I- Tóm tắt đề tài……………………………………………………… 3
II- Giới thiệu……………………………………………………………4
III- Phương pháp……………………………………………………… 5
1. Khách thể nghiên cứu………………………………………. .5
2. Thiết kế……………………………………………………… 5
3. Quy trình nghiên cứu……………………………………… 6
4. Đo lường…………………………………………… ….… 13
IV- Phân tích dữ liệu và kết quả.…………………………………… 13
V- Bàn luận…………………………………………………….……….14
VI- Kết luận và khuyến nghị………………………………………… 15
VII- Tài liệu tham khảo……………………………………….……….15
VIII- Phụ lục……………………………………………….……….… 16
1
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHSPƯD
“SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC
RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI’ ĐỂ RÈN KĨ
NĂNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 9
TRƯỜNG THCS.
2
I.TÓM TẮT
Qua những năm giảng dạy ở trường THCS. Tôi nhận thấy rằng các em học
sinh, nhất là lớp 9 phải chịu nhiều áp lực trong việc thi cử vào các trường
chuyên, trường công để định hướng cho tương lai cuả mình sau này. Mà ở các
kỳ thi đó, nội dung đề thi thường rơi vào một phần kiến thức cơ bản không thể
thiếu đó là chương căn thức bậc hai cho dưới dạng rút gọn biểu thức và thực
hiện phép tính căn. Phần lớn các em không làm được bài hoặc làm không trọn
vẹn bài tập của phần này.
• Các nguyên nhân:
Về học sinh:
- Chưa nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8.
- Kỹ năng vận dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa

(0,75).
Kết quả thống kê ở trên chứng minh rằng: "Sử dụng hằng đẳng thức rút
gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai" có rèn luyện được kỹ năng , phương
pháp giải toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9.
II. GIỚI THIỆU:
Trong chương trình Toán lớp 9, Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập, t ập 1,
đưa ra rất nhiều bài tập về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai rất khó, nó
đòi hỏi học sinh phải nắm vững các hằng đẳng thức đã được học ở lớp 8 và vận
dụng các hằng đẳng thức đã học dưới dạng biểu thức chứa dấu căn ở lớp 9 để
biến đổi và rút gọn.
Đa số học sinh lớp 9 trường THCS Xxx, Xxx, Xxx chưa có kỹ năng làm bài
và học yếu phần này. Qua khảo sát thực tế trước nghiên cứu, tác động thì phần
lớn giáo viên dạy học bằng phương pháp truyền thống, chưa chú ý định hướng
phương pháp và hướng dẫn sử dụng các hằng đẳng thức đã được học vào biến
đổi và rút gọn các biểu thức chứa căn thức bậc hai do vậy học sinh không có
kỹ năng làm bài gây mất hứng thú trong việc học.
Giải pháp thay thế: Hướng dẫn học sinh có kĩ năng, phương pháp giải
toán chứa căn thức bậc hai, cụ thể là:
"Sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai "
Vấn đề nghiên cứu:
Việc sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc
hai trong chương trình Toán lớp 9 có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp giải
toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9 trường THCS Xxx, Xxx, Xxx hay
không?
Giả thuyết nghiên cứu:
Có, việc sử dụng hằng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa căn thức
bậc hai trong chương trình Toán lớp 9 có rèn luyện được kĩ năng, phương pháp
giải toán chứa căn thức bậc hai cho học sinh lớp 9 trường THCS Xxx, Xxx,
Xxx.
III. PHƯƠNG PHÁP

