TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TPHCM
KHOA ĐẠI CƯƠNG
BỘ MÔN TOÁN
BÀI TẬP
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Người biên soạn: THS. DƯƠNG THỊ XUÂN AN
THS. NGUYỄN THỊ THU THỦY
LƯU HÀNH NỘI BỘ
NĂM 201 3
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm giúp sinh viên Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TP. HCM
họ c tập m ôn XÁC SUẤT THỐNG KÊ đạt kết quả cao, chúng tôi tiến hành
biên soạn quyển Bài Tập Xác Suất và Thống Kê Toán. Quyển bài tập này được
biên soạn phù hợp với sinh viên bậc Cao đẳng và lưu hành nội bộ trong phạm
vi Nhà tr ường. Tài liệu được biên soạn dựa tr ên đề cương môn học và được sử
dùng kèm theo quyển Giáo Trình Xác Suất và Thống Kê Toán. Nội dung gồm
hai phần:
Phần X ác suất gồm 2 chương:
Chương 1. BIẾN CỐ NGẪU NH IÊN VÀ XÁC SUẤT
Chương 2. ĐẠI LƯỢN G N GẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PH ỐI XÁC SUẤT
Phần T hống kê gồm 3 chương:
Chương 3. MẪU NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU
Chương 4. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
Chương 5. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ
Tài liệu giải quyết hầu hết các bài tập từ cơ bản đến phức tạp với lời giải rõ
ràng, dễ hiểu. Các bài tập được phân loại theo từng dạng cụ thể từ đơn giản
đến tổng hợp. Mở đầu mỗi dạng bài tập, tác giả tóm tắt nội dung lý thuyết
trọng tâm để người đọc vận dụng thực hành. Phần cuối mỗi chương là bài tập
tự giải để sinh viên có cơ hội tự rèn luyện.
Với mục đích như trên, chúng tôi hy vọng đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các
em sinh viên trong quá trình học tập ở bậc Cao đẳng cũng như quá trình học

2.2 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Các đặc trưng bằng số của ĐLNN . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Các quy luật phân phối xác suất đặc biệt . . . . . . . . . . . . 57
2.4.1 Quy luật phân phối siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.2 Quy luật phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4.3 Quy luật phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.4 Quy luật phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.5 Xấp xỉ các quy luật phân phối xác suất . . . . . . . . . 68
2.5 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3 MẪU NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU 101
4 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 107
4.1 Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể . . . . . . . . . . . . 110
4.2 Ước lượng khoảng cho tỷ lệ tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐN G KÊ 124
5.1 So sánh trung bình tổng thể với một số . . . . . . . . . . . . . 127
5.2 So sánh tỷ lệ tổng thể với một số . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.4 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO 149
PHỤ LỤC: BẢNG TRA THỐNG KÊ 155
TÀI LIỆU THAM KHẢO 161
4
Chương 1
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
VÀ XÁC SUẤT
1.1 Bổ túc về Giải tích Tổ hợp
1.1.1 Phép đếm
⋄ Giai thừa: n! = 1.2.3 . . . n. Quy ước: 0! = 1.

Giai đoạn 1 có n
1
cách thực hiện
Giai đoạn 2 có n
2
cách thực hiện
. . . . . . . . .
Giai đoạn k có n
k
cách thực hiện







=⇒
Có n = n
1
.n
2
. . . n
k
cách hoàn thành công việc
5
1.1.2 Hoán vị
⋄ Hoán vị trên đường thẳng: Số cách sắp xếp n phần tử khá c nhau vào n
vị trí đã cho là P
n

