BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Bùi Thị Thu Hiền Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2007

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Văn
Tiến, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và hướng
dẫn tôi hoàn thành luận văn này.

Tại sao khái niệm tiếp tuyến luôn gắn liền với khái niệm đạo hàm? Chúng kết hợp với nhau thế nào?
Vai trò, ý nghĩa của mỗi khái niệm trong sự kết hợp đó ?
Có được câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ cho phép chúng tôi – những giá
o viên toán THPT -
hiểu rõ hơn đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong quá trình
thực hành nghề nghiệp của mình. 2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Lí thuyết nhân chủng học của Didactic toán với các khái niệm mấu chốt như “mối quan hệ thể
chế”, “Mối quan hệ cá nhân” sẽ là công cụ lí thuyết mà chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của mình.
Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi trình bày hệ thống câu
hỏi nghiên cứu của luận văn như sau :
Q1: Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối quan hệ giữa đạo hàm
và tiếp tuyến đã được thiết lập
trong những tình huống nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Có đối tượng nào khác luôn gắn
liền với chúng ? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó?
Q2: Trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đạo hàm và tiếp tuyến,
cũng như quan hệ giữa chúng hình thành ra sao ? Với những đặc trưng cơ bản nào so với quan hệ của
chúng trong lịch sử ? Có những r
àng buộc thể chế nào trên chúng?
Q3: Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng thế nào lên mối quan hệ cá nhân học sinh?

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 2.
Để đạt được điều đó, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau đây :
- Phân tích, tổng hợp một số tài liệu hay công trình đã biết về lịch sử hay khoa học luận để làm rõ
đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đặc biệt là vai trò, chức năng của mỗi đối tượng

quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh và kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu nêu trong mục 3.
- Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3 và nêu một số
hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn.

Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA MỐI QUAN HỆ GIỮA TIẾP
TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM

1.1. Mục tiêu của chương

Mục đích chủ yếu của chương này là phân tích và tổng hợp một số công trình nghiên cứu lịch sử,
khoa học luận về tiếp tuyến và đạo hàm để làm rõ các đặc trưng của mối liên hệ giữa hai khái niệm
này.
Cụ thể, dựa vào các công trình đánh số [1], [2], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20] (xem
phần Tài liệu tham khảo) chúng tôi cố gắng tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây:
Đối tượng đạo hàm
và tiếp tuyến xuất hiện trong những tình huống nào của lịch sử toán học?
Chúng quan hệ với nhau như thế nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Mỗi đối tượng có vai trò
và chức năng gì trong mối quan hệ đó?

1.2. Đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

1.2.1. Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII
 Khái niệm tiếp tuyến
Trong [2], tác giả Vũ Đức đã rút ra một số đặc trưng khoa học luận sau đây
của khái niệm tiếp
tuyến trong giai đoạn này của lịch sử.
- Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện và được nghiên cứu trước hết trong phạm vi hình học sơ cấp với
các đặc trưng: tiếp tuyến là một đường thẳng có duy nhất một điểm chung và tiếp xúc với đư
ờng cong.
Tiếp tuyến của đường tròn còn có thêm đặc trưng vuông góc với bán kính của đường tròn tại tiếp điểm.

Fichtegôn giải thích phương pháp của Fermat như sau ([14, tr.355]):
Đặt đoạn AC đã cho là B, đoạn AB phải tìm là A.
Đối với thể tích lớn nhất ta được biểu thức A
2
(B-A)
Sau khi thế A+E vào biểu thức trên thay cho A (Fermat dùng chữ E làm kí hiệu chuẩn cho số gia của
lượng đang xét A).Ta cho cả hai biểu thức bằng nhau (trên thực tế là không bằng nhau):
(A+E)
2
(B-A-E) = A
2
(B-A)
Giản ước các vế ta được:
2A(B –A) – A
2
+ E(B–A–E) –2AE = 0
Bỏ những số hạng còn chứa E, kết quả ta có:
2A(B–A) –A
2
= 0 hay 2AB = 3A
2

