Phần 1
ĐẶT VẤN ĐỀ
Đại số tổ hợp và xác suất là một bộ phận quan trọng của toán học phổ
thông, là một nội dung gắn liền với thực tiễn cuộc sống nhưng cũng rất trừu
tượng và gây không ít khó khăn cho thày và trò trong quá trình dạy và học mà
đặc biệt là các bài toán lập số. Thực tế nhiều học sinh làm bài mà không biết
mình làm đúng hay sai mà việc kiểm nghiệm thực tế là không khả thi.
Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy toán 11 nhiều năm và tiếp xúc với nhiều đối
tượng học sinh, chứng kiến những khó khăn của học trò khi gặp và giải các
bài toán về đại số tổ hợp - xác suất khiến tôi luôn tìm tòi, nghiên cứu và tìm
các cách giải đơn giản nhất, ngắn ngọn nhất, rõ ràng nhất và dễ hiểu nhất; kết
hợp với việc tìm tòi đổi mới phương pháp giảng dạy từ đó tổ chức điều khiển
các hoạt động để phát triển năng lực tư duy, khả năng phân tích và nhìn nhận
vấn đề của học sinh. Làm được như vậy chúng ta mới hoàn thành được nhiệm
vụ của người thày và đó là một hướng đổi mới phương pháp dạy học: “ lấy
người học làm trung tâm” trong giai đoạn hiện nay.
Trên cơ sở đã đạt được những kết quả nhất định trong những năm học
vừa qua và chứng kiến những khó khăn của học trò khi tiếp cận các bài toán
đại số tổ hợp và đặc biệt trong năm học 2012 – 2013 được giảng dạy trực tiếp
ở hai lớp 11 là lớp 11C1 và lớp 11C8 trường THPT Triệu Sơn 1 có điều kiện
để kiểm nghiệm, vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Vận dụng ngôn ngữ tập
hợp trong việc phát triển năng lực tư duy và giải một số bài toán lập số”
làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm trong năm học này nhằm đưa ra một giải
pháp để nâng cao hiệu quả giảng dạy phần đại số tổ hợp, giảm bớt khó khăn,
phát triển năng lực tư duy, trí tưởng tượng, tính linh hoạt và sáng tạo cho các
em học sinh và hy vọng phương pháp này được chia sẻ, được nhân rộng và
được áp dụng rộng rãi hơn nhằm góp một phần nhỏ bé vào phong trào đổi
mới phương pháp giảng dạy trong giai đoạn hiện nay.
Phần 2
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận của vấn đề

sở để giải quyết các bài toán khác mà đặc biệt là các bài toán về xác suất sau
này.
- Thực tế đa số học sinh yếu kém và trung bình rất sợ các bài toán về
đại số tổ hợp.
- Mặt khác không ít các thày cô khi dạy về đại số tổ hợp đặc biệt là các
bài toán lập số còn sử dụng phương pháp truyền thống tức là thuyết trình,
giảng giải… mà ít quan tâm đến việc tìm tòi các phương pháp mới ngắn gọn,
dễ hiểu và mối quan hệ giữa các bài toán…
- Trong quá trình giảng dạy, qua các tiết dự giờ, qua trao đổi chuyên
môn tôi thấy rất ít các thầy cô dùng “ngôn ngữ tập hợp” để giải các bài toán
về lập số.
III. Nhiệm vụ của đề tài
- Nhiệm vụ của đề tài là nghiên cứu vận dụng “Ngôn ngữ tập hợp
trong việc phát triển năng lực tư duy và giải một số bài toán lập số”
- Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa số các các em học sinh gặp
nhiều khó khăn trong quá trình giải các bài toán về lập số như: Lập số luôn
chứa các chữ số cho trước, lập số có các chữ số đứng cạnh nhau, lập số có các
chữ số tăng dần hoặc giảm dần, lập số mà các chữ số là chữ số chẵn, lẻ…
Nhưng nếu dùng ngôn ngữ tập hợp thì việc giải các bài toán trên sẽ đơn giản
và dễ hiểu mà chúng ta còn có thể mở rộng bài toán hoặc áp dụng vào các bài
toán khác.
2
IV. Giải pháp thực hiện
A. Giải pháp tổ chức thực hiện
- Đề tài được tổ chức thực hiện vào các buổi học bồi dưỡng của lớp 11.
- Lớp thực nghiệm 11C8, lớp đối chứng 11C1.
- Thông qua buổi dạy giáo viên tổ chức theo nhóm các hoạt động trí tuệ
của học sinh gợi ý, định hướng để học sinh đề xuất một số bài toán tương tự
cùng dạng…
B. Tổ chức thực hiện