Lớp thực
nghiệm – 9A
Lớp đối
chứng – 9B
Điểm trung bình 6,4 6,33
Kiểm chứng T-test độc lập p = 0,44
Với p = 0,44 > 0,05 do đó sự chênh lệch điểm trung bình của 2 lớp không
có ý nghĩa, 2 lớp được coi là tương đương.
Thiết kế kiểm tra trước và sau tác động với các nhóm tương đương:
5
Nhóm
Kiểm tra
trước tác
động
Tác động
Kiểm tra
sau tác
động
Lớp 9A
(15 Hs)
O1
Dạy học có hướng dẫn sử dụng các
hằng đẳng thức đã học.
O3
Lớp 9B
(15 Hs)
O2
Dạy học không hướng dẫn sử dụng các
hằng đẳng thức.
O4

2
– b
2
= ( a + b ).( a – b )
4) Lập phương một tổng : ( a + b )
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
5) Lập phương một hiệu : ( a - b )
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
6) Tổng hai lập phương : a
3
+ b
3
= ( a + b).( a
2

3
3
4) ( ).
3
3
5)1 1 (1 ). 1
6) ( )
7) ( 1)
a ab b a b
a a a
a b a b a b a b
a a b b a b a b a ab b
a a a a a a
a b b a ab a b
a a a a
+ + = +
− + = −
− = − = + −
+ = + = + − +
− = − = − + +
+ = +
+ = +
Chú ý :
+ a ; b > 0
+ Hằng đẳng thức số 4 ; 5 ở lớp 8 ít được sử dụng ở lớp 9 , nên tôi không đưa
vào phần ghi nhớ ở lớp 9.
Khi làm được điều này học sinh sẽ có căn cứ để giải bài tập rút gọn biểu thức
có chứa căn thức bậc hai .
BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :
Sách giáo khoa lớp 9 và sách bài tập , tập 1 đưa ra rất nhiều bài tập về rút

a a a a a a
a a a a
− = − = − + +
− = − = − +

tương tự hđt (hằng đẳng thức) số 3 ; 5 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán , ta biến đổi
vế trái :
Giải
7
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 1
1
1
2
1 . 1
1
.
1
1 . 1
2
1
1 2 .
1
a a a
VT a
a
a

( ) ( )
2
1 2 1a a a+ + = +
tương tự hđt số 2 lớp
9 . Tiếp tục biến đổi ta được kết quả :
( )
( )
2
2
1
1 . 1
1
VT a VP ðpcm
a
= + = =
+
2 4
2 2 2
)
2
a b a b
b a
b a ab b
+
=
+ +
với a+b >0 và
0b ≠
Nhận xét : a
2

= = = = + >
+ +
Bài 65 /34 sgk : Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 , biết :
1 1 1
: ( 0 1)
1 2 1
a
M a va a
a a a a a
+
 
= + > ≠
 ÷
− − − +
 
#
Nhận xét :
( )
2
( 1)
2 1 1
a a a a
a a a
− = −
− + = −
có dạng hđt số 2 và 7 lớp 9 . Áp dụng vào bài toán :
Giải
8
( )
( )

a
a
M Vi a
a a
 
 
+ +
 ÷
= + = +
 ÷
 ÷
− − − + −
− 
−
 
   
−
+ + +
 ÷  ÷
= =
 ÷  ÷
+
− −
−
   
−
= = − < >#
Bài 75 / 41 sgk : Chứng minh các đẳng thức sau
1
) : ( , 0 ; )

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
2
1
) : .
1 1
) 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1
1 . 1 1 1
ab a b
a b b a
c VT a b a b a b VP ðpcm
ab a b ab
a a a a
a a a a
d VT
a a a a
a a a a VP ðpcm
+
+
= = − = − = − =
−
   
+ −
   
+ −
 ÷  ÷

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 2
) :
1 2 1
1 1 1 2 2
:
1 2 1
2 1 2
1 4
1 1
: .
3
3
1 2 1 1
2
) 0 0 3 0( 0) 2 0 2 4
3
a a
a Q
a a a a
a a a a a a
Q