Biểu thức này, theo cách diễn đạt của Fermat, là đẳng thức “đúng”, trong khi đó các đẳng thức trên chỉ
là “tưởng tượng ra” hay “gần đúng”. Từ đẳng thức cuối cùng ta xác định được A =
2
3
B

E






. Từ đó xác định được giá trị A cần tìm.
Nhận xét
Trong phương pháp trên có những chỗ bất hợp lí: lúc thì cho E là một số hữu hạn khác 0 (bằng
cách chia hai vế cho E) sau đó lại cho E = 0. Fichtegôn cũng nhận xét: “phương pháp của Fermat
không có cơ sở nào”.
Rõ ràng, Fermat đã gặp khó khăn với phép lấy giới hạn và khái niệm vô cùng bé. Tuy nhiên, trong
phương pháp trên đã hiện diện tư tưởng của giới hạn và khái niệm đạo hàm:
E0
f(A E) f(A)
0
E







(tương đương với các với cách viết hiện nay là
E0
f(A E) f(A)
lim
E

x 
hay AB =
2
3
AC

Trong cùng tác phẩm trên, Fermat cũng đề nghị phương pháp xác định tiếp tuyến của đường
cong, được mô tả như sau đây (theo [13]).
Xác định tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M.
Gọi M’ là điểm khác M nằm trên đường cong (C).
X, X’ lần lượt là hình chiếu của M, M’ xuống trục
hoành
Giả sử tiếp tuyến tại điểm M mà ta cần xác định cắt
trục hòanh tại T. X’M’ cắt tiếp tuyến MT tại N (Hình
1.2).
Để xác định tiếp tuyến MT, Fermat tìm tiếp ảnh TX.
Do
 TXM và TX’N đồng dạng và thay X’N bằng xấp
xỉ, ta có:
A: XM = E: (X’M’-XM)
E
A
T
X’

X
N
M’
M
Hình 1.2

vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn tới một
phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến mặc dù phương pháp đó còn nhiều chỗ “bất hợp lí” như
đã phân tích ở trên.
Đạo hàm đã xuất hiện ngầm ẩn và đóng vai trò công cụ cho phép giải quyết bài
toán xác định tiếp tuyến của đường cong.
Mối liên hệ giữa đạo hàm ngầm ẩn và tiếp tuyến cũng được
thiết lập:
« Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm »
(Phương pháp trên tương đương với cách viết hiện nay:
F(x)
A
F'(x)

hay F’(x) =
F(x)
A
)
 Phương pháp xác định tiếp tuyến của Roberval (1602-1675) và Torricelli (1608-1674)
Theo [14], một cách độc lập và gần như đồng thời, cả hai nhà bác học này đã đưa ra phương pháp
tìm tiếp tuyến của đường cong bằng cách dùng “hình bình hành vận tốc” (những nghiên cứu của họ
được công bố lần đầu tiên năm 1644).
Roberval quan niệm:
“Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường cong tại mỗi vị trí điểm
của nó”
Cụ thể nếu đường cong biểu diễn được như là quĩ đạo chuyển động của điểm, chuyển động đó
gồm hai chuyển động đơn giản hơn mà đối với chúng vận tốc (theo giá trị và hướng) được cho một
cách trực tiếp, thì hướng của vận tốc của chuyển động hợp (và cùng với nó cả hướng của tiếp tuyến với
quĩ đạo) đự
ơc xác định theo “qui tắc hình bình hành”, như sau:


. Do đó- chú ý
đến sự đồng
dạng của các tam giác, ta chứng minh được rằng tiếp tuyến cắt trục parabol về phía sau đỉnh của nó
một đoạn là x.
Nhận xét :
Phương pháp của Roberval và Torricelli không đựơc xem là phương pháp tổng quát vì những khó
khăn trong việc xác định chuyển động thành phần. Quan niệm về tiếp tuyến của Roberval theo
quan
điểm động học
có ý nghĩa về mặt lịch sử vì đề cập đến phương tức thời của chuyển động, là ý tưởng
liên quan đến giới hạn, đánh dấu sự phát triển của giải tích. Cách làm này cho thấy ông đã thấy được
mối liên hệ mật thiết giữa vận tốc (đạo hàm của khoảng cách còn ngầm ẩn) với tiếp tuyến :
Tỉ số giữa
vận tốc thẳng đứng và nằm ngang bằng
2
x
y
.
Theo ngôn ngữ hiện nay thì mối liên hệ đó là : «hệ số góc của tiếp tuyến bằng
dy
dx
» (với Ox là
trục hoành, Oy là trục tung).
 Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow
Phần trình bày này dựa theo [19].
Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow được trình bày trong « bài giảng về quang học và hình
học »
(1660-1670). Phương pháp này cũng tương tự như phương pháp của Fermat nhưng có những bước
hoàn thiện hơn và có thể diễn tả như sau :
Giả sử ta có đường cong s (hình 1.4). Đường thẳng


T
x
x
O
y
p
M
x
Hình 1.3
Đặt MP = m; PT = t; MR = a; NR = e
Để xác định tiếp tuyến MT ta sẽ tính lượng PT = t
Vì M, N cùng nằm trên đường cong nên cùng nghiệm đúng tính chất đặc trưng của đường cong
đó. Từ tính chất này, ta tìm mối liên hệ giữa các đại lượng a, e và m qua một đẳng thức I nào đó. Trong
đẳng thức này, ta sẽ bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e (
các số hạng này được xem như:có
giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính
)
Dựa vào định lý Thales ta có
ae et
mt am

. Thay vào I, ta sẽ tính được t.
Như vậy tiếp tuyến MT hòan tòan được xác định

Theo Perrin, phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow dựa vào ý tưởng xem tiếp tuyến tại một
điểm của đường cong như là đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ của đường cong tại điểm
đó.

Phương pháp của ông, theo ngôn ngữ hiện đại, trong lân cận của tiếp điểm có thể “xấp xỉ” đường

đoạn này có thể tóm lược như sau :
- Quan niệm rất mới về tiếp tuyến : “vị trí giới hạn của cát tuyến” và “đường thẳng trùng với phần
vô cùng nhỏ của đường cong tại tiếp điểm
” đã dẫn đến phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến.
Tiếp tuyến bắt đầu xuất hiện trong phạm vi giải tích và mở đường cho việc hình thành các ý tưởng liên
quan đến đạo hàm và vi phân.
Đạo hàm và vi phân xuất hiện như công cụ ngầm ẩn để giải bài toán xác
định tiếp tuyến
. Việc xuất hiện đạo hàm và vi phân trong tư tưởng xấp xỉ.
- Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, tiếp tuyến và vi phân cũng xuất hiện ngầm ẩn:
«Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm »
«Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số của hai vi phân
dy
dx
»
Nói cách khác, nhờ việc tìm lời giải cho bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong mà nhiều nhà
toán học trong giai đoạn này đã tiến đến hiểu biết rất gần với khái niệm đạo hàm, vi phân. Tuy nhiên,
việc giải các bài toán tiếp tuyến chưa có cơ sở rõ ràng và được giải quyết vẫn dựa vào hình vẽ.

1.2.3.Giai đoạn 3: Nửa cuối thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII
Phân tích trong phần này dựa vào [14], [15] và .
Sự phát triển của giải tích được tạo ra bởi Newton(1642-1727) và Leibniz (1646-1716) - cả hai hoạt
động độc lập với nhau từ những năm 1660- do việc phát minh ra phép tính vi tích phân.

1.2.3.1.Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp làm chảy (fluxi) của Newton
Phương pháp làm chảy của Newton được trình bày chi tiết trong “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô
hạn(1736)”
 Khái niệm về đạo hàm, vi phân ([14], [15]).
Newton xem một đường được sinh ra bởi chuyển động liên tục của một điểm và đưa ra một số
khái niệm mới.

