phôi tuyến tính.
Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, ký hiệu
L
(X) là không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào chính nó.
Với mỗi A
∈

L
(X), ñặt
0 1 2 1
; ; ; ;
n n
A I A A A AA A A A
−
= = = =

Hiển nhiên với mỗi n, A
n


∞
−
=
− = ∀ ∈
∑
(5)
và

1
1
|| ( ) ||
1 || ||
I A
A
−
− ≤
−
(6)

1.8. Tích các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn
ðịnh nghĩa 1.10. Giả sử (X
1
, || ||
1
), (X
2
, || ||
2
), , (X
m

k
k
X X
=
=
∏
với chuẩn xác ñịnh bởi (7) ñược gọi là tích của các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn
(X
1
, || ||
1
), (X
2
, || ||
2
), , (X
m
, || ||
m
).
ðịnh lý 1.14. Dãy phần tử
( ) ( ) ( )
1
( , , )
n n n
m
x x x
=
, n=1, 2, hội tụ ñến phần tử
(0) (0) (0)

m
j k j
k
p X X
=
→
∏1
( ) , ( , , ) , 1, ,
j j m
p x x x x x X j m
= ∀ = ∈ ∀ =

là những toán tử liên tục.
Các phép nhúng
1
:
m
j j k
k
i X X
=
→
∏thø j
( ) (0, , 0, , 0, , 0) , 1, ,

m
là một
không gian Banach khi và chỉ khi X
1
, X
2
, , X
m
ñều là những không gian Banach.

1.9. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn hữu hạn chiều
Chúng ta ña biết rằng các không gian
K
n
là những không gian tuyến tính ñịnh chuẩn hữu hạn
chiều. ðịnh lý sau cho thấy chỉ những không gian ñó là hữu hạn chiều nếu coi các không gian ñồng
phôi tuyến tính là ñồng nhất.
ðịnh lý 1.16. Mọi không gian tuyến tính ñịnh chuẩn thực (hoặc phức) n chiều ñều ñồng phôi
tuyến tính với không gian
ℝ
n
(
ℂ
n
)
Chứng minh.
Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn thực (hoặc phức) n chiều trên trường K và
{e
1
, e

( , , , ) ( )
n
n i
i
x x x x A x x x
=
= = =
∑
֏

Hiển nhiên A là một song ánh tuyến tính từ K
n
lên X.
Ta sẽ chứng minh A là một phép ñồng phôi. Thất vậy, với mọi
1 2
( , , , )
n
x x x x
=

∈
K
n
,
|| A(
x
) || = || x || =
1
|| ||
n

 
 
=
 
 
 
 
 
   
∑ ∑
,
trong ñó
α
=
1/2
1
|| ||
n
i
i
e
=
 








 








 
∑
= 1}.
B là tập compact trong
n
ℝ
. Xét hàm số
1
( ) || || || || || ||
n
i i
i
f x Ax x x e
=
= = =
∑
.
Vì
f
liên tục trên tập compact B nên
f

phạm Hà Nội.
[4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB ðại học Quốc gia Hà Nội.

D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
Câu hỏi.
1) Khái niệm sơ chuẩn, nửa chuẩn và chuẩn trong một không gian tuyến tính.
2) Khái niệm không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, không gian Banach, không gian khả ly.
3) Khái niệm và cách tính chuẩn của một toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian
tuyến tính ñịnh chuẩn. Khái niệm phép ñồng phôi tuyến tính.

Bài tập
1) Cho
{ }
t t T
B e
∈
=
là một cơ sở của không gian tuyến tính X trên trường K. Với mỗi phần
tử t
0
cố ñịnh của T, gọi
0
*
:
t
e X K
→
là hàm số ñược xác ñịnh như sau:
0 0 0
* *

2) Không gian con tuyến tính L của không gian tuyến tính X ñược gọi là một siêu phẳng
thuần nhất nếu L là không gian con tuyến tính thực sự cực ñại của X, tức là L
≠
X, L
≠
∅
và nếu
V là một không gian con của X chứa L thì hoặc V = X hoặc V = L.
Chứng minh rằng:
Nếu x* là một phiếm hàm tuyến tính khác không trên X thì N(x*) = { x
∈
X: x*(x) = 0} là
một siêu phẳng thuần nhất. ðảo lại, nếu L là một siêu phẳng thuần nhất của X thì tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính x* trên X sao cho N(x*) = L; x* ñược xác ñịnh sai khác một vô hướng.
3) Giả sử L là một không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính X, tập hợp có dạng
x + L
ñược gọi là một ña tạp tuyến tính của X.
a) Cho M là một tập con của không gian tuyến tính X. Chứng minh rằng M là một ña tạp
tuyến tính của X khi và chỉ khi với mọi x, y
∈
M và với mọi k, t
∈
K mà k + t = 1 ta ñều có
tx + ky
∈
M. 19


i
t
=
=
∑
, n là một số tự nhiên bất kỳ.
4) ða tạp tuyến tính x
0
+ L, trong ñó x
0
là một phần tử của X, L là một siêu phẳng thuần
nhất của X, gọi là một siêu phẳng của X.
Chứng minh rằng tập hợp con M của không gian tuyến tính X là một siêu phẳng của X khi
và chỉ khi tồn tại một phiếm hàm tuyến tính khác không x* trên X và một số
α
sao cho
{ : * ( ) }
M x X x x
α
= ∈ =