n
=
n!
k!.(n − k)!
·
Bài 1. Vui đi dự đám cưới của hai bạn Bình và Yên. Trước khi ra về, Vui và
4 người bạn nữa cùng chụp hình lưu niệm với cô dâu chú rể. Hãy tính số cách
xếp các bạn thành 1 hàng để chụp hình sao cho:
a) Cô dâu đứng cạnh chú rể.
b) Cô dâu không đứng cạnh chú rể.
c) Vui đứng cạnh bên phải cô dâu.
BÀI GIẢI
a) Ta xem cô dâu và chú rể là m ột "bó" thì có P
6
= 6! = 720 cách xếp 5 người
bạn cùng cô dâu chú rể thành một hàng.
Ứng với mỗi cách xếp này, có P
2
= 2! = 2 cách hoán vị trong nội bộ "bó" cô
dâu và chú rể.
Vậy có 6!.2! = 1440 cách xếp theo yêu cầu.
6
b) Xếp ngẫu nhiên 7 người bạn thành một hàng thì có P
7
= 7! = 5040 cách.
Theo câu a), có 1440 cách xếp 7 người bạn này thành m ột hàng sao cho cô dâu
và chú rể đứng cạnh nhau.
Vậy có 5040 − 1440 = 3600 cách xếp sao cho cô dâu không đứng cạnh chú rể.
c) Tương tự câu a) nhưng trong nội bộ giữa Vui và cô dâu chỉ có 1 cách xếp.
Do đó, có 1.6! = 720 cách xếp sao cho Vui đứng cạnh bên phải cô dâu.

= 220 (cách).
- Giai đoạn 2: Xếp ngẫu nhiên 9 hành khách vào 4 toa tàu còn lại một cách
tùy ý, có B
9
4
= 4
9
= 262144 (cách).
Vậy có C
3
12
.B
9
4
= 57671680 cách xếp ngẫu nhiên 12 khách lên 5 toa tàu sao cho
toa thứ nhất có 3 hành khách.
Bài 4. Một thùng có 50 quyển sách, trong đó có 20 quyển sách Tiếng Việt và
30 quyển sách Toán. Có bao nhiêu cách:
a) Lấy ngẫu nhiên ra 10 quyển sách.
b) Lấy ngẫu nhiên ra 9 quyển sách trong đó có 5 quyển sách Toán.
c) Lấy ra 8 quyển sách Toán để trao cho 8 em học sinh.
7
BÀI GIẢI
a) Số cách lấy ngẫu nhiên ra 10 quyển sách từ 50 quyển sách là số tổ hợp 50
chập 10: C
10
50
= 10272278170 (cách).
b) Có C
4

C
4
10
= 210 (cách).
b) Ta có thể xem bài toán gồm 2 giai đoạn:
- Giai đoạn 1: Lấy 3 sản phẩm tốt từ 8 sản phẩm tốt, có C
3
8
= 56 (cách).
- Giai đoạn 2: Lấy 1 phế phẩm từ 2 phế phẩm, có C
1
2
= 2 (cách).
Vậy có C
3
8
.C
1
2
= 112 cách lấy ra ngẫu nhiên 4 sản phẩm, trong đó có 3 sản
phẩm tốt.
c) Vì lô hàng chỉ có 2 phế phẩm nên bài toán gồm 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Lấy được 1 phế phẩm (và 3 sản phẩm tốt)
Có: C
1
2
.C
3
8
= 112 (cách).

Kí hiệu: C = A.B.
⋄ Biến cố đối lập: Biến cố B được gọi là biến cố đối lập của biến cố A
nếu B xảy ra ⇐⇒ A không xảy ra. Kí hiệu: B =
A.
Bài 1. Ba sinh viên dự thi môn Toán cao cấp. Đặt các biến cố: A
i
là "Sinh
viên thứ i thi đạt"; B
i
là "Có i sinh viên thi đạt", i =
0, 3. Nêu ý nghĩa của
các biến cố sau:
a) A
1
.A
2
.A
3
b) A
1
.
A
3
c) A
1
+ A
2
+ A
3
d)

: biến cố có ít nhất một sinh viên thi đạt.
d)
B
0
: biến cố không có sinh viên nào không đạt ≡ cả ba sinh viên đều đạt.
e) A
2
.B
1
: biến cố sinh viên thứ hai thi đạt và có một sinh viên thi đạt ≡
chỉ có sinh viên thứ hai thi đạt.
f)
A
3
B
2
: biến cố sinh viên thứ ba thi hỏng và có hai sinh viên thi đạt ≡ chỉ
có sinh viên thứ ba thi hỏng.
Bài 2. Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên. Gọi A
i
là
biến cố "xạ thủ thứ i bắn trúng bia", i = 1, 2. Hãy biểu diễn các biến cố sau
qua biến cố A
1
, A
2
:
a) A: biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia và xạ thủ thứ hai bắn trượt.
b) B: biến cố bia bị trúng đạn.
c) C: biến cố bia không bị trúng đạn.