 Phép lấy đạo hàm của Newton ( [14, tr.360])
Bài toán cơ bản thứ nhất của Newton gắn liền với phép tính vi phân: “
Theo hệ thức đã cho giữa
các thông lượng hãy xác định hệ thức giữa các đạo hàm”
Newton chỉ giải quyết trực tiếp đối với các phương trình đại số. Để ví dụ, ông lấy phương trình: x
3
–
ax
2
+ axy – y
3
=0. Cách làm như sau:
 Trong phương trình trên thay x bằng x + x0

, thay y bằng y + y0


 Đơn giản hệ thức trên và chia từng số hạng cho 0
 Cuối cùng bỏ qua những số hạng mà vẫn còn chứa 0 thì ta được:
3x
2
x

– 2ax x

+ ay x

+ ax y

– 3y


: x


Còn tỉ số giữa các đạo hàm được xác định từ phương trình của đường cong theo qui tắc trên.
Ngày nay, điều đó có nghĩa là: “
hệ số góc của tiếp tuyến bằng y

: x

”
Như vậy, từ vận tốc Newton đã đưa vào khái niệm đạo hàm rồi dùng khái niệm này giải quyết bài
toán tiếp tuyến.

 Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình ( [17,
tr. 6-8])
Cũng trong cuốn “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn(1736)”, Newton đã áp dụng phương
pháp bỏ qua các vô cùng bé để tìm nghiệm gần đúng của phương trình.
Cho phương trình y
3
– 2y – 5 = 0, dùng một số chẳng hạn là số 2, mà không khác lắm với giá trị
đúng của nghiệm, và đặt 2 + p = y
Thay 2 + p bởi y vào phương trình cho sẵn, chúng ta sẽ có: p
3
+ 6p
2
+ 10p – 1 = 0;
Bỏ đi p
3
+ 6p

1
= 2 + p = 2,1
Và cứ tiếp tục như thế, đặt p = 0,1 + q (nghĩa là x = 2,1+ q) thì (1) trở thành:
q
3
+ 6,3q
2
+ 11,23q + 0,061 = 0
f’(2,1) = 11,23
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2,1 là (∆’): y = 11,23(x-2,1) + 0,061
Phương trình hoành độ giao điểm của ∆’ và trục hoành là: 11,23(x-2,1) + 0,061 = 0 hay 11,23q+ 0,061
= 0 hay q = - 0,0054.
Vậy ta có nghiệm gần đúng là x
2
= 2,1+ q = 2,0964
Và cứ tiếp tục đến khi ưng ý……

Ở đây, theo cách của Newton, ông đã bỏ đi lượng không đáng kể p
3
+ 6p
2
(dựa nguyên lí:” bỏ qua
những số hạng vô cùng bé có bậc cao hơn 1”) để
f(2+p)
 10p – 1 hay f(2+p) f(2) + f’(2)p.
Trong đó, f(2)+f’(2)p là một hàm affine và cũng chính là tiếp tuyến của hàm số y= f(x) tại x = 2 .

Như vậy, theo quan điểm hiện nay, có thể tóm tắt phương pháp của Newton theo như sau :
Xét phương trình f(x) =0 và x
0

1
,f(x
1
)) và tìm hoành giao điểm của T
1
và
trục hoành ta được nghiệm gần đúng x
2

- và cứ tiếp tục như thế…ta xây dựng được dãy (x
n
) các nghiệm gần đúng của phương trình.
Trong phương pháp giải này ngầm ẩn mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine:
“hàm số f(x) có
đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
điểm có hòanh độ là a”.

1.2.3.2. Từ tiếp tuyến đến phương pháp vi phân của Leibniz
Phân tích trong phần này dựa vào [14] và [13].
Cùng với Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) được xem như người khai sinh ra
phép tính vi phân và giải tích vô cùng bé. Nếu như Newton từ vận tốc, đưa vào khái niệm đạo hàm rồi
dùng khái niệm này giải quyết bài toán tiếp tuyến thì Leibnitz xây
dựng khái niệm tiếp tuyến và tìm tiếp tuyến bằng các “
vi phân”.
Kể từ năm 1673, việc nghiên cứu các vấn đề tổ hợp đã đưa ông tới
các vấn đề vi phân của toán học. Tuy nhiên, các nguyên tắc của phép
tính vi phân chỉ công bố năm 1684 trong hồi kí đầu tiên của ông “
Phương pháp mới về các số lớn nhất và bé nhất, cùng những tiếp
y
D