0;1;2;3;4;5∈
(i = 1; 2; 3; 4)
- Trường hợp 1: Trong X có chữ số 0.
Có ba cách xếp chữ số 0; ba cách xếp chữ số 2; hai cách xếp chữ số 4
và
1
3
A
cách xếp ba chữ số 1; 3; 5.
Suy ra trong trường hợp này có: 3.3.2.
1
3
A
= 54 số.
- Trường hợp 2: Trong X không có chữ số 0.
Có bốn cách xếp chữ số 2; ba cách xếp chữ số 4 và
2
3
A
cách xếp ba chữ
số 1; 3; 5. Suy ra trong trường hợp này có: 4.3.
2
3
A
= 72 số.
Vậy tấtt cả các số thỏa mãn bài ra là: 54 + 72 = 126 số.
Cách giải 2: (dùng ngôn ngữ tập hợp)
- Số tập con gồm bốn phần tử của tập A trong đó luôn chứa hai chữ số
2, 4 và không chứa số 0 là
2

chứa hai chữ số 2 và 4 và xét xem mỗi tập con như trên ta lập được bao
nhiêu số thỏa mãn bài ra.
3
0
) Ta có thể áp dụng cách giải 2 cho nhiều bài toán tổng quát và phức
tạp hơn mà thao tác thực hiện cũng đơn giản như trên.
Do khuôn khổ của SKKN nên tôi chỉ lựa chọn bốn bài toán lập số tiêu
biểu cho phương pháp trên và trong mỗi bài toán tôi không nêu hai cách giải
như trên để so sánh mà ở mỗi dạng bài toán tôi xây dựng hệ thống ví dụ từ
đơn giản đến phức tạp để học sinh tự khám phá, phát hiện ra phương pháp
giải nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh.
3. Bài toán lập số tự nhiên luôn có mặt các chữ số cho trước
VD1(ví dụ xây dựng phương pháp). Cho tập
{ }
1;2;3;4;5;6;7A =
a) Từ tập A lập được bao nhiêu tập con gồm bốn phần tử.
b) Có bao nhiêu tập con gồm bốn phần tử của A mà luôn chứa chữ số 1.
c) Từ tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau mà
trong đó luôn có mặt chữ số 1.
GV: - Yêu cầu học sinh nêu cách tính số tập con gồm 4 phần tử của tập A.
- Tập con mà luôn chứa chữ số 1 là tập con có dạng như thế nào, cách
tính số tập con dạng trên?
- Mỗi tập con của A có chứa số 1, lập được bao nhiêu số thỏa mãn bài
ra? Từ đó suy ra số các số cần lập.
Giải theo ngôn ngữ tập hợp
a) Mỗi tập con của A là một tổ hợp chập 4 của 7 phần tử, do đó số tập
con gồm 4 phần tử của A là:
4
7
C

- Mỗi tập như trên ta lập được 5! số thỏa mãn bài ra.
- Do đó số các số thỏa mãn là:
4
8
C
.5! = 8400 số.
4
GV: Nếu bài toán yêu cầu có mặt không phải là một chữ số mà là hai hoặc
nhiều thì cách giải có gì thay đổi không? Hãy nêu một bài toán dạng trên.
VD3 (ví dụ phát triển). Cho tập
{ }
1;2;3;4;5;6;7;8;9A =
. Từ tập A lập được
bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau mà trong đó luôn có mặt các
chữ số 1, 9.
GV: Yêu cầu giải theo ngôn ngữ tập hợp.
HS: - Số tập con gồm 5 phần tử của A trong đó luôn chứa hai chữ số 1 và 9 là
3
7
C
.
- Mỗi tập như trên ta lập được 5! số thỏa mãn bài ra.
- Do đó số các số thỏa mãn là:
3
7
C
.5! = 4200 số.
GV: - Hãy mở rộng bài toán trên theo hai hướng: Thứ nhất là tập A chứa
thêm số 0, hướng thứ hai là số phần tử có mặt nhiều lên
- Với tinh thần đó hướng dẫn học sinh tập ra đề và giải.