f) F : biến cố có ít nhất hai sản phẩm tốt.
BÀI GIẢI
a) A =
A
1
.A
2
.A
3
b) B = A
1
+ A
2
+ A
3
c) C =
A
1
+ A
2
+ A
3
d) D =
A
1
.A
2
.A
3
≡ A

3
+ A
1
.A
2
.A
3
+ A
1
.A
2
.A
3
+ A
1
.A
2
.A
3
Bài 4. Ba s inh viên thi môn xác suất thống kê. Gọi A
i
là biến cố sinh viên thứ
i thi đạt, i =
1, 3. Hãy biểu diễn qua A
i
các biến cố sau:
a) A: biến cố cả ba sinh viên đều thi đạt.
b) B: biến cố có không quá hai sinh viên thi đạt.
c) C: biến cố có ít nhất một sinh viên thi đạt.
d) D: biến cố có một sinh viên thi đạt.

1
.A
2
.A
3
+A
1
.A
2
.A
3
+A
1
.A
2
.A
3
+
A
1
.A
2
.A
3
c) C = A
1
+ A
2
+ A
3

.A
3
+ A
1
.A
2
.A
3
+ A
1
.A
2
.A
3
≡ Ω \ A
1
.A
2
.A
3
d) D = A
1
.
A
2
.A
3
+ A
1
.A

2
.A
3
+ A
1
.A
2
.A
3
+ A
1
.A
2
A
3
+ A
1
.A
2
.A
3
+
A
1
.A
2
.A
3
+ A
1

f) F : biến cố chỉ có 2 người bắn trúng.
g) G: biến cố không ai bắn trúng.
h) H: biến cố không có hơn hai người bắn trúng.
i) I: biến cố người thứ nhất bắn trúng hoặc người thứ hai bắn trúng.
1.3 Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
Xét một phép thử τ với không gian mẫu Ω gồm n biến cố sơ cấp có đồng
khả năng xảy ra. Giả sử A ∈ Ω là một biến cố bất kỳ. Ta có xác suất để biến
cố A xảy ra là:
P (A) =
Số trường hợp thuận lợi cho A
Số trường hợp đồng khả năng
=
m
n
Tính chất:
• P (Ω) = 1
• P (∅) = 0
• Với A là biến cố bất kỳ thì 0 ≤ P (A) ≤ 1
Bài 1. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện
mặt lớn hơn 4 chấm.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố xuất hiện mặt lớn hơn 4 chấm.
Số trường hợp đồng khả năng là n = 6.
Số trường hợp thuận lợi cho A là m = 2.
Do đó, P (A) =
m
n
=
1
3

Số trường hợp thuận lợi cho B: m = C
3
30
.C
2
20
.
Vậy P (B) =
m
n
=
C
3
30
.C
2
20
C
5
50
≈ 0, 3641.
Bài 3. Một nhà phân tích thị trường chứng khoán đưa ra một danh sách cụ
thể 5 loại cổ phiếu. Giả sử xếp được bảng thứ tự tăng trưởng của 5 loại cổ
phiếu này vào năm tới và khả năng xếp hạng đều như nhau. Tính xác suất để
dự đoán đúng 3 loại cổ phiếu xếp ở đầu bảng này:
a) Không kể thứ tự.
b) Xếp theo thứ tự nhất, nhì, ba.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố dự đoán đúng 3 loại cổ phiếu xếp ở đầu bảng.
Số trường hợp thuận lợi cho A là m = 1.

