SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ VÀO GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC
A. Đặt vấn đề.
I. Lí do chọn đề tài.
II. Đối tượng, phương pháp nghiên cứu.
B.Giải quyết vấn đề.
I. Một số dạng toán hình học sử dụng phương pháp Đại số
1. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tính toán các yếu tố hình học.
2. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh điểm cố định.
3. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh tam giác đều.
4. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tìm vị trí điểm.
5. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh đẳng thức hình học.
6. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc giải quyết bài toán dựng hình.
7. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc Chứng minh bất đẳng thức hình học và
tìm cực trị hình học.
II. Một số bài tập áp dụng
III. Một số điểm cần lưu ý khi sử dụng phương pháp đại số vào giải
các bài tập hình học
IV.Kết quả.
1. Kết quả
2. Bài học kinh nghiệm và những điều kiện để áp dụng đề tài.
C. Kết luận và kiến nghị.
4
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
1. Cơ sở lí luận:
Trong chương trình toán THCS hình học - đại số có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.
Phương pháp đại số có thể áp dụng vào để giải quyết những bài tập hình học khó, rèn luyện cho
học sinh những kĩ năng toán học như kĩ năng tính toán, vẽ hình, kĩ năng đo đạc, ước lượng

PHẦN A. NỘI DUNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ.
1. Sử dụng phương pháp đại số trong việc tính toán các yếu tố hình học.
 Phương pháp tiến hành:
+ Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn.
+ Biểu thị các yếu tố hình học theo ẩn.
+ Từ các mối quan hệ hình học lập phương trình hoặc hệ phương trình.
+ Giải phương trình hoặc hệ phương trình, chọn giá trị thích hợp.
5
C
O
B
I
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
Bài 1: Cho đường tròn (O), A là một điểm nằm ngoài (O), AO cắt đường tròn tại I. Biết AI =
7
, IB = 5. Tính độ dài AB?

Phân tích bài toán:
+)Tính AB bằng cách đưa AB về cạnh một tam giác
vuông
+) Vẽ tam giác vuông ABK, kẻ
AH BK⊥
có thể
biểu thị AB, BK theo KH từ đó dẫn đến việc chọn ẩn
là KH
Giải:
Đường vuông góc với AB tại A cắt BI tại K kẻ AH
⊥
BK do OA

·
AKB AIK AKI⇒ = ⇒ ∆
cân =>
HK = IH
Đặt HK = HI = x (x > 0) => BK = 2x + 5
Có AI = AK =
7
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông : AK
2
=KH. KB

( )
( )
2
7 2 5 .x x
⇒ = +

2
2 5 7 0x x
⇔ + − =
x
1
= 1 (thoả mãn)
x
2
=
7
2
−
( loại)

E
F
N
H
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
+) Có thể tính OA, OI, OK, IK.
+) Từ hệ thức MO
2
- MI
2
= OH
2
- IH
2
Và MK
2
- MI
2
= HK
2
- HI
2
dẫn đến việc chọn bán kính của (M) và chọn IH là ẩn.
Giải:
Gọi D là giao điểm của OM và đường tròn ( O ). Ta có:
OA = OD = OC =
AC 14 28
21
2 2
+

- MI
2
= HK
2
- HI
2
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
14 21 7y y x x
⇔ − − = − − +

⇔
2x - y = 7
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
3 21
2 7
x y
x y
+ =


− =

Giải hệ ta được x = 6, y = 5. Bán kính đường tròn ( M ) bằng 6 cm
2. Sử dụng phương pháp đại số trong việc chứng minh điểm cố định
 Phương pháp tiến hành:
Trong dạng toán này cần dự đoán hình bằng cách:
- Dựa yếu tố cố định hoặc không đổi.

AEF ACB
⇒ =
⇒
BEFC là tứ giác nội tiếp
b) Gọi M, N lần lượt là các giao điểm của (O) với AH (M thuộc đoạn AH).
7
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
Ta đặt HM = x, HN = y ( x > 0; y > 0 ) AH = h (h > 0, h không đổi)
Theo hệ thức đường tròn ta có: HM.HN = HB. HC
Mà HB. HC = AH
2
=> HM. HN = AH
2
hay x.y = h
2
(1)
Có AH
2
= AE. AB
theo hệ thức lượng đường tròn ta có: AE. AB = AM. AN
=> AH
2
= AM. AN = ( AH - HM ). (AH + HN )
=> AH
2
= AH
2
- HM. HN + AH. ( HN - HM )
=> AH. (HN - HM ) = HM .HN
=> AH. (HN - HM ) = AH

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R. Điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A
và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O). GọiM
là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q, AM cắt BC tại N, AC cắt BM tại P.
a) Chứng minh rằng tam giác ABN cân.
b) Xác định vị trí của C trên nửa đường tròn (O) để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp
xúc với (O).
Phân tích bài toán:
Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại M thì chúng có tiếp tuyến chung tại M.Có điểm B cố định
vậy tìm vị trí điểm C bằng cách tìm độ dài đoạn BC
a)
∆
ABN cân tại B (vì BM là đường cao đồng thời là
phân giác) => AB = BN.
b) Đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp
∆
MNQ
tiếp xúc với nhau tại M
⇔
chúng có tiếp tuyến chung tại
M.
Gọi My là tia tiếp tuyến chung của hai đường tròn, My
cắt BQ tại E. Có ME //AC (cùng vuông góc với MO).
⇔
ME QB.
Do
·
·
NME EMC=
(vì cùng bằng góc MAC).
⇔

⇒ =
.
⇔
∆
MQB cân
⇔
EQ = EB
(2)
Từ (1) và (2)
⇔
NQ = CB
Theo hệ thức lượng: AB
2
= BC.BQ = BC.(BN+QN)
⇔
AB
2
= BC.(AB+BC) vì BN = AB; QN=BC
Đặt BC = x (x > 0) ta có: 4R
2
= x.(2R+x)
⇔
x
2
+ 2Rx - 4R
2
= 0
(*)

Giải phương trình (*) ta được

P
và z =
2S
c

r =
S
P
=
2S
a b c+ +
<
2S
2c
=
S
c
=
z
2
=> z > 2 (vì r = 1)
(1)
=> x > 2, y > 2
Ta có
1 1 1 a b c a b c 1
1
x y z 2S 2S 2S 2S r
+ +
+ + = + + = = =
Vì

+ ≤
(4)
Từ (3) và (4) suy ra x = y = 3 => a = b = c => Tam giác đó đều.
5. Sử dụng phương pháp Đại số để chứng minh đẳng thức hình học.
 Phương pháp tiến hành:
+) Biểu thị các đoạn thẳng theo các chữ.
+) Từ mối liên hệ hình học biến đổi hai vế bằng phương pháp Đại số về hai biểu thức bằng
nhau.
9
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
Bài 6. cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các
cạnh AB và ACtheo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng:
a) MN
2
= AM
2
+ AN
2
- AM.AN.
b)
AM AN
1
MB NC
+ =Giải:
a) Kẻ NH
⊥
AB. Đặt AB = AC = BC = a, AM = x, AN

=> x + y + z = 2 AD = a. ta có

AM AN
1
MB NC
+ =
x y x y
1 1
a x a y y x x z
⇔ + = ⇔ + =
− − + +

⇔
x(x +z) + y(y + z) = (x +z)(y + z)

2 2 2
x xz y yz xy xz yz z
⇔ + + + = + + +

2 2 2
x y xy z⇔ + − =
(*)
đẳng thức (*) đã được chứng minh ở phần a)
6. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc giải quyết bài dựng hình.
a) Các bài toán dựng hình cơ bản:
- Dựng tổng hay hiệu hai đoạn thẳng: Dựng x = a
±
b (a > b )
- Dựng đoạn thẳng bằng
m

