s giáo dục V O TO
trờng tHPT S 3 BO THNG
*********(
********* Sáng kiến kinh nghiệm

Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh phơng pháp sử
dụng bất đẳng thức cô-si dạng nghịch đảo Ngời thực hiện: O KHNH LINH
Chc v : Hiu trng
Năm 2011.
A- Phần mở đầu

I/ Lý do chọn đề ti:

II- Mục đích nghiên cứu:
Chỉ ra một số phơng pháp cơ bản để áp dụng bất đẳng thức Cô-Si dạng
nghịch đảo để giải một số bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị.
Hớng dẫn học sinh sử dụng vào giải toán chứng minh bất đẳng thức và tìm
cực trị (đối với học sinh khá giỏi ) .
III- Phơng pháp nghiên cứu

+Chứng minh bất đẳng thức Cô-Si : Trờng hợp với hai số không âm.
+áp dụng đối với hai số dơng có dạng nghịch đảo.
+Phân loại một bài tập điển hình và xây dựng phơng pháp giải nhờ áp dụng
bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo .
+Tham khảo ý kiến đồng nghiệp và nhà trờng.
+áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh.
+Rút kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy để tiếp tục hoàn thiện vào các năm
sau.
IV- Phạm vi v đối tợng nghiên cứu
+Nghiên cúu bất đẳng thức Cô-Si dạng nghịch đảo và các bài toán áp dụng .
+Chọn các bài toán thích hợp cho việc giảng dạy cho học sinh lớp 10 diện khá,
giỏi.
B - phần nội dung
I/Bất đẳng thức Cô-Si:

1/Bất đẳng thức Cô-Si
(Đối với hai số không âm)
+Với hai số không âm a và b ta có :
ab
ba

+
2

y
là hai số dơng ta có :

2+
x
y
y
x
2. =
x
y
y
x
Ta có điều phải chứng minh , dấu đẳng thức sảy ra
ỳ
x
y
y
x
=
ỳ x
2

= y
2
ỳ x = y (Vì x và y cùng dấu )
*Chú ý: a =
y
x
và b =

c
c
a
++

=
11 +++++++
c
a
b
c
b
a
a
b
c
b
a
c

=
)()()(2
b
c
c
b
a
c
c
a

111
)(( ++++
cba
cba .
* Bài này mời các em tự thực hiện .

+Bài toán 3: Cho x là số dơng, tìm GTNN của :
A =
x
xx 42
2
++
.
-Nhận xét: Với x dơng ta chỉ cần thực hiện phép chia tử cho mẫu là xuất hiện
dạng nghịch đảo.
-Giải: Có : A =
2
442
2
++=++
x
x
x
x
x
x
x

Ta có :
4

+
+
+
ba
abc
ac
cab
cb
bca
.
- Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)
Tơng tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b) do đó ta có:

ba
bcac
ac
cbab
cb
caba
VT
+
+
+
+
+
+
+
+
+

bcac
ca
cbab
ca
ba
bcac
cb
caba
+
+
++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+

Vậy 2. VT hay ĐPCM Đẳng thức xảy ra ỳ a = b = c =4)(4 =++ cba
2VT
3
1

* Mời các em làm tiếp bài toán sau:
+Bài toán4 : Tìm GTNN của :

x
x
xx . b, Đôi khi chúng ta phải "tách" , "nhân trộn" rồi chia mới xuất hiện đợc dạng
nghịch đảo.
+Bài toán5 : Tìm GTNN của :
D =
2
22
)2712)(4816(
x
xxxx ++++
(với x là số dơng ) .
-Nhận xét: Nếu chia ngay thì D =
)12
27
)(16
48
( ++++
x
x
x
x Sau đó áp dung (1) thì
dấu bằng không thể xảy ra vì x không đồng thời bằng
x
48
và
x

( ++++
x
x
x
x Việc làm tiếp theo là rất đơn giản !
+Bài toán 6 : Tìm GTNN của :
E =
2
22
)12022)(3011(
x
xxxx ++++
(với x là số dơng )
* Bài này mời các em tự thực hiện .
2/Phơng pháp thêm bớt :

a/ Ta có thể thêm và bớt cùng một số vào biểu thức rồi biến đổi làm xuất hiện dạng
nghịch đảo.
. +Bài toán 1 : Tìm GTNN của :
A =
x
x
x 5
1
+

