Hướng dẫn học sinh phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương
trình có hiệu quả
1
PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc
sống xã hội loài người nói chung, con người nói riêng. Nó có lí luận thực tiễn
lớn lao và quan trọng, như đồng chí Phạm Văn Đồng đã nói: “ Toán học là môn
thể thao của trí tuệ, nó giúp chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”.
Đại số là một môn đặc biệt của toán học. Nếu đi sâu vào nghiên cứu về
môn đại số chúng ta sẽ thấy được cái không gian ba chiều lí thú của nó mà
không bao giờ vơi cạn. Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trong
những nội dung quan trọng trong chương trình đại số của trường THCS.
Việc giải bài toán bằng cách lập phương trình là một ứng dụng của
phương trình nó có ý rèn luyện óc phân tích và biểu thị toán học những mối liên
quan của các đại lượng trong thực tiễn. Trong phân môn đại số- chương trình
toán lớp 8,9 THCS số tiết về dạy học các bài toán bằng cách lập phương trình đã
chiếm một vị trí quan trọng.
Về cả phía giáo viên và học sinh đều có khó khăn khi dạy và học kiểu bài
này. Đây là một vấn đề quan trọng và bức thiết. Lâu nay chúng ta đang tìm kiếm
một phương pháp dạy học sinh giải các bài toán bằng cách lập phương trình làm
sao cho đạt hiệu quả. Các tài liệu, các sách tham khảo, sách giáo viên cũng chưa
có sách nào đề cập đến phương pháp dạy loại toán này. Có chăng chỉ là gợi ý
chung và sơ lược. Đặc biệt trong các hội thi giáo viên dạy giỏi các cấp hầu như
các tiết thi giảng giải bài toán bằng cách lập phương trình không mấy đạt kết
quả cao.
Trước tình hình trên, bản thân tôi là một giáo viên toán cấp THCS, cũng đã
từng trăn trở nhiều về vấn đề trên.Và với bài viết này tôi không có tham vọng
lớn để bàn về vấn đề: “Giải các bài toán” ở trường phổ thông. Tôi chỉ xin đề
xuất một vấn đề về phương pháp dạy loại toán: “Giải bài toán bằng cách lập
phương trình” đối với học sinh lớp 8, 9 mà tôi đã từng áp dụng thành công.

3
những học sinh nắm được lí thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng vẫn lúng
túng. Hơn thế nữa loại toán này còn đòi hỏi kĩ năng trình bày lời giải phải chặt
chẽ nên nhiều em học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì:
+ Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác
+ Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng đÓ thiết lập phương trình.
+ Lời giải thiếu lí luận, đơn vị.
+ Quên đối chiếu điều kiện.
Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên là phải rèn cho học sinh kĩ năng giải
các loại bài toán này sao cho khi gặp nó các em không cảm thấy lo sợ và lúng
túng. Do đó bằng những kinh nghiệm rút ra sau các năm giảng dạy tôi mạnh dạn
viết đề tài “Một số phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ
phương trình”
4
PHẦN II. NỘI DUNG
A. Các quy tắc chung :
1. Cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản về các lĩnh vực toán, lí,
hóa.
2. Yêu cầu về giải một bài toán.
3. Các bước giải một bài toán.
4. Phân loại các bài toán dựa vào quá trình tham gia của các đại lượng.
B. Nội dung:
1) Các kiến thức cơ bản cần chuẩn bị
Trước khi dạy loại toán “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình” cần
cho học sinh tự ôn trước ở nhà những kiến thức cơ bản liên quan cụ thể các kiến
thức như:
1.1. Viết công thức thể hiện mối quan hệ giữa số bị chia a, số chia b,
thương q và số dư r:
a = q.b + r
1.2. Số a gấp m lần số b: a = mb.

d
V
n
= V
c
- V
d
V
x
- V
d
= V
n
+ V
d
1.9. Công thức tính khối lượng riêng của một chất:
v
m
D =
1.10. Có m (gam) chất trong n (gam) dung dịch. Tính nồng độ N% của
dung dịch đó:
%100.%
n
m
N =
1.11. Công thức tính diện tích các hình: tam giác, hình chữ nhật, hình
vuông, hình tròn.
1.12. Tìm một số biết giá trị phân số của nó;Tìm giá trị phân số của một số
cho trước; Tính phần trăm
Ngoài các loại toán cơ bản trên thì trước khi dạy dạng toán nào trong loại

chặt chẽ với nhau. Các bước sau được suy ra từ các bước trước, nó đã được kiểm
nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều kiện đã biết trước.
*Yêu cầu 6: Lời giải bài toán phải rõ ràng, đầy đủ.
Lưu ý đến việc giải các bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau,
phủ định lẫn nhau. Kết quả phải chính xác, phù hợp. Muốn vậy cần rèn cho học
sinh thói quen thử lại kết quả sau khi giải và tìm hết các nghiệm của bài toán,
tránh bỏ sót
nghiệm nhất là đối với phương trình bậc hai.
3) Quy trình giải một bài toán
Giai đoạn 1: Phân tích đề
Trước hết cần đọc kĩ đề bài, hình dung ra vấn đề thực tế nêu ra trong đề
bài sau đó ghi tóm tắt các số liệu liên quan đến các đối tượng, các quá trình, các
đại lượng dưới dạng kí hiệu hoặc vẽ hình, vẽ sơ đồ minh họa. Xác định cho
được bài toán thuộc dạng nào? Các đối tượng, quá trình, đại lượng có trong bài
liên hệ với nhau theo công thức nào đã biết? Viết các công thức dẫn xuất từ một
công thức cơ bản, thống nhất đơn vị đo, sau đó tiến hành ghi các số liệu đã biết
của các đại lượng vào bảng số liệu gồm các dòng và cột.
7
Giai đoạn 2: Các bước giải
Bước 1: Lập phương trình (đây là bước quan trọng, quyết định cho việc
giải bài toán):
a. Chọn Èn và đặt điều kiện thích hợp cho Èn
a.1. Sau khi đã phân tích hiểu rõ vấn đề nêu ra trong bài ta bắt đầu đi chọn
Èn
Việc chọn ẩn rất quan trọng, nó quyết định đến việc lập phương trình và
phương trình lập ra đơn giản hay phức tạp. Chọn ẩn là chọn một trong những đại
lượng chưa biết làm ẩn và kí hiệu nó bằng một chữ cái. Thông thường ta chọn
chính đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm làm ẩn( còn gọi là chọn trực tiếp). Tuy
nhiên trong một số trường hợp việc chọn ẩn lại dẫn đến phương trình rất phức
tạp vì vậy ta có thể chọn một đại lượng trung gian làm ẩn (còn gọi là chọn ẩn

c. Lập phương trình
Trong một bài toán bao giờ giả thiết cũng cho ta nhiều mối liên hệ giữa các
đại lượng. Ta sẽ chọn ra một mối liên hệ để lập phương trình còn những mối
liên hệ khác là dùng làm cho mục b. Vì vậy khi chọn đại lượng để biểu diễn qua
ẩn và những đại lượng đã biết ta phải chú ý đến mối quan hệ giữa các đại lượng
mà ta chọn để lập phương trình.
Chú ý đơn vị của cùng một đại lượng phải thống nhất.
Bước 2: Giải phương trình
Để giải phương trình đã lập ở bước 1 ta cần chú ý quan sát phương trình ở
dạng nào ta đã học để tìm hướng giải phù hợp.
Bước 3: Kết luận
Cần đối chiếu kết quả tìm được của ẩn sau khi giải phương trình với điều
kiện của ẩn đã đặt ra ở bước 1. Chọn giá trị phù hợp cần thử lại bằng cách thay
các giá trị bằng số của ẩn vào đề toán xem có hợp lí không. Sau đó mới trả lời
chung yêu cầu đặt ở đề của bài toán.
Giai đoạn 3: Phân tích biện luận cách giải
Phần này thường để mở rộng cho học sinh khá giỏi. Khi đã giải xong có
thể gợi ý cho học sinh biến đổi biểu thức đã cho thành bài toán khác bằng cách:
+ Giữ nguyên ẩn số thay đổi các yếu tố khác trong bài
+ Giữ nguyên các dữ kiện thay đổi các yếu tố khác
+ Thay kết luận thành giả thiết và lấy một đại lượng khác trong bài làm ẩn.
9
+ Giải bài toán bằng cách khác, tìm cách giải hay nhất
Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các dạng
toán tương tự và cách giải tương tự đến khi gặp học sinh sẽ nhanh chóng tìm ra
cách giải.
Ví dụ minh họa: Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính
rằng 13 năm sau nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm
nay Phương bao nhiêu tuổi (Bài 40/31- Toán 8 tập 2)
Giai đoạn 1: Phân tích đề

và tuổi phương 13 năm sau.
+ Tuổi Phương 13 năm sau là: x + 13 (tuổi)
Để biểu diễn được tuổi mẹ 13 năm sau cần phải biết tuổi mẹ năm nay. Ta
sử dụng mối quan hệ thứ nhất
+ Tuổi mẹ năm nay là : 3x (tuổi)
+ Tuổi mẹ 13 năm sau là : 3x + 13 (tuổi)
c. Lập phương trình
Vì 13 năm sau tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình:
3x+13 = 2(x+13)
Bước 2: Giải phương trình
Học sinh nhận xét đây là dạng phương trình bậc nhất một ẩn có thể đưa về
dạng ax + b = 0. Dạng này đã được học từ các bài trước.
Giải phương trình được kết quả x = 13.
Bước 3: x = 13 thỏa mãn điều kiện x nguyên, x >0.
Học sinh tự thử lại ra nháp với tuổi Phương năm nay là 13 có phù hợp với
đề bài toán không sau đó trả lời:
Vậy năm nay Phương 13 tuổi
Giai đoạn 3:
+ Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ còn cách giải nào khác
nữa không?
Cách khác: Chọn tuổi của mẹ năm nay là x (tuổi), x nguyên dương.
Bằng cách lập luận tương tự như trên ta có phương trình:
11
x + 13 = 2 (
)13
3
1
+x
Việc giải phương trình này phức tạp hơn nên ta chọn cách 1.
+ Ngoài ra học sinh có thể tự thay đổi con số để tìm ra một đề bài mới


+ Nếu chuyển động trên sông thì cần chú ý đến mối quan hệ của các loại
vận tốc.
12
Ví dụ: Quãng đường AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ
A đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ 2 là 12 km/h nên đến trước ô tô
thứ hai 42 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
* Hướng dẫn phân tích đề
- Học sinh cần xác định được vận tốc của mỗi xe, từ đó xác định thời gian
đi hết quãng đường cuả mỗi xe.
- Căn cứ vào mối quan hệ vận tốc của mỗi xe để biểu diễn các đại lượng.
- Căn cứ vào mối quan hệ thời gian của mỗi xe để lập phương trình.
* Lời giải:
Đổi : 42 phút =
10
7
giờ
Gọi vận tốc của xe thứ nhất là x (km/h) - điều kiện: x>12
vận tốc của xe thứ hai là x-12 (km/h)
Thời giang đi hết quãng đường AB của xe thứ nhất là
x
270
(h)
Thời gian đi hết quãng đường AB của xe thứ hai là
12
270
−x
(h)
Xe thứ nhất về sớm hơn xe thứ hai là
10

mối quan hệ giữa các số hàng trăm, chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị.
13
cbaabc
baab
++=
+=
10100
10
+ Nếu bài toán không có mối quan hệ giữa các chữ số mà là mối quan hệ
giữa các số với nhau thì ta chọn số cần tìm là ẩn.
Ví dụ: Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số
hàng chục. Nếu thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn
hơn số ban đầu 370. Tìm số ban đầu.
* Hướng dẫn phân tích đề:
Học sinh phải trả lời được các câu hỏi sau:
+ Số cần tìm có mấy chữ số?
+ Quan hệ giữa các chữ số như thế nào?
+ Nêu cách viết một số có hai chữ số, ba chữ số dưới hệ thập phân?
+ Thêm chữ số 1 vào giữa thì được một số có mấy chữ số?
+ Số mới và số ban đầu có quan hệ như thế nào?
+ Muốn biết số đã cho ta cần biết điều gì?
* Lời giải:
Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là x
điều kiện: x
N∈
;0<x<10
Chữ số hàng chục của số ban đầu là 2x
Số đã cho được viết là: 2x.10 + x = 21x
Nếu thêm chữ số 1 vào giữa hai chữ số thì số mới được viết :
2x.100 +1.10 +x =201x +10