đường tròn ( A và D thuộc MN, Bvà C thuộc nửa đường tròn) sao cho hình chữ nhật đó có diện
tích có diện tích lớn nhất.
Phân tích: Giả sử hình chữ nhật ABCD dựng được như hình vẽ.
Đặt AD = 2a, AB = b, OB =R .
Xét
∆
OAB vuông: OA
2
+ AB
2
= OB
2
=> a
2
+b
2
= R
2
.
Gọi S là diện tích hình chữ nhật ta có S
2 2 2
2ab a b R
= ≤ + =
max S = R
2

⇔
R 2
a b
2

+ ≥
c) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( 2số ):
( )
( )
2
2 2
2 a b a b
+ ≥ +
Dấu "=" của các bất đẳng thức này xảy ra
⇔
a = b.
Bài 8: Cho đường tròn (O) dây cung BC . A là mộtđiểm trên cung lớn BC . AA', BB', CC' là ba
đường cao của tam giác. H là trực tâm của tam giác
Chứng minh rằng A’A.A’H
4
2
BC
≤
1) Chứng minh rằng
2
3'''
≥++
HC
HC
HB
HB
HA
HA
.
2) Chứng minh rằng

b
a
A
C
B
B ’
C ’
A ’
H

O
M
R
S
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
Để giải quyết các phần khai thác này cần chứng minh các bất đẳng thức phụ sau:
a) (a+b)
2
≥
4ab.
b) (a+b+c)(
cba
111
++
)
9
≥
. (a, b, c dương).
c)
.

b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
= 3 +






++






++




a
c
c
a

2≥+
b
c
c
b
=> (a+b+c)(
cba
111
++
)
9
≥
. Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
c)
3111 −






+
+
+


b
cb
a
= (a+b+c)(
baaccb +
+
+
+
+
111
) – 3
=
( ) ( ) ( )
[ ]
3
111
.
2
1
−






+
+
+
+

)''(
22
BCCABA
=
+
≤

(2)
Từ (1) và (2) => A’A.A’H
4
2
BC
≤
. Dấu “=” xảy ra  A’B = A’C 
Δ
ABC cân tại A.
2) Gọi diện tích các tam giác ABC, HBC, HAC, HAB lần lượt là S, S
1
,
S
2
, S
3
Có S = S
1
+ S
2
+ S
3
Có

=⇒
−
=
−
⇒==
Chứng minh tương tự:
21
3
31
2
'
;
'
SS
S
HC
HC
SS
S
HB
HB
+
=
+
=
12
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm
Ta có
2
3'''

= S
3
=
3
S
=> H là trọng tâm của
Δ
ABC. Mà H là trực tâm của
Δ
ABC =>
Δ
ABC đều.
3) Do
Δ
CHB’ ~
Δ
CAC’ (g-g). =>
S
S
CCAB
CBHB
ACAB
HCHB
CC
CB
CA
CH
1
'.
2

.
.
.
.
.
321
=
++
=++
S
SSS
BCCA
HBHA
BABC
HAHC
ACAB
HCHB
(1)
áp dụng bất đẳng thức: (a+b+c)(
cba
111
++
)
9
≥

9
.
.
.

ACAB
BCCA
HBHA
BABC
HAHC
ACAB
HCHB
(2)
Từ (1) và (2) =>
9
.
.
.
.
.
.
≥++
HBHA
CBCA
HAHC
BABC
HCHB
ACAB
Dấu “=” xảy ra 
Δ
ABC đều.
Từ phần 2) và dựa vào kết quả của bài tập 4 (SGKtrang 54-Ôn tập chương II) có thể khai thác
thêm:
a) Chứng minh rằng:
9