− − −
− − −
= = =
− − − −
−
> ⇔ > ⇔ > > ⇒ − > ⇔ > ⇔ >
Bài 105 / 20 sbt :Chứng minh các đẳng thức ( với a,b không âm và
a b≠
)
2 2
)
2 2 2 2
2
) 1
a b a b b b
a
b a
a b a b a b
a a b b a b
b ab
a b
a b
  
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
+ −
− − =
−
− + −

b a b
ab b b
VP ðpcm
a b
a b a b a b
+ − + −
= − − = − +
− −
− + − +
+ − − +
+ + − − + +
= =
− −
+
+
= = = =
−
+ − −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
)
1 1
2 . 1

= − + = − = =
 ÷
−
 
−
Bài 106 / 20 sbt : Cho biểu thức :
( )
2
4a b ab
a b b a
A
a b ab
+ −
+
= −
−
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
10
b) Khi A có nghĩa . Chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a
Nhận xét : Bài toán cho dưới dạng hằng đẳng thức sau :
( )
2
2
( )
a ab b a b
a b b a ab a b
± + = ±
+ = +
Áp dụng vào bài toán ta có lời giải:
Giải :

A a b
a b
a b
a b
a b
A a b a b a b a b b
+ −
+
= −
−
> ≠
+ −
+
= −
−
+
+ + −
= −
−
− +
= − +
−
−
= − +
−
= − − + = − − − = −
Biểu thức A không phụ thuộc vào a .
Bài 107 / 20 sbt : Cho biểu thức :
3
2 1 1

x x x x
− = − + +
+ = + − +
Áp dụng vào bài toán ta có :
Giải :
3
2 1 1
)
3
1 1
1
x x x
a B x
x x x
x
 
 
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
+ +
= − −
+ + +
−
11
( ) ( )
( ) ( )

x x x
x x x
B x x
x x x
x x
B x x
x x x
b B x x x
  
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
 
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
 ÷
 
+ − +
+
= − −
+ + +
− + +
+ − −

2
2
2 2
x y x xy y
x x y y
P x y x xy y
x y x y
P x xy y x xy y x xy y x xy y xy
+ − +
+
= − − = − − +
+ +
= − + − − + = − + − + − =
Bài 6 / 148 sbt : Chứng minh đẳng thức
1 1 1 1
: ( 0 ; 1)
1 2 1
a a
a a
a a a a a a
+ −
 
+ = > ≠
 ÷
− − − +
 
Nhận xét : bài toán cho gồm có hđt sau :
( )
( )
2

a a a a a a
a a
a
a
a a a a
VT VTđpcm
a a
a a a a
a
 
+ +
 
 ÷
= + = +
 ÷
 ÷
− − − + −
−
 
−
 
   
−
+ + + −
 ÷  ÷
= = = =
 ÷  ÷
+
− −
−

x x x
x x x
− = − +
+ + = +
Áp dụng vào bài toán ta có lời giải :
Giải :
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2
2
2
2
2
: 0 ; 1
1 1
2 2 2 2

x
P
x x
x
x x x x x x
P
x x
x x x
x
P
x x x
x x x
x
≥ ≠
 
 
− −
− + − +
 ÷
= − = −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
− +
 ÷
 
+
 

1
1 1x x x x
+
= − − = −
4. Đo lường.
Dùng bài kiểm tra đầu năm làm bài kiểm tra trước tác động. Bài kiểm tra
sau tác động là bài kiểm tra 20 phút cuối chương I, gồm 2 bài tập về rút gọn và
tính giá trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai (thang điểm 10)
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động của 2 lớp 9A,9B.
Lớp thực
nghiệm – 9A
Lớp đối
chứng – 9B
Điểm trung bình 8,2 7,4
Độ lệch chuẩn 0,94 1,06
Kiểm chứng T-test độc lập p = 0,02
Chênh lệch giá trị trung
bình chuẩn (SMD)
0,75
Bảng thống kê ở trên chứng minh rằng kết quả 2 lớp trước tác động là tương
đương. Sau tác động phép kiểm chứng T-test độc lập cho kết quả p = 0,02<0,05
cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình của lớp 9A (thực nghiệm) và lớp
9B (lớp đối chứng) là rất có ý nghĩa tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình
13
của lớp 9A cao hơn điểm trung bình lớp 9B là không ngẫu nhiên mà do kết quả
của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn
(8, 2 7, 4)
SMD 0,75

