ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
ĐÀM MINH TUẤN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành : PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số : 60. 46. 01. 13
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN MINH
THÁI NGUN - 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2
Mục lục
Mở đầu 4
LỜI CẢM ƠN 6
1 Một số vấn đề chung 7
1.1 Vài nét về lịch sử hình học dựng hình . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tại sao dựng hình lại chỉ dùng hai dụng cụ là thước và
compa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Giải một bài tốn dựng hình là gì? . . . . . . . . 8
1.2.2 Tại sao chỉ dùng thước và compa? . . . . . . . . . 9
1.2.3 Giải một bài tốn dựng hình là gì? . . . . . . . . 9
1.2.4 Dựng hình bằng các dụng cụ khác . . . . . . . . . 10
1.2.5 Giá trị lí luận và thực tiễn của các dụng cụ dựng
hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Các phép dựng hình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Loại đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Loại đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Loại tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Loại diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Các bước giải một bài tốn dựng hình . . . . . . . . . . 13

1. Lý do chọn đề tài
Các bài tốn dựng hình nói chung có vai trò quan trọng trong hệ thống
kiến thức của mơn hình học ở trường THCS. Đặc biệt khi giải tốn quỹ
tích, muốn xác định hình dạng, vị trí và độ lớn của quỹ tích ta phải vẽ
được quỹ tích đó. Đây là vấn đề khó của bài tốn quỹ tích nếu học sinh
khơng nắm rõ được phương pháp dựng hình. Như vậy phép dựng hình
giúp ta giải được bài tốn quỹ tích dễ hơn.
Qua thực tế giảng dạy mơn hình học liên tục trong nhiều năm tơi thấy
có nhiều học sinh ngại và lo sợ khi giải bài tốn dựng hình, khi giải tốn
quỹ tích lúng túng khi vẽ hình do khơng nắm vững phương pháp giải
bài tốn dựng hình. Để giải các bài tốn dựng hình có rất nhiều phương
pháp như: Dựng hình bằng phương pháp đại số, dựng hình bằng phương
pháp biến hình, dựng hình bằng dụng cụ hạn chế (phương pháp dựng
hình Steiner) Nhận thức rõ được tầm quan trọng của việc giảng dạy và
học tập tốn dựng hình ở cấp THCS nói chung, việc bồi dưỡng học sinh
giỏi nói riêng nên tơi chọn đề tài "Một số phương pháp dựng hình
trong hình học phẳng". Vì dựng hình có rất nhiều phương pháp,
Số hóa bởi trung tâm học liệu />5
trong khn khổ của đề tài này tơi sẽ tìm hiểu về phương pháp dựng
hình chỉ bằng compa.
Tơi mong muốn rằng đề tài tơi nghiên cứu sẽ là tài liệu cho các bạn đồng
nghiệp có thể sử dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất
lượng của bộ mơn Tốn. Là tài liệu tham khảo cho các bạn u thích bộ
mơn Tốn và nhất là hình học dựng hình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tổng quan về các phương pháp dựng
hình, định lí, các bài tốn dựng hình cơ bản trong hình học phẳng. Tìm
hiểu phương pháp dựng hình chỉ bằng com pa
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trình bày các phương pháp dựng hình trong hình học phẳng.

Số hóa bởi trung tâm học liệu />7
Chương 1
Một số vấn đề chung
1.1 Vài nét về lịch sử hình học dựng hình
Vào các thế kỉ thứ tư và thứ năm trước cơng ngun các nhà tốn học Hi
lạp nổi tiếng đã quan tâm đến hình học dựng hình như Pitago, Hipocrat,
Ơclit, Acsimet, Apơlơniut. Trường phái Pitago đã thành cơng trong một
số bài tốn tương đối phức tạp như dựng ngũ giác đều. Vào thế kỉ thứ
năm trước cơng ngun có ba bài tốn nổi tiếng:
- Chia ba một góc: "Chia ba một góc cho trước thành ba phần bằng
thước và compa".
- Gấp đơi hình lập phương: "Dựng cạnh của một hình lập phương có thể
tích gấp đơi thể tích của một hình lập phương đã cho".
- Cầu phương hình tròn: "Tìm một đoạn thẳng x sao cho diện tích hình
vng cạnh x bằng diện tích hình tròn bán kính r tức là x
2
= πr
2
".
Các bài tốn trên khơng giải được bằng thước và compa.
Đến thế kỉ thứ sáu trước cơng ngun các nhà tốn học Hi lạp đã khảo
sát q trình giải một bài tốn dựng hình với bốn bước: Phân tích, cách
dựng, chứng minh và biện luận được sử dụng cho đến ngày nay.
Ba trăm năm trước cơng ngun, Ơclit người sáng lập hệ hình học đầu
tiên đã nêu lên những tiền đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ
vai trò của dựng hình trong tốn học như:
- Có thể vẽ một đường thẳng khi biết hai điểm.
- Biết tâm và bán kính có thể vẽ được một đường tròn.
Các nhà hình học cổ Hilap đã giải được những bài tốn dựng hình khó
Số hóa bởi trung tâm học liệu />8