12
Gọi B: biến cố trong 3 người được chọn có bạn Bình.
Sau khi chọn Bình thì ta cần chọn thêm 2 bạn từ 4 người còn lại, nên số trường
hợp thuận lợi cho B là m = C
2
4
= 6.
Vậy P (B) =
C
2
4
C
3
5
=
6
10
= 0, 6.
Bài 5. Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tìm xác
suất để có 3 người đến quầy s ố 1.
BÀI GIẢI
Ta xem việc mỗi khách hàng đến 1 quầy tính tiền là một giai đoạn, mỗi giai
đoạn có 10 cách nên số trường hợp đồng khả năng là n = 3
10
.
Gọi A: biến cố có 3 người đến quầy số 1. Ta cần tính P(A).
Số trường hợp thuận lợi cho A là số cách chọn ngẫu nhiên 3 người từ 10 người
để xếp vào quầy số 1 và 7 người còn lại sẽ đến ngẫu nhiên hai quầy 2 và 3, tức
là m = C
3

2
, . . . , A
n
} được gọi là
xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong hệ xung khắc vớ i nha u.
⋄ Công thức cộng:
• Cho A và B là h ai biến cố bất kỳ, ta có: P (A + B) = P (A) + P (B) −P (AB).
• Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P (A + B) = P (A) + P (B).
Công thức trên có thể mở rộng cho n biến cố, chẳng hạn:
• Cho ba biến cố bất kỳ A, B, C, ta có:
P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P(C) −P (AB) −P(BC) −P (CA) + P(ABC)
13
• Cho {A, B, C} là hệ biến cố xung khắc từng đôi thì:
P (A + B + C) = P (A ) + P (B) + P(C)
• Cho A là một biến cố bất kỳ, ta có: P (A) = 1 − P(A).
Bài 1. Có 5 con ngựa đánh số từ 1 đến 5 tham gia một cuộc đua. Giả sử khả
năng chạy nhanh để thắng trận của 5 con ngựa là như nhau. Tính xác suất để
con ngựa số 3 ít nhất là về nhì.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố con ngựa số 3 ít nhất là về nhì.
A
i
: biến cố con ngựa số 3 về thứ i, i =
1, 5.
Ta có: A = A
1
+ A
2
và {A
1

5525
≈ 0, 7826.
Suy ra, P (A) = 1 − P (
A) = 1 −
4324
5525
=
1201
5525
≈ 0, 2174.
Bài 3. Hai người cùng bắn vào một tấm bia một cách độc lập, mỗi người bắn
một phát. Xác suất để người thứ nhất và thứ hai bắn trúng bia lần lượt là 0,6
và 0,8. Tính xác suất để bia bị trúng đạn.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố bia bị trúng đạn (≡ có ít nhất m ột người bắn trúng bia).
A
i
: biến cố người thứ i bắn trúng bia, i = 1, 2.
Cách 1: Ta có A = A
1
+ A
2
=⇒ P (A) = P (A
1
) + P (A
2
) − P (A
1
.A
2

14
=⇒ P (A) = 0, 4.0, 2 = 0, 08
Vậy P (A) = 1 − P(
A) = 1 − 0, 08 = 0, 92.
Bài 4. Một lô hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 4 phế phẩm. Một khách hàng
kiểm tra bằng cách lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm từ lô hàng này. Nếu trong 10
sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm thì người này sẽ mua lô hàng. Tính
xác s uất để lô hàng được mua.
BÀI GIẢI
Gọi A: biến cố lô hàng được mua.
A
i
: biến cố trong 10 sản phẩm lấy ra có i phế phẩm, i =
0, 10.
Ta có: A = A
0
+ A
1
và {A
0
, A
1
} xung khắc
=⇒ P (A) = P (A
0
) + P (A
1
) =
C
0

D: biến cố người này xem ít nhất một trong 3 tờ báo A, B, C.
Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người này xem báo A , B, C.
Ta có:
D = A + B + C nên
P (
D) = P(A) + P(B) + P (C) − P (AB) −P (AC) − P (BC) + P (ABC)
= 0, 2 + 0, 15 + 0, 1 − 0, 05 − 0, 04 − 0, 03 + 0, 02 = 0, 35
Vậy P (D) = 1 − P(D) = 1 − 0, 35 = 0, 65.
1.4.2 Công thức nhân
⋄ Hai biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau
trong một phép thử nếu A có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến khả
năng xảy ra của B và ngược lại.
⋄ Hệ biế n cố độc lập từng đôi: Hệ biến cố {A
1
, A
2
, . . . , A
n
} được gọi là
độc lập từng đôi nếu hai biến cố bất kỳ trong hệ độc lập với nhau.
15
⋄ Hệ biến cố độc lập toàn phần: Hệ biến cố {A
1
, A
2
, . . . , A
n
} được gọi
là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố trong hệ độc lập với một tích bất kỳ
các biến cố còn lại trong hệ.