1
''.
2
1
CBRCBOA =
Tương tự S
BC’OA’
=
''.
2
1
CAR
S
BC’OA’
=
''.
2
1
BAR
S
AB’OC’
+ S
BC’OA’
+ S
BC’OA’
=
)''''''.(
2
1
BCCABAR ++

Bài 1: Tính sin36
0
mà không sử dụng máy tính hoặc bảng số.
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2005- 2006).
Bài 2: Tính các góc của một tam gáic vuông biết tỉ số giữa các bán kính của đường tròn ngoại
tiếp và đường tròn nội tiếp bằng
3 1+
.
Bài 3: Cho tam giác ABC có
µ
µ µ
A B 2C= +
và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính độ
dài các cạnh của tam giác.
Bài 4: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Gọi (I) là đường tròn nội tiếp tam giác.
Đường vuông góc với CI tại I cắt AC, AB theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng:
a) AM. BN = IM
2
= IN
2
b)
2 2 2
IA IB IC
1
bc ca ab
+ + =
.
Bài 5: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn
đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác đó
Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

Lập phương trình hoặc biểu thứcc
Sử dụng bất đẳng thức đại số
để chứng minh bất đẳng thức
hình học
Giải phương trình
Chứng minh
biểu thức
SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm

*Trong khi hướng dẫn HS giải bài toán, tôi cũng chú trọng đến việc khuyến khích học sinh tự
khai thác nhằm giúp các em rèn luyện tư duy sáng tạo, tính chủ động trong học tập. Tự khai
thác cũng chính là một trong những phương pháp tự học rất tốt. Nó giúp học sinh yêu thích bộ
môn hình học, thấy được vẻ đẹp của toán học giúp các em tự tin hơn trước bộ môn này.
* Việc hệ thống các bài tập theo nhóm sẽ giúp cho học sinh nắm được cơ sở xuất phát
của một số dạng bài tập. Từ đó các em có thể phân loại được các dạng bài tập và tìm ra mối liên
hệ giữa các bài tập này. Việc hệ thống bài tập sẽ giúp các em có cái nhìn sâu sắc hơn, tổng quát
hơn về các bài tập hình học.
IV. KẾT QUẢ.
1)Kết qủa:
Sau khi áp dụng đề tài này thu được kết quả như sau:
+ Kết quả HS giỏi xếp thứ 2 trong toàn huyện.
+ Có một HS tham gia dự thi HS giỏi tỉnh đạt giải nhì.
Các em không còn bở ngỡ mà thường tỏ ra yêu thích môn hình học, biết vận dụng
phương pháp hợp lý nhất để giải các bài tập, nhất là đối với các dạng bài tập nâng cao, bồi
dưỡng học sinh giỏi.
2)Hạn chế đề tài
- Các bài toán hình học sử dụng phương pháp giải đại số thường rất đa dạng và đặc sắc
nhưng cũng rất khó đối với học sinh tại tâm lý các em ngại đi sâu khai thác và tìm tòi.
- Việc chuyển từ lý thuyết sang thực hành, học sinh chưa thực sự đầu tư suy nghĩ vì vậy còn
lúng túng khi giải quyết các bài tập này.

kinh nghiệm của đồng nghiệp.
+ Đối với phòng giáo dục, sở giáo dục và đào tạo: Nên có những buổi hội thảo các cấp về
vấn đề hai chiều Hình học - Đại số, để giáo viên có thể trau dồi, tích luỹ kiến thức và kinh
nghiệm để giảng dạy tốt hơn.
Trên đây là một số ý kiến nhỏ được rút ra từ thực tế giảng dạy của tôi. Mặc dù đã rất cố
gắng và luôn nhận được sự động viên, khích lệ của nhà trường và các đồng nghiệp nhưng chắc
chắn đề tài còn nhiều hạn chế. Vậy tôi rất mong sự góp ý, giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp để
việc thực hiện đề tài của tôi ngày càng đạt hiệu quả cao hơn.
.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Ngày 15 tháng 3 năm 2007
16