minh được rằng chỉ dùng thước và compa thì khơng dựng được góc 20
0
).
Ví dụ khác “Dựng một ngũ giác đều nội tiếp trong một đường tròn”. Nếu
Số hóa bởi trung tâm học liệu />9
dùng thước đo góc thì thật dễ chỉ việc chia góc ở tâm làm năm phần
bằng nhau mỗi góc 72
0
này chắn một cung bằng
1
5
đường tròn, nếu sử
dụng thước và compa thì bài tốn sẽ khó hơn.
1.2.2 Tại sao chỉ dùng thước và compa?
Các nhà tốn học cổ Hilap chỉ xem phép dựng dùng thước và compa
là hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và khơng cơng nhận việc
sử dụng các dụng cụ khác để dựng hình. Quan niệm đó vẫn tồn tại đến
ngày nay. Họ cũng đã thành cơng trong việc giải những bài tốn dựng
hình khó bằng thước và compa. Họ coi thước kẻ là vơ hạn vì chỉ có một
cạnh, coi compa có tính chất dùng để vẽ những đường tròn có bán kính
tùy ý.
Cơ sở lí luận của hình học dựng hình là những tiên đề sau:
1. Tất cả những dữ kiện của bài tốn dựng hình đã cho như điểm, đường
thẳng, đường tròn, . đều coi như dựng được.
2. Những điểm lấy tùy ý trong mặt phẳng đều coi như là dựng được.
3. Nếu hai đường thẳng dựng được mà cắt nhau thì thì giao điểm của
chúng coi như dựng được.
4. Một đường thẳng xác định bởi hai điểm dựng được thì coi như dựng
được.
5. Một đường tròn xác định bởi một tâm dựng được, một bán kính dựng

- Dựng x// x’ và cách x một khoảng d (tiên đề (*))
- Tương tự dựng y// y’ (theo tiên đề (*))
Số hóa bởi trung tâm học liệu />11
- Lấy giao điểm A của x’và y’ (tiên đề 3)
- Vẽ đường thẳng đi qua O và A (tiên đề 4)
b. Dựng hình bằng êke
- Đường thẳng đi qua một điểm dựng được và tạo với một đường thẳng
dựng được một góc bằng 90
0
, 60
0
, 30
0
hoặc 90
0
và 45
0
thì xem như dựng
được.(**).
- Một điểm của một đường thẳng dựng được mà từ đó ta thấy hai điểm
dựng được dưới một góc α thì ta xem như dựng được(***).
Ê ke thường có ba góc 90
0
, 60
0
, 30
0
hoặc 90
0
và 45

a. Dựng một đoạn thẳng có độ dài cho trước trên một đường thẳng
nhất định.
b. Dựng một góc bằng một góc cho trước trên một cạnh đã biết.
c. Dựng phân giác của một góc cho trước.
d. Dựng trung trực của một đoạn thẳng cho trước.
đ. Tìm trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
e. Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng vng góc với một
đường thẳng cho trước.
g.Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng song song với một
đường thẳng cho trước.
h. Chia một đoạn thẳng cho trước ra nhiều phần bằng nhau.
i. Dựng tam giác biết ba cạnh(c.c.c), biết hai góc và cạnh kề hai góc đó
(g.c.g), biết hai cạch và góc xen giữa(c.g.c).
k. Dựng tam giác đều hoặc hình vng khi biết một cạnh của nó.
l. Dựng hình chữ nhật khi biết hai cạnh kề nhau.
m. Lấy một đường thẳng đã biết làm một cạnh dựng một góc 60
0
hoặc
30
0
.
1.3.2 Loại đường tròn
a. Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cho trước.
b. Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác cho trước.
c. Lấy một đoạn thẳng cho trước làm bán kính dựng một dường tròn.
d. Chia đơi một cung cho trước.
đ. Từ một điểm cho trước ở ngồi hoặc ở trên đường tròn dựng tiếp
tuyến của đường tròn đó.
e. Dựng cung chứa góc.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />13