dx
”.
Về bản chất thì các phương pháp của Newton và Leibniz là tổng hợp các phương pháp của Fermat
và Barrow, nhưng chặt chẽ hơn và có hệ thống hơn vì có cơ sở lý thuyết là các
khái niệm vi phân và
đạo hàm
. Việc trình bày các qui tắc tính vi phân và đạo hàm đã giúp cho việc xác định tiếp tuyến của
đường cong trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Đến đây, bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong tổng
quát xem như được giải quyết.
Tuy nhiên, cả Newton và Leibniz đều chưa xây dựng được cơ sở vững chắc cho các phép tính của
mình vì cả hai chưa làm rõ được những cơ sở cho việc bỏ qua các đại lượng vô cùng bé và các vấn đề
liên qua
n đến giới hạn.

Tóm tắt những đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai
đoạn này:
- Việc tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong dẫn đến sự nảy sinh
khái niệm đạo hàm và vi phân. Bên cạnh đó khái niệm đạo hàm cũng sớm được xuất hiện như là công
cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học. Sau đó,
đạo hàm và vi phân đóng vai trò
công cụ tường minh cho việc xác định tiếp tuyến của đường cong.
- Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân, tiếp tuyến và đạo hàm đã xuất hiện tường minh
dưới dạng:
“hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của
y
x


” và “hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của các vi
phân

của tỉ số


0
0
f(x) f(x )
xx
khi x dần tới x
0
( x

(a,b), x ≠ x
0
)
Đạo hàm tại x
0
được kí hiệu là f’(x
0
) (kí hiệu Newton) hay
0
()
df
x
dx
(kí hiệu của Leibniz)
Còn định nghĩa tiếp tuyến, cho trong từ điển toán học năm 1993 của nhà xuất bản Mir Moscou
như sau :

Cho f là một hàm số xác định trong lân cận U(x
0

) ( hệ số góc của tiếp tuyến
bằng f’(x
0
))
Nhận xét:
Trong giai đoạn này, phép tính vi phân đã có cơ sở lí thuyết chặt chẽ. Đạo hàm đóng vai trò công
cụ tường minh
trong việc tìm lời giải bài toán xác định tiếp tuyến.
Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện tường minh. Đặc trưng của mối quan hệ này là:
“hệ số
góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”
Ngoài ra, từ công thức f’(x
0
) =



0
0
xx
0
f(x) f(x )
lim
xx
suy ra được f(x)

f’(x
0
)(x-x
0

”xấp xỉ hàm số bằng hàm affine, về mặt hình học
là xấp xỉ đường cong bởi tiếp tuyến trong lân cận tiếp điểm”.

1.3.1. Tóm tắt tiến triển của mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến
 Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII
Trong giai đoạn này, các quan niệm về tiếp tuyến được mô tả bằng trực giác hình học rất mơ hồ nên
chỉ cho phép nghiên cứu tiếp tuyến ở một số hình hình học đơn giản. Tư tưởng về đạo hàm chưa xuất
hiện do đó không có mối liên hệ nào giữa tiếp tuyến và đạo hàm.
 Giai đoạn 2: nửa đầu thế kỉ XVII (giai đoạn ngầm ẩn mối liên hệ)
- Việc phát minh ra hình học giải tích được tạo ra bởi Descarte và Fermat đã dẫn đến sự phát triển vượt
bậc của toán học. Tiếp tuyến đã chuyển vào phạm vi hình học giải tích và bước đầu tiến vào lĩnh vực
giải tích nhờ các quan niệm rất mới của một số nhà toán học tiên phong. Các quan niệm về tiếp tuyến
trong giai đoạn này:
+ Quan niệm của Fermat
(QNF) : Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến.
+ Quan niệm của Torricelli và Roberval (QNT)
: Phương tức thời của chuyển động (quan điểm
động học).