5) Chứng minh rằng nếu
p
là một nửa chuẩn trên mọt không gian tuyến tính X và một trong
hai tập hợp
{ : ( ) 1}, { : ( ) 1}
x X p x x X p x
∈ < ∈ ≤

là một tập hợp cân thì

c) Chứng minh rằng nếu E là một tập mở (ñóng) trong X thì
{ : }
kE kx x E
= ∈
là một tập
mở (ñóng) trong X với mọi k
≠
0.
8) Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn và a là một phần tử cố ñịnh của X.
Chứng minh rằng
a) Ánh xạ A : X
→
X, xác ñịnh bởi công thức
Ax = x + a, x
∈
X.
là một phép ñẳng cự từ X lên X.
b) Nếu E là một tập mở (ñóng) trong X thì
x + E = {x + a: x
∈
E}
cũng là một tập mở(ñóng) trong X.
c) Nếu U là một tập mở trong X và E là một tập con bất kỳ của X thì
U + E = { x + y : x
∈
U, y
∈
E}
14) Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, L là một không gian con tuyến tính
trù mật của X, A
0
: L
→
Y là một toán tử tuyến tính liên tục từ L vào không gian Banach Y. Chứng
minh rằng tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính liên tục A : X
→
Y sao cho
A|
L
= A
0
và || A || = || A
0
||.
15) Giả sử L là một không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X. Gọi
π
: X
→
X/L là toán tử thương. Chứng minh rằng
π
là một ánh xạ mở.
16) Giả sử X là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn và L là một không gian con tuyến tính
hữu hạn chiều của X. Chứng minh rằng với mỗi phần tử x của X, tồn tại một phần tử a của L sao cho
|| || ( , ) inf || ||
u L
x a dist x L x u
∈
− = = −

=
;
c) A:
[0, 1]
C

→

[0, 1]
C
,
2
( )( ) ( )
Ax t x t
=
;
d) A:
[0, 1]
C

→

[0, 1]
C
,
( )( ) ( )
Ax t x t
=
;
e) A:

21

CHƯƠNG II
Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm
Số tiết: 12 tiết( LT 10 tiết, BT 2 tiết)

A) MỤC TIÊU
Sinh viên hiểu nội dung của ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm: Nguyên lý bị chặn ñều,
nguyên lý ánh xạ mở ñồ thị ñóng và ñịnh lý Hahn – Banach.
Sinh viên vận dụng ñược các nguyên lý vào giải một số bài tập cơ bản của giải tích hàm.
Sinh viên thành thạo trong việc tìm một phiếm hàm tuyến tính liên tục và chuẩn của nó thỏa
mãn một số ñiều kiện cho trước.

B) NỘI DUNG
Cho một phiếm hàm tuyến tính f xác ñịnh trên một không gian con L của một không gian
tuyến tính X. Nếu có một phiếm hàm tuyến tính F xác ñịnh trên X, trùng với f trên L thì ta nói F là
một thác triển của f trên X, và f ñược gọi là thác triển ñược lên X. Trong nhiều vấn ñề ta thường có
phiếm hàm f trên L và muốn thác triển nó lên toàn X sao cho nó vẫn giữ ñược một số tính chất nào
ñó vốn có của f. Chẳng hạn, nếu L là không gian con tuyến tính của không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn X, f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L, thì thường ta muốn thác triển F của f cũng
liên tục trên X và || f || = || F ||. ðịnh lý Hahn – Banach nhằm giải quyết vấn ñề ñó, ñây là một trong
những mệnh ñề trung tâm của giải tích hiện ñại.