F
2
, ,F
n
. Trong đó F
n
là hình cơ bản đã biết cách dựng. Hình là một tập
điểm, hình cơ bản đơi khi là những điểm chốt, từ đó ta đưa ra đường lối
dựng.
Như vậy trước hết ta phải vẽ một hình tương ứng với hình phải dựng
(Tức là giả sử hình vẽ đã dựng được thỏa mãn điều kiện của bài tốn).
Số hóa bởi trung tâm học liệu />14
Qua hình vẽ phát hiện những yếu tố cho trước và những yếu tố phải
dựng.
Hình 1.2
Ví dụ 1.3. “Dựng tam giác ABC biết cạnh đáy AC = b, góc

A = α kề
với đáy và tổng của hai cạnh kia AB + BC = s ”
Trước hết ta giả sử tam giác ABC đã dựng được. Trên hình vẽ ta đã
biết cạnh đáy AC, góc

A, còn tổng hai cạnh kia khơng có. Để thể hiện
tổng s ta kéo dài cạnh AB và đặt trên đường kéo dài cạnh BC

= BC
vậy ta có AC

= s đã cho.
Nếu nối C với C

cùng được hình F .
Bước này gồm hai bước:
a. Kể theo thứ tự nhất định tất cả các phép dựng cơ bản cần thực hiện
được suy ra từ bước phân tích.
b. Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ thước và compa khơng
phải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mơ tả cách dựng đó.
Với bài tốn trên, cách dựng như sau:
- Trên đường thẳng bất kì xy dựng đoạn AC = b.
- Lấy AC làm cạnh dựng

A = α.
- Kéo dài AB, trên đường kéo dài dựng đoạn BC

= BC.
- Dựng ∆AC

C (biết góc

A và hai cạnh AC

, AC).
- Dựng trung trực của CC

.
- Lấy giao điểm B của trung trực này với AC

. Ta được ∆ABC phải
dựng.
Ta phải nêu cách thực hiện phép dựng vì cùng một phép dựng có thể có
những phương pháp khác nhau.

- Trên BD dựng tam giác biết hai cạnh BC = AD và CD = AB.
- Kéo dài AO về phía O và đặt OC = AO , nối C với các điểm B và D,
. . .
Chú ý:
- Các bước dựng phải là các phép dựng cơ bản hay các bài tốn dựng
hình cơ bản.
- Mỗi bước dựng nếu cần có thể viết thêm điều kiện có thể dựng được
các phép dựng ấy.
- Các bước dựng phải theo một thứ tự xác định, tránh lộn xộn.
- Số các bước dựng phải hữu hạn.
1.4.3 Bước chứng minh
Sau khi đã dựng được hình cần phải xác nhận xem hình đó đã thỏa
mãn các điều kiện của bài tốn hay chưa? Tức là phải chứng minh rằng
hình dựng được thỏa mãn tất cả các điều kiện của đề bài, cách chứng
minh này phụ thuộc vào cách dựng. Nói cách khác nếu khơng biết rõ hai
bước phân tích và cách dựng thì khơng thể nói rằng chứng minh đúng
Số hóa bởi trung tâm học liệu />17
hay sai, vì có thể có những phương pháp giải bài tốn khác nhau và ngay
cả khi đã phân tích giống nhau thì cũng có những cách khác nhau để
thực hiện, tức là có cách dựng khác nhau. Nếu cách dựng đã rõ ràng thì
bước chứng minh cũng đơn giản.
Với bài tốn dựng tam giác ở trên ( bước phân tích), ta chứng minh như
sau:
∆ABC có

A = α (theo cách dựng).
Cạnh đáy AC = b, tổng AB + BC

= AB + BC = s.
Vậy tam giác này thỏa mãn các điều kiện của bài tốn nên tam giác

được thì có bao nhiêu nghiệm hình. Biện luận theo cách dựng hình là
ở mỗi bước dựng đó xét xem phải thỏa mãn điều kiện gì thì bước dựng
này thực hiện được và nếu dựng được thì có bao nhiêu nghiệm.
Xét ví dụ sau: “Dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng cho trước
và với một đường tròn cho trước”.
Vì đề bài cho hai đường thẳng bất kì nên chúng có thể cắt nhau, hoặc
song song với nhau. Nếu chúng cắt nhau thì phần biện luận sẽ phức tạp
nhưng nếu chúng song song thì sẽ đơn giản hơn.
Ví dụ:
“Dựng tam giác biết hai cạnh và góc đối diện với một trong hai cạch đó”
Thì góc đã biết có thể là góc nhọn, vng hoặc tù, vì thế khi biện luận
phải xét đến các trường hợp ấy, để đơn giản bước biện luận có thể giới
hạn độ lớn của góc, chẳng hạn cho góc nhọn đối diện với một trong hai
cạnh ấy, hay có thể hạ thấp hơn mức độ bằng cách cho góc nhọn đối
diện với cạnh nhỏ.
Ví dụ 1.4. Dựng tứ giác ABCD biết AB = a, BC = b, CD = c,
DA = d và đường chéo AC là phân giác