, A
2
} độc lập.
a) Gọi A: biến cố cả hai xạ thủ bắn trúng bia.
Vì A = A
1
.A
2
nên P (A) = P (A
1
).P (A
2
) = 0, 7.0, 8 = 0, 56.
b) Gọi B: biến cố chỉ có xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia.
Vì A = A
1
.A
2
nên P (A) = P (A
1
).P (A
2
) = 0, 7.0, 2 = 0, 14.
16
Bài 3. Có 3 hộp: mỗi hộp đựng 5 viên bi, trong đó hộp thứ i có i viên bi trắng
(i =
1, 3). Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi.
a) Tìm xác suất để lấy được 3 viên bi trắng.
b) Nếu trong 3 bi lấy ra có một bi trắng, tìm xác suất để viên bi trắng đó
là của hộp thứ nhất?

·
3
5
=
6
125
= 0, 048.
b) Gọi B: biến cố trong 3 bi lấy ra có 1 bi trắng
Ta cần tính: P (A
1
|B) =
P (A
1
.B)
P (B)
Ta có: B = A
1
.
A
2
.A
3
+ A
1
.A
2
.A
3
+ A
1

).P (A
3
) + P (A
1
).P (A
2
).P (A
3
) + P (A
1
).P (A
2
).P (A
3
)
=
1
5
·
3
5
·
2
5
+
4
5
·
2
5

).P (
A
2
).P (A
3
)
P (B)
=
6
125
58
125
=
3
29
Bài 4. Một tín hiệu S được truyền từ điểm A đến điểm B. Tín hiệu sẽ được
nhận tại B nếu cả hai công tắc I và II đều đóng. Giả sử rằng khả năng để công
tắc thứ nhất và thứ hai đóng, tương ứng là 0,8 và 0,6. Cho biết hai công tắc
hoạt động độc lập nhau. Tính xác suất:
a) Tín hiệu được nhận tại B.
b) Công tắc thứ I mở, biết rằng tại B không nhận được tín hiệu S.
c) Công tắc thứ II mở, biết rằng tại B không nhận được tín hiệu S.
BÀI GIẢI
Gọi A
i
: biến cố công tắc thứ i đóng, i = 1, 2.
Theo giả thiết, {A
1
, A
2

0, 52
=
5
13
≈ 0, 3846
17
c) Ta cần tính: P (A
2
|B) =
P (
A
2
.B)
P (B)
=
P (
A
2
)
P (B)
=
0, 4
0, 52
=
10
13
≈ 0, 7692
Bài 5. Một kiện hàng gồm 20 chiếc tivi, trong đó có 16 chiếc đạt chất lượng
tốt và 4 chiếc bị lỗi. L ần lượt chọn ngẫu nhiên ra 3 chiếc tivi từ kiện hàng này.
Tính xác suất để:

1
.A
2
) =
3
18
≈ 0, 1667.
c) P(
A
3
|A
1
.A
2
) =
3
18
≈ 0, 1667.
d) Gọi A: biến cố trong hai chiến ti vi chọn ra lần thứ nhất và thứ hai có một
chiếc tốt và một chiếc bị lỗi. Ta cần tính: P (A
3
|A) =
P (
A
3
.A)
P (A)
Vì A = A
1
.

19
=
16
95
Ngoài ra,
P (A
3
.A) = P(A
1
.A
2
.A
3
+ A
1
.A
2
.A
3
) = P (A
1
.A
2
.A
3
) + P (A
1
.A
2
.A

20
·
4
19
·
3
18
+
4
20
·
16
19
·
3
18
=
16
285
Vậy P (
A
3
|A) =
16
285
16
95
=
1
3

P (A) = P (A
1
)P (A|A
1
) + P(A
2
)P (A|A
2
) + + P (A
n
)P (A|A
n
)
⋄ C ho biến cố A bất kỳ và {A
1
, A
2
, , A
n
} là một hệ đầy đủ và xung khắc. Khi
đó, ta có công th ức Bayes:
P (A
i
) =
P (A
i
)P (A|A
i
)
P (A)

