BÀI TẬP VỀ CON LẮC ĐƠN
Câu 1: Một con lắc đơn dao động điều hoà theo phương trình li độ góc α = 0,1cos(2πt + π/4) ( rad ).
Trong khoảng thời gian 5,25s tính từ thời điểm con lắc bắt đầu dao động, có bao nhiêu lần con lắc có độ
lớn vận tốc bằng 1/2 vận tốc cực đại của nó?
A. 11 lần. B. 21 lần. C. 20 lần. D. 22 lần.
Giải:
Trong một chu kì dao động có 4 lần v =
2
max
v
tại vị trí
W
đ
=
4
1
W > W
t
=
4
3
W
tmax
tức là lúc li độ
α = ±
2
3
max
α
Chu kì của con lắc đơn đã cho T =
ω

2
π
=
10m/s
2
. Để con lắc dao động duy trì với biên độ góc 6
0
thì phải dùng bộ máy đồng hồ để bổ sung năng
lượng có công suất trung bình là
A. 0,77mW. B. 0,082mW. C. 17mW. D. 0,077mW.
Giải:
α
0
= 6
0
= 0,1047rad.
Cơ năng ban đầu W
0
= mgl(1-cosα
0
) = 2mglsin
2
2
0
α
≈ mgl
2
2
0
α

-3
J
α
0
O M
0
A
T = 2
g
l
= 2
2
64,0

= 1,6 (s)
Cụng sut trung bỡnh cn cung cp con lc dao ng duy trỡ vi biờn gúc l 6
0
W
TB
=
3
3
10.082,0
32
10.63,2
20


==


điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lợng cho con lắc với hiệu suất 25%. Pin
có điện lợng ban đầu
( )
CQ
4
0
10
=
. Hỏi đồng hồ chạy đợc thời gian bao lâu thì lại phải thay pin?
Gii: Gi l gim biờn gúc mi l qua v trớ cõn bng =
0
-
C nng ban u ca con lc n
W
0
= mgl(1-cos
0
) = mgl,2sin
2
22
2
0
2
0

mgl

Vi

l =

0
+ )l > =
00245,0
2
=
mg
F
c

0
=
08722,0
180
14,3.5
=
W = 2F
c
(
0
+ )l = 2F
c
(2
0
- )l = 0,00376 (J).
õy l phn nng lng tiờu hao sau mt chu kỡ tc l sau 2s
Nng lng ca ngun: W = EQ
0
= 3.10
4
(J)

; T
2
= 2π
g
l
; Với ∆l : độ giãn của lò xo; l chiều dài của con lắc đơn
T
1
= T
2
> ∆l = l
Khi đặt các con lắc trong điện trường gia tốc trọng trường hiệu dụng tác lên các vật:
g g’
O’ a
g’ = g + a

Khi đó vị trí cân bằng là O’
T’
1
= 2π
'
2.2,1
'
44,1
2
'
'
g
l
g

Chọn đáp án B
A’
A
O M
α
0

α
Câu 5: Treo một vật trong lượng 10N vào một đầu sợi dây nhẹ, không co dãn rồi kéo vật khỏi phương
thẳng đứng một góc α
0
và thả nhẹ cho vật dao động. Biết dây treo chỉ chịu được lực căng lớn nhất là
20N. Để dây không bị đứt, góc α
0
không thể vượt quá:
A: 15
0
. B:30
0
. C: 45
0
. D: 60
0
.
Giải Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α
Vận tốc của vật tại M: v
2
= 2gl( cosα - cosα
0
).

bằng: A: 0,1. B: 0. C: 10. D: 1.
A’
A
O M
F
tt
α
0

α
Giải
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α
Vận tốc của vật tại M:
v
2
= 2gl( cosα - cosα
0
) > v =
0
)cos2gl(cos
αα
−
a =
22
t tht
aa +
>a
ht
=
l

α
= g
2
0
α
Tại biên : α = α
0
nên a
ht
=0 > a
B
= a
tt
= gα
0
Do đó :
B
a
a
0
=
0
2
0
α
α
g
g