+ Quan niệm của Barrow (QNB):
Tiếp tuyến là đường thẳng gần trùng với đường cong trong lân
cận tiếp điểm.
QNT không giải quyết triệt để bài toán tiếp tuyến do khó khăn trong việc xác định chuyển động thành
phần. QNF, QNB đã mở ra con đường cho giải tích phát triển cụ thể là việc nảy sinh ra các khái niệm
đạo hàm và vi phân.
- Những tư tưởng đầu tiên về đạo hàm xuất hiện trong bài toán tìm GTLN, GTNN và tìm tiếp tuyến
của đường cong bởi nhà toán học Pháp Pierre de Fermat. Trong giai đoạn này, thuật ngữ “
đạo hàm”
xuất hiện đầu tiên trong vật lí bởi Torricelli và Barrow:
“Đạo hàm của khoảng cách là vận tốc”. Tuy

cơ chế công cụ và đã bắt đầu là đối tượng nghiên
cứu
. Nói cách khác, đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm paramathématique.
-
Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm:
Việc xác định tiếp tuyến dẫn đến sự xuất hiện khái niệm vi phân
. Đạo hàm và vi phân được dùng như
công cụ tường minh để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Đặc trưng của mối liên hệ:
“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”
“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân
dy
dx
”
 Giai đoạn 4: Từ cuối thế kỉ XIX đến nay
- Quan niệm về tiếp tuyến
Tiếp tuyến của đường cong vẫn dựa trên quan điểm về tiếp tuyến giống Fermat và Barrow.
- Quan niệm về đạo hàm
Giới hạn của tỉ số số gia của hàm số và đối số.
Đến đây,
đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm toán học. Đạo hàm vẫn tiếp tục là công cụ hữu hiệu để
giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Ngòai ra, đạo hàm còn dùng như là
công cụ để định nghĩa
khái niệm tiếp tuyến

- Đặc trưng của sự kết hợp giữa tiếp tuyến và đạo hàm:
“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”


Sơ đồ 1.2. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII.
 Giai đoạn thế kỉ XIX :

Sơ đồ 1.3. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm đầu thế kỉ XIX
Đạo hàm
Giới hạn tỉ số số gia
Tiếp tuyến
xấp xỉ afin (tường minh)
Tiếp tuyến (GTVCB )
Xấp xỉ affine
(
n
g
ầm ẩn
)

c
g
iải tích
)

Xấp xỉ affine
(ngầm ẩn)

Chương 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÁI NIỆM TIẾP TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM Ở
CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Mục đích và phương pháp phân tích
-
Đặt cơ sở trên kết quả phân tích ở chương 1, chương này có mục tiêu nghiên cứu mối quan
hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam.
Cụ thể hơn, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau:

+ Khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm kết hợp với nhau trong những tình huống nào? Đặc trưng của
mối quan hệ này? Trong các tình huống đó, mỗi khái niệm lấy nghĩa gì?

+
Vai trò của khái niệm tiếp tuyến đối với khái niệm đạo hàm và ngược lại?
+ Có những ràng buộc nào của thể chế lên mối quan hệ giữa hai khái niệm này? Hệ quả của nó?
- Ở thời điểm chúng tôi tiến hành nghiên cứu, SGK Việt Nam gồm 3 bộ sau :
+ Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000
+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 1 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH
+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 2 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH
Để nghiên cứu, chúng tôi chọn chương trình và SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (đang được sử
dụng đại trà) kết hợp với việc so sánh, đối ch
iếu với SGK thí điểm bộ 2. Trong bộ sách thí điểm này, sự

2.2.1. Những đặc trưng chủ yếu của tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến
a) Trong khóa luận tốt nghiệp (mémoire professionnel) của mình, hai sinh viên Pháp N.Chaboud và
D. Hedde đã làm rõ bốn tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm thể hiện trong một số SGK thuộc các
ban khác nhau ở Pháp (từ năm 1993 đến năm 1999).
Bảng dưới đây tổng hợp những đặc trưng chính của khái niệm đạo hàm và mối quan hệ của nó với khái
niệm tiếp tuyến trong các tiến trình này[25, tr.3]. Bảng 2.1: Những điểm chính của mỗi tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến, đạo hàmGhi chú
- ”Số đạo hàm” chính là đạo hàm của hàm số tại một điểm
-
Nghiên cứu địa phương một hàm số là nghiên cứu hàm số đó trong một lân cận khá bé của một
điểm nào đó. Nghiên cứu tổng thể một hàm số là nghiên cứu nó trong một khoảng xác định.
b) Nhận xét
Tiến trình 1 Tiến trình 2 Tiến trình 3 Tiến trình 4
Tiếp tuyến
(khái niệm trực giác) Số đạo hàm