( Với 0 < x < 1 ) .
Nhận xét: Điều kiện 0 < x < 1 chỉ làm cho A xác định và các hạng tử đều dơng.
Phải làm xuất hiện nhân tử (1 - x) Trên tử của số hạng thứ hai
Ta có

x
x

Ta có
52
)1(5
.
1
2
)1(5
1
=




+
x
x
x
x
x
x
x
x

Nên A
552 + dấu đẳng thức sảy ra ỳ
x
x


( Với 0 < x < 1 )
Nhận xét: Phải đồng thời làm xuất hiện nhân tử x trên tử và nhân tử (1 - x )
dới mẫu.
Có
x
x
x

=
1
2
2
1
2

Còn
x
x
x

=
1
1
1

Giải : Ta có B =
31
1
2

2
=




+
x
x
x
x
x
x
x
x

Nên có B
322 +
dấu đẳng thức sảy ra ỳ
x
x
x
x

=

1
1
2


)1(
1
)1(






+
+
+
+






+
+
+
+






+


+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+








+
+
+
+
+
+






+
+
+
+
+
+






3
+
+
x
x (với x > - 1 )
D =
1
2
2

+
x
x
( với x > 1 )
E =
2
2
2
2
1
)1(






+
+
++

1
1
)1()1(






+
++++
x
xx

=
2
)1(
1
)1(2
2
2
+
+
++
x
x
b, Nhiều khi việc thêm bớt phải dựa trên việc xác định điểm rơi (điểm cực trị).
Bài1: Cho a ; b ; c ; d là các số dơng CM rằng :

dcba

=
Tơng tự ta có :
+ c
c
b
2
2b

+ d
d
c
2
2c

+ a
a
d
2
2d 9
Nh vậy : )(2
2222
dcbadcba
a
d
d
c
c

a ++

+
+
+
+
+
.
Nhận xét : Nhận thấy dấu bằng xảy ra khi a = b = c .
Khi ấy :
4
2
cb
cb
a +
=
+

Giải : Ta có :
a
cb
cb
acb
cb
a
=
+
+

+

c
ca
b
cb
a
++
++
+
+
+
+
+
+ 2
222

Hay :
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++

+
+
+
+


10
3, Phơng pháp tách :
Phơng pháp này đợc áp dụng cho loại bài : tởng nh đã có thể áp dụng đợc (1)
ngay, nhng dấu bằng lại không thể xảy ra. Do vậy trớc hết chúng ta phải xác
định đợc điểm rơi đế tách một cách hợp lý thì mới áp dụng đợc . Loại bài tập
này khá phổ biến , ta sẽ dành nhiều thời lợng hơn cho loại bài tập này.
Bài 1 : Cho Tìm GTNN của :
1000;100;10 cba
A =
.
111
cba
cba +++++

Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng

cba
111
++

Dự đoán điểm rơi là : a = 10 ; b = 100 ; c = 1000 .
Khi đó :
1000000
11
;
10000
1
;
100

bb
a
aa
++++++++c
c
b
b
a
a
1
.
1000000
2
1000000
1000.9999991
.
10000
2
10000
100.99991
.
100
2
100
10.99
+++++


x ++
.
Nhận xét : Ta có B =
2
1
22
22
++
yx
yx
Với GT trên ta cần tiêu hoá hết lợng x
2
y
2
Dự đoán điểm rơi là :
2
1
== yx
11
Khi đó
.
16
1
256
1
22
22

yx
yx
yx

Và ỳ xyyx 4)(
2
+
4
1

xy
ỳ 16
1
22

yx

Vậy B
216.
256
255
8
1
++
=
Bài 3: Cho a ; b ; c là các số dơng thoả mãn :
2
3
++ cba
Tìm GTNN của:

Giải : Có A =
)(3)
1
4()
1
4()
1
4( cba
c
c
b
b
a
a +++++++
Ta có :
4
1
.42
1
4 =+
a
a
a
a

Tơng tự có :
+
b
b
1

12
Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng thoả mãn :
6
111
++
cba
Tìm GTNN của:
A =
.
111
cba
cba +++++

Nhận xét: Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng
a + b +c
Dự đoán điểm rơi là
2
1
=== cba
khi đó
c
c
b
b
a
a
4
1
;
4

4
1
1
Còn
2
9
)
111
(
4
3
++
cba

Vậy A
2
15

dấu đẳng thức xảy ra ỳ
2
1
=== cba

Amin =
2
15
ỳ
2
1
=== cba









+
+
+
2
5
32
2
5
32
2
5
32
ac
cb
ba
Hoặc :







1)(1(
x
y
y
x +++++
Nhận xét :
2
11
++++++=
yxx
y
y
x
yxC

Với GT trên thì chúng ta phải quan tâm đến và "tiêu hoá" hết lợng : x + y
Dự đoán điểm rơi là :
2
2
== yx
khi đó :
y
y
x
x
2
1
;
2
1