= α

ll ∆−
>(
T
TT '∆−
)
2
=
l
ll ∆−
< > 1 -
T
T∆2
+ (
T
T∆
)
2
= 1 -
l
l∆
< >
T
T
∆
2
- (
T
T
∆
)

l∆
=
2
4
T
l∆
< >
T
8,0
-
2
2
4,0
T
=
2
44,0.4
T
>
T
8,0
=
2
92,1
T
>
T
92,1
= 0,8 > T = 2,4 (s). Chọn đáp án B
A

m
l
α
0
= 0,1 rad.
Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có
mgl(1-cosα
m
) = mgl(1-cosα
0
) +
2
2
0
mv
< >
mgl
2
2
max
α
= mgl
2
2
0
α
+
2
2
0

Tần số góc của dao động ω =
l
g
= 25 rad/s
Gốc thời gian t = 0 khi gia tốc của vật nặng tiếp tuyến với quỹ đạo lần thứ nhất tức là gia tốc hướng tâm
a
ht
= 0 > v = 0: tức là lúc vật ở biên âm (ở điểm A).
Khi t = 0 s = -S
max
> ϕ = π.
Vậy: Phương trình dao động của con lắc theo li độ cong s = S
max
cos( ωt + ϕ)
s = 4
2
cos( ωt +π ) (cm). Chọn đáp án B
Câu 9. Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng m, dây treo có chiều dài l = 2m, lấy g = π2. Con lắc dao
động điều hòa dưới tác dụng của ngoại lực có biểu thức F = F0cos(ωt + π/2) N. Nếu chu kỳ T của ngoại
lực tăng từ 2s lên 4s thì biên độ dao động của vật sẽ:
A tăng rồi giảm B chỉ tăng C chỉ giảm D giảm rồi tăng
Giải;
Chu kỳ doa động riêng của con lắc đơn T
0
= 2π
g
l
= 2π
2
2

Giải: Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB. (∆α< 0,1)
Cơ năng ban đầu W
0
= mgl(1-cosα) = 2mglsin
2
2
α
≈ mgl
2
2
α
Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB:
∆W =
])(.2[
2
])([
2
222
αααααα
∆−∆=∆−−
mglmgl
(1)
Công của lực cản trong thời gian trên:
A
cản
= F
c
s = 0,001mg(2α - ∆α)l (2)
Từ (1) và (2), theo ĐL bảo toàn năng lượng: ∆W = A
c

0
. B. 47,16
0
. C. 77,36
0
. D.53
0
.
Giải: Gọi v
0
vận tốc của m
1
trước khi va chạm với m
2
; v vận tốc của hai vật ngay au va chạm
Theo ĐL bảo toàn động lượng ta có: m
1
v
0
= (m
1
+ m
2
)v > v =
21
1
mm
m
+
v

cos -1
cos -1
α
α
=
2
0
2
v
v
=
25
16
>
1- cosα) =
25
16
(1- cosα
0
) =
25
16
2
1
=
25
8
= 0,32
cosα = 0,68 > α = 47,156
0

) = l(1 + 10)
T
T '
=
l
l'
'g
g
=

101+
'g
g
Do << 1 nờn

101+
1 +
2
'1
10 = 1+5
> T = (1+5)T
'g
g
= ( 1 + 5.17.10
-6
).2.
809,9
813,9
2,00057778 (s) 2,0006 (s). ỏp ỏn D
Cõu 13: Mt con lc n cú chiu di 1m, u trờn c nh u di gn vi vt nng cú khi lng m.