Do đó số các số thỏa mãn trong trường hợp này là:
2
7
C
.4.4! số.
- Số tập con gồm 5 phần tử của A trong đó luôn chứa hai chữ số 1, 2
và không chứa số 0 là
3
7
C
.
Mỗi tập như trên ta lập được 5! số thỏa mãn bài ra.
Do đó số các số thỏa mãn trong trường hợp này là:
3
7
C
.5! số.
Do đó số các số thỏa mãn bài ra là:
2
7
C
.4.4! +
3
7
C
.5! = 6216 số
GV: Vậy tập ban đầu chứa số 0 ta cần chú ý điều gì?
HS: Phải chia trường hợp nếu cần.
GV: Tương tự cách làm trên làm các bài tập sau
Bài 1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự

HS: - Đặt a = 12, xét tập
{ }
;3;4B a=
coi a như là một chữ số.
- Từ tập B ta lập được 3! số có bốn chữ số khác nhau trong đó 1, 2
đứng cạnh nhau và 1 đúng trước 2.
- Mỗi số vừa lập ta lập được 2 số thỏa mãn bài ra
- Do đó số các số thỏa mãn bài ra là : 3! 2! = 12 số.
GV: Từ đó hãy nêu ý tưởng, cách giải loại bài toán có các chữ số đứng cạnh
nhau.
HS: - ‘‘Buộc’’ các chữ số đứng cạnh nhau lại một chỗ, coi đó là một chữ số
và đặt là a.
- Quy về bài toán lập số mà số cần lập luôn có mặt chữ số a.
GV: - Hãy mởi rộng bài toán theo trình tự mở rộng tập A, số chữ số đứng
cạnh nhau nhiều lên, và tập A ban đầu có chứa chữ số 0.
- Yêu cầu học sinh tương tự mở rộng bài toán cho trường hợp tập A
nhiều phần tử hơn.
VD2 (ví dụ hình thành phương pháp). Cho tập hợp
{ }
1;2;3;4;5;6;7;8A =
.
Từ tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau sao cho hai
chữ số 1, 2 luôn đứng cạnh nhau.
GV: Yêu cầu giải theo ngôn ngữ tập hợp.
HS: - Đặt a = 12, xét tập
{ }
;3;4;5;6;7;8B a=
trong đó coi a là một chữ số.
- Từ tập B lập số có ba chữ số trong đó luôn có mặt chữ số a
+ Số tập con gồm ba phần tử của B mà luôn chứa a là :

C
- Mỗi tập như trên ta lập được 3! số có năm chữ số trong đó 1, 0, 2
đứng cạnh nhau và theo trình tự đó.
- Mỗi số vừa lập ta lập được 3! số thỏa mãn bài ra trong đó có cả chữ số
0 đứng đầu.
- Do đó số có năm chữ số thỏa mãn điều kiện bài ra trong đó có cả chữ
số 0 đứng đầu là :
2
7
C
3!3! = 756 số
- Số có dạng
012 ,021ab ab
là : 84 số
Vậy số các số cần lập là : 756 – 84 = 672 số.
GV: - Từ cách giải trên ta có thể giải được bài toán tổng quát về lập các số
tự nhiên sao cho các chữ số đứng cạnh nhau.
- Yêu cầu các em học sinh tự ra cho mình các bài toán và tự giải.
- Đề nghị một số bạn tự ra đề bài tập cho lớp.
Bài 1: Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9A =
. Từ tập A lập được bao nhiêu số
tự nhiên có bốn chữ số khác nhau sao cho hai chữ số 1, 2 luôn đứng cạnh
nhau.
ĐS: 308 số
Bài 2: Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9B =
. Từ tập B lập được bao nhiêu số