3
· 0, 036 +
1
3
· 0, 06 = 0, 044
Bài 2. Có hai hộp đựng bi: hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đen; hộp II có 6 bi trắng
và 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi từ hộp II lấy ngẫu
nhiên ra 1 bi. Tính xác suất:
a) Bi lấy từ hộp II là bi trắng.
b) Bi lấy từ hộp I sang hộp II là bi trắng, biết rằng bi lấy ra từ hộp II là bi
trắng.
BÀI GIẢI
Gọi T
i
: biến cố bi lấy từ hộp thứ i là bi trắng, i = 1, 2.
19
a) Ta cần tính P (T
2
). Ta có {T
1
, T
1
} là hệ đầy đủ và xung khắc.
Áp dụng CTXSTP:
P (T
2
) = P (T
1
).P (T
2

2
) =
P (T
1
.T
2
)
P (T
2
)
=
P (T
1
).P (T
2
|T
1
)
P (T
2
)
=
35
132
7
32
=
5
11
≈ 0, 4545

1
).P (A|H
1
) + P (H
2
).P (A|H
2
) + P (H
3
)P (A|H
3
)
=
1
3
· 0 +
1
3
· 0 +
1
3
·
C
3
3
C
3
5
=
1

.C
2
4
C
3
5
+
1
3
·
C
1
2
.C
2
3
C
3
5
+
1
3
·
C
1
3
.C
2
2
C

C
3
5
0, 5
=
2
5
= 0, 4.
20
Bài 4. Điều tra về giới tính của sinh viên ở một trường học, người ta thấy rằng
có 65% nam và 35% nữ. Trong đó, tỷ lệ học sinh nữ và nam thích chơi game
tương ứng là 20% và 25%. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của trường này, tính
xác s uất:
a) Sinh viên được chọn thích chơi game.
b) Sinh viên được chọn là nam, biết rằng sinh viên này thích chơi game.
BÀI GIẢI
a) Gọi A là biến cố chọn được sinh viên thích chơi game. Ta tính P (A).
A
1
: biến cố chọn được sinh viên nữ.
A
2
: biến cố chọn được sinh viên nam.
Ta có P (A
1
) = 35%; P(A
2
) = 65% và {A
1
, A

Bài 5. Một nhà máy có hai phân xưởng. Sản lượng của phân xưởng I gấp 3
lần xản lượng của phân xưởng II. Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng I và II lần
lượt là 3% và 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy, tính xác suất:
a) Chọn được sản phẩm tốt do phân xưởng I sản xuất.
b) Chọn được 1 phế phẩm.
c) Giả sử chọn được sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm này do phân
xưởng I sản xuất.
BÀI GIẢI
Gọi A là biến cố chọn được sản phẩm tốt.
A
i
: biến cố chọn được sản phẩm do phân xưởng thứ i sản xuất, i = 1, 2.
=⇒ P (A
1
) =
3
4
; P(A
2
) =
1
4
a) Ta cần tính: P (A.A
1
) = P (A
1
).P (A|A
1
) =
3

.A)
P (A)
=
P (A
1
).P (A|A
1
)
P (A)
21
Ta tính P (A) bằng cách áp dụng CTXSTP:
P (A) = P (A
1
).P (A|A
1
) + P (A
2
).P (A|A
2
) =
3
4
· 97% +
1
4
· 95% = 0, 965
Khi đó, P (A
1
|A) =
3

n−k
, k =
0, n
Bài 1. Gieo 100 hạt đậu tương. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,9. Tính
xác s uất để trong 100 hạt:
a) Có 85 hạt nảy mầm.
b) Có ít nhất 99 hạt nảy mầm.
BÀI GIẢI
Ta có lược đồ Ber noulli với:
- Số phép thử: n = 100
- Xác suất để 1 hạt đậu nảy mầm: p = 0, 9.
Ta có công thức Bernoulli:
P
100
(k) = C
k
100
(0, 9)
k
(0, 1)
100−k
, (k =
0, 100)
a) Gọi A là biến cố có 85 hạt nảy mầm =⇒ k = 85
P (A) = P
100
(85) = C
85
100
(0, 9)