2.1. ðịnh lý Hahn-Banach
2.1.1. Tiên ñề Zorn
Cho một tập hợp S, trong ñó giữa một số cặp phần tử (a, b) của S có xác ñịnh một quan hệ
“
≺
” sao cho, với mọi a, b, c
∈

≺
m với mọi a
∈
A; m ñược gọi là một phần tử tối ñại của S nếu không tồn tại a
∈
S mà
a
≠
m, m
≺
a.
Tiên ñề 2.1(Zorn) Nếu S là một tập hợp ñược sắp thứ tự bộ phận và mọi tập hợp con ñược sắp
tuyến tính của S ñều có cận trên, thì S phải có phần tử tối ñại.
2.1.2. ðịnh lý Hahn-Banach thực
ðịnh lý 2.1. (ðịnh lý Hahn – Banach ñối với sơ chuẩn cho không gian tuyến tính thực) Giả sử
F là một không gian con của một không gian tuyến tính thực X và
p
là một sơ chuẩn trên X. Khi ñó
với mọi phiếm hàm tuyến tính f: X
→

ℝ
thỏa mãn 22

f(x)
≤


x
∈
X.
Chứng minh.
Bước 1. Ta gọi một mở rộng của f là một cặp (D, g) trong ñó D là một không gian con của X
chứa F và g: D
→
ℝ
là tuyến tính và thỏa mãn
g(x) = f (x)
∀
x
∈
F và g(x)
≤

p
(x),
∀
x
∈
D.
Ta ký hiệu M là tập tất cả các mở rộng của f. Rõ ràng (F, f) là một mở rộng của f, nên M là
khác rỗng. Trong M ta xét quan hệ thứ tự:
(D
1
, g
1
)
≤

. Khi ñó f là tuyến tính phức khi và
chỉ khi f viết dưới dạng
f(x) = f
1
(x) – if
1
(ix), x
∈
X
với f
1
: X
→
ℝ
là tuyến tính thực.
ðịnh lý 2.2. (ðịnh lý Hahn – Banach ñối với nửa chuẩn cho không gian phức) Giả sử X là một
không gian tuyến tính thực hoặc phức,
p
là một nửa chuẩn trên X. Nếu
f
là một phiếm hàm tuyến
tính trên một không gian con L của X sao cho
|
f
(x) |
≤

p
(x),
∀

X, ñặt,
p
(x) = ||
f
||. || x ||,
thì
p
là một chuẩn nên cũng là một nửa chuẩn trên X. Ta có
| ( ) | || || . || || ( ),
f x f x p x x L
≤ = ∀ ∈
. 23

Theo ñịnh lý 2.2 tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F trên X sao cho F|
L
=
f
và
| ( ) | ( ) || || . || ||,
F x p x f x x X
≤ = ∀ ∈
.
Vậy F là một toán tử bị chặn và do ñó F liên tục trên X và
|| || || ||
F f
≤


f
liên tục trên X sao cho
||
f
|| =
1
d
,
f
|
L
= 0 và
f
(a) = 1.
Hệ quả 2.3. Với mỗi phần tử x
0

≠
0 của một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X ñều có một
phiếm hàm tuyến tính liên tục
f
trên X sao cho
f
(x
0
) = || x
0
|| và ||
f
|| = 1.


→

ℝ
, ñược cho bởi công thức
2
1 2 1 2
( ) , ( , )f x x x x x x
= + ∀ = ∈
ℝ
.
Dễ thấy,
f
là một toán tử tuyến tính trên
2
ℝ
và
f
(x
0
) = 3.
Với mọi
2
1 2 1 2 1 2
( , ) , || ( ) || | | | | | |
x x x f x x x x x
= ∈ = + ≤ +
ℝ
, nên
|| ( ) || || ||

|| = 1.
Ví dụ 2.2. Trong
ℝ
2
, với
2 2
1 2
|| || |
x x x
= +
,
∀
2
1 2 0
( , ) , (2, 3)
x x x x
= ∈ =
ℝ
,
{( , 0) : }
F x x
= ∈
ℝ
. Xác ñịnh phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
2
ℝ
sao cho:
0
1
|| || , ( ) 1, | 0

f
(x
0
) = 1 và
f
(x) = 0,
∀
(x, 0)
∈
F.
2 2 2
1 2 2 2 1 2
1 1 1
( , ) :|| ( ) || | . | | |
3 3 3
x x x f x x x x x
∀ = ∈ = = ≤ +ℝ

Do ñó
|| ( ) || || ||
f x x
≤
, nên
f
bị chặn từ ñó suy ra
f
liên tục và
|| || 1
f
≤

n
X A
∞
=
=
∪
, trong ñó
n
A

⊂
X,
int
n
A
= ∅
,
∀
n.
Không gian X không thuộc phạm trù thứ nhất ñược gọi là tập thuộc phạm trù thứ hai.
ðịnh lý 2.4.(ðịnh lý Baire về phạm trù) Mọi không gian metric ñầy ñủ ñều là tập thuộc phạm
trù thứ hai.
Chứng minh.
Giả sử {A
n
} là một dãy các tập không ñâu trù mật trong X. Vì
1
intA
= ∅
nên tồn tại

2
r
< ½ sao cho
2 2
B A
∩ = ∅
. . Tiếp tục như