các chữ số tăng dần hoặc giảm dần.
GV: - Ta cần lập số có mấy chữ số ?
- Nêu quy trình và cách làm.
HS: - Số tập con có năm phần tử của tập A là
5
9
C
- Mỗi tập con như trên ta lập được hai số thỏa mãn bài ra
- Do đó số các số thỏa mãn bài ra là
5
9
C
2 = 252 số
GV: Hãy tự nêu bài toán dạng tương tự như trên trong trường hợp mở rộng
tập A và số chữ số của số cần lập nhiều lên hoặc ít đi.
HS: Nêu ví dụ 3
VD3: (ví dụ phát triển – tổng quát). Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9A =
.
Từ tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau sao cho các
chữ số tăng dần hoặc giảm dần.
GV: Yêu cầu học sinh nêu cách giải và nêu dạng tổng quát của bài toán.
HS: - Số tập con gồm bốn phần tử của tập B mà không chứa số 0 là :
4
9
C
tập
Mỗi tập như trên ta lập được 2 số thỏa mãn bài ra
Do đó số các số thỏa mãn trong trường hợp này là :

cho các chữ số tăng dần hoặc giảm dần.
GV: - Số cần lập là một số có năm chữ số khác nhau và luôn chứa chữ số 2.
- Vậy giải bài toán trên như thế nào ?
HS:
- Số tập con gồm năm phần tử của A luôn chứa số 2 và không chứa số 0
- là
4
8
C
tập. Mà mỗi tập ta lập được hai số thỏa mãn bài ra
Do đó số các số thỏa mãn bài ra trong trường hợp này là :
4
8
C
2
8
- Số tập con gồm năm phần tử của A luôn chứa số 2 và chứa số 0 là
3
8
C

tập. Mà mỗi tập ta lập được một số thỏa mãn bài ra
Do đó số các số thỏa mãn bài ra trong trường hợp này là :
3
8
C
số
KL : Số các số thỏa mãn bài ra là :
4
8

- Giải bài toán trên như thế nào ?
HS: - Mỗi một số cần lập là một hoán vị của A
- Do đó số các số thỏa mãn bài ra là : 4!= 24 số.
GV: Hãy phát triển bài toán trên bằng cách mở rộng tập A
VD2 (ví dụ phát triển). Cho tập hợp
{ }
1;2;3;4;5;6;7;8;9A =
. Từ tập A lập
được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau trong đó có đúng một
chữ số lẻ.
GV: Nêu quy trình và cách giải bài toán trên.
HS: - Số tập con gồm bốn phần tử của A trong đó có đúng một số lẻ là
3 1
4 5
C C
- Mỗi tập con như trên ta lập được 4! số thỏa mãn bài ra.
- Do đó số các số cần lập là :
3 1
4 5
C C
4!=480 số.
GV: Hãy phát biểu bài toán mới tương tự bài toán trên
VD3 (ví dụ khái quát). Cho tập hợp
{ }
1;2;3;4;5;6;7;8;9A =
. Từ tập A lập
được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau trong đó số chữ số chẵn
nhiều hơn số chữ số lẻ.
GV: - Trong số cần lập có bao nhiêu chữ số chẵn ?
- Nêu cách giải và giải bài toán trên.

4!+
3 2
4 5
C C
4!= 1080 số.
GV: Nếu trong tập A chứa số 0 thì cách giải sẽ như thế nào ?
VD4 (ví dụ tổng quát). Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7;8;9A =
. Từ tập A lập
được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau trong đó có một chữ số
lẻ.
GV: - Số cần lập có bao nhiêu số chữ số chẵn và bao nhiêu chữ số lẻ.
- Nêu cách giải bài toán trên.
HS: Để giải bài toán trên ta xét hai trường hợp sau
* TH1: Một lẻ, ba chẵn không chứa số 0
+ Số tập con của A gồm bốn phần tử trong đó có một số lẻ và không
chứ số 0 là
3 1
4 5
C C
tập.
+ Mỗi tập như trên ta lập được 4! số.
+ Do đó số các số thỏa mãn bài ra trong trường hợp này là:
3 1
4 5
C C
4! số.
* TH2: Một lẻ, ba chẵn có số 0
+ Số tập con của A gồm bốn phần tử trong đó có một số lẻ và có chứa