A.
Phân tích: Giả sử tứ giác ABCD đã dựng được. Giả sử d < a ta lấy
điểm D

đối xứng với D qua AC, suy ra: AD

= AD = d ⇒ D

B = a−d.
Ta có D

C = c vậy ta dựng được ∆BCD

B = d + (a −d) = a
- Theo bước dựng iiithì: AD = AD

= d, CD = CD

= c và

DAC =

D

AC hay AC là phân giác

A
Vậy ABCD là tứ giác thỏa mãn những điều kiện của đầu bài.
Biện luận: ∆BCD

dựng được nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:

b + (a −d) > c
b + c > a − d
c + (a −d) > b
∆BCD

dựng được ta có một nghiệm.
Khi:

a = d
b = c
Bài tốn có vơ số nghiệm.

) = M)).
2.1.1 Dựng hình bằng phương pháp tịnh tiến
Ví dụ 2.1. Cho hai đường tròn tâm (O) và tâm (O

). Dựng một đoạn
thẳng AB có độ dài a cho biết song song với một đường thẳng d cho
trước, sao cho hai mút lần lượt nằm trên hai đường tròn đã cho.
Số hóa bởi trung tâm học liệu />21
Hình 2.1
Phân tích:
Giả sử đã dựng được mút A của đoạn thẳng AB nằm trên đường tròn
tâm (O).
Ta tịnh tiến đường tròn (O) song song với đường thẳng d một khoảng
bằng a. Ta được đường tròn (O
1
).
Giao điểm của đường tròn (O
1
) với đường tròn (O

) xác định cho ta điểm
B.
Ta tịnh tiến điểm B ngược với phép tịnh tiến trên ta được điểm A.
Cách dựng:
- Tịnh tiến đường tròn tâm (O) song song với d một khoảng bằng a ta
được đường tròn (O
1
).
- Giao điểm của đường tròn (O
1

Chứng minh:
Ta có: AC + CD + DB = AC + DB + h = A

D + DB + h
Mà A

D + DB nhỏ nhất vì A

, D, B thẳng hàng.
2.1.2 Dựng hình bằng phương pháp đối xứng tâm
Ví dụ 2.3. Ví dụ: Dựng đa giác n đỉnh biết n trung điểm của n cạnh.
Phân tích:
Giả sử đa giác đã dựng được với các đỉnh A
1
, A
2
, , A
n
với các trung
điểm:
Số hóa bởi trung tâm học liệu />23
Hình 2.3
M
1
là trung điểm của A
1
A
2
M
2

2
qua M
2Điểm B
n
đối xứng với M
n−1
qua B
n−1
Điểm B
n−1
đối xứng với M
n
qua B
n
.
Ta có:
A
2
B
2
song song và bằng A
1
B
1
A
3
B

n−1
. Hay A
1
là trung điểm của đoạn
thẳng B
1
B
n+1
Cách dựng:
- Dựng B
1
tùy ý từ đó ta dựng được các điểm B
2
, B
3
, , B
n+1
.
- Dựng trung điểm của đoạn thẳng B
1
B
n+1
đó là đỉnh A
1
của đa giác.
Dựng A
2
đối xứng A
1
qua M

n+1
trùng B
1
thì bài tốn có vơ số nghiệm.
2.1.3 Dựng hình bằng phương pháp đối xứng trục
Ví dụ 2.4. Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm ngồi đường thẳng
d. (A,B nằm cùng nửa mặt phẳng bờ d).Tìm điểm C nằm trên d sao
cho chu vi ∆ABC nhỏ nhất.
Hình 2.4
Cách dựng:
Ta dựng B

đối xứng B qua d. Nối B

với A cắt d tại C. Vậy C là điểm
Số hóa bởi trung tâm học liệu />25
cần dựng.
Chứng minh:
Thật vậy ∀C ∈ d ta ln có AC +BC = AC +B

C (tính chất đối xứng),
mà AC +B

C > AB

(độ dài đường gấp khúc ln lớn hơn đường thẳng).
Vậy điểm C ở vị trí như trên hình 2.3 thì chu vi ∆ABC nhỏ nhất.
Ví dụ 2.5. Cho

xOy (


B

= M

A

+
A

B

+ B

M

( tính chất đối xứng), mà
M

A

+ A

B

+ B

M

≥ M