ỨNG DỤNG LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG
ĐIỀU HÒA TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG VÀ SÓNG
Tác giả: Phạm Ngọc Thiệu
Trường THPT Trần Phú – Vĩnh Phúc
I. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
Trong những năm gần đây Bộ GD-ĐT đã áp dụng hình thức thi trắc nghiệm khách
quan trong kì thi tốt nghiệp THPT cũng như tuyển sinh đại học, cao đẳng đối với nhiều
môn học trong đó có mộn vật lý. Hình thức thi trắc nghiệm khách quan đòi hỏi học sinh
phải có kiến thức rộng, xuyên suốt chương trình và có kĩ năng làm bài, trả lời câu trắc
nghiệm nhanh chóng. Hình thức thi này cũng kéo theo sự thay đổi trong cách dạy học,
ôn tập, luyện thi đại học cao đẳng của cả giáo viên và học sinh. Nếu như trước đây giáo
viên chỉ dạy các dạng bài tập tự luận, rèn cho học sinh cách giải và cách trình bày bài tập
như thế nào để đạt điểm cao nhất thì hiện nay ngoài việc hướng dẫn học sinh làm các bài
tập tự luận theo dạng, giáo viên đồng thời phải sưu tầm tài liệu, đặc biệt là hệ thống bài
tập trắc nghiệm phù hợp theo chuyên đề để học sinh luyện tập thêm và hướng dẫn học
sinh những cách giải bài tập trắc nghiệm nhanh nhất trong quá trình làm bài thi
Trong chương trình thi đại học cao đẳng nói chung và phần kiến thức dao động điều
hòa nói riêng, việc tìm thời gian, thời điểm hoặc các đại lượng có liên quan luôn là một
kiến thức khó đối với học sinh. Để giải bài toán loại này, một số giáo viên và học sinh
đã sử dụng những kiến thức liên quan đến phương trình lượng giác, tuy nhiên phương
pháp này thuần túy toán học, phức tạp và dễ gây nhầm lẫn. Để giúp các em học sinh có
phương pháp giải quyết nhanh chóng các loại bài tập này, đặc biệt là trong bài thi trắc
nghiệm, qua nhiều năm ôn luyện thi đại học phần dao động cơ, sóng cơ, sóng điện từ,
dòng điện xoay chiều, tôi đã hướng dẫn học sinh áp dụng mối liên hệ giữa chuyển
động tròn đều và dao động điều hòa để giải nhanh các bài toán liên quan đến tìm thời
gian, thời điểm đại lượng dao động đạt giá trị xác định, pha dao động hoặc các đại lượng
có liên quan đến thời gian dao động,
Chuyên đề đề này đề cập đến các dạng bài tập nâng cao thường gặp trong đề thi
TSĐH, CĐ. Trong phạm vi thời gian có hạn, chuyên đề tập trung nghiên cứu hai vấn đề:
- Cơ sở lý thuyết và phương pháp giải từng loại bài toán.
- Giới thiệu một số trường hợp vận dụng.

Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của véc tơ quay
OM
uuuur
biểu diễn dao động
điều hòa chính là li độ x của dao động.
Nói cách khác: Khi véc tơ
OM
uuuur
quay đều với tốc độ góc ω
quanh điểm O thì hình chiếu P của điểm M dao động điều hòa
trên trục x’Ox thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng
tọa độ hình chiếu của M, biên độ bằng độ dài OM, tần số góc
đúng bằng tốc độ góc ω và pha ban đầu φ bằng góc
·
xOM
ở thời
điểm t=0.
* Một số hệ quả:
- Nếu biểu diễn dao động điều hòa x=A.cos(ωt+φ) bằng véc tơ quay thì thì φ=
·
xOM
là
góc pha ban đầu của dao động với lưu ý:
+ Tại t=0, v
0
<0 thì
OM
uuuur
ở trên Ox =>φ>0; v
0

điện từ và dao động điệu từ trong mạch RLC vì các đại lượng có chung một đặc tính là
biến thiên điều hòa.
Để minh họa các phương pháp trên chúng ta cùng xét các thí dụ sau đây.
M
O
x
P
φ
III. MỘT SỐ THÍ DỤ ÁP DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN
ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
III. 1. Tính thời gian đại lượng dao động điều hòa biến thiên và thời điểm đại
lượng đó đạt giá trị xác định.
III.1.1. Dao động cơ
Ví dụ 1:
Vật dao động điều hoà với phương trình x=4.cos(2πt) (cm)
a) Tính thời gian vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí có li độ x= - 2cm lần thứ nhất, lần thứ
hai và các thời điểm vật qua vị trí x=-2cm theo chiều dương và theo chiều âm.
b) Tính số lần vật đi qua vị trí x=-2 cm theo chiều âm trong 2 giây và trong 3,25 s.
d) Tại thời điểm t vật ở li độ 2cm. Xác định trạng thái dao động (x, v) ở thời điểm (t+6)
s và (t+
1
3
) s.
e) Tìm thời điểm vật qua vị trí x=-2cm theo chiều âm lần thứ 2011 và 2014.
Hướng dẫn
a) Véc tơ quay biểu diễn dao động của vật ở thời điểm ban đầu, thời
điểm vật qua vị trí x=-2cm lần thứ nhất và lần thứ như hình vẽ 1:
- Từ hình vẽ ta có: t
1
= ∆φ

+ k ; t
d
= t
2
+kT =
2
3
+ k (k=1, 2, 3, 4,…)
b) Tính số lần vật đi qua vị trí x=-2cm theo chiều dương và theo chiều âm.
- Trong t=2s: véc tơ
OM
uuuur
quay góc: ∆φ=ω.t=4π rad. Mỗi vòng quay
(2π) vật qua vị trí (x,v) 2 lần => Trong 2s vật qua vị trí nói trên 4
lần.
O
x
P
M
M
0
-2
4
H.2
O
x
P
M
1
M

1
3
=
3016
3
s
- Với n=2014: Tách 2014=2012+2 lần. Ta thấy sau 2012 lần đã hết 1006 chu kì và vật
lại trở về đúng vị trí ban đầu OM
0
. Từ hình vẽ suy ra:
t
2014
=1006T +t
2
= 1006.1+
2
3
=
3020
3
s
.
Tổng quát: Thời điểm vật đi qua vị trí (x,v) lần thứ n:
(Trong đó t
1
; t
2
là thời điểm vật qua vị trí (x,v) lần thứ nhất
và lần thứ 2)


t =
2
2
.
2
n
T t
−
+
với n chẵn
Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = Acos(
ω
t -
2
π
). Cho biết, từ thời
điểm ban đầu vật đến li độ x =
3
2
A
trong khoảng thời gian ngắn nhất là
s
60
1
và tại
điểm cách VTCB 2(cm) vật có vận tốc
40 3
π
(cm/s). Xác định tần số góc và biên độ A
của dao động.

ω
.
Ví dụ 3
Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k =100N/m, một đầu treo vào
một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ vị trí cân bằng kéo
vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao
động điều hòa. Lấy g = 10m/s
2
. Xác định tỉ số thời gian lò xo bị nén và dãn trong một
chu kỳ.
Hướng dẫn
ω =
m
k
= 10
2
(rad/s)
Độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng:
cmm
k
mg
l 505,0 ===∆
; A=10cm > ∆l
=> Thời gian lò xo nén ∆t
1
là thời gian ngắn nhất để vật
đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến vị trí cao nhất và trở về vị trí cũ.
Vậy: ∆t
1
=

M
2
α
H.6
x
-A
A

M
2

∆ϕ
α
O
M
1
H.5
=> ∆t
1
=
s
215210.3
2
ππ
ω
ϕ
==

3
T
. Lấy
π
2
=10. Tính tần số dao động của vật.
Hướng dẫn
Vì gia tốc biến thiên điều hòa nên ta có thể biểu diễn gia tốc bằng một véc tơ
quay. Trong thời gian T/3 véc tơ OM quay góc: ∆ϕ = ω.∆t =
2
3
π
=> Các véc tơ quay biểu diễn độ lớn của a không vượt
quá 100cm/s
2
như hình vẽ 7. Từ hình vẽ ta có: α=π/3
=> A.ω
2
.cosπ/3=100 =>ω=2π => f=1Hz.
III.1.2. Sóng cơ
Ví dụ 1
Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau x = λ/3, sóng
có biên độ A, chu kì T=0,5s. Tại thời điểm t
1
= 0, có u
M
=+3cm và u
N
=-3cm. Ở thời điểm
t

H.3
-Aω
2
M
2
M
3
-100
α
H.7
O
u
- 3
H.8
H.8
3
α
Từ hình vẽ ta có:
6
π
α
=
=> A =
32
cos
=
α
M
u
(cm); t