Hàm số đạo hàm
Giới hạn tại 0 của tỉ số số
gia Số đạo hàm

thể tới địa
phương
Xấp xỉ affine không
được đề cập hoặc
hầu như không được
xử lí
Xấp xỉ affine được đề cập theo
kiểu ”bổ sung” (thường là cuối
công đoạn)
Xấp xỉ affine là cơ sở
của phần lí thuyết
(cours)
Xấp xỉ affine
được xếp vào một
công đoạn sau
khi nghiên cứu về
giới hạn
- Trong các tiến trình ở trên thì khái niệm tiếp tuyến có thể xuất hiện trước hay sau khi đưa vào khái
niệm số đạo hàm :
Trong tiến trình 1, nó được đưa vào một cách trực giác trước khái niệm số đạo hàm.
Trong các tiến trình 2, 3, 4 tiếp tuyến luôn được định nghĩa sau số đạo hàm.
Như vậy,
tiếp tuyến có khi là phương tiện và động cơ để đưa đến khái niệm đạo hàm, có khi nó lại
được định nghĩa nhờ vào khái niệm đạo hàm
.
- Trừ tiến trình 1, xấp xỉ affine luôn được đề cập (có khi đóng vai trò quan trọng, có khi đóng vai trò
bổ sung) trong các tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm.
2.2.2. Phân tích bộ SGK Déclic Maths - Hachette livre 2002
Để làm sáng tỏ và bổ sung thêm những gì trình bày ở trên chúng tôi chọn phân tích một bộ SGK
của Pháp. Cụ thể ở đây chúng tôi chọn một bộ SGK hiện hành của Pháp là “Déclic Maths - Hachette


a) Phần hoạt động (activité).
Phần này đưa vào nhiều hoạt động để đem lại nghĩa cho khái niệm đạo hàm. Chúng tôi chỉ quan tâm
đến các tình huống có mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm hoặc mối liên hệ tiếp tuyến, đạo hàm và
xấp xỉ affine.
 Quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine.
Ta xét một tình huống trong hoạt động 4 chương III [P
1
, tr.74] :
“Đường thẳng hay đường cong”
Cho hàm f xác định trên R bởi công thức f(x) = x
2
– 3x
1)
Vẽ parabol (P) có phương trình y = f(x) bằng MTBT, sau đó thực hiện việc phóng
to (Zoom in) tập trung tại điểm A (2;-2) của (P), để đạt được hình vẽ như dưới đây.

Đường cong (P) có khuynh hướng thành đường thẳng D đi qua điểm A và có hệ số
góc là 1
2)
a) Chứng minh rằng đường thẳng D có phương trình y = (x – 2) – 2
b)
Biểu diễn đừơng thẳng D lên màn hình của MTBT
c)
Quay trở lại màn hình ban đầu (Zoom out). Đường thẳng D có vị trí nào?
3)
Xác định hàm  sao cho f(2+h) = f(2) + h + h

(h) và chứng minh rằng
h0

lim (h)


=
h0
lim h

= 0.
 Nhận xét
A
Với sự hỗ trợ của MTBT, tình huống này đã mang lại hình ảnh rất trực quan về mối quan hệ giữa
tiếp tuyến và xấp xỉ affine.
Trước hết, việc phóng to đường cong trong lân cận của điểm A(2; -2) (“
zoom in” tại điểm A) cho
hình ảnh: “
Đường cong (P) có khuynh hướng thành đường thẳng D”. Điều đó có thể diễn tả là: Nếu xét
một đường cong trong trong lân cận điểm A thì nó gần như là một đường thẳng.
Sau đó, ở câu 2, đường thẳng D ở trên được xác định bằng phương trình và được vẽ cụ thể trên hệ
trục toạ độ. Việc vẽ đồ thị của D và đường cong trên cùng hệ trục tọa độ và câu hỏi
“đường thẳng D có
vị trí nào?”
dường như thể hiện mong đợi của thể chế: thể hiện ngầm ẩn đặc trưng “tiếp xúc” và có
“
một điểm chung” của đường thẳng D với đường cong. Đặc trưng “có một điểm chung” không chỉ dựa
vào trực giác mà còn có thể chứng minh được.
Các đặc trưng trên tương tự như đặc trưng của tiếp tuyến với đường tròn. Tuy nhiên, ở đây, cách
mô tả đường thẳng D rất khác:
D gần trùng với phần đường cong trong lân cận điểm A.
Tình huống này ngầm đem đến cho tiếp tuyến một nghĩa mới “tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ
với đường cong trong lân cận tiếp điểm”

