Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton
III. Tỡm s hng trong khai trin nh thc Newton
1. Dng tỡm s hng th k
S hng th k trong khai trin
n
(a b)+
l
k 1 n (k 1) k 1
n
C a b
- - - -
.
Vớ d 16. Tỡm s hng th 21 trong khai trin
25
(2 3x)-
.
Gii
S hng th 21 l
20 5 20 5 20 20 20
25 25
C 2 ( 3x) 2 .3 C x- =
.
2. Dng tỡm s hng cha x
m
i) S hng tng quỏt trong khai trin
n
(a b)+
l
k n k k f(k)
n
C a b M(k).x

ỗ
ố ứ
.
Gii
S hng tng quỏt trong khai trin
( )
18
18
1 1
x 4
2 x 4x
2 x
- -
ổ ử
ữ
ỗ
+ = +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
l:
( ) ( )
18 k k
k 1 1 k 3k 18 18 2k
18 18
C 2 x 4x C 2 x
-

- = -
.
S hng cha x
37
ng vi
40 k 37 k 3- = =
.
Vy s hng cn tỡm l
3 37 3 37 3
20
C x y 1140x y- = -
.
Vớ d 19. Tỡm s hng cha x
3
trong khai trin
( )
10
2
1 x x+ +
.
Gii
S hng tng quỏt trong khai trin
( )
( )
10
10
2
1 x x 1 x 1 x
ộ ự
+ + = + +

10
C x
.
Vy s hng cn tỡm l
( )
3 2 3 3
10 10
C 2C x 210x+ =
.
Cỏch khỏc:
Ta cú khai trin ca
( )
( )
10
10
2
1 x x 1 x 1 x
ộ ự
+ + = + +
ở ỷ
l:
Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton
0 1 2 2 2 3 3 3 10 10 10
10 10 10 10 10
C C x(1 x) C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x)+ + + + + + + + +
.
S hng cha x
3
ch cú trong
2 2 2

n n
C a b C . .
-
= a b
(
, a b
l hu t).
ii) Gii h phng trỡnh
0
m
p
(k ,0 k n) k
r
q
ỡ
ù
ù
ẻ
ù
ù
ù
ẻ Ê Ê ị
ớ
ù
ù
ẻ
ù
ù
ù
ợ

10
1 1
10
2 3
3
1 1 2 .5
5
2 2
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ổ ử
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
+ =
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ

=
ù
ờ
ẻ Ê Ê ị
ớ
ờ
ù
=
ờ
ù
ở
ẻ
ù
ù
ợ
Ơ
Ơ
Ơ
.
+ Vi k = 0: s hng hu t l
0
10
1 1
C
32 32
=
.
+ Vi k = 6: s hng hu t l
6 3 2
10

k
u
.
tỡm s hng ln nht ca dóy ta thc hin cỏc bc sau:
Bc 1: gii bt phng trỡnh
k
k 1
u
1
u
+

ta tỡm c k
0
v suy ra
0 0
k k 1 n
u u u
+

.
Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton
Bc 2: gii bt phng trỡnh
k
k 1
u
1
u
+
Ê

ị
ớ
ù

ù
ợ
. Suy ra h s ln nht l
0 0 0
k n k k
n
C a b
-
.
Vớ d 21. Tỡm h s ln nht trong khai trin
( )
17
1 0,2x+
.
Gii
Khai trin
( )
17
1 0,2x+
cú s hng tng quỏt l
k k k
17
C (0,2) x
.
Ta cú:
( ) ( )

ù ù
ù

ợ
ù
ù
- - -
ù
ợ

5(k 1) 17 k
2 k 3
18 k 5k
ỡ
+ -
ù
ù
Ê Ê
ớ
ù
-
ù
ợ
.
+ Vi k = 2: h s l
2 2
17
C (0,2) 5,44=
.
+ Vi k = 3: h s l

3
ổ ử
ữ
ỗ
+ = +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
cú s hng tng quỏt l
k 10 k k k
10
10
1
C 3 2 x
3
-
.
Ta cú:
( ) ( )
( ) ( )
k 10 k k k 1 9 k k 1
10 10
k 10 k k k 1 11 k k 1
10 10
10! 10!
3 2
C 3 2 C 3 2

ợ

3(k 1) 2(10 k)
17 22
k k 4
2(11 k) 3k
5 5
ỡ
+ -
ù
ù
Ê Ê ị =
ớ
ù
-
ù
ợ
.
Vy h s ln nht l
4 6 4
10
10
1 1120
C 3 2
27
3
=
.
5. Dng tỡm h s cha x
k

1 (1 bx) (1 bx) (1 bx)
S(x) (1 bx)
1 (1 bx) bx
+ + +
+
- + + - +
= + =
- +
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa x
k
trong S(x) là
1
b
nhân với hệ số của số hạng chứa
k 1
x
+
trong khai triển
m n 1 m 1
(1 bx) (1 bx)
+ + +
+ - +
.
Ví dụ 23. Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
trong khai triển và rút gọn tổng sau:
( ) ( ) ( ) ( )
4 5 6 15
S(x) 1 x 1 x 1 x 1 x= + + + + + + + +

.
Ví dụ 24
*
. Tìm hệ số của số hạng chứa x
2
trong khai triển và rút gọn tổng sau:
( ) ( ) ( ) ( )
2 99 100
S(x) 1 x 2 1 x 99 1 x 100 1 x= + + + + + + + +
.
Giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
98 99
S(x) 1 x 1 2 1 x 99 1 x 100 1 x
é ù
= + + + + + + + +
ê ú
ë û
.
Đặt:
( ) ( ) ( ) ( )
2 98 99
f(x) 1 2 1 x 3 1 x 99 1 x 100 1 x= + + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 99 100
F(x) (1 x) 1 x 1 x 1 x 1 x= + + + + + + + + + +
S(x) f(x) xf(x)Þ = +
và
/

4
101
C
.
Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton
Vy h s cn tỡm l
3 4
101 101
2C 3C 12582075+ =
.
Nhn xột:
Bng cỏch tớnh trc tip h s ca tng s hng trong tng ta suy ra ng thc:
2 2 2 2 2 3 4
2 3 4 99 100 101 101
2C 3C 4C 99C 100C 2C 3C+ + + + + = +
.
Vớ d 25
*
. Tỡm h s ca s hng cha x trong khai trin v rỳt gn tng sau:
( ) ( ) ( ) ( )
2 n 1 n
S(x) 1 x 2 1 x (n 1) 1 x n 1 x
-
= + + + + + - + + +
.
Gii
Ta cú:
( ) ( ) ( ) ( )
n 2 n 1
S(x) 1 x 1 2 1 x (n 1) 1 x n 1 x

1 (1 x) x
+
- + + - +
= + =
- +
.
Suy ra h s s hng cha x v x
2
ca F(x) ln lt l
2
n 1
C
+
v
3
n 1
C
+
.
Vy h s cn tỡm l
2 3
n 1 n 1
n(n 1)(2n 1)
C 2C
6
+ +
+ +
+ =
.
Nhn xột:

32) S hng khụng cha x trong khai trin
12
28
3
15
x x x
-
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
33) S hng cha a, b v cú s m bng nhau trong khai trin
21
3
3
a b
b
a
ổ ử
ữ
ỗ

trong khai trin
12
5
3
1
x
x
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
36) H s ca s hng cha
8
x
trong khai trin
8
2
1 x (1 x)
ộ ự
+ -
ờ ỳ
ở ỷ

37) H s ca s hng cha

3 4 5 22
S(x) (1 2x) (1 2x) (1 2x) (1 2x)= + + + + + + + +
42) Tỡm h s ca s hng cha x
10
trong khai trin
10 10
(1 x) (x 1)+ +
.
T ú suy ra giỏ tr ca tng
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1 10
10 10 10
S C C C= + + +
43) Rỳt gn tng
0 10 1 9 2 8 9 1 10 0
10 20 10 20 10 20 10 20 10 20
S C C C C C C C C C C= + + + + +
44) Rỳt gn tng
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 1 2006 2007
2007 2007 2007 2007
S C C C C= + + + +
Tỡm s hng hu t trong khai trin ca cỏc tng sau
45)
( )
7
3
16 3+

-
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
Tỡm h s ln nht trong khai trin ca cỏc tng sau
49)
( )
21
1 2x+
50)
11
1 2x
2 3
ổ ử
ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
51)
( )
100
1 0,5x+

ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
l
( )
k
4 28k
16 1
12 k
5
k k
3 15
12 12
C x x C x
ổ ử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
=
.