1
=+
x
x
x
x
Tơng tự :
+
y
y
2
1

2

2+
x
y
y
x

2
211
)
11
(
2
1
22
4

14
Rõ ràng với x = y = 3 không giải quyết đợc vấn đề, phải chăng y
x
?
Thử tới x = 2 ; y = 4 thì ổn . Khi đó :
y
y
x
x
8
2
;
2
36
==

Giải : Ta có
y
y
x
xyxD
8
2
6
2
3
)(
2
3
+++++=

22
21
7
1
xx
xxP =
.
Nhận xét: Trớc hết ta phải tìm m để (1) có nghiệm , đó cũng là cơ sở để xác
định điểm rơi .
Giải : Ptrình (1) có nghiệm ỳ
0
ỳ
074
+

m
ỳ
3m
Khi đó theo Vi-et ta có : x
1
x
2
= 7 - m
Nên :
)
1
(7
1
7
m

1
(7
1
7
m
m
m
mP +==
3
11
3
10
7 =

Vậy Pmax =
3
11
ỳ m = 3.
*Tơng tự mời các em giải các bại tập:
Bài 8: Cho : CM rằng :
60;20;5 abcaba
a,
12++ cba
b,
50
222
++ cba
Bài9: Cho :a ; b ; c là độ dài ba cạnh của một tam giác thoả mãn :

15

yx
y
xz
x
zy
A
+
+
+
+
+
= .16.9.4.2
=
)
169
()
164
()
94
(
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x

zyx
y
zyx
x
zyx
P
22
)(16
2
)(25

+
+
+

+
+
+
=

=>
z
zyx
y
zyx
x
zyx
P

+

++++++=

>
Bài 3: Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :

4
3
222

++
+
++
+
++ bac
c
acb
b
cba
a16
Hớng dẫn: Đặt x = 2a+b+c; y = 2b+c+a; z = 2c+a+b thì suy ra:
x; y; z là các số dơng và:
3x (y+z) = 4a; 3y (x+z) = 4b; 3z (x+y) = 4c.
Từ đó với
bac
c
acb
b

x
z
z
x
x
y
y
x
z
yxz
y
zxy
x
zyx
T*Bằng cách tơng tự mời các em giải bài toán sau:

Bài 4: Cho a ; b ; c là các số dơng . CMrằng :

.
2
3

+
+
+
+
+ ba

a
ba
b
ba

ỳ
4)
11
)(( ++
ba
ba
ỳ
baba +
+
411
(2)
b/ Tổng quát hoá bài toán ta có:
+
9)
111
)(( ++++
cba
cba
với a , b , c là các số dơng.
+
2
21
21
)
1

21
22
ab
ab
ba
C ++
+
=

17
Bài tập 2 : Cho a ; b ; c là 3 số dơng . CMrằng :
).
111
(
4
1
2
1
2
1
2
1
,
cbacbacbacba
a ++
++
+
++
+
++

Bài tập 3:CMrằng : Với a ; b ; c là ba cạnh của một tam giác thì :

).
111
(2
111
cbacpbpap
++

+

+

với p là nửa chu vi .

Bài tập 4: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn : 3

+
+
cba CMrằng:

.
2
31
1
1
1
1
,
+

cba
CMrằng:

.9
2
1
2
1
2
1
222

+
+
+
+
+ abccabbcaBài tập 6: Cho a ; b ; c là 3 số dơng thoả mãn :
4
111
=++
cba
CMrằng:

.1
2
1
2

1
=
+
+
cba
CMrằng:

14
23
222

+
+
+
++
cba
bcacab

Bài tập 9: a) Cho . Tìm GTNN của 3a
a
aA
1
=

b) Cho
2
1
0 a
Tìm GTNN của
b

A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
18
c/Triển khai đề ti

Trong việc giảng dạy bộ môn toán, ở mỗi đơn vị kiến thức mở , tôi luôn hớng
dẫn học sinh theo hớng : mở rộng, tổng quát hoá, tìm hớng áp dụng kiến thức .
Đặc biệt trong phần kiến thức về bất đẳng thức , xác định đây là phần kiến thức
khó đối với học sinh , nhng nó rất quan trọng trong việc rèn khả năng t duy sáng
tạo , phát triển khả năng tự học tự nghiên cú cho học sinh .Tôi đã triển khai theo
từng bớc ,đối với từng đối tợng học sinh . D/Kết quả đạt đợc
Với việc triển khai đề tài này thì bớc đầu tôi đã thu đợc một số kết quả
đáng khích lệ: