Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
o0o PHẠM THỊ TRÀ MY VẬN DỤNG BẢNG GỢI Ý CỦA G.POLYA
HƢỚNG DẪN HỌC SINH TÌM LỜI GIẢI
BÀI TOÁN VỀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS BÙI VĂN NGHỊ THÁI NGUYÊN - 2013

lớp 10A1, 10A2 trường THPT Việt Bắc tỉnh Lạng Sơn đã tạo điều kiện thuận
lợi giúp tôi hoàn thành đề tài của mình.
- Bạn bè và gia đình đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013
Tác giả luận văn Phạm Thị Trà My

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

iv
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN vi
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích của đề tài 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Giả thuyết khoa học 2
5. Phương pháp nghiên cứu 2
6. Cấu trúc luận văn 3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VIỆC DẠY HỌC PHƢƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 4
1.1. Kỹ năng giải toán 4
1.1.1. Kỹ năng 4

2.4. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phương trình ba đường
cônic 49
2.5. Tóm tắt chương 2 57
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 58
3.1. Mục đích, nội dung, tổ chức thực nghiệm sư phạm 58
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm 58
3.1.2. Tổ chức thực nghiệm sư phạm 58
3.1.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm 58
3.1.4. Các giáo án thực nghiệm sư phạm 59
3.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 73
3.2.1. Đánh giá về nội dung 73

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

vi
3.2.2. Đánh giá về phương pháp dạy học khi thực nghiệm 73
3.2.3. Đánh giá về khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh 73
3.2.4. Kết quả kiểm tra 74
3.3. Tóm tắt chương 3 75
KẾT LUẬN 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

vi

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
[?]
:
Câu hỏi gợi ý của giáo viên


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Theo Luật Giáo dục Việt Nam năm 2005 [5]: phương pháp giáo dục cần
phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học
sinh. Từ đó, mục tiêu dạy học môn Toán là: Trang bị cho HS những tri thức, kĩ
năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực; Góp phần phát triển
năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS; Góp phần hình thành và
phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác lao động, có ý
chí và thói quen tự học thường xuyên; Tạo cơ sở để HS tiếp tục học cao đẳng, đại
học, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động.
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” là một cách nghiên cứu hình học
- Đại số hóa các bài toán hình học. Nếu chỉ đơn giản là sử dụng các biểu thức
tọa độ để tính toán hoặc chỉ đọc, viết và giải các phương trình đường thẳng,
đường tròn thì không khó đối với HS. Song nếu phải kết hợp giữa nghiên cứu
hình học bằng phương pháp tiên đề (còn gọi là hình học tổng hợp) với phương
pháp tọa độ thì không dễ đối với HS.
G. Polya là một nhà Toán học, nhà sư phạm nổi tiếng, tác giả của những
cuốn sách "Giải bài toán như thế nào?", "Sáng tạo Toán học" và "Toán học và
những suy luận có lý". Trong quyển sách "Giải bài toán như thế nào?" Ông đã
có nhiều gợi ý hay để tìm lời giải bài toán. Những gợi ý đó đã giúp ích rất
nhiều cho những người làm toán.
Thực tiễn cho thấy có không ít giáo viên khi dạy giải bài tập toán học,
chỉ đưa ra lời giải không có sự phân tích để học sinh thấy được người ta đã nghĩ
như thế nào mà có được lời giải như thế. Đó mới là điều cần cho người học.
Đã có một số luận văn nghiên cứu về những đề tài xung quanh việc vận
dụng bảng gợi ý của G.Polya. Tuy nhiên việc vận dụng bảng gợi ý của G.Polya
mỗi người áp dụng cho một nội dung dạy học khác nhau. Chưa có đề tài nào

- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số giáo án tại một số
trường THPT tỉnh Lạng Sơn nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3
6. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn việc dạy học phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng
Chƣơng 2: Vận dụng bảng gợi ý của G.Polya hướng dẫn học sinh tìm lời
giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng
Chƣơng 3: Thực nghiệm sư phạm
Kết luận

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN VIỆC DẠY HỌC PHƢƠNG PHÁP
TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1.1. Kỹ năng giải toán
1.1.1. Kỹ năng
1.1.1.1. Khái niệm kỹ năng
“Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đó
khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc
gì”.[1, tr.548].
Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi
người để đạt được mục đích. Kỹ năng còn có thể được đặc trưng như một thói
quen nhất định và là khả năng làm việc có phương pháp.

thức, kỹ năng và phương pháp.
Trong thực tiễn giảng dạy chúng tôi nhận thấy có nhiều học sinh học
thuộc lý thuyết nhưng không vận dụng được lý thuyết đó vào bài tập, không
biết lựa chọn định lý nào phù hợp với bài toán mình cần giải. Nguyên nhân của
hiện tượng đó là kỹ năng chưa được hình thành.
1.1.1.3. Sự hình thành kỹ năng
Việc hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống
phức tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng
trong các bài toán.
Để hình thành kỹ năng cho học sinh (chủ yếu là kỹ năng học và kỹ năng
tính toán) người thầy giáo cần giúp cho học sinh hình thành đường lối chung
(khái quát) để giải quyết các đối tượng, các bài toán cùng loại; Xác lập được
mối liên hệ giữa những bài toán khái quát và các kiến thức tương ứng.
Ví dụ 1: Khi rèn luyện kỹ năng lập phương trình tổng quát (phương trình
tham số) của đường thẳng cần chú ý cho học sinh phải tìm được một điểm
thuộc đường thẳng và vectơ pháp tuyến (hoặc vectơ chỉ phương) của đường
thẳng đó. Chẳng hạn:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

6
Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng
trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm
 
1; 2A 
và song song với đường thẳng
2 3 3 0xy  
;
b) Đi qua hai điểm

yêu cầu được đặt ra là: “Về tri thức kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

7
pháp đặc biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng.
Chẳng hạn: tri thức và kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, tri thức và
kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm…”.[7, tr.41].
Như vậy việc rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào
thực tiễn mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được những yêu cầu sau:
(1) Giúp học sinh hình thành, nắm vững những mạch kiến thức cơ bản
xuyên suốt chương trình phổ thông.
Trong môn toán có thể kể đến các kiến thức cơ bản sau:
- Các hệ thống số.
- Hàm số và ánh xạ.
- Phương trình và bất phương trình.
- Định nghĩa và chứng minh toán học.
- Ứng dụng toán học.
(2) Giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ
Cụ thể là:
- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
(3) Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả các giờ học
toán, gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ
hình, vẽ đồ thị.
(4) Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: tính
cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.
1.1.2.3. Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán

+) Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất của người lao động mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập là giá mang hoạt động
liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn
chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

9
Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá
mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó
thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác các bài tập như vậy sẽ góp phần
tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phương pháp dạy học; Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,… Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh,…
1.2.2. Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Như vậy là
bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc thực
hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có
thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp
nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
i) Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian
ii) Lập luận chặt chẽ
iii) Lời giải đầy đủ
iv) Ngôn ngữ chính xác

- Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài toán và nếu cần hãy quay về các
định nghĩa?
- Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ dễ
hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn? Hãy giữ lại
một phần giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào? Từ các điều đó
bạn có thể rút ra được điều gì có ích cho việc giải bài toán? Với giả thiết nào thì
bạn có thể giải được bài toán này?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

11
- Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?
1.4. Các bƣớc giải bài toán bằng phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
Để giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện theo các
bước sau:
Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục tọa độ phù hợp.
Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang tọa độ các điểm, phương trình
đường thẳng…Ta có thể gọi bước này là bước "phiên dịch" từ ngôn ngữ hình
học sang ngôn ngữ tọa độ.
Bước 3 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên.
Bước 4 : Kiểm tra đánh giá kết quả, chuyển ngôn ngữ tọa độ về ngôn
ngữ thông thường.
Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng
vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình
trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy,
thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc
giải toán bằng phương pháp tọa độ.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho
2MA MB
.

Từ giả thiết
2MA MB
ta có :
 
2 2 2 2
2 2 2 2
22
2
2
2 (1 )
4 2 1
3 3 8 4 0
44
39
x y x y
x y x x y
x y x
xy
   
     
    

   



Bước 4: "Phiên dịch" kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học
thông thường
Kết luận: Vậy tập hợp các điểm
M


13
Thực tiễn dạy học cho thấy còn một số học sinh chưa hứng thú học tập
tọa độ trong mặt phẳng. Khi hỏi về nguyên nhân, các em này cho rằng dạng
toán này không có dạng hay, vì chỉ rập khuôn máy móc theo: các biểu thức tọa
độ, các phương trình đường thẳng, các công thức tính toán góc hoặc khoảng
cách. Cũng có những bài toán tổng hợp, nhưng với sự cho sẵn của hệ trục tọa
độ
Oxy
, nên chưa phát huy được khả năng sáng tạo cho bộ phận học sinh khá
giỏi biết vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo phương pháp tọa độ. Một số em
chưa hứng thú học tập chương này vì ít thấy ứng dụng vào thực tiễn.
Thực tiễn dạy học còn cho thấy: việc chỉ rõ qui trình chuyển hóa: ngôn
ngữ tọa độ - ngôn ngữ hình học - ngôn ngữ tọa độ là cần thiết. Nếu làm được
điều này sẽ khiến cho học sinh thấy rõ hơn ý nghĩa và vai trò của phương pháp
tọa độ, sử dụng được thế mạnh của đại số, gây hứng thú học tập cho học sinh.
1.6. Một số yêu cầu về bài tập của chƣơng tọa độ trong mặt phẳng
Bằng cách đưa vào mặt phẳng một hệ trục tọa độ, mỗi vectơ, mỗi điểm
trên mặt phẳng đó đều được xác định bởi tọa độ của nó. Khi đó chúng ta có thể
chuyển nhiều bài toán hình học sang bài toán đại số và ngược lại, từ kết quả của
đại số suy ra được một số tính chất và mối quan hệ giữa các hình hình học.
“Nội dung của chương này bao gồm những kiến thức đơn giản nhất, cơ
bản nhất của bộ môn Hình học giải tích phẳng. Có thể tạm phân nội dung thành
hai mảng:
+) Diễn đạt bằng tọa độ những đối tượng hình học quen thuộc: đường
thẳng, đường tròn và biểu thị qua tọa độ các tính chất, quan hệ đơn giản giữa
các hình đó.
+) Lập phương trình chính tắc của elip, hypebol, parabol và từ các
phương trình đó xét tính chất của mỗi đường. SGK cũng đề cập đến một số tính
chất chung của ba đường: elip, hypebol, parabol để đi đến khái niệm về đường

những dạng toán cụ thể.
2.1. Hƣớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán về phƣơng trình đƣờng thẳng
Ví dụ 3: (Bài 20 – tr90 – SGK HH
10
– Nâng cao)
Cho hai đường thẳng
12
: 2 3 0, :3 2 0.x y x y       
Viết phương
trình đường thẳng đi qua điểm
 
3;1P
và cắt
1

,
2

lần lượt ở
A
,
B
sao
cho

tạo với
1

,
2

là đường
thẳng
''AB
thỏa mãn điều kiện này.
[?]: Sau khi đã dựng được đường thẳng
''AB
thì đường thẳng

cần dựng,
thỏa mãn thêm điều kiện "đi qua
P
" sẽ dựng thế nào?

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

16
[!]:

qua
P
và
// ' 'AB
hoặc có thể dựng đường thẳng đi qua
P
, vuông góc
với đường phân giác góc tạo bởi
1

,
2

0
5 10
x y x y   

hay
   
2 3 2 2 1 3 2 2 0.xy     

Suy ra hai đường thẳng qua
P
, vuông góc với hai đường phân giác trên,
có phương trình là:

 
 
 
 
2 2 1 3 2 3 1 0xy     
hay
 
   
1 2 3 1 0xy    
.

 
 
 
 
2 2 1 3 2 3 1 0xy     
hay

1 2 .
ab
a b a b
ab



    




Cho
1 1 2ba   
. Vậy có hai đường thẳng
 
   
: 1 2 3 1 0xy     
và
 
   
': 1 2 3 1 0xy     
thỏa mãn yêu
cầu bài toán.
Cách 3:
Ta có
1 11
;
77
C

''AB

có phương trình là:
 
   
: 1 2 3 1 0xy     
và
 
   
': 1 2 3 1 0xy     
.
Ví dụ 4: (Bài 13 – tr85 – SGK HH
10
– Nâng cao)
Trên đường thẳng
: 2 0xy   
, tìm điểm
M
cách đều hai
điểm
 
0 ; 4E
và
 
4 ; 9F 
.
Hướng dẫn:
- Vẽ hình

[?]:

M
thuộc đường trung trực
của
EF
.
Tóm tắt lời giải:
Cách 1:
Đưa phương trình của

về dạng tham số
.
2
xt
yt





Vì
 
; 2 .M M t t  

Từ điều kiện
ME MF
dẫn tới phương trình:
     
2 2 2
2
2 4 11t t t t     

của đoạn thẳng
EF
đi qua trung điểm
5
2;
2
I




, có vectơ pháp tuyến
 
4 ; 13EF 

là:
 
5 81
4. 2 13. 0 4 13 0
22
x y x y

       


.
Tọa độ của điểm
M
là nghiệm của hệ phương trình:
20

2
d
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Hướng dẫn:
- Vẽ hình