2

>
v
0
=
Thi gian vt C sau khi dõy t l t = 0,05s. Khi ú vt cao
h = h
0
-
2
2
gt
> h
0
h =
2
2
gt
mgh
0
+
2
2
0
mv
= mgh +
2
2
mv

sT 2=
; vật nặng có khối lợng
( )
kgm 1=
. Biên độ góc
dao động lúc đầu là
0
0
5
=

. Do chịu tác dụng của một lực cản không đổi
( )
NF
C
011,0=
nên nó chỉ dao động đợc một thời gian
( )
s

rồi dừng lại. Ngời ta dùng một pin có suất điện động
( )
V3
điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lợng cho con lắc với hiệu
suất 25%. Pin có điện lợng ban đầu
( )
CQ
4
0
10

2
22
0


mgl
W = F
c
(
0
+ )l
2
22
0


mgl
=
F
c
(
0
+ )l > =
00245,0
2
=
mg
F
c


5,19946808
00376,0
7500
=
s = 19946808,5/86400 = 23,086 ngy = 23 ngy
cỏch 2: cng nh trờn nhng sa li ch chỳ ý:
1T
W
t W
t = W
co ich
/W =
462.5,19946808
00376,0
2.7500
==
ngy
Cỏch 3:Ta tỡm c
C nng ca con lc n l
gim biờn sau mi chu k l
S dao ng ton tn thc hin c vi c nng trờn l
Nng lng pin cung cp cho con lc l:
ngy
Bn xem th
2 2 2
2
0 0
1 gT 1 10.2 5.
W m 1 0,03858(J)
2 2 2 2 180

0
W
W
W= 4 .
H
∆
= ∆α
α
Điện lượng pin giải phóng sau mỗi chu kì :
0
0
W
W
q 4 .
U U.
= = ∆α
α
Thời gian hoạt động của pin :
4
0 0 0
3
0
Q Q .U.
10 .3.5.
T .T .2 7711231,32(s) 89,25(ngày).
q 4W . 4.0,03858.4,4.10 .180
−
α
π
τ = = = = ≈

2 2
3 2 2
2
(0,075 3)
(7,5.10 ) 0,015
100
v
ω
−
= + =
Vậy W =
2 2 2 3
0
1 1
.0,4.100.0,015 4,5.10 4,5
2 2
m S J mJ
ω
−
= = =
Câu 23: Hai con lắc đơn có cùng khối lượng vật nặng, dao động trong hai mặt phẳng song song cạnh
nhau và cùng vị trí cân bằng. Chu kì dao động của con lắc thứ nhất bằng hai lần chu kì dao động của con
lắc thứ hai và biên độ dao động của con lắc thứ hai bằng ba lần con lắc thứ nhất. Khi hai con lắc gặp
nhau thì con lắc thứ nhất có động năng bằng ba lần thế năng. Tỉ số độ lớn vân tốc của con lắc thứ hai và
con lắc thứ nhất khi chúng gặp nhau bằng
A. 4. B.
14
.
3
. C.

= 3 l
1
.α
1
Suy ra α
2
= 12 .α
1
.
Cơ năng dao động của vật 1: E
1
= mgl
1
.
2
2
1
α
Khi động năng bằng 3 lần thế năng ta có: E
đ1
=
4
3
E
1
=
4
3
mgl
1

.
=
2
2
2
α
mg
=
2
)12(
.
4
2
11
α
l
18. mgl
1
.
2
1
α

Khi hai vật gặp nhau thế năng vật 2: E
t2
=
2
m
22
2

α
l
l
gm
=
2
2
11
α
mgl
Động năng của vật 2: E
đ2
= E
2
- E
t2
= 18. mgl
1
.
2
1
α
-
2
2
11
α
mgl
=
2

E
E
đ
đ

Suy ra:
3
140
1
2
=
v
v
Câu 33: Một con lắc đơn có chiều dài 2m được treo vào trần nhà cách mặt bàn nằm ngang
12m. Con lắc đơn dao dộng điều hòa với biên độ góc α
0
=0,1rad, tại nơi có gia tốc trọng
trường g=9,8m/s
2
. Khi vật đang đi qua vị trí thấp nhất thì dây bị đứt. Xác định khoảng
cách từ hình chiếu của điểm treo con lắc lên mặt sàn đến điểm mà vật rơi lên trên sàn?
DS:
cm1020