phẩm.
BÀI GIẢI
Theo giả thiết, ta có lược đồ Bernoulli với:
- Số phép thử: n = 150
- Xác suất lấy được 1 phế phẩm: p = 0, 02.
Công thức Bernoulli:
P
150
(k) = C
k
150
(0, 02)
k
(0, 98)
150−k
, (k =
0, 150)
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một phế phẩm
B: biến cố không lấy được phế phẩm nào
Ta có: A =
B =⇒ P (A) = 1 − P(B)
Theo công thức Bernoulli: P (B) = P
150
(0) = C
0
150
(0, 02)
0
(0, 98)
150

Gọi A
i
: biến cố có i viên đạn bắn trúng đích, i = 0, 10
Ta có A = A
5
+ A
6
+ A
7
({A
5
, A
6
, A
7
} xung khắc)
=⇒ P (A) = P (A
5
) + P (A
6
) + P(A
7
) = P
10
(5) + P
10
(6) + P
10
(7)
= C

hưởng đến kết quả bài toán.
Theo đề bài, ta có lược đồ Bernoulli với:
- Số phép thử: n = 20
- Xác suất để bạn Ân trả lời đúng 1 câu hỏi: p = 0, 25.
Công thức Bernoulli: P
20
(k) = C
k
20
(0, 25)
k
(0, 75)
20−k
với k =
0, 20
Cho ta P (A) = P
20
(16) = C
16
20
(0, 25)
16
(0, 75)
4
= 0, 357.10
−6
Bài 5. Trong một hộp có 9 viên bi, trong đó có 3 bi đỏ còn lại là bi xanh. Lần
lượt lấy ngẫu nhiên có hoàn lại 3 bi. T ìm xác suất để:
a) Lấy được 2 bi xanh.
b) Lấy được ít nhất 1 bi đỏ.

2
3

2
3

2

1
3

1
=
4
9
≈ 0, 4444
b) Gọi B: biến cố lấy được ít nhất 1 bi đỏ
=⇒
B: biến cố không lấy được bi đỏ nào ≡ lấy được 3 bi xanh.
Tương tự, ta có: P (B) = P
3
(3) = C
3
3

2
3

3


Bài 2. Cho ba biến cố A, B, C và P (A) = 0, 4; P (B) = 0, 2; P(C) = 0, 3. Tính
xác s uất P (A + B + C), biết rằng A, B, C độc lập nhau.
BÀI GIẢI
Áp dụng cộng thức cộng xác suất:
P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) −P (AB) −P (AC) −P (CA) + P (A BC)
Theo giả thiết, A, B, C độc lập nhau nên:
P (AB) = P (A).P (B) = 0, 4.0, 2 = 0, 08
P (BC) = P (B).P (C) = 0, 2.0, 3 = 0, 06
P (CA) = P (C).P (A) = 0, 3.0, 4 = 0, 28
P (ABC) = P (A).P (B).P (C) = 0, 4.0, 2.0, 3 = 0, 024
Do đó, P (A + B + C) = 0, 4 + 0, 2 + 0, 3 −0, 08 −0, 06 −0, 12 + 0, 024 = 0, 664.
Bài 3. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 lá bài từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất:
a) Rút được 2 lá bài Cơ.
b) Rút được 2 lá bài Rô màu đen.
c) Rút được 2 lá bài Cơ, biết rằng hai lá này màu đỏ.
BÀI GIẢI
Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 lá bài từ bộ bài 52 lá, có n = C
2
52
= 1326 cách.
a) Gọi A: biến cố rút được 2 lá bài Cơ =⇒ Có m = C
2
13
= 78 cách.
Suy ra, P (A) =
m
n
=
C
2

13
C
2
26
=
6
25
= 0, 24.
Bài 4. Trong một xưởng có 3 máy làm việc. Trong một ca, máy thứ nhất có
thể cần sửa chữa với xác suất 0,12; máy thứ hai với xác suất 0,15 và máy thứ
ba với xác suất 0,18. Tìm xác suất sao cho trong một ca làm việc có ít nhất
một m áy không cần sửa chữa.
25