1
một khoảng 3 giây và li độ của điểm M cách O một đoạn d=40 cm ở cùng thời
điểm t
1
.
Hướng dẫn
Độ lệch pha giữa M và O là
3
d
v
ω π
ϕ
∆ = =
. Sau 3s véc tơ quay
của O quay được góc ω.t =
2
π
. Do vậy li độ của O và của M được
biểu diễn bằng các véc tơ quay tại thời điểm t=0 và t=t
1
và li độ của
O ở thời điểm t
1
+3 như hình vẽ 9. Từ hình vẽ ta có:
u
O
(t
1
+3)=-2; u
M


u
-U
o
U
o
M
2

∆ϕ
α
O
M
1

H.10
M (t
1
)
O(t
1
)
2
u
H.9
4
O(t
1
+3)
Từ hình vẽ ta có :

1
3 3
4.100 400
t t s
π
π
= ∆ = =
Ví dụ 2
Mắc một đèn vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời là
220 2 cos(100 )( ).u t V
π
=
Đèn chỉ phát sáng khi điện áp đặt vào đèn có độ lớn không
nhỏ hơn
110 6V
. Xác định tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kỳ.
Hướng dẫn
Véc tơ quay biểu diễn thời gian đèn sáng và tắt như hình
vẽ 11. Điều kiện để đèn sáng là:
)(6110 Vu ≥

Trong mỗi nửa chu kì, khoảng thời gian đèn tắt là:
∆t
1
=
ω
ϕ
1
∆
, với ∆ϕ

2

=> Thời gian đèn sáng trong một chu kì là: T - 2∆t
1
=
s
150
1

Vậy: Tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kì là:
2
1
2
2
1
1
=
∆
∆−
t
tT
Ví dụ 3
Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Tại thời
điểm t = 0, tụ điện bắt đầu phóng điện. Sau khoảng thời gian ngắn nhất
∆
t = 10
-6
s thì
điện tích trên một bản tụ điện bằng một nửa giá trị cực đại. Tính chu kì dao động riêng
của mạch.

1

M
1

∆ϕ
O
M
2

H.12
Sau khoảng thời gian ngắn nhất ∆t, điện tích trên một bản tụ điện là: q
2
=
2
o
q
.
Từ hình vẽ 12 ta có : Ta có: ∆ϕ =
3
π
rad =>∆t=
62
.
3
TT
==
∆
π
π

C
.
=> W =
3
1
W
C
+ W
C
=
3
4
W
C

C
q
C
q
o
23
4
2
2
2
2
=
=> q
2
=

q
q
=> α=
6
π
=>∆ϕ =
3
π
. Vậy:
st
3
10
10.3
6
6
−
==
∆
=∆
π
π
ω
ϕ
Ví dụ 5
q
-q
o
q
o
O

trị q
1
. Ở thời điểm t
2
, sau đó một khoảng thời gian ∆t =
T
4
3
ta có
2π 3T 3π
Δ =ωΔt= . =
T 4 2
ϕ
rad. Từ hình vẽ 14 ta có:
ϕ
1
+ ϕ
2
=
2
π
=> sinϕ
2
= cosϕ
1
(1) Từ công thức:
2
2
22
ω

10.2,1
7
3
1
2
===
−
−
q
i
rad/s Vậy : T = 10
-3
s.
III. 2. Tính quãng đường đi trong dao động điều hòa.
Ví dụ 1
Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x=4.cos(4πt+
π
/3) (cm). Tính
quãng đường vật đi được:
- trong t=2s từ vị trí ban đầu.
- trong 3,25s kể từ vị trí x= -2 cm ngược chiều dương.
- trong 2,325s từ vị trí cân bằng theo chiều dương.
Hướng dẫn
Biểu diễn dao động của vật bằng véc tơ quay ở thời điểm t=0 như hình vẽ 15.
Ta nhận thấy nếu
OM
uuuur
quay góc π thì hình chiếu của M đi được quãng đường S
1
=2A và

H.14
- Trong 3,25s: Véc tơ OM quay góc ∆ϕ=3,25.4π =13π => Quãng đường vật đi là
s=13.2.A=104cm
- Trong 2,325s: Góc quay là ∆ϕ =ω.t= 9,3π =9π+0,3π . Biểu
dao động bằng véc tơ quay ở các vị trí đầu (x=0, v>0), vị trí
cuối và vị trí sau khi đã quay góc 9π (H.15)
Từ hình vẽ ta có: S=9.2A + |x
1
| với |x
1
| =A.cos(0,2π)
=> S=18A+A.cos(0,2π) =75,24cm
Ví dụ 2
Một vật m = 1kg dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình
x=Acos(
ω
t +
ϕ
). Lấy gốc tọa độ là vị trí cân bằng 0. Từ vị trí cân bằng ta kéo vật theo
phương ngang 4cm rồi buông nhẹ. Sau thời gian t=
π
/30 s kể từ lúc buông tay vật đi
được quãng đường dài 6cm. Tính cơ năng của vật.
Hướng dẫn
- Biên độ dao động: A=4cm. Giả sử lúc buông tay x=A=4cm
=> Sau t=π/30s vật đi quãng đường 6cm thì vật đến vị trí x=-
2cm. Biểu diễn dao động bằng các véc tơ quay như hình vẽ 16.
Từ hình vẽ ta có: Góc quay:
2π
=ωΔt=

x
x
1
O
H.15
M
2

M
3

M
1
4
x
-2
O
H.16
M
A
A
M
1
O
P
x
P
2
P
1

đối xứng qua trục sin (H.17) =>
max
S 2Asin
2
∆ϕ
=

Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M
1
đến M
2
đối xứng qua trục cos (H.18)
=>
min
S 2A(1 cos )
2
∆ϕ
= −
b) Nếu ∆t >
2
T
thì ∆φ  ω.∆t > π .
Tách ∆φnπ +∆φ
1
=> S=n.2A +S
1
với S
1
là quãng đường vật đi thêm khi
OM

c) Tìm điểm gần A nhất dao động với biên độ 1cm và khoảng cách từ A đến các điểm có
biên độ 1cm.
Hướng dẫn
a) Ta có l=5λ/2 =2,5λ => λ = 40cm => v=λ.f=10m/s
b) Biên độ sóng dừng tại điểm cách các nút đoạn d là: A=2a|sin
2πd
λ
|
=> Biên độ sóng dừng biến thiên điều hòa trong không gian với pha dao động tại điểm
cách A đoạn d là
2πd
λ
=> Độ lệch pha của hai biên độ dao động tại hai hai điểm cách
nhau đoạn d là ∆φ=
2πd
λ
. Có thể biểu diễn biên độ sóng dừng tại
điểm nút A (biên độ bằng 0) và điểm M (biên độ bằng 1cm) bằng
các véc tơ quay như hình vẽ H.19 mà độ dài hình chiếu của các
véc tơ trên trục Ox thẳng đứng có độ lớn bằng biên độ của sóng
dừng tại điểm đó.
Từ hình vẽ ta thấy: Điểm gần A nhất có biên độ 1cm lệch pha (về
biên độ) với A góc:
Δφ =
2πd
λ
=
6
π
=> d =

Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là một
điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AB, với AB = 10 cm. Biết
khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phần tử tại B bằng biên
độ dao động của phần tử tại C là 0,2 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 0,25 m/s. B. 0,5 m/s. C. 2 m/s. D. 1 m/s.
Hướng dẫn
- Biên độ sóng dừng tại A và C lệch pha nhau góc:
2 2 .5
40 4
d
π π π
ϕ
λ
∆ = = =
=>
2
2
C
A
A =

1
O
H.19
M
1
M
2
A
Δφ

kéo vật xuống theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo giãn 35 (cm) rồi buông nhẹ để vật dao
động điều hòa. Lấy g=π
2
=10m/s
2
. Nếu vào thời điểm nào đó có li độ của M là 5cm theo chiều
dương thì vào thời điểm 1/4 (s) ngay sau đó li độ của vật M là bao nhiêu?
A. 5
3
cm B. -5cm C. 5
2
cm D. Đáp án khác
Câu 3: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình x=20sin2πt (cm).
Vào một thời điểm nào đó vật có li độ là 5cm thì li độ vào thời điểm 1/8 (s) ngay sau đó là:
A. 17,2 cm B. -10,2 cm C. 7 cm D. A và B đều đúng
Câu 4: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 0,05sin20t (m). Vận tốc trung bình
trong 1/4 chu kỳ kể từ lúc t
0
= 0 là
A. 1 m/s B. 2 m/s C. 2/π m/s D.1/π m/s
Câu 5: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng là
62,8 cm/s và gia
tốc cực đại của vật là 4 m/s
2
. Lấy π
2
≈ 10. Vận tốc trung bình và tốc độ trung bình của vật.
a) Trong một chu kì dao động là
A. 0 và 10 cm/s B. 10 cm/s và 10cm/s C. 0 và 40cm/s D. 10 cm/s và 40cm/s
b) trong thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí cân bằng theo chiều dương đến vị trí x=5√2 là

2
=5cm theo chiều dương là
A. 120cm/s B. 60cm/s C. -120cm/s D. -60cm/s
Câu 10: Một vật dao động điều hoà với phương trình: x=0,05sin20πt (m). Vận tốc cực đại và
tốc độ trung bình khi vật dao động trong 1/4 chu kỳ đầu là
A. π m/s và 2m/s B. 2m/s và 1m/s C. 1m/s và 0 D. 2m/s và 2m/s
Câu 11: Vật dao động điều hòa. Liên hệ giữa tốc độ cực đại của vật với tốc độ trung bình trong
một chu kì là
A. v
tb
=2v
max
/π B. v
tb
=v
max
/2π C. . v
tb
=v
max
D. v
tb
=v
max
/π
Câu 12: Một qủa cầu dao động điều hòa với phương trình: x=2cos(2πt) (cm,s).
a) Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu dao động, qủa cầu sẽ đi qua vị trí x = 1(cm) lần thứ 2011?
A.
6031
6

2
. Tìm thời gian từ lúc
thả vật đến thời điểm vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ nhất.
A. π/30s B. 1/30s C. 2π/30 s D. Đáp án khác
Câu 16: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu dưới có vật m. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân
bằng, trục Ox thẳng đứng, chiều dương hướng lên. Kích thích quả cầu dao động với phương
trình: x =5sin(20t–π/2) cm. Lấy g = 10 m/s
2.
Thời gian vật đi từ lúc t
0
= 0 đến vị trí lò xo
không biến dạng lần thứ nhất là:
A. π/30 (s) B. π/15 (s) C. π/10 (s) D. π/5(s)
Bài 17: Vật dao động điều hoà với phương trình x=5.sin(2πt+π/2)cm.
a) Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí động năng bằng thế năng kể từ thời điểm ban đầu là
A. 1/4s B. 1/8 s C. 3/4 S D 3/8 s
b) Trong một chu kì số lần vật đi qua vị trí động năng bằng thế năng là
A. 2 lần B. 4 lần C. 1 lần D. 3 lần
c) Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là
A. 1/4 s B. 3/4 s C. 1/8 s D. Đáp án khác
d) Thời điểm vật qua vị trí động năng bằng thế năng và số lần vật đi qua vị trí đó trong thời
gian 2,25s là
A. t= 1/8+k/4 (s) (K=0, 1,2,3, ) và 9 lần B. t= 1/4+k/4 (s) (=0, 1,2,3, ) và 8 lần
C. t= 1/8+k/8 (s) (K=0, 1,2,3, ) và 8 lần D. Một đáp án khác
Câu 18: Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = Acos(ωt +ϕ). Trong khoảng thời
gian 1/60(s) đầu tiên, vật đi từ vị trí x
0
= 0 đến vị trí x =
3
A

C.
3
.
2
A
T
D.
4
.
A
T
Câu 20(ĐH 2010): Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm. Biết
trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100
cm/s
2
là
3
T
. Lấy π
2
=10. Tần số dao động của vật là
A. 4 Hz. B. 3 Hz. C. 2 Hz. D. 1 Hz.
Câu 21: Một con lắc lò xo dao động với phương trình: x=4cos4πt (cm). Quãng đường vật đi
được trong thời gian 30s kể từ lúc t
0
= 0 là
A. 16 cm B. 3,2 m C. 6,4 cm D. 9,6 m
Cõu 22: Mt con lc lũ xo cng K=100N/m, vt nng khi lng m=250g, dao ng iu
hũa vi biờn A=4cm. Ly t
0

ng vt i c trong khong thi gian t 13/60(s), k t khi bt u dao ng l :
A. 6cm. B. 90cm. C. 102cm. D. 54cm.
Cõu 29: Mt con lc lũ xo dao ng iu hũa vi biờn 6cm v chu kỡ 1s. Ti t = 0, vt i
qua VTCB theo chiu õm ca trc to . Tng quóng ng i c ca vt trong khong thi
gian 2,375s k t thi im c chn lm gc l:
A. 56,53cm B. 50cm C. 55,77cm D. 42cm
Cõu 30: Mt vt dao ng vi phng trỡnh x 4
2
cos(5t-3/4)cm. Quóng ng vt i t
thi im t
1
1/10(s) n t
2
= 6s l:
A. 84,4cm B. 333,8cm C. 331,4cm D. 337,5cm
Cõu 31: Mt vt dao ng iu hũa dc theo trc Ox, quanh v trớ cõn bng O vi biờn A v
chu k T. Trong khong thi gian T/4, quóng ng ln nht m vt cú th i c l :
A. A B.
2
A. C.
3
A. D. 1,5A.
Cõu 32: Mt vt dao ng iu hũa vi phng trỡnh x = 4cos(4t + /3). Tớnh quóng ng
ln nht m vt i c trong khong thi gian t = 1/6 (s) :
A. 4
3
cm. B. 3
3
cm. C.
3