ỗ
ữ
+ = +
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ố ứ
l
k 7 2k
7
k
2 2 3
21
C a b
- - +
.
Suy ra
k 7 2k
7 k 9
2 2 3
- = - + =

4 8 4
8
C x (1 x)-
v
3 6 3
8
C x (1 x)-
.
+
( )
4 8 4 4 8 0 1 4 4
8 8 4 4 4
C x (1 x) C x C C x C x- = - + +
nờn cú h s cha x
8
l
4 0
8 4
C C
.
+
( )
3 6 3 3 6 0 1 2 2 3 3
8 8 3 3 3 3
C x (1 x) C x C C x C x C x- = - + -
nờn cú h s cha x
8
l
3 2
8 3

10 10
C .C x
v
5 0 5
10 10
C .C x
.
Vy h s cn tỡm l
1 2 3 1 5 0
10 10 10 10 10 10
C .C C .C C .C 1902+ + =
.
38)
10
2 10
(x x 2) 2 x(1 x)
ộ ự
- + = - -
ở ỷ

0 10 2 8 2 2 3 7 3 3 10 10 10
10 10 10 10
C 2 C 2 x (1 x) C 2 x (1 x) C x (1 x)= - + - - - + + -
.
Suy ra h s ca s hng cha
3
x
ch cú trong 2 s hng
2 8 2 2
10

.
39) (Tng t) 1695.
40) p dng cụng thc cp s nhõn cho tng 48 s hng ta cú:
T×m hÖ sè trong khai triÓn nhÞ thøc Newton
48 51 3
3
1 (1 x) (1 x) (1 x)
S(x) (1 x)
1 (1 x) x
- + + - +
= + =
- +
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa
3
x
là hệ số của số hạng chứa
4
x
của
51
(1 x)+
.
Vậy hệ số cần tìm là
4
51
C 249900=
.
41) Áp dụng công thức cấp số nhân cho 20 số hạng ta có:
20 23 3

10 10
(1 x) (x 1)+ +
( ) ( )
0 1 10 10 0 10 1 9 10
10 10 10 10 10 10
C C x C x C x C x C= + + + + + + +
.
Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa
10
x
là:
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1 10
10 10 10
C C C+ + +
.
Mặt khác
10 10 20
(1 x) (x 1) (1 x)+ + = +
có hệ số của số hạng chứa x
10
là
10
20
C
.
Vậy
10
20

30
S C=
.
44)
2007
4014
S C=
45) Số hạng cần tìm là
4 2
7
C 16.3 5040=
.
46) Số hạng cần tìm là
9 3
9
C 2 8=
và
3 3
9
C 3 .2 4536=
.
47) Số hạng cần tìm là
0
10
5
1 1
C
243
3
=

2
1
C 2.3 4
3
=
.
49) Hệ số lớn nhất là
14 14
21
C 2
50) Hệ số lớn nhất là
6
11
6
2
C
3
.
51) Hệ số lớn nhất là
66 66 66
100 100
100 34
1 1
C 2 C
2 2
=
.
Bài 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x
4
,

 ÷
 
Tìm số hạng không chứa x biết :
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =
Bài 3.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
7
3
4
1
x
x
 
+
 ÷
 
Bài 4 Tìm hệ số của số hạng chứa x
43
trong khai triển
21
5
3 2
1
x
x

Bài 7.Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển
3
15 28
1
n
x x
x
 
+
 ÷
 
bằng 79 .Tim số hạng
không chứa x
Bài 8. Tìm hệ số x
8
trong khai triển :
5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
Biết
( )
1
4 3

xy
y
 
+
 ÷
 
Bài 12.Trong khai triển
(
)
12
2
3
xy xy+
Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y
Là các số nguyên dương
Bài 13.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển
( )
19
3
3 2+
Bài 14.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong Khai triiển
( )
124
4
3 5+
Bài 15.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển
( )
125
3
3 7+

−
 
+
 ÷
 
Biết
3 1
5
n n
C C=
và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tim x và n
Bài 18. Trong khai triển :
3
3
n
a b
b a
 
+
 ÷
 ÷
 
tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằng nhau