100
120
.18 =− xx
* Lời giải:
Gọi số thảm xí nghiệp dệt trong 1 ngày theo kế hoạch là x (thảm)
điều kiện: x nguyên dương
Số thảm len phải dệt theo hợp đồng là 20x (thảm)
Thực tế số thảm xí nghiệp dệt trong 1 ngày là :
x
100
120
(thảm)
Thực tế số thảm len xí nghiệp dệt được là :
x
100
120
.18
(thảm)
Xí nghiệp dệt vượt so với kế hoạch là 24 tấm thảm nên ta có phương trình:
15
2420
100
120
.18 =− xx
1208
=⇔
x
15=⇔ x
(thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Vậy số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng là 15.20 =300 (thảm)

x
1
(công việc)
Một ngày đội 2 làm được số phần công việc là
6
1
+x
(công việc)
16
Mà một ngày cả hai đội làm được
4
1
công việc nên ta có phương trình:
x
1
+
6
1
+x
=
4
1
Giải phương trình: x
1
= 6 (thỏa mãn điều kiện của ẩn)
x
2
= -4 (không thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Vậy đội 1 làm một mình hoàn thành công việc là 6 ngày
đội 2 làm một mình hoàn thành công việc là 6+6=12 ngày

trình:
3
8
1
+x
=
x
100
20
40=⇔ x
(thỏa mãn điều kiện của ẩn)
Vậy số học sinh của lớp 8A là 40 học sinh
17
g. Dạng toán liên quan đến hình học
Dạng toán này cần lưu ý học sinh các kiến thức về hình học, các mối quan
hệ trong hình học như : Công thức tính diện tích, chu vi, định lí Pitago, các hệ
thức lượng trong tam giác vuông
Ví dụ: Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6 cm và chia cạnh huyền
thành hai đoạn hơn kém nhau 5,6cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác?
*Hướng dẫn:
- Vẽ hình minh họa:
Giả sử BH<HC
? Để tìm cạnh huyền ta phải biết những đoạn nào?
-Yêu cầu nhắc lại kiến thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu trong tam
giác vuông: AH
2
= HB.HC
* Lời giải: Giả sử BH<CH
Gọi độ dài đoạn BH là x(cm) , điều kiện: x>0.
Độ dài đoạn CH là x+5,6 (cm)

Gọi khối lượng riêng của chất thứ nhất là x (kg/m
3
) , điều kiện: x>200
thì khối lượng riêng của chất thứ hai là x-200 (kg/m
3
)
Thể tích của chất thứ nhất là
x
008,0
(m
3
)
Thể tích của chất thứ hai là
200
006,0
−x
(m
3
)
Thể tích của khối chất lỏng hỗn hợp là
700
006,0008,0 +
(m
3
)
Theo đề bài ta có phương trình:
x
008,0
+
200

+ Sau khi tôi vận dụng phương pháp đã nêu trên thì hầu hết các em đã cảm
thấy không còn sợ loại toán này nữa và có học sinh còn cảm thấy thích thú với
loại toán này. Kết quả cụ thể tôi thu được là:
- Bài kiểm tra khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến:
Lớp Sĩ số
Giỏi Khá
Trung
bình
Yếu Kém
SL Tỉ lệ% SL
Tỉ lệ
%
SL
Tỉ lệ
%
SL
Tỉ lệ
%
SL
Tỉ lệ
%
8 27 0 0% 1 3,7% 7 25,9
%
15 55,6
%
4 14,8
%
9 30 1 3,3
%
3 10% 9 30% 12 40% 5 16,7

hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung
chuyên đề thực hiện.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải
quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết
các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học
tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả
của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận
được.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường, từ việc áp dụng các hình
thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt,
bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện
cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày bài giải nhưng các bước sắp xếp chưa hợp lý.
3 - Đưa ra bài toán có gợi ý giải.
4 - Đưa ra bài giải sẵn có chứa sai sót để yêu cầu học sinh tìm chỗ sai và sửa lại
cho đúng.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và
phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học
21
nói chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo
viên đã áp dụng trong chuyên đề này.
2. KIẾN NGHỊ
1. Với Sở GD&ĐT, Phòng GD&ĐT