Bài 2: Cho tập hợp
{ }
1;2;3;4;5;6;7;8;9A =
. Từ tập A lập được bao nhiêu số
tự nhiên có bốn chữ số khác nhau trong đó số chữ số lẻ lớn hơn số chữ số
chẵn.
ĐS: 1080 số
10
V. Kết quả thực nghiệm
1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm để bước đầu đánh giá tính hiệu quả của việc sử dụng
phương pháp “ Dùng ngôn ngữ tập hợp để phát triển tư duy và giải một số bài
toán lập số” – đại số 11 nâng cao.
2. Nội dung thực nghiệm
- Trong năm học 2012 – 2013 đã tiến hành khảo nghiệm đối với hai lớp
11C1 và 11C8 cùng nội dung kiến thức như trên nhưng áp dụng hai phương
pháp khác nhau.
- Lớp 11C8 lớp thực nghiệm: Bài dạy được thiết kế theo định hướng
phân hóa trên cơ sở sử dụng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm phát triển năng
lực tư duy và áp dụng “ ngôn ngữ tập hợp” trong việc giải toán.
- Lớp 11C1 lớp đối chứng: Bài dạy được áp dụng các cách giải bình
thường như các tài liệu vẫn trình bày đó là áp dụng các quy tắc cộng, quy tắc
nhân, hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp…để giải quyết các bài toán trên.
- Sau khi dạy bài xong thì tiến hành kiểm tra cả hai lớp thời lượng 15
phút, nội dung câu hỏi như sau:
Cho tập hợp
{ }
0;1;2;3;4;5;6;7A =
.
1) Từ tập A lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau

2. Hướng phát triển của đề tài
- Do khuôn khổ hạn hẹp của một SKKN nên tôi mới chỉ nêu một số bài
toán mang tính chất điển hình mà còn nhiều bài toán nữa chưa có điều kiện đề
cập.
- Đề tài mới chỉ áp dụng trong một buổi học bồi dưỡng có thời lượng 3
tiết nên kết quả thu được chưa phản ánh hết hiệu quả của phương pháp.
- Có thể áp dụng phương pháp trên cho nhiều bài toán lập số khác và
đặc biệt có thể mở rộng sang một số bài toán xác suất…
- Hướng xây dựng các ví dụ mang tính chất gợi mở, phân hóa theo trình
tự từ dễ đến khó, từ đơn lẻ đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp tạo điều
kiện phát triển năng lực tư duy, khả năng sáng tạo và phù hợp với nhiều đối
tượng học sinh.
3. Kiến nghị và đề xuất
a) Đối với bộ và sở
- Cần hỗ trợ và tạo điều kiện hơn nữa về cơ sở vật chất, tài liệu nghiên
cứu và thời gian làm việc… để các thày giáo, cô giáo yên tâm công tác có
điều kiện trau rồi chuyên môn nghiệp vụ, nâng cao trình độ từ đó góp phần
đổi mới phương pháp nâng cao chất lượng giáo dục.
- Tổ chức các lớp chuyên đề tập huấn cho giáo viên để tìm tòi và so
sánh các phương pháp mới trong giảng dạy, cách tiếp cận các vấn đề từ đó
giáo viên có thể vân dụng cho phù hợp với đối tượng học sinh.
- Cần tổng hợp các sáng kiến có chất lượng, tổ chức triển khai các kinh
nghiệm hay để các thày cô học tập và rút kinh nghiệm.
b) Đối với các trường phổ thông
Tạo điều kiện để các thày các cô có điều kiện tự học, tự bồi dưỡng để
nâng cao năng lực chuyên môn, kiên trì tích cực đổi mới phương pháp trong
giảng dạy nhằm phát huy tốt năng lực tự học của trò và dạy của thày.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 14 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết không sao chép nội dung