14
VI. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
* Kết luận: Trong quá trình giảng dạy môn Toán 9 ở trường THCS, tôi đã rút
ra được một số kinh nghiệm nhỏ trong việc: sử dụng hằng đẳng thức rút gọn
biểu thức có chứa căn thức bậc hai trong chương trình Toán lớp 9 sẽ giúp các
em có kĩ năng, phương pháp giải quyết tốt hơn các bài toán rút gọn biểu thức
chứa căn thức bậc hai.
* Khuyến nghị: Nhà trường cần đầu tư tốt hơn nữa về các trang thiết bị dạy học
có ứng dụng CNTT. Động viên khuyến khích giáo viên sử dụng CNTT trong
dạy học. Giáo viên tích cực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức, kĩ năng sử dụng các
thiết bị dạy học hiện đại. Tôi cho rằng người giáo viên biết lựa chọn hệ thống
bài tập và gợi ý học sinh vận dụng kiến thức đã học để tìm lời giải thì sẽ phát
huy được tối đa tính tích cực, sáng tạo của học sinh.
Trên đây là kết quả nghiên cứu chủ quan của tôi trong quá trình giảng dạy,
tôi tin rằng đề tài này có tính thực tiễn cao. Mong quý thầy cô giáo và đồng
nghiệp góp ý để đề tài được áp dụng rỗng rãi trong thực tế, góp phần nâng cao
chất lượng dạy và học.
VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO.
- Tài liệu tập huấn: Nghiên cứu Khoa học sư phạm ứng dụng,theo dự án Việt -
Bỉ của Bộ Giáo dục & Đào tạo, năm 2010.
- Tài liệu tập huấn giáo viên thực hiện dạy học, kiểm tra đánh giá theo chuẩn
kiến thức kĩ năng trong chương trình giáo dục phổ thông.
- Nâng cao Toán 9.
- Sách giáo khoa Toán 9.
- Sách bài tập Toán 9.
- Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán THCS.
15
VIII. PHỤ LỤC
* Phụ lục 1: Đề kiểm tra 20 phút (Sau tác động)
Bài 1:Cho biểu thức

Nhận xét : Bài toán cho có dạng hđt số 3 lớp 8 . Áp dụng vào bài
toán ta rút gọn câu a :
Giải :
( )
) 1 :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
.
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
.
) 3 . :
3
3
a a b
a Q
a b a b a a b
a a b a a a b
Q
b
a b a b
a a b
a a a a b
Q

−
− −
= − = = =
+ − +
− − −
=
− −
= =
+
1 2
2 2b b
= =
+
1,0
0,75x2
0,5x4
0,5
Bài 2:
Nhận xét : Bài toán cho có hằng đẳng thức :
( ) ( )
4 2 . 2x x x− = + −
và dùng quy tắc đổi dấu để rút gọn biểu
thức P
Giải :
16
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )

x
b P x x x x
x
+ + + +
= + + = + −
− −
− + − +
+ + + − − +
=
−
+ + + + − − −
=
−
−
−
= = =
−
− + +
= ⇔ = ⇔ = + ⇔ = ⇔ =
+
0,75
0,75
0,75
0,5x3
0,25x5
* Phụ lục 3. b¶ng ®iÓm
LỚP THỰC NGHIỆM 9A
TT Họ và tên Điểm kiểm tra
trước tác động
Điểm kiểm tra

9 8 9
10 6 8
11 7 5
12 6 7
13 7 8
14 7 7
15 5 8
Người viết:
XXX
18