h là số thực khác không và M là một điểm trên parabol (P) có hoành độ 1+h
a)
Tính hệ số góc m của đường thẳng (AM) với mỗi giá trị 0,5 và -0,1 của h
b)
Dùng GEOPLANW
Vẽ một parabole (P), những điểm A và M, và cho hiển thị hệ số góc m của đường thẳng
(AM)
c)
Dịch chuyển điểm M trên P, dự đoán vị trí của cát tuyến (AM) khi điểm M tiến dần
đến điểm A trên parabol P.
3) a) Cho h ≠ 0, chứng minh rằng
f(1 h) f(1)
2h
h

 

b) Khi điểm M tiến gần điểm A, h tiến dần về 0.
Hệ số góc của cát tuyến (AM) sẽ tiến đến giá trị
nào? Minh họa bằng đồ thị kết quả trên.
Về mặt hình học, khi điểm M tiến gần đến điểm A
của (C) có hoành độ là a, cát tuyến (AM) quay
quanh điểm A.

 Lời giải dự kiến:
1) Hệ số góc của (AB) và (AC) là: -1 và -3
2)
a) Đường thẳng (AM) đi qua điểm A(1;3) và M(1+h; f(1+h)) nên có hệ số góc là: m =
f(1 h) f(1)
h

b) Khi h tiến về 0 thì hệ số góc của đường thẳng (AM) tiến về -2  Nhận xét:
Việc dịch chuyển điểm M trên (P) ở câu 2c nhằm mục đích gì?
Theo chúng tôi, nó cho hình ảnh trực giác: khi điểm M dần đến điểm A trên (P), đường thẳng AM
tiến dần đến vị trí của đường thẳng D
Sau đó, yêu cầu: “
dự đoán vị trí của cát tuyến (AM) khi điểm M tiến dần đến điểm A trên parabol
P
” đem lại cho đường thẳng D đặc trưng rất quen thuộc của tiếp tuyến của đường tròn là:“tiếp xúc” và
“một điểm chung”. Tuy nhiên, tiếp tuyến ở đây cũng không được mô tả như trước mà thông qua hình
A
D
ảnh “giới hạn” của cát tuyến. Như vậy, hoạt động này tạo ra được sự nối khớp giữa khái niệm tiếp
tuyến ở lớp 10 với khái niệm tiếp tuyến sắp định nghĩa:
“vị trí giới hạn của cát tuyến”.
Cuối cùng, ở câu 3, chứng minh được: hệ số góc của đường thẳng (AM) tiến tới -2 khi h tiến về 0
(tương ứng về mặt đồ thị là điểm M tiến về A hay đường thẳng AM tiến đến D).
Sau hoạt động trên, ta có hình ảnh:
D là tiếp tuyến của (P) và hệ số góc của đường thẳng D là
h0
f(a h) f(a)
lim
h



Như vậy, việc đưa vào khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm ở đây rất giống tiến trình trong lịch sử:
Với quan niệm về tiếp tuyến “

h

Tiếp tuyến với nghĩa
“tiếp xúc” và "một điểm chung” trước đây chính thức được thay bằng nghĩa
mới “
vị trí giới hạn của cát tuyến”. Đạo hàm ngầm ẩn dưới dạng giới hạn của tỉ số số gia và đóng vai
trò
công cụ để định nghĩa tiếp tuyến. Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ngầm ẩn xuất hiện chính
thức: “
Hệ số góc của tiếp tuyến này là:
h0
f(a h) f(a)
lim
h



” (
h0
f(a h) f(a)
lim
h



chính là số đạo hàm của
hàm số tại a còn ngầm ẩn)