Khi
vật đang đi qua vị trí thấp nhất thì dây bị đứt, lúc này vật có vận tốc

)/(1014)/(
50
107

= T
2
. Khi đặt cả hai con
lắc trong cùng điện trường đều có vectơ cảm ứng từ nằm ngang thì độ giãn của con lắc lò xo tăng 1,44
lần, con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì là 5/6 s. Chu kì dao động của con lắc lò xo trong điện
trường là
A. 1,2s. B. 1,44s C. 5/6s . D. 1s
Giải:
Khi chưa có điện trường:
T
1
= 2π
g
l∆
; T
2
= 2π
g
l
; Với ∆l : độ giãn của lò xo; l chiều dài của con lắc đơn
T
1
= T
2
> ∆l = l
Khi đặt các con lắc trong điện trường gia tốc trọng trường hiệu dụng tác lên các vật:
g g’
O’ a
g’ = g + a


l
∆
2,1
'
'
2
1
=
T
T
> T’
1
= 1,2 T’
2
= 1,2 .5/6 = 1s.
Chọn đáp án D
Bài 5: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ α
0
tại nơi có gia tốc trọng trường là g. Biết gia tốc
của vật ở vị trí biên gấp 8 lần gia tốc của vật ở vị trí cân bằng. Giá trị α
0
là
A. 0,25 rad B. 0,375 rad C. 0,125 rad D. 0,062 rad
A’
A
O M
F
tt
α
0

m
F
tt
=
m
P
α
sin

= gα Tại VTCB:α = 0 >
a
tt
= 0 nên a
0
= a
ht
= 2g(1-cosα
0
) = 2g.2sin
2
2
0
α
= g
2
0
α
Tại biên : α = α
0
nên a

0
=
8
1
= 0,125 rad. Chọn đáp án C
2. Có ba con lắc đơn cùng chiều dài dây treo, cùng treo tại một nơi. Ba vật treo có khối lượng m
1
> m
2
>
m
3
, lực cản của môi trường đối với 3 vật là như nhau. Đồng thời kéo 3 vật lệch một góc nhỏ rồi buông
nhẹ thì
A. con lắc m
1
dừng lại sau cùng. B. cả 3 con lắc dừng cùng một lúc.
C. con lắc m
3
dừng lại sau cùng. D. con lắc m
2
dừng lại sau cùng.
Giải: Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc mỗi lần qua vị trí cân bằng ∆α = α
0
- α
Cơ năng ban đầu của con lắc đơn
W
0
= mgl(1-cosα
0

F
c
(α
0
+ α)l > ∆α =
mg
F
c
2
Độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. Vật có khối lượng càng
lớn thì độ giảm biên độ góc ∆α càng nhỏ, vật dừng lại lâu hơn Do đó con lắc m
1
dừng lại sau cùng.
Chọn đáp án A
Tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s
2
, một con lắc đơn có chiều dài 1 m, dao động với biên độ góc
60
0
. Trong quá trình dao động, cơ năng của con lắc được bảo toàn. Tại vị trí dây treo hợp với phương
thẳng đứng góc 30
0
, gia tốc của vật nặng của con lắc có độ lớn là
A. 1232 cm/s
2
B. 500 cm/s
2
C. 732 cm/s
2
D. 887 cm/s

a
ht
=
l
v
2
= 2g(cosα - cosα
0
) với α
0
= 60
0
; α = 30
0
:
a
ht
= 2.10.(cos30
0
– cos60
0
) = 10.(
3
-1) = 7,3205 m/s
2

a
tt
=
m

chiều điện trường này sao cho véctơ cường độ diện trường có phương thẳng đứng hướng lên và cường
độ không đổi thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc lúc này là:
A. T
1
5
7
. B.
1
T
5
. C. T
1
7
5
. D. T
1
5
.
Giải: Ta có Gia tốc do lực điện trường gây ra cho vật a =
m
F
=
m
Eq
( E là độ lớn cường độ điện trường)
Khi điện trường nằm ngang:
T
1
= 2π
1

4
5
g
Khi điện trường hướng thẳng đứng lên trên
T
2
= 2π
2
g
l
Với g
2
= g –a = g -
4
3
g =
4
1
g
1
2
T
T
=
2
1
g
g
=
g